2.1 تعارف

باب 6 اور 8 (کلاس XI) میں، پوٹینشل انرجی کا تصور متعارف کرایا گیا تھا۔ جب کوئی بیرونی قوت کسی جسم کو کسی نقطے سے دوسرے نقطے تک لے جانے میں کام کرتی ہے، جیسے کہ سپرنگ فورس یا کشش ثقل کی قوت کے خلاف، تو وہ کام جسم کی پوٹینشل انرجی کی صورت میں ذخیرہ ہو جاتا ہے۔ جب بیرونی قوت ہٹا دی جاتی ہے، تو جسم حرکت کرتا ہے، حرکی توانائی حاصل کرتا ہے اور پوٹینشل انرجی کی ایک مسان مقدار کھو دیتا ہے۔ اس طرح حرکی اور پوٹینشل توانائیوں کا مجموعہ محفوظ رہتا ہے۔ اس قسم کی قوتوں کو کنزرویٹو فورسز کہا جاتا ہے۔ سپرنگ فورس اور کشش ثقل کی قوت کنزرویٹو فورسز کی مثالیں ہیں۔

دو (ساکن) چارجز کے درمیان کولمب فورس بھی ایک کنزرویٹو فورس ہے۔ یہ حیرت انگیز نہیں ہے، کیونکہ دونوں کا فاصلے پر الٹے مربع کا انحصار ہوتا ہے اور بنیادی طور پر تناسبی مستقلات میں فرق ہوتا ہے - کشش ثقل کے قانون میں کمیتوں کی جگہ کولمب کے قانون میں چارجز لے لیتے ہیں۔ اس طرح، کشش ثقل کے میدان میں کسی کمیت کی پوٹینشل انرجی کی طرح، ہم کسی چارج کی برقی ساکنیاتی میدان میں برقی ساکنیاتی پوٹینشل انرجی کی تعریف کر سکتے ہیں۔

کسی چارج ترتیب کے باعث ایک برقی ساکنیاتی میدان $\mathbf{E}$ پر غور کریں۔ سب سے پہلے، سادگی کے لیے، مبدا پر رکھے ہوئے چارج $Q$ کے باعث میدان $\mathbf{E}$ پر غور کریں۔ اب، تصور کریں کہ ہم ایک ٹیسٹ چارج $q$ کو نقطہ $\mathrm{R}$ سے نقطہ $\mathrm{P}$ تک لاتے ہیں، چارج $Q$ کی وجہ سے اس پر لگنے والی دھکیلنے والی قوت کے خلاف۔ شکل 2.1 کے حوالے سے، یہ اس وقت ہوگا اگر $Q$ اور $q$ دونوں مثبت ہوں یا دونوں منفی ہوں۔ قطعیت کے لیے، ہم $Q, q>0$ لیں گے۔

شکل 2.1 ایک ٹیسٹ چارج $q(>0)$ کو نقطہ $\mathrm{R}$ سے نقطہ $\mathrm{P}$ تک مبدا پر رکھے ہوئے چارج $Q(>0)$ کی طرف سے اس پر لگنے والی دھکیلنے والی قوت کے خلاف منتقل کیا جاتا ہے۔

یہاں دو تبصرے کیے جا سکتے ہیں۔ پہلا، ہم فرض کرتے ہیں کہ ٹیسٹ چارج $q$ اتنا چھوٹا ہے کہ یہ اصل ترتیب، یعنی مبدا پر چارج $Q$ کو خراب نہیں کرتا (یا پھر، ہم $Q$ کو کسی غیر متعینہ قوت سے مبدا پر مقرر رکھتے ہیں)۔ دوسرا، چارج $q$ کو $\mathrm{R}$ سے $\mathrm{P}$ تک لانے میں، ہم ایک بیرونی قوت $\mathbf{F_\text {ext }}$ اس قدر لگاتے ہیں جو برقی دھکیلنے والی قوت $\mathbf{F_\mathrm{E}}$ کا مقابلہ کر سکے (یعنی، $\mathbf{F_\mathrm{ext}}=-\mathbf{F_\mathrm{E}}$ )۔ اس کا مطلب ہے کہ جب چارج $q$ کو $\mathrm{R}$ سے $\mathrm{P}$ تک لایا جاتا ہے، تو اس پر کوئی خالص قوت یا اسراع نہیں ہوتا، یعنی اسے انتہائی آہستہ مستقل رفتار سے لایا جاتا ہے۔ اس صورت حال میں، بیرونی قوت کا کیا گیا کام برقی قوت کے کئے گئے کام کا منفی ہوتا ہے، اور چارج $q$ کی پوٹینشل انرجی کی صورت میں مکمل طور پر ذخیرہ ہو جاتا ہے۔ اگر $P$ پر پہنچنے پر بیرونی قوت ہٹا دی جاتی ہے، تو برقی قوت چارج کو $Q$ سے دور لے جائے گی - ذخیرہ شدہ توانائی (پوٹینشل انرجی) $\mathrm{P}$ پر چارج $q$ کو حرکی توانائی فراہم کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے اس طرح کہ حرکی اور پوٹینشل توانائیوں کا مجموعہ محفوظ رہے۔

