جو شخص کسی خاص مسئلے کے بغیر طریقوں کی تلاش کرتا ہے، وہ زیادہ تر بے سود تلاش کرتا ہے۔ - ڈی ہلبرٹ

9.1 تعارف

کلاس گیارہویں اور موجودہ کتاب کے باب 5 میں، ہم نے بحث کی تھی کہ کسی دیے گئے فنکشن $f$ کو آزاد متغیر کے لحاظ سے کیسے تفریق کیا جائے، یعنی کسی دیے گئے فنکشن $f$ کے لیے $f^{\prime}(x)$ کو اس کے تعریف کے دائرے میں ہر $x$ پر کیسے تلاش کیا جائے۔ مزید، تکمل کیلکولس کے باب میں، ہم نے بحث کی تھی کہ ایسا فنکشن $f$ کیسے تلاش کیا جائے جس کا مشتق فنکشن $g$ ہو، جسے مندرجہ ذیل طور پر بھی مرتب کیا جا سکتا ہے:

دیے گئے فنکشن $g$ کے لیے، ایک فنکشن $f$ اس طرح تلاش کریں کہ

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

ہنری پوانکیرے $(1854-1912)$

(1) کی شکل کی ایک مساوات کو تفریقی مساوات کہا جاتا ہے۔ ایک رسمی تعریف بعد میں دی جائے گی۔

یہ مساواتیں اطلاقات کی ایک قسم میں پیدا ہوتی ہیں، خواہ وہ طبیعیات، کیمیا، حیاتیات، بشریات، ارضیات، معاشیات وغیرہ میں ہوں۔ اس لیے، تفریقی مساوات کا گہرا مطالعہ تمام جدید سائنسی تحقیقات میں اہم اہمیت اختیار کر گیا ہے۔

اس باب میں، ہم تفریقی مساوات سے متعلق کچھ بنیادی تصورات، تفریقی مساوات کے عمومی اور خاص حل، تفریقی مساوات کی تشکیل، پہلی ترتیب - پہلی ڈگری کی تفریقی مساوات کو حل کرنے کے کچھ طریقے، اور مختلف علاقوں میں تفریقی مساوات کی کچھ اطلاقات کا مطالعہ کریں گے۔

9.2 بنیادی تصورات

ہم پہلے ہی اس قسم کی مساواتوں سے واقف ہیں:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

آئیے مساوات پر غور کریں:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

ہم دیکھتے ہیں کہ مساوات (1)، (2) اور (3) میں صرف آزاد اور/یا تابع متغیر (متغیرات) شامل ہیں لیکن مساوات (4) میں متغیرات کے ساتھ ساتھ تابع متغیر $y$ کا آزاد متغیر $x$ کے لحاظ سے مشتق بھی شامل ہے۔ ایسی مساوات کو تفریقی مساوات کہا جاتا ہے۔

عام طور پر، ایک مساوات جس میں تابع متغیر کا (تابع متغیروں کا) آزاد متغیر (متغیرات) کے لحاظ سے مشتق (مشتقات) شامل ہو، تفریقی مساوات کہلاتی ہے۔

ایک تفریقی مساوات جس میں تابع متغیر کے مشتق صرف ایک آزاد متغیر کے لحاظ سے ہوں، عام تفریقی مساوات کہلاتی ہے، مثلاً،

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ ایک عام تفریقی مساوات ہے } $

بلاشبہ، ایسی تفریقی مساواتیں بھی ہیں جن میں ایک سے زیادہ آزاد متغیرات کے لحاظ سے مشتقات شامل ہوتے ہیں، جنہیں جزوی تفریقی مساوات کہا جاتا ہے، لیکن اس مرحلے پر ہم خود کو صرف عام تفریقی مساوات کے مطالعے تک محدود رکھیں گے۔ اب سے، ہم ‘عام تفریقی مساوات’ کے لیے ‘تفریقی مساوات’ کی اصطلاح استعمال کریں گے۔

نوٹ

1. ہم مشتقات کے لیے مندرجہ ذیل علامات کو ترجیح دیں گے:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. اعلیٰ ترتیب کے مشتقات کے لیے، بہت سی ڈیشز کو سپر سکسیکس کے طور پر استعمال کرنا غیر موزوں ہوگا، اس لیے ہم $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ کے لیے $n$ویں ترتیب کے مشتق کے لیے علامت $y_n$ استعمال کرتے ہیں۔

