3.1 تعارف

باب 1 میں، تمام بارات خواہ آزاد ہوں یا مقید، ساکن سمجھے گئے تھے۔ حرکت میں بارات برقی رو تشکیل دیتے ہیں۔ ایسی روئیں قدرتی طور پر بہت سے حالات میں واقع ہوتی ہیں۔ بجلی کا کڑکا ایک ایسا ہی مظہر ہے جس میں بارات بادلوں سے زمین کی طرف فضا کے ذریعے بہتی ہیں، بعض اوقات تباہ کن نتائج کے ساتھ۔ بجلی کے کڑکے میں بارات کا بہاؤ مستقل نہیں ہوتا، لیکن ہماری روزمرہ کی زندگی میں ہم بہت سے آلات دیکھتے ہیں جہاں بارات ایک مستقل انداز میں بہتی ہیں، جیسے دریا میں پانی ہمواری سے بہتا ہے۔ ٹارچ اور سیل سے چلنے والی گھڑی ایسے آلات کی مثالیں ہیں۔ موجودہ باب میں، ہم مستقل برقی روؤں سے متعلق کچھ بنیادی قوانین کا مطالعہ کریں گے۔

3.2 برقی رو

تصور کریں ایک چھوٹا رقبہ جو بارات کے بہاؤ کی سمت کے عموداً رکھا گیا ہو۔ مثبت اور منفی دونوں قسم کے بارات اس رقبے کے پار آگے اور پیچھے کی طرف بہہ سکتے ہیں۔ ایک دیے گئے وقت کے وقفہ $t$ میں، فرض کریں $q_{+}$ مثبت بار کی خالص مقدار (یعنی، آگے مائنس پیچھے) ہو جو آگے کی سمت میں اس رقبے کے پار بہتی ہے۔ اسی طرح، فرض کریں $q_{-}$ منفی بار کی خالص مقدار ہو جو آگے کی سمت میں اس رقبے کے پار بہتی ہے۔ پھر، وقت کے وقفہ $t$ میں آگے کی سمت میں اس رقبے کے پار بہنے والے بار کی خالص مقدار $q=q_{+}-q_{-}$ ہے۔ یہ مستقل رو کے لیے $t$ کے متناسب ہے اور حاصل تقسیم

$$ \begin{equation*} I=\frac{q}{t} \tag{3.1} \end{equation*} $$

کو آگے کی سمت میں اس رقبے کے پار رو قرار دیا جاتا ہے۔ (اگر یہ ایک منفی عدد نکلے، تو اس کا مطلب پیچھے کی سمت میں رو ہے۔)

روئیں ہمیشہ مستقل نہیں ہوتیں اور اس لیے زیادہ عام طور پر، ہم رو کی تعریف اس طرح کرتے ہیں۔ فرض کریں $\Delta Q$ وقت کے وقفہ $\Delta t [$ کے دوران ایک موصل کے کراس سیکشن کے پار بہنے والا خالص بار ہو، یعنی، اوقات $t$ اور $(t+\Delta t)]$ کے درمیان۔ پھر، وقت $t$ پر موصل کے کراس سیکشن کے پار رو کو $\Delta Q$ اور $\Delta t$ کے تناسب کی حدی قدر کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے جب $\Delta t$ صفر کی طرف رجوع کرے،

$$ \begin{equation*} I(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t} \tag{3.2} \end{equation*} $$

ایس آئی اکائیوں میں، رو کی اکائی ایمپیئر ہے۔ ایک ایمپیئر کو روؤں کے مقناطیسی اثرات کے ذریعے تعریف کیا جاتا ہے جن کا ہم اگلے باب میں مطالعہ کریں گے۔ ایک ایمپیئر عام طور پر گھریلو آلات میں روؤں کے احاطہ کا درجہ رکھتا ہے۔ ایک اوسط بجلی کا کڑکا دسیوں ہزاروں ایمپیئر کے درجے کی روئیں لے جاتا ہے اور دوسرے انتہائی سرے پر، ہماری اعصاب میں روئیں مائیکرو ایمپیئر میں ہوتی ہیں۔