اس طرح، چارج $q$ کو $\mathrm{R}$ سے $\mathrm{P}$ تک منتقل کرنے میں بیرونی قوتوں کا کیا گیا کام ہے

$$ \begin{align*} \mathrm{W_\mathrm{RP}} & =\int_{\mathrm{R^{\mathrm{P}}}} \mathbf{F_\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\ & =-\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \mathbf{F\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \tag{2.1} \end{align*} $$

یہ کیا گیا کام برقی ساکنیاتی دھکیلنے والی قوت کے خلاف ہے اور پوٹینشل انرجی کی صورت میں ذخیرہ ہو جاتا ہے۔

برقی میدان میں ہر نقطے پر، چارج $q$ والا ذرہ ایک مخصوص برقی ساکنیاتی پوٹینشل انرجی رکھتا ہے، یہ کیا گیا کام اس کی پوٹینشل انرجی کو اس مقدار سے بڑھا دیتا ہے جو نقاط $\mathrm{R}$ اور $\mathrm{P}$ کے درمیان پوٹینشل انرجی کے فرق کے برابر ہوتی ہے۔

اس طرح، پوٹینشل انرجی کا فرق

$$ \begin{equation*} \Delta U=U_{P}-U_{R}=W_{R P} \tag{2.2} \end{equation*} $$

(یہاں نوٹ کریں کہ یہ جابجا کرنا برقی قوت کے مخالف سمت میں ہے اور اس لیے برقی میدان کا کیا گیا کام منفی ہے، یعنی $-W_{R P}$۔)

لہٰذا، ہم دو نقاط کے درمیان برقی پوٹینشل انرجی کے فرق کو اس کام کے طور پر تعریف کر سکتے ہیں جو کسی بیرونی قوت کو چارج $q$ کو کسی ایک نقطے سے دوسرے نقطے تک (بغیر اسراع کے) منتقل کرنے کے لیے کسی بھی من مانی چارج ترتیب کے برقی میدان کے لیے کرنا پڑتا ہے۔

اس مرحلے پر دو اہم تبصرے کیے جا سکتے ہیں:

(i) مساوات (2.2) کا دائیں طرف صرف چارج کے ابتدائی اور حتمی مقامات پر منحصر ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ کسی برقی ساکنیاتی میدان کا چارج کو ایک نقطے سے دوسرے نقطے تک منتقل کرنے میں کیا گیا کام صرف ابتدائی اور حتمی نقاط پر منحصر ہوتا ہے اور ایک نقطے سے دوسرے تک جانے کے راستے سے آزاد ہوتا ہے۔ یہ کنزرویٹو فورس کی بنیادی خصوصیت ہے۔ پوٹینشل انرجی کا تصور معنی خیز نہیں ہوگا اگر کام راستے پر منحصر ہوتا۔ برقی ساکنیاتی میدان کے کئے گئے کام کی راستے سے آزادی کو کولمب کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ ہم یہ ثبوت یہاں چھوڑ دیتے ہیں۔

کاؤنٹ السیندرو وولٹا

(1745 – 1827) اطالوی طبیعیات دان، پاویا میں پروفیسر۔ وولٹا نے قائم کیا کہ لوئی گیلیوانی، 1737–1798، کے تجربات میں مینڈک کے پٹھوں کے بافتوں کو مختلف دھاتوں کے ساتھ رابطے میں رکھنے پر مشاہدہ کی گئی جانوروں کی بجلی کسی بھی غیر معمولی خصوصیت کی وجہ سے نہیں تھی۔ جانوروں کے بافتوں کی بلکہ اس وقت بھی پیدا ہوتی تھی جب کوئی بھی گیلا جسم مختلف دھاتوں کے درمیان رکھا جاتا تھا۔ اس نے انہیں پہلی وولٹیائی ڈھیر، یا بیٹری تیار کرنے پر آمادہ کیا، جس میں کارڈ بورڈ (الیکٹرولائٹ) کے گیلی ڈسکوں کا ایک بڑا ڈھیر دھاتوں (الیکٹروڈز) کی ڈسکوں کے درمیان رکھا جاتا تھا۔

