4.1 تعارف

بجلی اور مقناطیسیت دونوں 2000 سال سے زیادہ عرصے سے معلوم ہیں۔ تاہم، تقریباً 200 سال پہلے، 1820 میں، یہ احساس ہوا کہ وہ گہرا تعلق رکھتے ہیں۔ 1820 کی گرمیوں میں ایک لیکچر ڈیمونسٹریشن کے دوران، ڈینش طبیعیات دان ہنس کرسچن اورسٹیڈ نے محسوس کیا کہ ایک سیدھی تار میں موجود کرنٹ نے قریب کے مقناطیسی کمپاس سوئی میں قابل ذکر انحراف پیدا کیا۔ انہوں نے اس مظہر کی تحقیقات کی۔ انہوں نے پایا کہ سوئی کی سیدھ ایک فرضی دائرے کی مماسی ہے جس کا مرکز سیدھی تار ہے اور اس کا مستوی تار کے عمود ہے۔ یہ صورت حال شکل 4.1(a) میں دکھائی گئی ہے۔ یہ اس وقت قابل ذکر ہوتی ہے جب کرنٹ بڑا ہو اور سوئی تار کے اتنا قریب ہو کہ زمین کے مقناطیسی میدان کو نظر انداز کیا جا سکے۔ کرنٹ کی سمت کو الٹنے سے سوئی کی سمت بندی الٹ جاتی ہے [شکل 4.1(b)]۔ کرنٹ بڑھانے یا سوئی کو تار کے قریب لانے سے انحراف بڑھ جاتا ہے۔ تار کے ارد گرد چھڑکے گئے لوہے کے برادے خود کو تار کو مرکز بناتے ہوئے متحد المرکز دائروں میں ترتیب دیتے ہیں [شکل 4.1(c)]۔ اورسٹیڈ نے نتیجہ اخذ کیا کہ متحرک بار یا کرنٹوں نے ارد گرد کے خلا میں ایک مقناطیسی میدان پیدا کیا۔

اس کے بعد، شدید تجربات ہوئے۔ 1864 میں، بجلی اور مقناطیسیت کے قوانین کو یکجا کیا گیا اور جیمز میکسویل نے انہیں مرتب کیا جنہوں نے پھر محسوس کیا کہ روشنی برقی مقناطیسی لہریں ہیں۔ ریڈیو لہریں ہرٹز نے دریافت کیں، اور J.C.بوس اور G. مارکونی نے $19^{\text {th }}$ صدی کے اختتام تک انہیں پیدا کیا۔ $20^{\text {th }}$ صدی میں ایک قابل ذکر سائنسی اور تکنیکی ترقی ہوئی۔ یہ برقی مقناطیسیت کی ہماری بڑھتی ہوئی سمجھ اور برقی مقناطیسی لہروں کی پیداوار، تکبیر، ترسیل اور انکشاف کے آلات کی ایجاد کی وجہ سے تھی۔

شکل 4.1 ایک سیدھی لمبی کرنٹ بردار تار کی وجہ سے مقناطیسی میدان۔ تار کاغذ کے مستوی کے عمود ہے۔ تار کے گرد کمپاس سوئیوں کا ایک حلقہ ہے۔ سوئیوں کی سمت بندی اس وقت دکھائی گئی ہے جب (a) کرنٹ کاغذ کے مستوی سے باہر نکلتا ہے، (b) کرنٹ کاغذ کے مستوی میں اندر کی طرف جاتا ہے۔ (c) تار کے گرد لوہے کے برادے کی ترتیب۔ سوئی کے سیاہ سرے شمالی قطب کی نمائندگی کرتے ہیں۔ زمین کے مقناطیسی میدان کے اثر کو نظر انداز کیا گیا ہے۔

ہنس کرسچن اورسٹیڈ (1777–1851) ڈینش طبیعیات دان اور کیمیا دان، کوپن ہیگن میں پروفیسر۔ انہوں نے مشاہدہ کیا کہ برقی کرنٹ لے جانے والی تار کے قریب رکھنے پر کمپاس سوئی انحراف کا شکار ہوتی ہے۔ اس دریافت نے برقی اور مقناطیسی مظاہر کے درمیان تعلق کا پہلا تجرباتی ثبوت دیا۔

اس باب میں، ہم دیکھیں گے کہ مقناطیسی میدان متحرک باردار ذرات، جیسے الیکٹران، پروٹون، اور کرنٹ بردار تاروں پر کس طرح قوتیں لگاتا ہے۔ ہم یہ بھی سیکھیں گے کہ کرنٹ مقناطیسی میدان کیسے پیدا کرتے ہیں۔ ہم دیکھیں گے کہ سائیکلوٹرون میں ذرات کو بہت زیادہ توانائیوں تک کیسے تیز کیا جا سکتا ہے۔ ہم مطالعہ کریں گے کہ گیلوانومیٹر کے ذریعے کرنٹ اور وولٹیج کا انکشاف کیسے ہوتا ہے۔