3.3 موصلوں میں برقی روئیں

ایک برقی بار پر قوت محسوس ہوگی اگر برقی میدان لگایا جائے۔ اگر یہ حرکت کرنے کے لیے آزاد ہو، تو یہ اس طرح حرکت کرے گا جس سے رو میں حصہ ملے گا۔ فطرت میں، آزاد باردار ذرات موجود ہیں جیسے فضا کے بالائی طبقوں میں جو آئنوسفیئر کہلاتا ہے۔ تاہم، ایٹموں اور مالیکیولز میں، منفی چارج شدہ الیکٹران اور مثبت چارج شدہ مرکزے ایک دوسرے سے بندھے ہوتے ہیں اور اس طرح حرکت کرنے کے لیے آزاد نہیں ہوتے۔ بڑے پیمانے پر مادہ بہت سے مالیکیولز سے بنا ہوتا ہے، مثال کے طور پر پانی کا ایک گرام تقریباً $10^{22}$ مالیکیولز پر مشتمل ہوتا ہے۔ یہ مالیکیولز اتنے قریب سے جڑے ہوتے ہیں کہ الیکٹران اب انفرادی مرکزوں سے منسلک نہیں رہتے۔ کچھ مواد میں، الیکٹران اب بھی بندھے رہیں گے، یعنی، وہ تیز رفتاری حاصل نہیں کریں گے چاہے برقی میدان لگایا جائے۔ دوسرے مواد میں، خاص طور پر دھاتوں میں، کچھ الیکٹران عملی طور پر بڑے پیمانے کے مواد کے اندر حرکت کرنے کے لیے آزاد ہوتے ہیں۔ یہ مواد، جنہیں عام طور پر موصل کہا جاتا ہے، ان میں برقی روئیں پیدا ہوتی ہیں جب برقی میدان لگایا جاتا ہے۔

اگر ہم ٹھوس موصلوں پر غور کریں، تو بلاشبہ ایٹم ایک دوسرے سے مضبوطی سے بندھے ہوتے ہیں تاکہ رو منفی چارج شدہ الیکٹران کے ذریعے منتقل ہو۔ تاہم، دیگر قسم کے موصل بھی ہیں جیسے برق پاش محلول جہاں مثبت اور منفی بار دونوں حرکت کر سکتے ہیں۔ ہماری بحثوں میں، ہم صرف ٹھوس موصلوں پر توجہ مرکوز کریں گے تاکہ رو مثبت آئنوں کے پس منظر میں منفی چارج شدہ الیکٹران کے ذریعے منتقل ہو۔

پہلے اس صورت پر غور کریں جب کوئی برقی میدان موجود نہ ہو۔ الیکٹران حرارتی حرکت کی وجہ سے حرکت کر رہے ہوں گے جس کے دوران وہ مقررہ آئنوں سے ٹکراتے ہیں۔ ایک الیکٹران جو کسی آئن سے ٹکراتا ہے، ٹکراؤ سے پہلے والی رفتار کے ساتھ ہی نکلتا ہے۔ تاہم، ٹکراؤ کے بعد اس کے سمتار کی سمت مکمل طور پر بے ترتیب ہوتی ہے۔ کسی دیے گئے وقت پر، الیکٹران کے سمتاروں کے لیے کوئی ترجیحی سمت نہیں ہوتی۔ اس طرح اوسطاً، کسی بھی سمت میں سفر کرنے والے الیکٹران کی تعداد مخالف سمت میں سفر کرنے والے الیکٹران کی تعداد کے برابر ہوگی۔ لہٰذا، کوئی خالص برقی رو نہیں ہوگی۔

آئیے اب دیکھتے ہیں کہ اگر برقی میدان لگایا جائے تو ایسے موصل کے ٹکڑے کے ساتھ کیا ہوتا ہے۔ اپنی سوچوں کو مرکوز کرنے کے لیے، موصل کو رداس $R$ کے ایک سلنڈر کی شکل میں تصور کریں (شکل 3.1)۔ فرض کریں کہ ہم اب ایک ہی رداس کے ڈائی الیکٹرک کی دو پتلی گول ڈسکیں لیتے ہیں اور ایک ڈسک پر مثبت بار $+Q$ تقسیم کرتے ہیں اور اسی طرح دوسری ڈسک پر $-Q$۔ ہم دونوں ڈسکوں کو سلنڈر کی دو چپٹی سطحوں پر لگاتے ہیں۔ ایک برقی میدان پیدا ہوگا اور یہ مثبت سے منفی بار کی طرف ہدایت یافتہ ہوگا۔ الیکٹران اس میدان کی وجہ سے $+Q$ کی طرف تیز رفتاری حاصل کریں گے۔ وہ اس طرح بارات کو غیر جانبدار کرنے کے لیے حرکت کریں گے۔ الیکٹران، جب تک وہ حرکت کر رہے ہوں گے، ایک برقی رو تشکیل دیں گے۔ لہٰذا زیر غور صورت حال میں، بہت تھوڑے وقت کے لیے رو ہوگی اور اس کے بعد کوئی رو نہیں ہوگی۔