9.2.1 تفریقی مساوات کی ترتیب

تفریقی مساوات کی ترتیب اس کی سب سے زیادہ ترتیب کے مشتق کی ترتیب کے طور پر تعریف کی جاتی ہے جو دی گئی تفریقی مساوات میں شامل تابع متغیر کا آزاد متغیر کے لحاظ سے ہوتی ہے۔

مندرجہ ذیل تفریقی مساواتوں پر غور کریں:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

مساوات (6)، (7) اور (8) میں بالترتیب پہلی، دوسری اور تیسری ترتیب کے سب سے زیادہ مشتق شامل ہیں۔ اس لیے، ان مساوات کی ترتیب بالترتیب 1،2 اور 3 ہے۔

9.2.2 تفریقی مساوات کی ڈگری

تفریقی مساوات کی ڈگری کا مطالعہ کرنے کے لیے، اہم نکتہ یہ ہے کہ تفریقی مساوات مشتقات میں ایک کثیر رقمی مساوات ہونی چاہیے، یعنی $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ وغیرہ۔ مندرجہ ذیل تفریقی مساواتوں پر غور کریں:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ مساوات (9) $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ اور $y^{\prime}$ میں ایک کثیر رقمی مساوات ہے، مساوات (10) $y^{\prime}$ میں ایک کثیر رقمی مساوات ہے (اگرچہ $y$ میں کثیر رقمی نہیں ہے)۔ ایسی تفریقی مساواتوں کی ڈگری تعریف کی جا سکتی ہے۔ لیکن مساوات (11) $y^{\prime}$ میں ایک کثیر رقمی مساوات نہیں ہے اور ایسی تفریقی مساوات کی ڈگری تعریف نہیں کی جا سکتی۔

تفریقی مساوات کی ڈگری سے، جب یہ مشتقات میں ایک کثیر رقمی مساوات ہو، ہماری مراد دی گئی تفریقی مساوات میں شامل سب سے زیادہ ترتیب کے مشتق کی سب سے زیادہ طاقت (مثبت صحیح عددی اشاریہ) ہوتی ہے۔

اوپر دی گئی تعریف کے پیش نظر، کوئی یہ مشاہدہ کر سکتا ہے کہ تفریقی مساوات (6)، (7)، (8) اور (9) میں سے ہر ایک کی ڈگری ایک ہے، مساوات (10) کی ڈگری دو ہے جبکہ تفریقی مساوات (11) کی ڈگری تعریف نہیں ہے۔

نوٹ تفریقی مساوات کی ترتیب اور ڈگری (اگر تعریف ہو) ہمیشہ مثبت صحیح اعداد ہوتے ہیں۔

مثال 1 مندرجہ ذیل ہر تفریقی مساوات کی ترتیب اور ڈگری تلاش کریں، اگر تعریف ہو:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

حل

(i) تفریقی مساوات میں موجود سب سے زیادہ ترتیب کا مشتق $\frac{d y}{d x}$ ہے، اس لیے اس کی ترتیب ایک ہے۔ یہ $y^{\prime}$ میں ایک کثیر رقمی مساوات ہے اور $\frac{d y}{d x}$ کی سب سے زیادہ طاقت ایک ہے، اس لیے اس کی ڈگری ایک ہے۔

(ii) دی گئی تفریقی مساوات میں موجود سب سے زیادہ ترتیب کا مشتق $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ہے، اس لیے اس کی ترتیب دو ہے۔ یہ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ اور $\frac{d y}{d x}$ میں ایک کثیر رقمی مساوات ہے اور $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ کی سب سے زیادہ طاقت ایک ہے، اس لیے اس کی ڈگری ایک ہے۔

(iii) تفریقی مساوات میں موجود سب سے زیادہ ترتیب کا مشتق $y^{\prime \prime \prime}$ ہے، اس لیے اس کی ترتیب تین ہے۔ دی گئی تفریقی مساوات اس کے مشتقات میں ایک کثیر رقمی مساوات نہیں ہے اور اس لیے اس کی ڈگری تعریف نہیں ہے۔

9.3 تفریقی مساوات کے عمومی اور خاص حل

پچھلی کلاسوں میں، ہم نے اس قسم کی مساواتوں کو حل کیا تھا:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