(ii) مساوات (2.2) پوٹینشل انرجی کے فرق کی تعریف جسمانی طور پر معنی خیز مقدار کام کے لحاظ سے کرتی ہے۔ واضح ہے، اس طرح تعریف کردہ پوٹینشل انرجی ایک اضافی مستقل تک غیر متعین ہوتی ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ پوٹینشل انرجی کی اصل قدر جسمانی طور پر اہم نہیں ہے؛ یہ صرف پوٹینشل انرجی کا فرق ہے جو اہم ہے۔ ہم ہر نقطے پر پوٹینشل انرجی میں ایک من مانی مستقل $\alpha$ ہمیشہ شامل کر سکتے ہیں، کیونکہ اس سے پوٹینشل انرجی کا فرق نہیں بدلے گا:

$$ \left(U_{P}+\alpha\right)-\left(U_{R}+\alpha\right)=U_{P}-U_{R} $$

دوسرے لفظوں میں، اس نقطے کو منتخب کرنے میں آزادی ہے جہاں پوٹینشل انرجی صفر ہے۔ ایک آسان انتخاب لامحدودیت پر برقی ساکنیاتی پوٹینشل انرجی کو صفر رکھنا ہے۔ اس انتخاب کے ساتھ، اگر ہم نقطہ $\mathrm{R}$ کو لامحدودیت پر لیں، تو ہمیں مساوات (2.2) سے ملتا ہے

$$ \begin{equation*} W_{\infty P}=U_{P}-U_{\infty}=U_{P} \tag{2.3} \end{equation*} $$

چونکہ نقطہ $\mathrm{P}$ من مانی ہے، مساوات (2.3) ہمیں کسی بھی نقطے پر چارج $q$ کی پوٹینشل انرجی کی تعریف فراہم کرتی ہے۔ کسی نقطے پر چارج $q$ کی پوٹینشل انرجی (کسی بھی چارج ترتیب کے میدان کی موجودگی میں) وہ کام ہے جو بیرونی قوت (برقی قوت کے برابر اور مخالف) چارج $q$ کو لامحدودیت سے اس نقطے تک لانے میں کرتی ہے۔

2.2 برقی ساکنیاتی پوٹینشل

کسی بھی عمومی ساکن چارج ترتیب پر غور کریں۔ ہم ٹیسٹ چارج $q$ کی پوٹینشل انرجی کی تعریف چارج $q$ پر کئے گئے کام کے لحاظ سے کرتے ہیں۔ یہ کام واضح طور پر $q$ کے متناسب ہے، کیونکہ کسی بھی نقطے پر قوت $q \mathbf{E}$ ہے، جہاں $\mathbf{E}$ دیے گئے چارج ترتیب کے باعث اس نقطے پر برقی میدان ہے۔ لہٰذا، کام کو چارج $q$ کی مقدار سے تقسیم کرنا آسان ہے، تاکہ نتیجے میں آنے والی مقدار $q$ سے آزاد ہو۔ دوسرے الفاظ میں، یونٹ ٹیسٹ چارج پر کیا گیا کام چارج ترتیب سے وابستہ برقی میدان کی خصوصیت ہے۔ یہ دیے گئے چارج ترتیب کے باعث برقی ساکنیاتی پوٹینشل $V$ کے تصور کی طرف لے جاتا ہے۔ مساوات (2.1) سے، ہمیں ملتا ہے:

نقطہ $\mathrm{R}$ سے $\mathrm{P}$ تک یونٹ مثبت چارج لانے میں بیرونی قوت کا کیا گیا کام

$$ \begin{equation*} =V_{P}-V_{R} \quad=\frac{U_{P}-U_{R}}{q} \tag{2.4} \end{equation*} $$

جہاں $V_{P}$ اور $V_{R}$ بالترتیب $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{R}$ پر برقی ساکنیاتی پوٹینشلز ہیں۔ نوٹ کریں، جیسا کہ پہلے، یہ پوٹینشل کی اصل قدر نہیں بلکہ پوٹینشل کا فرق ہے جو جسمانی طور پر اہم ہے۔ اگر، جیسا کہ پہلے، ہم لامحدودیت پر پوٹینشل کو صفر منتخب کرتے ہیں، تو مساوات (2.4) کا مطلب ہے:

نقطہ $=$ پر برقی ساکنیاتی پوٹینشل $(V)$ لانے کے لیے لامحدودیت سے یونٹ مثبت چارج لانے میں بیرونی قوت کا کیا گیا کام۔

شکل 2.2 کسی بھی دی گئی چارج ترتیب کے باعث برقی ساکنیاتی میدان کی طرف سے ٹیسٹ چارج $q$ پر کیا گیا کام راستے سے آزاد ہے، اور صرف اس کے ابتدائی اور حتمی مقامات پر منحصر ہے۔

دوسرے الفاظ میں، برقی ساکنیاتی میدان والے خطے میں کسی بھی نقطے پر برقی ساکنیاتی پوٹینشل $(V)$ لامحدودیت سے اس نقطے تک یونٹ مثبت چارج (بغیر اسراع کے) لانے میں کیا گیا کام ہے۔

پوٹینشل انرجی کے بارے میں پہلے کیے گئے معیاری تبصرے پوٹینشل کی تعریف پر بھی لاگو ہوتے ہیں۔ یونٹ ٹیسٹ چارج پر کئے گئے کام کو حاصل کرنے کے لیے، ہمیں ایک لامحدود ٹیسٹ چارج $\delta q$ لینا چاہیے، اسے لامحدودیت سے نقطے تک لانے میں کئے گئے کام $\delta W$ کو حاصل کرنا چاہیے اور تناسب $\delta W / \delta q$ کا تعین کرنا چاہیے۔ نیز، راستے کے ہر نقطے پر بیرونی قوت اس نقطے پر ٹیسٹ چارج پر برقی ساکنیاتی قوت کے برابر اور مخالف ہونی چاہیے۔

2.3 پوائنٹ چارج کے باعث پوٹینشل

مبدا پر ایک پوائنٹ چارج $Q$ پر غور کریں (شکل 2.3)۔ قطعیت کے لیے، $Q$ کو مثبت لیں۔ ہم کسی بھی نقطہ $\mathrm{P}$ پر پوٹینشل کا تعین کرنا چاہتے ہیں جس کا پوزیشن ویکٹر مبدا سے $\mathbf{r}$ ہے۔ اس کے لیے ہمیں لامحدودیت سے نقطہ P تک یونٹ مثبت ٹیسٹ چارج لانے میں کئے گئے کام کا حساب لگانا ہوگا۔ $Q>0$ کے لیے، ٹیسٹ چارج پر دھکیلنے والی قوت کے خلاف کیا گیا کام مثبت ہے۔ چونکہ کیا گیا کام راستے سے آزاد ہے، ہم ایک آسان راستہ منتخب کرتے ہیں - لامحدودیت سے نقطہ $P$ تک شعاعی سمت کے ساتھ۔

شکل 2.3 چارج $Q(Q>0)$ کی دھکیلنے والی قوت کے خلاف، لامحدودیت سے نقطہ $\mathrm{P}$ تک یونٹ مثبت ٹیسٹ چارج لانے میں کیا گیا کام، چارج $Q$ کے باعث $\mathrm{P}$ پر پوٹینشل ہے۔

راستے پر کسی درمیانی نقطہ $\mathrm{P}^{\prime}$ پر، یونٹ مثبت چارج پر برقی ساکنیاتی قوت ہے $$ \begin{equation*} \frac{Q \times 1}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} \hat{\mathbf{r}}^{\prime} \tag{2.5} \end{equation*} $$

جہاں $\hat{\mathbf{r^\prime}}$ ویکٹر $\mathrm{OP^\prime}$ کے ساتھ یونٹ ویکٹر ہے۔ $\mathbf{r^\prime}$ سے $\mathbf{r^\prime}+\Delta \mathbf{r^\prime}$ تک اس قوت کے خلاف کیا گیا کام ہے

$$ \begin{equation*} \Delta W=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{\prime 2}} \Delta r^{\prime} \tag{2.6} \end{equation*} $$

منفی علامت اس لیے ظاہر ہوتی ہے کیونکہ $\Delta r^{\prime}<0, \Delta W$ کے لیے مثبت ہے۔ بیرونی قوت کا کل کیا گیا کام (W) مساوات (2.6) کو $r^{\prime}=\infty$ سے $r^{\prime}=r$ تک تکامل کرکے حاصل کیا جاتا ہے،

$$ \begin{equation*} W=-\int _{\infty}^{r} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} d r^{\prime}=\left.\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime}}\right| _{\infty} ^{r}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r} \tag{2.7} \end{equation*} $$