شکل 3.1 بارات $+Q$ اور $-Q$ ایک دھاتی سلنڈر کے سروں پر رکھے گئے ہیں۔ الیکٹران بارات کو غیر جانبدار کرنے کے لیے بنائے گئے برقی میدان کی وجہ سے بہہ جائیں گے۔ اس طرح رو کچھ دیر بعد رک جائے گی جب تک کہ بارات $+Q$ اور $-Q$ کو مسلسل بحال نہ کیا جائے۔

ہم ایک میکانیزم کا بھی تصور کر سکتے ہیں جہاں سلنڈر کے سروں کو تازہ بارات فراہم کیے جاتے ہیں تاکہ موصل کے اندر حرکت کرنے والے الیکٹران کے ذریعے غیر جانبدار ہونے والے کسی بھی بار کی تلافی ہو سکے۔ اس صورت میں، موصل کے جسم میں ایک مستقل برقی میدان ہوگا۔ اس کے نتیجے میں ایک مسلسل رو ہوگی بجائے ایک مختصر وقت کے لیے رو کے۔ وہ میکانیزمات جو ایک مستقل برقی میدان برقرار رکھتے ہیں، سیل یا بیٹریاں ہیں جن کا ہم اس باب میں بعد میں مطالعہ کریں گے۔ اگلے حصوں میں، ہم مستقل رو کا مطالعہ کریں گے جو موصلوں میں مستقل برقی میدان کے نتیجے میں پیدا ہوتی ہے۔

3.4 اوہم کا قانون

شکل 3.2 لمبائی $l$ اور کراس سیکشن کے رقبہ A والی مستطیل سلاب کے لیے رشتہ $\mathrm{R}=\rho \mathrm{l} / \mathrm{A}$ کی وضاحت کرتی ہے۔

روؤں کے بہاؤ سے متعلق ایک بنیادی قانون جی ایس اوہم نے 1828 میں دریافت کیا تھا، اس سے بہت پہلے کہ روؤں کے بہاؤ کے لیے ذمہ دار جسمانی میکانیزم دریافت ہوا۔ ایک موصل کا تصور کریں جس کے ذریعے ایک رو $I$ بہہ رہی ہے اور فرض کریں $V$ موصل کے سروں کے درمیان ممکنہ فرق ہو۔ پھر اوہم کا قانون کہتا ہے کہ

$$ \begin{align*} V & \propto I \\ \text { or, } V & =R I \tag{3.3} \end{align*} $$

جہاں تناسب کا مستقل $R$ کو موصل کی مزاحمت کہا جاتا ہے۔ مزاحمت کی ایس آئی اکائی اوہم ہے، اور اسے علامت $\Omega$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مزاحمت $R$ نہ صرف موصل کے مادے پر بلکہ موصل کے طول و عرض پر بھی منحصر ہے۔ $R$ کا موصل کے طول و عرض پر انحصار آسانی سے مندرجہ ذیل طور پر معلوم کیا جا سکتا ہے۔

جارج سائمن اوہم (1787– 1854) جرمن طبیعیات دان، میونخ میں پروفیسر۔ اوہم حرارت کی ترسیل کے ایک قیاس کے ذریعے اپنے قانون کی طرف رہنمائی ہوئے: برقی میدان درجہ حرارت کے میلان کے مشابہ ہے، اور برقی رو حرارت کے بہاؤ کے مشابہ ہے۔

اس موصل پر غور کریں جو مساوات (3.3) کو پورا کرتا ہے اور لمبائی $l$ اور کراس سیکشنل رقبہ $A$ کی سلاب کی شکل میں ہے [شکل 3.2(a)]۔ تصور کریں کہ دو ایسی ہی یکساں سلابوں کو ایک دوسرے کے ساتھ رکھا گیا ہے [شکل 3.2(b)]، تاکہ مجموعہ کی لمبائی $2 l$ ہو۔ مجموعہ کے ذریعے بہنے والی رو یا تو سلابوں میں سے کسی ایک کے ذریعے بہنے والی رو کے برابر ہے۔ اگر $V$ پہلی سلاب کے سروں کے پار ممکنہ فرق ہے، تو $V$ دوسری سلاب کے سروں کے پار ممکنہ فرق بھی ہے کیونکہ دوسری سلاب پہلی کے مشابہ ہے اور دونوں میں ایک ہی رو I بہتی ہے۔ مجموعہ کے سروں کے پار ممکنہ فرق واضح طور پر دو انفرادی سلابوں کے پار ممکنہ فرق کا مجموعہ ہے اور اس لیے $2 V$ کے برابر ہے۔ مجموعہ کے ذریعے رو $I$ ہے اور مجموعہ کی مزاحمت $R_{\mathrm{C}}$ ہے [مساوات (3.3) سے]،