مساوات (1) اور (2) کے حل وہ اعداد ہیں، حقیقی یا مختلط، جو دی گئی مساوات کو پورا کریں گے یعنی، جب وہ عدد نامعلوم $x$ کی جگہ دی گئی مساوات میں رکھا جاتا ہے، تو بائیں طرف دائیں طرف کے برابر ہو جاتا ہے۔

اب تفریقی مساوات پر غور کریں

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

پہلی دو مساواتوں کے برعکس، اس تفریقی مساوات کا حل ایک فنکشن $\phi$ ہے جو اسے پورا کرے گا یعنی، جب فنکشن $\phi$ کو دی گئی تفریقی مساوات میں نامعلوم $y$ (تابع متغیر) کی جگہ رکھا جاتا ہے، تو بائیں طرف دائیں طرف کے برابر ہو جاتا ہے۔

منحنی $y=\phi(x)$ کو دی گئی تفریقی مساوات کا حل منحنی (تکمل منحنی) کہا جاتا ہے۔ فنکشن پر غور کریں جو اس طرح دیا گیا ہے

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

جہاں $a, b \in \mathbf{R}$۔ جب اس فنکشن اور اس کے مشتق کو مساوات (3) میں رکھا جاتا ہے، تو بائیں طرف = دائیں طرف۔ تو یہ تفریقی مساوات (3) کا ایک حل ہے۔

فرض کریں $a$ اور $b$ کو کچھ خاص اقدار دی جائیں مثلاً $a=2$ اور $b=\frac{\pi}{4}$، تو ہمیں ایک فنکشن ملتا ہے

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

جب اس فنکشن اور اس کے مشتق کو مساوات (3) میں دوبارہ رکھا جاتا ہے تو پھر بائیں طرف = دائیں طرف۔ اس لیے $\phi_1$ بھی مساوات (3) کا ایک حل ہے۔

فنکشن $\phi$ دو اختیاری ثوابت (پیرامیٹرز) $a, b$ پر مشتمل ہے اور اسے دی گئی تفریقی مساوات کا عمومی حل کہا جاتا ہے۔ جبکہ فنکشن $\phi_1$ میں کوئی اختیاری ثوابت نہیں ہیں بلکہ صرف پیرامیٹرز $a$ اور $b$ کی خاص اقدار ہیں اور اس لیے اسے دی گئی تفریقی مساوات کا ایک خاص حل کہا جاتا ہے۔ حل جو اختیاری ثوابت پر مشتمل ہو، تفریقی مساوات کا عمومی حل (قدیم) کہلاتا ہے۔

اختیاری ثوابت سے آزاد حل یعنی، عمومی حل کو اختیاری ثوابت کو خاص اقدار دے کر حاصل کیا گیا حل، تفریقی مساوات کا خاص حل کہلاتا ہے۔

مثال 2 تصدیق کریں کہ فنکشن $y=e^{-3 x}$ تفریقی مساوات $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ کا ایک حل ہے۔

حل دیا گیا فنکشن $y=e^{-3 x}$ ہے۔ مساوات کے دونوں اطراف کو $x$ کے لحاظ سے تفریق کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

اب، (1) کو $x$ کے لحاظ سے تفریق کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ اور $y$ کی اقدار کو دی گئی تفریقی مساوات میں رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

بائیں طرف $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ دائیں طرف۔

اس لیے، دیا گیا فنکشن دی گئی تفریقی مساوات کا ایک حل ہے۔

مثال 3 تصدیق کریں کہ فنکشن $y=a \cos x+b \sin x$، جہاں، $a, b \in \mathbf{R}$ تفریقی مساوات کا ایک حل ہے $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

حل دیا گیا فنکشن ہے

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

مساوات (1) کے دونوں اطراف کو $x$ کے لحاظ سے، مسلسل تفریق کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ اور $y$ کی اقدار کو دی گئی تفریقی مساوات میں رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

بائیں طرف $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ دائیں طرف۔

اس لیے، دیا گیا فنکشن دی گئی تفریقی مساوات کا ایک حل ہے۔

9.4 پہلی ترتیب، پہلی ڈگری کی تفریقی مساواتوں کو حل کرنے کے طریقے

اس حصے میں ہم پہلی ترتیب پہلی ڈگری کی تفریقی مساواتوں کو حل کرنے کے تین طریقوں پر بحث کریں گے۔