یہ، تعریف کے مطابق، چارج $Q$ کے باعث $\mathrm{P}$ پر پوٹینشل ہے

$$ \begin{equation*} V(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{0} r} \tag{2.8} \end{equation*} $$

مساوات (2.8) چارج $Q$ کی کسی بھی علامت کے لیے سچ ہے، حالانکہ ہم نے اس کی اخذ میں $Q>0$ پر غور کیا تھا۔ $Q<0, V<0$ کے لیے، یعنی، لامحدودیت سے نقطہ تک لانے میں یونٹ مثبت ٹیسٹ چارج پر (بیرونی قوت کی طرف سے) کیا گیا کام منفی ہے۔ یہ یہ کہنے کے مترادف ہے کہ یونٹ مثبت چارج کو لامحدودیت سے نقطہ $\mathrm{P}$ تک لانے میں برقی ساکنیاتی قوت کا کیا گیا کام مثبت ہے۔ [یہ جیسا ہونا چاہیے، کیونکہ $Q<0$ کے لیے، یونٹ مثبت ٹیسٹ چارج پر قوت کشش ہے، تاکہ برقی ساکنیاتی قوت اور جابجائی (لامحدودیت سے P تک) ایک ہی سمت میں ہوں۔] آخر میں، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ مساوات (2.8) اس انتخاب کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے کہ لامحدودیت پر پوٹینشل صفر ہو۔

شکل 2.4 پوائنٹ چارج $Q$ کے لیے پوٹینشل $V$ کا $r$ کے ساتھ تغیر [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-1}$ کے اکائیوں میں] (نیلا منحنی) اور میدان کا $r$ کے ساتھ تغیر [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-2}$ کے اکائیوں میں] (سیاہ منحنی)۔

شکل (2.4) دکھاتی ہے کہ برقی ساکنیاتی پوٹینشل $(\propto 1 / r)$ اور برقی ساکنیاتی میدان $\left(\propto 1 / r^{2}\right).$ $r$ کے ساتھ کیسے بدلتا ہے۔

مثال 2.1

(a) نقطہ $\mathrm{P}$ پر پوٹینشل کا حساب لگائیں جو $4 \times 10^{-7} \mathrm{C}$ کے چارج کے باعث ہے جو $9 \mathrm{~cm}$ دور واقع ہے۔

(b) اس طرح نقطہ P تک لامحدودیت سے $2 \times 10^{-9} \mathrm{C}$ کا چارج لانے میں کئے گئے کام کو حاصل کریں۔ کیا جواب اس راستے پر منحصر ہے جس کے ساتھ چارج لایا جاتا ہے؟

حل

(a) $V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}=9 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{C}^{-2} \times \frac{4 \times 10^{-7} \mathrm{C}}{0.09 \mathrm{~m}}$

$$ =4 \times 10^{4} \mathrm{~V} $$

(b) $W=q V=2 \times 10^{-9} \mathrm{C} \times 4 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

$$ =8 \times 10^{-5} \mathrm{~J} $$

نہیں، کیا گیا کام راستے سے آزاد ہوگا۔ کوئی بھی من مانی لامحدود راستہ دو عمودی جابجائیوں میں حل کیا جا سکتا ہے: ایک $\mathbf{r}$ کے ساتھ اور دوسرا $\mathbf{r}$ کے عمودی۔ بعد والے کے مطابق کیا گیا کام صفر ہوگا۔

2.4 برقی دو قطبی کے باعث پوٹینشل

جیسا کہ ہم نے پچھلے باب میں سیکھا، ایک برقی دو قطبی دو چارجز $q$ اور $-q$ پر مشتمل ہوتا ہے جو ایک (چھوٹے) فاصلے $2 a$ سے جدا ہوتے ہیں۔ اس کا کل چارج صفر ہے۔ اس کی خصوصیت ایک دو قطبی مومنٹ ویکٹر $\mathbf{p}$ سے ہوتی ہے جس کا قدر $q \times 2 a$ ہے اور جو سمت $-q$ سے $q$ کی طرف اشارہ کرتا ہے (شکل 2.5)۔ ہم نے یہ بھی دیکھا کہ پوزیشن ویکٹر $\mathbf{r}$ والے نقطے پر دو قطبی کا برقی میدان صرف قدر $r$ پر ہی نہیں، بلکہ $\mathbf{r}$ اور $\mathbf{p}$ کے درمیان زاویے پر بھی منحصر ہوتا ہے۔ مزید، میدان، بڑے فاصلے پر، $1 / r^2$ (کسی ایک چارج کے باعث میدان کی عام خصوصیت) کے طور پر نہیں بلکہ $1 / r^3$ کے طور پر کم ہوتا ہے۔ ہم، اب، ایک دو قطبی کے باعث برقی پوٹینشل کا تعین کرتے ہیں اور اس کا موازنہ ایک چارج کے باعث پوٹینشل سے کرتے ہیں۔