$$ \begin{equation*} R_{C}=\frac{2 V}{I}=2 R \tag{3.4} \end{equation*} $$

کیونکہ $V / I=R$، یا تو سلاب کی مزاحمت ہے۔ اس طرح، موصل کی لمبائی کو دوگنا کرنا مزاحمت کو دوگنا کر دیتا ہے۔ عام طور پر، پھر مزاحمت لمبائی کے متناسب ہے،

$$ \begin{equation*} R \propto l \tag{3.5} \end{equation*} $$

اگلا، تصور کریں کہ سلاب کو لمبائی کے رخ کاٹ کر دو حصوں میں تقسیم کیا جاتا ہے تاکہ سلاب کو لمبائی $l$ کی دو یکساں سلابوں کے مجموعے کے طور پر سمجھا جا سکے، لیکن ہر ایک کا کراس سیکشنل رقبہ $A / 2$ ہو [شکل 3.2(c)]۔

سلاب کے پار ایک دیے گئے وولٹیج $V$ کے لیے، اگر $I$ پوری سلاب کے ذریعے رو ہے، تو واضح طور پر دو نصف سلابوں میں سے ہر ایک کے ذریعے بہنے والی رو $I / 2$ ہے۔ چونکہ نصف سلابوں کے سروں کے پار ممکنہ فرق $V$ ہے، یعنی، پوری سلاب کے پار اسی طرح کا، ہر نصف سلاب کی مزاحمت $R_{1}$ ہے

$$ \begin{equation*} R_{1}=\frac{V}{(I / 2)}=2 \frac{V}{I}=2 R \tag{3.6} \end{equation*} $$

اس طرح، موصل کے کراس سیکشن کے رقبے کو آدھا کرنا مزاحمت کو دوگنا کر دیتا ہے۔ عام طور پر، پھر مزاحمت $R$ کراس سیکشنل رقبے کے معکوس متناسب ہے،

$$ \begin{equation*} R \propto \frac{1}{A} \tag{3.7} \end{equation*} $$

مساوات (3.5) اور (3.7) کو ملا کر، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} R \propto \frac{l}{A} \tag{3.8} \end{equation*} $$

اور اس لیے کسی دیے گئے موصل کے لیے

$$ \begin{equation*} R=\rho \frac{l}{A} \tag{3.9} \end{equation*} $$

جہاں تناسب کا مستقل $\rho$ موصل کے مادے پر منحصر ہے لیکن اس کے طول و عرض پر نہیں۔ $\rho$ کو مزاحمیت کہا جاتا ہے۔ آخری مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، اوہم کا قانون پڑھتا ہے

$$ \begin{equation*} V=I \times R=\frac{I \rho}{A} \tag{3.10} \end{equation*} $$

فی اکائی رقبہ رو (جو رو کے عموداً لیا گیا ہو)، $I / A$، کو رو کثافت کہا جاتا ہے اور اسے $j$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ رو کثافت کی ایس آئی اکائیاں $\mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}$ ہیں۔ مزید، اگر $E$ سروں میں یکساں برقی میدان کی مقدار ہے تو $E l$ ہے۔ ان کا استعمال کرتے ہوئے، آخری مساوات پڑھتی ہے

$$ \begin{align*} & E l=j \rho l \\ \text { or, } & E=j \rho \tag{3.11} \end{align*} $$

مقداروں $E$ اور $j$ کے لیے مذکورہ بالا رشتہ کو واقعی ایک ویکٹر شکل میں ڈھالا جا سکتا ہے۔ رو کثافت، (جس کی ہم نے رو کے عموداً فی اکائی رقبہ سے گزرنے والی رو کے طور پر تعریف کی ہے) بھی $\mathbf{E}$ کے ساتھ ہدایت یافتہ ہے، اور یہ بھی ایک ویکٹر $\mathbf{j}(\equiv j \mathbf{E} / \mathrm{E})$ ہے۔ اس طرح، آخری مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے،

$$ \begin{align*} \mathbf{E} & =\mathbf{j} \rho \tag{3.12}\\ \text { or, } & \mathbf{j}=\sigma \mathbf{E} \tag{3.13} \end{align*} $$