9.4.1 متغیرات قابل تقسیم تفریقی مساواتیں

پہلی ترتیب-پہلی ڈگری کی تفریقی مساوات کی شکل ہوتی ہے

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

اگر $F(x, y)$ کو ایک حاصل ضرب $g(x) h(y)$ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں، $g(x)$ $x$ کا ایک فنکشن ہے اور $h(y)$ $y$ کا ایک فنکشن ہے، تو تفریقی مساوات (1) کو متغیرات قابل تقسیم قسم کی کہا جاتا ہے۔ تفریقی مساوات (1) کی پھر شکل ہوتی ہے

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

اگر $h(y) \neq 0$، متغیرات کو الگ کرتے ہوئے، (2) کو اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

اس طرح، (4) دی گئی تفریقی مساوات کے حل کو شکل میں فراہم کرتا ہے

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

یہاں، $H(y)$ اور $G(x)$ بالترتیب $\frac{1}{h(y)}$ اور $g(x)$ کے ضد مشتق ہیں اور $C$ اختیاری ثابت ہے۔

مثال 4 تفریقی مساوات $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ کا عمومی حل تلاش کریں۔

حل ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

مساوات (1) میں متغیرات کو الگ کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

مساوات (2) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

جو مساوات (1) کا عمومی حل ہے۔

مثال 5 تفریقی مساوات $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ کا عمومی حل تلاش کریں۔

حل چونکہ $1+y^{2} \neq 0$، اس لیے متغیرات کو الگ کرتے ہوئے، دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

مساوات (1) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ or }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

جو مساوات (1) کا عمومی حل ہے۔

مثال 6 تفریقی مساوات $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ کا خاص حل تلاش کریں جبکہ دیا گیا ہے کہ $y=1$، جب $x=0$۔

حل اگر $y \neq 0$، دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

مساوات (1) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ or } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

$y=1$ اور $x=0$ کو مساوات (2) میں رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں، $C=-1$۔

اب $C$ کی قدر کو مساوات (2) میں رکھتے ہوئے، ہم دی گئی تفریقی مساوات کا خاص حل حاصل کرتے ہیں جیسا کہ $y=\frac{1}{2 x^{2}+1}$۔

مثال 7 اس منحنی کی مساوات تلاش کریں جو نقطہ $(1,1)$ سے گزرتی ہے جس کی تفریقی مساوات $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$ ہے۔

حل دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے

$\text{ or } \qquad dy $ $ =(\frac{2x^2+1}{x}) dx \\ dy =(2 x+\frac{1}{x}) d x $

مساوات (1) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x $$

$ \begin{equation*} \text{ or }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $

مساوات (2) دی گئی تفریقی مساوات کے حل منحنیوں کے خاندان کی نمائندگی کرتی ہے لیکن ہم اس خاندان کے اس خاص رکن کی مساوات تلاش کرنے میں دلچسپی رکھتے ہیں جو نقطہ $(1,1)$ سے گزرتی ہے۔ اس لیے $x=1, y=1$ کو مساوات (2) میں رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں $C=0$۔

اب $C$ کی قدر کو مساوات (2) میں رکھتے ہوئے ہم مطلوبہ منحنی کی مساوات حاصل کرتے ہیں جیسا کہ $y=x^{2}+\log |x|$۔

مثال 8 اس منحنی کی مساوات تلاش کریں جو نقطہ $(-2,3)$ سے گزرتی ہے، جبکہ دیا گیا ہے کہ منحنی کے کسی بھی نقطہ $(x, y)$ پر مماس کی ڈھال $\frac{2 x}{y^{2}}$ ہے۔

حل ہم جانتے ہیں کہ کسی منحنی پر مماس کی ڈھال $\frac{d y}{d x}$ کے ذریعے دی جاتی ہے۔

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

متغیرات کو الگ کرتے ہوئے، مساوات (1) کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$$ \begin{equation*} y^{2} d y=2 x d x \tag{2} \end{equation*} $$

مساوات (2) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \int y^{2} d y=\int 2 x d x $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\mathrm{C} \tag{3} \end{equation*} $$

$x=-2, y=3$ کو مساوات (3) میں رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں $C=5$۔

$C$ کی قدر کو مساوات (3) میں رکھتے ہوئے، ہم مطلوبہ منحنی کی مساوات حاصل کرتے ہیں جیسا کہ

$$ \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5 \quad \text{ or } \quad y=(3 x^{2}+15)^{\frac{1}{3}} $$