جیسا کہ پہلے، ہم دو قطبی کے مرکز پر مبدا لیتے ہیں۔ اب ہم جانتے ہیں کہ برقی میدان سپرپوزیشن اصول کی پابندی کرتا ہے۔ چونکہ پوٹینشل میدان کے کئے گئے کام سے متعلق ہے، برقی ساکنیاتی پوٹینشل بھی سپرپوزیشن اصول کی پیروی کرتا ہے۔ اس طرح، دو قطبی کے باعث پوٹینشل چارجز $q$ اور $-q$ کے باعث پوٹینشلز کا مجموعہ ہے

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon _{o}}\left(\frac{q}{r _{1}}-\frac{q}{r _{2}}\right) \tag{2.9} \end{equation*} $$

شکل 2.5 دو قطبی کے باعث پوٹینشل کے حساب میں شامل مقداریں۔

جہاں $r_1$ اور $r_2$ بالترتیب نقطہ $\mathrm{P}$ کی $q$ اور $-q$ سے دوریاں ہیں۔اب، جیومیٹری کے مطابق،

$$ \begin{align*} & r_{1}^{2}=r^{2}+a^{2}-2 a r \cos \theta \\ & r_{2}^{2}=r^{2}+a^{2}+2 a r \cos \theta \tag{2.10} \end{align*} $$

ہم $r$ کو $a(r»a)$ سے بہت زیادہ بڑا لیتے ہیں اور صرف $a / r$ میں پہلی ترتیب تک کی اصطلاحات برقرار رکھتے ہیں

$$ \begin{align*} & r_{1}^{2}=r^{2} \quad 1-\frac{2 a \cos \theta}{r}+\frac{a^{2}}{r^{2}} \\ & \cong r^{2} \quad 1-\frac{2 a \cos \theta}{r} \tag{2.11} \end{align*} $$

اسی طرح،

$$ \begin{equation*} r_{2}^{2} \cong r^{2} \quad 1+\frac{2 a \cos \theta}{r} \tag{2.12} \end{equation*} $$

بائنومیئل تھیورم کا استعمال کرتے ہوئے اور $a / r$ میں پہلی ترتیب تک کی اصطلاحات برقرار رکھتے ہوئے؛ ہم حاصل کرتے ہیں،

$\frac{1}{r_{1}} \cong \frac{1}{r}^{r} 1-\frac{2 a \cos \theta}{-1 / 2}^{\frac{1}{r}} 1+\frac{a}{r} \cos \theta$

$\frac{1}{r_{2}} \cong \frac{1}{r} 1+\frac{2 a \cos \theta}{r}^{-1 / 2} \cong \frac{1}{r} 1-\frac{a}{r} \cos \theta$

مساوات (2.9) اور (2.13) اور $p=2 q a$ کا استعمال کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

$V=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 a \cos \theta}{r^{2}}=\frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$

اب، $p \cos \theta=\mathbf{p} . \hat{\mathbf{r}}$ جہاں $\hat{\mathbf{r}}$ پوزیشن ویکٹر $\mathbf{O P}$ کے ساتھ یونٹ ویکٹر ہے۔

ایک دو قطبی کا برقی پوٹینشل پھر دیا جاتا ہے

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} ; \quad(r»a) \tag{2.15} \end{equation*} $$

مساوات (2.15)، جیسا کہ اشارہ کیا گیا ہے، صرف ان دوریوں کے لیے تقریباً سچ ہے جو دو قطبی کے سائز کے مقابلے میں بڑی ہیں، تاکہ $a / r$ میں اعلیٰ ترتیب کی اصطلاحات نہ ہونے کے برابر ہوں۔ نقطہ دو قطبی $\mathbf{p}$ کے لیے مبدا پر، مساوات (2.15)، تاہم، عین ہے۔

مساوات (2.15) سے، دو قطبی محور $(\theta=0, \pi)$ پر پوٹینشل دیا جاتا ہے

$$ \begin{equation*} V= \pm \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p}{r^{2}} \tag{2.16} \end{equation*} $$