جہاں $\sigma \equiv 1 / \rho$ کو موصلیت کہا جاتا ہے۔ اوہم کا قانون اکثر ایک مساوی شکل میں بیان کیا جاتا ہے، مساوات (3.3) کے علاوہ مساوات (3.13)۔ اگلے حصے میں، ہم اوہم کے قانون کی ابتدا کو الیکٹران کے بہاؤ کی خصوصیات کے نتیجے کے طور پر سمجھنے کی کوشش کریں گے۔

3.5 الیکٹران کا بہاؤ اور مزاحمیت کی ابتدا

جیسا کہ پہلے کہا گیا، ایک الیکٹران بھاری مقررہ آئنوں سے ٹکراؤ کا شکار ہوگا، لیکن ٹکراؤ کے بعد، یہ اسی رفتار کے ساتھ لیکن بے ترتیب سمتوں میں نکلے گا۔ اگر ہم تمام الیکٹران پر غور کریں، تو ان کا اوسط سمتار صفر ہوگا کیونکہ ان کی سمیں بے ترتیب ہیں۔ اس طرح، اگر $N$ الیکٹران ہیں اور $i^{\text {th }}$ ویں الیکٹران $(i=1,2,3, \ldots N)$ کا ایک دیے گئے وقت پر سمتار $\mathbf{v}_{i}$ ہے، تو

$$ \begin{equation*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{v}_{i}=0 \tag{3.14} \end{equation*} $$

اب اس صورت حال پر غور کریں جب برقی میدان موجود ہو۔ الیکٹران اس میدان کی وجہ سے تیز رفتاری حاصل کریں گے

$$ \begin{equation*} \mathbf{a}=\frac{-e \mathbf{E}}{m} \tag{3.15} \end{equation*} $$

جہاں $-e$ بار ہے اور $\boldsymbol{m}$ الیکٹران کا کمیت ہے۔ پھر $\boldsymbol{i^\text {th }}$ ویں الیکٹران پر ایک دیے گئے وقت $\boldsymbol{t}$ پر غور کریں۔ اس الیکٹران کا آخری ٹکراؤ $t$ سے کچھ وقت پہلے ہوا ہوگا، اور فرض کریں $t_{i}$ اس کے آخری ٹکراؤ کے بعد گزرا ہوا وقت ہے۔ اگر $\mathbf{v_i}$ اس کا سمتار آخری ٹکراؤ کے فوراً بعد تھا، تو وقت $t$ پر اس کا سمتار $\mathbf{V}_{i}$ ہے

$$ \begin{equation*} \mathbf{v} _{i}=\mathbf{v} _{i}+\left(-\frac{e \mathbf{E}}{m}\right) t _{i} \tag{3.16} \end{equation*} $$

کیونکہ اپنے آخری ٹکراؤ سے شروع ہو کر یہ مساوات (3.15) سے دی گئی تیز رفتاری کے ساتھ وقت کے وقفہ $t_{i}$ کے لیے تیز رفتاری حاصل کرتا ہے (شکل 3.3)۔ وقت $t$ پر الیکٹران کا اوسط سمتار تمام $\mathbf{v_i}$ ’s کا اوسط ہے۔ $\mathbf{v_i}$ ’s کا اوسط صفر ہے [مساوات (3.14)] کیونکہ کسی بھی ٹکراؤ کے فوراً بعد، الیکٹران کے سمتار کی سمت مکمل طور پر بے ترتیب ہوتی ہے۔ الیکٹران کے ٹکراؤ باقاعدہ وقفوں پر نہیں بلکہ بے ترتیب اوقات پر ہوتے ہیں۔ آئیے $\tau$ سے، متواتر ٹکراؤ کے درمیان اوسط وقت کو ظاہر کریں۔ پھر ایک دیے گئے وقت پر، کچھ الیکٹران نے $\tau$ سے زیادہ وقت گزارا ہوگا اور کچھ نے $\tau$ سے کم۔ دوسرے لفظوں میں، مساوات (3.16) میں وقت $\boldsymbol{t_i}$ کچھ کے لیے $\tau$ سے کم ہوگا اور کچھ کے لیے $\tau$ سے زیادہ ہوگا جیسے ہم $\boldsymbol{i}=1,2 \ldots . . N$ کی قدروں سے گزرتے ہیں۔ پھر $t_{i}$ کی اوسط قدر $\tau$ ہے (ریلیکسیشن ٹائم کے نام سے جانا جاتا ہے)۔ اس طرح، مساوات (3.16) کو کسی دیے گئے وقت $\boldsymbol{t}$ پر $N$-الیکٹران پر اوسط لینے سے ہمیں اوسط سمتار $\mathbf{v_{\boldsymbol{d}}}$ کے لیے ملتا ہے