مثال 9 ایک بینک میں، اصل رقم مسلسل 5 فیصد سالانہ کی شرح سے بڑھتی ہے۔ کتنے سالوں میں 1000 روپے خود سے دگنا ہو جائیں گے؟

حل فرض کریں $P$ کسی بھی وقت $t$ پر اصل رقم ہے۔ دیے گئے مسئلے کے مطابق،

$$ \begin{align*} & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} \\ & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} \tag{1} \end{align*} $$

مساوات (1) میں متغیرات کو الگ کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{equation*} \frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} \tag{2} \end{equation*} $$

مساوات (2) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{aligned} \text{ or } \qquad \log P & =\frac{t}{20}+C_1 \\ P & =e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{C_1} \end{aligned} $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} \quad\left(\text { where } e^{\mathrm{C} _{1}}=\mathrm{C}\right) \tag{3} \end{equation*} $$

اب $\qquad \mathrm{P}=1000, \quad \text { when } t=0$

$P$ اور $t$ کی اقدار کو (3) میں رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں $C=1000$۔

اس لیے، مساوات (3)، دیتی ہے

$$ P=1000 e^{\frac{t}{20}} $$

فرض کریں $t$ سال وہ وقت ہے جو اصل رقم کو دگنا کرنے کے لیے درکار ہے۔ پھر

$$ 2000=1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t=20 \log _{e} 2 $$

9.4.2 ہم جنس تفریقی مساواتیں

$x$ اور $y$ میں مندرجہ ذیل افعال پر غور کریں

$$ \begin{matrix} F_1(x, y)=y^{2}+2 x y, & F_2(x, y)=2 x-3 y, \\ F_3(x, y)=\cos (\frac{y}{x}), & F_4(x, y)=\sin x+\cos y \end{matrix} $$

اگر ہم اوپر دیے گئے افعال میں $x$ اور $y$ کو بالترتیب $\lambda x$ اور $\lambda y$ سے تبدیل کریں، کسی بھی غیر صفر ثابت $\lambda$ کے لیے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} & F_1(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{2}(y^{2}+2 x y)=\lambda^{2} F_1(x, y) \\ & F_2(\lambda x, \lambda y)=\lambda(2 x-3 y)=\lambda F_2(x, y) \\ & F_3(\lambda x, \lambda y)=\cos (\frac{\lambda y}{\lambda x})=\cos (\frac{y}{x})=\lambda^{0} \quad F_3(x, y) \\ & F_4(\lambda x, \lambda y)=\sin \lambda x+\cos \lambda y \neq \lambda^{n} F_4(x, y), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

یہاں، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ افعال $F_1, F_2, F_3$ کو شکل $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ میں لکھا جا سکتا ہے لیکن $F_4$ کو اس شکل میں نہیں لکھا جا سکتا۔ یہ مندرجہ ذیل تعریف کی طرف لے جاتا ہے:

ایک فنکشن $F(x, y)$ کو ڈگری $n$ کا ہم جنس فنکشن کہا جاتا ہے اگر $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ کسی بھی غیر صفر ثابت $\lambda$ کے لیے۔

ہم نوٹ کرتے ہیں کہ اوپر کی مثالوں میں، $F_1, F_2, F_3$ بالترتیب ڈگری 2، 1، 0 کے ہم جنس افعال ہیں لیکن $F_4$ ہم جنس فنکشن نہیں ہے۔

ہم یہ بھی مشاہدہ کرتے ہیں کہ

$ \begin{aligned} & \qquad F_1(x, y)=x^{2}(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2 y}{x})=x^{2} h_1(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_1(x, y)=y^{2}(1+\frac{2 x}{y})=y^{2} h_2(\frac{x}{y}) \\ & \text{or}\qquad F_2(x, y)=x^{1}(2-\frac{3 y}{x})=x^{1} h_3(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_2(x, y)=y^{1}(2 \frac{x}{y}-3)=y^{1} h_4(\frac{x}{y}) \\ & \qquad F_3(x, y)=x^{0} \cos (\frac{y}{x})=x^{0} h_5(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_4(x, y) \neq x^{n} h_6(\frac{y}{x}), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \\ & \qquad F_4(x, y) \neq y^{n} h_7(\frac{x}{y}), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

$$ \begin{aligned} & \text{or}\qquad\mathrm{F} _{4}(x, y) \neq x^{n} h _{6}\left(\frac{y}{x}\right), n \in \mathbf{N} \text { के किसी भी मान के लिए } \\ & \qquad \mathrm{F} _{4}(x, y) \neq y^{n} h _{7}\left(\frac{x}{y}\right), n \in \mathbf{N} \end{aligned} $$