($\theta=0$ کے لیے مثبت علامت، $\theta=\pi$ کے لیے منفی علامت۔) استوائی مستوی $(\theta=\pi / 2)$ میں پوٹینشل صفر ہے۔

ایک دو قطبی کے برقی پوٹینشل کی ایک چارج کے باعث پوٹینشل سے اہم متضاد خصوصیات مساوات (2.8) اور (2.15) سے واضح ہیں:

(i) دو قطبی کے باعث پوٹینشل صرف $r$ پر ہی نہیں بلکہ پوزیشن ویکٹر $\mathbf{r}$ اور دو قطبی مومنٹ ویکٹر $\mathbf{p}$ کے درمیان زاویے پر بھی منحصر ہوتا ہے۔ (یہ، تاہم، $\mathbf{p}$ کے بارے میں محوری طور پر متناظر ہے۔ یعنی، اگر آپ پوزیشن ویکٹر $\mathbf{r}$ کو $\mathbf{p}$ کے گرد گھماتے ہیں، $\theta$ کو مقرر رکھتے ہوئے، اس طرح بنائے گئے مخروط پر $\mathrm{P}$ کے مطابق نقاط کا پوٹینشل P پر پوٹینشل کے برابر ہوگا۔)

(ii) برقی دو قطبی پوٹینشل، بڑے فاصلے پر، $1 / r^{2}$ کے طور پر کم ہوتا ہے، نہ کہ $1 / r$ کے طور پر، جو ایک چارج کے باعث پوٹینشل کی خصوصیت ہے۔ (آپ $1 / r^{2}$ بمقابلہ $\mathrm{r}$ اور $1 / r$ بمقابلہ $r$ کے گرافوں کے لیے شکل 2.5 کا حوالہ دے سکتے ہیں، جو وہاں کسی اور سیاق و سباق میں کھینچے گئے ہیں۔)

2.5 چارجز کے نظام کے باعث پوٹینشل

چارجز کے ایک نظام $q_1, q_2, \ldots, q_{\mathrm{n}}$ پر غور کریں جن کے پوزیشن ویکٹر کسی مبدا کے نسبت $\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, \ldots$، $\mathbf{r_\mathrm{n}}$ ہیں (شکل 2.6)۔ چارج $q_1$ کے باعث $\mathrm{P}$ پر پوٹینشل $V_1$ ہے

$$ V_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{1 \mathrm{P}}} $$

جہاں $r_{1 \mathrm{P}}$ $q_{1}$ اور $\mathrm{P}$ کے درمیان فاصلہ ہے۔ اسی طرح، چارج $q_{2}$ کے باعث $\mathrm{P}$ پر پوٹینشل $V_{2}$ اور چارج $q_{3}$ کے باعث $V_{3}$ دیے جاتے ہیں

$$ V_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r_{2 \mathrm{P}}}, V_{3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{3}}{r_{3 \mathrm{P}}} $$

جہاں $r_{2 \mathrm{P}}$ اور $r_{3 \mathrm{P}}$ بالترتیب چارجز $q_{2}$ اور $q_{3}$ سے $\mathrm{P}$ کی دوریاں ہیں؛ اور دیگر چارجز کے باعث پوٹینشل کے لیے اسی طرح۔ سپرپوزیشن اصول کے ذریعے، کل چارج ترتیب کے باعث $\mathrm{P}$ پر پوٹینشل $V$ انفرادی چارجز کے باعث پوٹینشلز کا الجبری مجموعہ ہے

$$ \begin{equation*} \stackrel{V}{V}=V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{\mathrm{n}} \tag{2.17} \end{equation*} $$

شکل 2.6 چارجز کے نظام کے باعث کسی نقطے پر پوٹینشل انفرادی چارجز کے باعث پوٹینشلز کا مجموعہ ہے۔

$$ =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_{1 \mathrm{P}}}+\frac{q_2}{r_{2 \mathrm{P}}}+\ldots \ldots+\frac{q_n}{r_{n \mathrm{P}}}\right)\tag{18} $$

اگر ہمارے پاس چارج کثافت $\rho(\mathbf{r})$ کی خصوصیت والا ایک مسلسل چارج تقسیم ہے، تو ہم اسے، پہلے کی طرح، چھوٹے حجمی عناصر میں تقسیم کرتے ہیں جن میں سے ہر کا سائز $\Delta v$ ہے اور چارج $\rho \Delta v$ اٹھاتا ہے۔ پھر ہم ہر حجمی عنصر کے باعث پوٹینشل کا تعین کرتے ہیں اور ایسے تمام حصوں پر جمع کرتے ہیں (سختی سے کہا جائے تو، تکامل کرتے ہیں)، اور اس طرح پورے تقسیم کے باعث پوٹینشل کا تعین کرتے ہیں۔