شکل 3.3 ایک الیکٹران کی ایک نقطہ $A$ سے دوسرے نقطہ B تک بار بار ٹکراؤ کے ذریعے حرکت کی ایک خاکی تصویر، اور ٹکراؤ کے درمیان سیدھی لکیر کا سفر (مکمل لکیریں)۔ اگر برقی میدان جیسا دکھایا گیا ہے لگایا جائے، تو الیکٹران نقطہ $\mathrm{B}^{\prime}$ پر ختم ہوتا ہے (نقطہ دار لکیریں)۔ برقی میدان کی مخالف سمت میں ایک ہلکا سا بہاؤ نظر آتا ہے۔

$$ \begin{align*} & \mathbf{v_d} \equiv\left(\mathbf{V_i}\right)_{\text {average }}=\left(\mathbf{v_i}\right)-\frac{e \mathbf{E}}{m}\left(t_i\right)\\ & =0-\frac{e \mathbf{E}}{m} \tau =-\frac{e \mathbf{E}}{m} \tau \tag{3.17} \end{align*} $$

شکل 3.4 دھاتی موصل میں رو۔ دھات میں رو کثافت کی مقدار اکائی رقبہ اور لمبائی $v_{d}$ کے ایک سلنڈر میں موجود بار کی مقدار ہے۔

یہ آخری نتیجہ حیرت انگیز ہے۔ یہ ہمیں بتاتا ہے کہ الیکٹران ایک اوسط سمتار کے ساتھ حرکت کرتے ہیں جو وقت سے آزاد ہے، حالانکہ الیکٹران تیز رفتاری حاصل کرتے ہیں۔ یہ بہاؤ کا مظہر ہے اور مساوات (3.17) میں سمتار $\mathbf{v _\mathbf{d}}$ کو $\mathbf{d}$ بہاؤ سمتار کہا جاتا ہے۔

بہاؤ کی وجہ سے، $\mathbf{E}$ کے عموداً کسی بھی رقبے کے پار بارات کا خالص نقل و حمل ہوگا۔ ایک مستوی رقبہ $A$ پر غور کریں، جو موصل کے اندر اس طرح واقع ہے کہ رقبے کا عمود $\mathbf{E}$ کے متوازی ہے (شکل 3.4)۔ پھر بہاؤ کی وجہ سے، ایک نہایت چھوٹے وقت $\Delta \mathbf{t}$ میں، رقبے کے بائیں طرف $\left|\mathbf{v_\mathbf{d}}\right| \Delta \mathbf{t}$ تک کی دوریوں پر تمام الیکٹران رقبے کو پار کر چکے ہوں گے۔ اگر $\mathbf{n}$ دھات میں فی اکائی حجم آزاد الیکٹران کی تعداد ہے، تو ایسے $\mathbf{n} \Delta \mathbf{t}\left|\mathbf{v_\mathbf{d}}\right| \mathbf{A}$ الیکٹران ہیں۔ چونکہ ہر الیکٹران ایک بار $-\mathbf{e}$ لے جاتا ہے، وقت $\Delta t$ میں اس رقبے $\mathbf{A}$ کے پار دائیں طرف منتقل ہونے والا کل بار $-n e A\left|\mathrm{v_d}\right| \Delta t$ ہے۔ $\mathbf{E}$ بائیں طرف ہدایت یافتہ ہے اور اس لیے $\mathbf{E}$ کے ساتھ رقبے کے پار منتقل ہونے والا کل بار اس کا منفی ہے۔ وقت $\Delta t$ میں رقبہ $A$ کو پار کرنے والے بار کی مقدار تعریف کے مطابق [مساوات (3.2)] $I \Delta t$ ہے، جہاں $I$ رو کی مقدار ہے۔ لہٰذا،

$$ \begin{equation*} I \Delta t=+n \text { e } A\left|\mathrm{v}_{d}\right| \Delta t \tag{3.18} \end{equation*} $$

مساوات (3.17) سے $\left|\mathbf{v}_{d}\right|$ کی قدر کو متبادل کرتے ہوئے

$$ \begin{equation*} I \Delta t=\frac{e^{2} A}{m} \ln \Delta t|\mathrm{E}| \tag{3.19} \end{equation*} $$