اس لیے، ایک فنکشن $F(x, y)$ ڈگری $n$ کا ہم جنس فنکشن ہے اگر شکل $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ کی ایک تفریقی مساوات ہم جنس کہلاتی ہے اگر $F(x, y)$ ڈگری صفر کا ہم جنس فنکشن ہو۔

قسم کی ہم جنس تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے

$$ \mathrm{F}(x, y)=x^{n} g\left(\frac{y}{x}\right) \quad \text { or } \quad y^{n} h\left(\frac{x}{y}\right) $$

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y)=g\left(\frac{y}{x}\right) \tag{1} \end{equation*} $$

ہم متبادل $\qquad y=v \cdot x \tag{2}$ بناتے ہیں

مساوات (2) کو $x$ کے لحاظ سے تفریق کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{3} $$

$\frac{d y}{d x}$ کی قدر کو مساوات (3) سے مساوات (1) میں رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں یا

$$ v+x \frac{d v}{d x}=g(v) $$

$$ \begin{equation*} x \frac{d v}{d x}=g(v)-v \tag{4} \end{equation*} $$

مساوات (4) میں متغیرات کو الگ کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \frac{d v}{g(v)-v}=\frac{d x}{x} \tag{5} $$

مساوات (5) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \int \frac{d v}{g(v)-v}=\int \frac{1}{x} d x+C \tag{6} $$

مساوات (6) تفریقی مساوات (1) کا عمومی حل (قدیم) دیتی ہے جب ہم $v$ کو $\frac{y}{x}$ سے تبدیل کرتے ہیں۔

نوٹ اگر ہم جنس تفریقی مساوات شکل $\frac{d x}{d y}=F(x, y)$ میں ہے جہاں، $F(x, y)$ ڈگری صفر کا ہم جنس فنکشن ہے، تو ہم متبادل $\frac{x}{y}=v$ بناتے ہیں یعنی، $x=v y$ اور ہم عمومی حل تلاش کرنے کے لیے مزید آگے بڑھتے ہیں جیسا کہ اوپر $\frac{d x}{d y}=F(x, y)=h(\frac{x}{y})$ لکھ کر بحث کی گئی ہے۔

مثال 10 دکھائیں کہ تفریقی مساوات $(x-y) \frac{d y}{d x}=x+2 y$ ہم جنس ہے اور اسے حل کریں۔

حل دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{x-y} \tag{1} \end{equation*} $$

فرض کریں $$ \mathrm{F}(x, y)=\frac{x+2 y}{x-y} $$

اب $$ F(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda(x+2 y)}{\lambda(x-y)}=\lambda^{0} \cdot f(x, y) $$

اس لیے، $F(x, y)$ ڈگری صفر کا ہم جنس فنکشن ہے۔ تو، دی گئی تفریقی مساوات ایک ہم جنس تفریقی مساوات ہے۔

متبادل طور پر،

$$ \frac{d y}{d x}=(\frac{1+\frac{2 y}{x}}{1-\frac{y}{x}})=g(\frac{y}{x}) \tag{2} $$

تفریقی مساوات (2) کا دائیں طرف شکل $g(\frac{y}{x})$ کا ہے اور اس لیے یہ ڈگری صفر کا ہم جنس فنکشن ہے۔ اس لیے، مساوات (1) ایک ہم جنس تفریقی مساوات ہے۔ اسے حل کرنے کے لیے ہم متبادل بناتے ہیں

$$ y=v x \tag{3} $$

مساوات (3) کو، $x$ کے لحاظ سے تفریق کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{4} $$

$y$ اور $\frac{d y}{d x}$ کی قدر کو مساوات (1) میں رکھتے ہوئے ہم حاصل کرتے ہیں

$$ v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+2 v}{1-v} $$

$\text{ or }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{1+2 v}{1-v}-v $