ہم نے باب 1 میں دیکھا تھا کہ یکساں چارج شدہ کروی خول کے لیے، خول کے باہر برقی میدان ایسا ہے جیسا کہ پورا چارج مرکز پر مرتکز ہو۔ اس طرح، خول کے باہر پوٹینشل دیا جاتا ہے

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r} \quad(r \geq R) \tag{19a} \end{equation*} $$

جہاں $q$ خول پر کل چارج ہے اور $R$ اس کی رداس ہے۔ خول کے اندر برقی میدان صفر ہے۔ اس کا مطلب ہے (سیکشن 2.6) کہ خول کے اندر پوٹینشل مستقل ہے (کیونکہ خول کے اندر چارج منتقل کرنے میں کوئی کام نہیں کیا جاتا)، اور، اس لیے، سطح پر اس کی قدر کے برابر ہے، جو ہے

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R} \tag{19b} \end{equation*} $$

مثال 2.2 دو چارجز $3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$ اور $-2 \times 10^{-8} \mathrm{C}$ $15 \mathrm{~cm}$ کے فاصلے پر واقع ہیں۔ دو چارجز کو ملانے والی لکیر پر کس نقطے پر برقی پوٹینشل صفر ہے؟ لامحدودیت پر پوٹینشل کو صفر لیں۔

حل ہم مثبت چارج کے مقام پر مبدا $\mathrm{O}$ لیتے ہیں۔ دو چارجز کو ملانے والی لکیر کو $x$-محور لیا جاتا ہے؛ منفی چارج کو مبدا کے دائیں طرف لیا جاتا ہے (شکل 2.7)۔

شکل 2.7

$\mathrm{P}$ کو $x$-محور پر مطلوبہ نقطہ ہونے دیں جہاں پوٹینشل صفر ہے۔ اگر $x$ نقطہ $\mathrm{P}$ کا $x$-نردمید ہے، تو واضح طور پر $x$ مثبت ہونا چاہیے۔ ($x<0$ کے لیے دو چارجز کے باعث پوٹینشلز کے جمع ہو کر صفر ہونے کا کوئی امکان نہیں ہے۔) اگر $x$ $\mathrm{O}$ اور $\mathrm{A}$ کے درمیان واقع ہے، تو ہمارے پاس ہے

$$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \quad \frac{3 \times 10^{-8}}{x \times 10^{-2}}-\frac{2 \times 10^{-8}}{(15-x) \times 10^{-2}}=0$$

جہاں $x$ $\mathrm{cm}$ میں ہے۔ یعنی،

$$ \frac{3}{x}-\frac{2}{15-x}=0 $$

جو $x=9 \mathrm{~cm}$ دیتا ہے۔

اگر $x$ توسیعی لکیر OA پر واقع ہے، تو مطلوبہ شرط ہے

$\frac{3}{x}-\frac{2}{x-15}=0$ جو دیتی ہے

$x=45 \mathrm{~cm}$

اس طرح، برقی پوٹینشل $9 \mathrm{~cm}$ پر صفر ہے اور مثبت چارج سے منفی چارج کی طرف $45 \mathrm{~cm}$ دور ہے۔ نوٹ کریں کہ حساب میں استعمال ہونے والے پوٹینشل کے فارمولے کے لیے لامحدودیت پر پوٹینشل کو صفر منتخب کرنے کی ضرورت تھی۔

مثال 2.3 شکلیں 2.8 (a) اور (b) بالترتیب مثبت اور منفی پوائنٹ چارج کے میدان لائنز دکھاتی ہیں۔

شکل 2.8

(a) پوٹینشل فرق $V_{\mathrm{P}}-V_{\mathrm{Q}} ; V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}}$ کی علامتیں دیں۔

(b) نقاط $\mathrm{Q}$ اور $\mathrm{P} ; \mathrm{A}$ اور $\mathrm{B}$ کے درمیان ایک چھوٹے منفی چارج کی پوٹینشل انرجی فرق کی علامت دیں۔

(c) چھوٹے مثبت چارج کو $Q$ سے $P$ تک منتقل کرنے میں میدان کے کئے گئے کام کی