تعریف کے مطابق $I$ رو کثافت کی مقدار $|j|$ سے اس طرح متعلق ہے

$$ \begin{equation*} I=|\mathrm{j}| A \tag{3.20} \end{equation*} $$

لہٰذا، مساوات (3.19) اور (3.20) سے،

$$ \begin{equation*} |\mathrm{j}|=\frac{n e^{2}}{m} \tau|\mathrm{E}| \tag{3.21} \end{equation*} $$

ویکٹر $\mathbf{j}$ $\mathbf{E}$ کے متوازی ہے اور اس لیے ہم مساوات (3.21) کو ویکٹر شکل میں لکھ سکتے ہیں

$$ \begin{equation*} \mathbf{j}=\frac{n e^{2}}{m} \tau \mathbf{E} \tag{3.22} \end{equation*} $$

مساوات (3.13) سے موازنہ کرنے پر دکھاتا ہے کہ مساوات (3.22) بالکل اوہم کا قانون ہے، اگر ہم موصلیت $\sigma$ کی شناخت کریں

$$ \begin{equation*} \sigma=\frac{n e^{2}}{m} \tau \tag{3.23} \end{equation*} $$

اس طرح ہم دیکھتے ہیں کہ برقی ترسیل کی ایک بہت ہی سادہ تصویر اوہم کے قانون کو دوبارہ پیدا کرتی ہے۔ ہم نے، بلاشبہ، یہ مفروضے بنائے ہیں کہ $\tau$ اور $n$ مستقل ہیں، $E$ سے آزاد۔ ہم، اگلے حصے میں، اوہم کے قانون کی حدود پر بحث کریں گے۔

مثال 3.1 (a) کراس سیکشنل رقبہ $1.0 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2}$ والی تانبے کی تار میں ترسیلی الیکٹران کے اوسط بہاؤ کی رفتار کا تخمینہ لگائیں جو 1.5 A کی رو لے جا رہی ہے۔ فرض کریں کہ ہر تانبے کا ایٹم تقریباً ایک ترسیلی الیکٹران فراہم کرتا ہے۔ تانبے کی کثافت $9.0 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ہے، اور اس کا ایٹمی کمیت $63.5 \mathrm{u}$ ہے۔ (b) مذکورہ بالا حاصل کردہ بہاؤ کی رفتار کا موازنہ کریں، (i) عام درجہ حرارت پر تانبے کے ایٹموں کی حرارتی رفتاروں سے، (ii) موصل کے ساتھ برقی میدان کی ترسیل کی رفتار سے جو بہاؤ حرکت کا سبب بنتی ہے۔

حل (a) ترسیلی الیکٹران کے بہاؤ سمتار کی سمت برقی میدان کی سمت کے مخالف ہے، یعنی، الیکٹران بڑھتے ہوئے ممکنہ کی سمت میں بہتے ہیں۔ بہاؤ کی رفتار $v_{d}$ مساوات (3.18) $v_{d}=(I / n e A)$ سے دی جاتی ہے

اب، $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}, A=1.0 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2}, I=1.5 \mathrm{~A}$۔ ترسیلی الیکٹران کی کثافت، $n$ فی مکعب میٹر ایٹموں کی تعداد کے برابر ہے (فرض کرتے ہوئے کہ فی $\mathrm{Cu}$ ایٹم ایک ترسیلی الیکٹران ہے جیسا کہ اس کے ایک والینس الیکٹران کی گنتی سے معقول ہے)۔ تانبے کے ایک مکعب میٹر کا کمیت $9.0 \times 10^{3} \mathrm{~kg}$ ہے۔ چونکہ $6.0 \times 10^{23}$ تانبے کے ایٹموں کا کمیت $63.5 \mathrm{~g}$ ہے،

$$ \begin{aligned} n & =\frac{6.0 \times 10^{23}}{63.5} \times 9.0 \times 10^{6} \\ & =8.5 \times 10^{28} \mathrm{~m}^{-3} \end{aligned} $$