$\text{ or }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}+v+1}{1-v} $

$\text{ or }\qquad \frac{v-1}{v^{2}+v+1} d v=\frac{-d x}{x} $

مساوات (5) کے دونوں اطراف کو تکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \int \frac{v-1}{v^{2}+v+1} d v=-\int \frac{d x}{x} $$

$$\text{ or }\qquad \frac{1}{2} \int \frac{2 v+1-3}{v^{2}+v+1} d v=-\log |x|+C_1 $$

$$\text{ or }\qquad \frac{1}{2} \int \frac{2 v+1}{v^{2}+v+1} d v-\frac{3}{2} \int \frac{1}{v^{2}+v+1} d v=-\log |x|+C_1 $$

$$ \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|-\frac{3}{2} \int \frac{1}{(v+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} d v=-\log |x|+C_1 $$

یا $ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|-\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}(\frac{2 v+1}{\sqrt{3}})=-\log |x|+C_1 \\ & \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|+\frac{1}{2} \log x^{2}=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 v+1}{\sqrt{3}})+C_1 \end{aligned} $

$v$ کو $\frac{y}{x}$ سے تبدیل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

یا $$ \frac{1}{2} \log |\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}+1|+\frac{1}{2} \log x^{2}=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+C_1 $$

$$ \frac{1}{2} \log |(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}+1) x^{2}|=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+C_1 $$

یا $$ \log |(y^{2}+x y+x^{2})|=2 \sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+2 C_1 $$

$$ \log |(x^{2}+x y+y^{2})|=2 \sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{x+2 y}{\sqrt{3} x})+C $$

جو تفریقی مساوات (1) کا عمومی حل ہے۔

مثال 11 دکھائیں کہ تفریقی مساوات $x \cos (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x}=y \cos (\frac{y}{x})+x$ ہم جنس ہے اور اسے حل کریں۔

حل دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{y \cos (\frac{y}{x})+x}{x \cos (\frac{y}{x})} \tag{1} $$

یہ شکل $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ کی ایک تفریقی مساوات ہے۔

یہاں $ F(x, y)=\frac{y \cos (\frac{y}{x})+x}{x \cos (\frac{y}{x})} $

$x$ کو $\lambda x$ سے اور $y$ کو $\lambda y$ سے تبدیل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ F(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda[y \cos (\frac{y}{x})+x]}{\lambda(x \cos \frac{y}{x})}=\lambda^{0}[F(x, y)] $

اس طرح، $F(x, y)$ ڈگری صفر کا ہم جنس فنکشن ہے۔اس لیے، دی گئی تفریقی مساوات ایک ہم جنس تفریقی مساوات ہے۔اسے حل کرنے کے لیے ہم متبادل بناتے ہیں

$$ y=v x \tag{2} $$

مساوات (2) کو $x$ کے لحاظ سے تفریق کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{3} $$

$y$ اور $\frac{d y}{d x}$ کی قدر کو مساوات (1) میں رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+1}{\cos v} $$

$$\text{ or }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+1}{\cos v}-v $$

$$\text{ or }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{1}{\cos v} $$

$$\text{ or }\qquad \cos v d v=\frac{d x}{x} $$

$$\text{ Therefore }\qquad \int \cos v d v=\int \frac{1}{x} d x $$

$\text{ or }\qquad \sin v=\log |x|+\log |\mathrm{C}| $ $ \sin v=\log |\mathrm{C} x| $

$v$ کو $\frac{y}{x}$ سے تبدیل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \sin (\frac{y}{x})=\log |C x| $$

جو تفریقی مساوات (1) کا عمومی حل ہے۔

مثال 12 دکھائیں کہ تفریقی مساوات $2 y e^{\frac{x}{y}} d x+(y-2 x e^{\frac{x}{y}}) d y=0$ ہم جنس ہے اور اس کا خاص حل تلاش کریں، جبکہ دیا گیا ہے کہ، $x=0$ جب $y=1$۔

حل دی گئی تفریقی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$$\text{ Let }\qquad \begin{equation*} \frac{d x}{d y}=\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \mathrm{F}(x, y)=\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} \text { तब } \mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda\left(2 x e^{\frac{x}{y}}-y\right)}{\lambda\left(2 y e^{\frac{x}{y}}\right)}=\lambda^{\circ}[\mathrm{F}(x, y)] $$

اس طرح، $F(x, y)$ ڈگری صفر کا ہم جنس فنکشن ہے۔

اس لیے، دی گئی تفریقی مساو