جو دیتی ہے،

$$ \begin{aligned} v_{d} & =\frac{1.5}{8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{-7}} \\ & =1.1 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \\ & =1.1 \mathrm{~mm} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(b) (i) درجہ حرارت $T$ پر، کمیت $M$ کے تانبے کے ایٹم کی حرارتی رفتار* $\left[<(1 / 2) M v^{2}>=(3 / 2) k_{\mathrm{B}} T\right]$ سے حاصل ہوتی ہے اور اس طرح عام طور پر $\sqrt{k_{B} T / M}$ کے درجے کی ہوتی ہے، جہاں $k_{B}$ بولٹزمین مستقل ہے۔ $300 \mathrm{~K}$ پر تانبے کے لیے، یہ تقریباً $2 \times 10^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ہے۔ یہ عدد موصل میں تانبے کے ایٹموں کی بے ترتیب ارتعاشی رفتاروں کو ظاہر کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ الیکٹران کی بہاؤ کی رفتار بہت چھوٹی ہے، عام درجہ حرارت پر عام حرارتی رفتار سے تقریباً $10^{-5}$ گنا۔

(ii) موصل کے ساتھ سفر کرنے والے برقی میدان کی رفتار برقناطیسی لہر کی ہوتی ہے، یعنی $3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ کے برابر (آپ اس کے بارے میں باب 8 میں سیکھیں گے)۔ بہاؤ کی رفتار، موازنہ میں، انتہائی چھوٹی ہے؛ $10^{-11}$ کے فیکٹر سے چھوٹی۔

مثال 3.2 (a) مثال 3.1 میں، الیکٹران بہاؤ کی رفتار کا تخمینہ صرف چند $\mathrm{mm} \mathrm{s}^{-1}$ لگایا گیا ہے جب روئیں چند ایمپیئر کے دائرے میں ہیں؟ پھر سرکٹ بند ہوتے ہی تقریباً فوری طور پر رو کیسے قائم ہو جاتی ہے؟

(b) الیکٹران بہاؤ موصل کے اندر برقی میدان میں الیکٹران کے ذریعے محسوس کی جانے والی قوت کی وجہ سے پیدا ہوتا ہے۔ لیکن قوت تیز رفتاری کا سبب بننی چاہیے۔ پھر الیکٹران ایک مستقل اوسط بہاؤ کی رفتار کیسے حاصل کرتے ہیں؟

(c) اگر الیکٹران بہاؤ کی رفتار اتنی چھوٹی ہے، اور الیکٹران کا بار چھوٹا ہے، تو ہم پھر بھی موصل میں بڑی مقدار میں رو کیسے حاصل کر سکتے ہیں؟

(d) جب الیکٹران دھات میں کم سے زیادہ ممکنہ کی طرف بہتے ہیں، تو کیا اس کا مطلب ہے کہ دھات کے تمام ‘آزاد’ الیکٹران ایک ہی سمت میں حرکت کر رہے ہیں؟

(e) کیا الیکٹران کے راستے متواتر ٹکراؤ (دھات کے مثبت آئنوں کے ساتھ) کے درمیان سیدھی لکیریں ہیں (i) برقی میدان کی غیر موجودگی میں، (ii) برقی میدان کی موجودگی میں؟

حل (a) برقی میدان پورے سرکٹ میں، تقریباً فوری طور پر (روشنی کی رفتار کے ساتھ) قائم ہو جاتا ہے، جس کے نتیجے میں ہر نقطہ پر ایک مقامی الیکٹران بہاؤ ہوتا ہے۔ رو کا قیام موصل کے ایک سرے سے دوسرے سرے تک سفر کرنے والے الیکٹران کا انتظار کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ تاہم، رو کو اس کی مستقل قدر تک پہنچنے میں تھوڑا سا وقت لگتا ہے۔

(b) ہر ‘آزاد’ الیکٹران تیز رفتاری حاصل کرتا ہے، اپنی بہاؤ کی رفتار بڑھاتا ہے یہاں تک کہ یہ دھات کے مثبت آئن سے ٹکراتا ہے۔ یہ ٹکراؤ کے بعد اپنی بہاؤ کی رفتار کھو دیتا ہے لیکن پھر تیز رفتاری حاصل کرنا شروع کر دیتا ہے اور اپنی بہاؤ کی رفتار دوبارہ بڑھاتا ہے صرف ایک بار پھر ٹکراؤ کا شکار ہونے کے لیے اور اسی طرح۔ اس لیے اوسطاً، الیکٹران صرف ایک بہاؤ کی رفتار حاصل کرتے ہیں۔

(c) سادہ، کیونکہ الیکٹران عددی کثافت بہت زیادہ ہے، $\sim 10^{29} \mathrm{~m}^{-3}$۔

(d) ہرگز نہیں۔ بہاؤ سمتار الیکٹران کی بڑی بے ترتیب رفتاروں پر سموئی ہوئی ہے۔

(e) برقی میدان کی غیر موجودگی میں، راستے س