مقناطیسیت پر اس اور اس کے بعد کے باب میں، ہم مندرجہ ذیل کنونشن اپناتے ہیں: کاغذ کے مستوی سے نکلنے والے کرنٹ یا میدان (برقی یا مقناطیسی) کو ایک نقطے $(\odot)$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ کاغذ کے مستوی میں جانے والے کرنٹ یا میدان کو ایک کراس $(\otimes)^{*}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ شکلیں 4.1(a) اور 4.1(b) بالترتیب ان دو صورتوں سے مطابقت رکھتی ہیں۔

4.2 مقناطیسی قوت

4.2.1 مصادر اور میدان

ہنڈرک اینٹون لورنٹز (1853 – 1928) ڈچ نظریاتی طبیعیات دان، لیڈن میں پروفیسر۔ انہوں نے بجلی، مقناطیسیت، اور میکانیات کے درمیان تعلق کی تحقیقات کی۔ روشنی کے خارج کنندگان (زیمین اثر) پر مقناطیسی میدانوں کے مشاہدہ شدہ اثر کی وضاحت کرنے کے لیے، انہوں نے ایٹم میں برقی باروں کے وجود کا مفروضہ پیش کیا، جس کے لیے انہیں 1902 میں نوبل انعام دیا گیا۔ انہوں نے کچھ الجھی ہوئی ریاضیاتی دلائل کے ذریعے تبدیلی کے مساوات کا ایک سیٹ اخذ کیا (جو ان کے بعد لورنٹز ٹرانسفارمیشن مساوات کے نام سے مشہور ہیں)، لیکن وہ اس بات سے آگاہ نہیں تھے کہ یہ مساوات خلا اور وقت کے نئے تصور پر منحصر ہیں۔

اس سے پہلے کہ ہم مقناطیسی میدان $\mathbf{B}$ کا تصور متعارف کروائیں، ہم باب 1 میں برقی میدان $\mathbf{E}$ کے بارے میں جو کچھ سیکھا ہے اس کا اعادہ کریں گے۔ ہم نے دیکھا ہے کہ دو باروں کے درمیان تعامل کو دو مراحل میں سمجھا جا سکتا ہے۔ بار $\mathrm{Q}$، میدان کا ماخذ، ایک برقی میدان $\mathbf{E}$ پیدا کرتا ہے، جہاں

• ایک نقطہ آپ کی طرف اشارہ کرنے والے تیر کی نوک کی طرح دکھائی دیتا ہے، ایک کراس آپ سے دور جاتے ہوئے تیر کے پر دار دم کی طرح ہے۔

$$ \begin{equation*} \mathbf{E}=\mathrm{Q} \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.1} \end{equation*} $$

جہاں $\hat{\mathbf{r}}$ اکائی ویکٹر ہے جو $\mathbf{r}$ کے ساتھ ہے، اور میدان $\mathbf{E}$ ایک ویکٹر فیلڈ ہے۔ ایک بار $q$ اس میدان کے ساتھ تعامل کرتا ہے اور ایک قوت $\mathbf{F}$ محسوس کرتا ہے جو کہ دی گئی ہے

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q \mathbf{E}=q Q \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.2} \end{equation*} $$

جیسا کہ باب 1 میں اشارہ کیا گیا ہے، میدان $\mathbf{E}$ صرف ایک مصنوعی چیز نہیں ہے بلکہ اس کی ایک جسمانی کردار ہے۔ یہ توانائی اور رفتار منتقل کر سکتا ہے اور فوری طور پر قائم نہیں ہوتا بلکہ پھیلنے میں محدود وقت لیتا ہے۔ میدان کے تصور پر خصوصی طور پر فیراڈے نے زور دیا تھا اور میکسویل نے بجلی اور مقناطیسیت کے اتحاد میں اسے شامل کیا تھا۔ خلا میں ہر نقطے پر انحصار کے علاوہ، یہ وقت کے ساتھ بھی مختلف ہو سکتا ہے، یعنی وقت کا ایک فنکشن ہو سکتا ہے۔ اس باب میں ہماری بحثوں میں، ہم فرض کریں گے کہ میدان وقت کے ساتھ نہیں بدلتے۔

کسی خاص نقطہ پر میدان ایک یا زیادہ باروں کی وجہ سے ہو سکتا ہے۔ اگر زیادہ بار ہوں تو میدان ویکٹوری طور پر جمع ہو جاتے ہیں۔ آپ پہلے ہی باب 1 میں سیکھ چکے ہیں کہ اسے سپرپوزیشن کا اصول کہا جاتا ہے۔ ایک بار میدان معلوم ہو جائے، تو ٹیسٹ چارج پر قوت مساوات (4.2) کے مطابق دی جاتی ہے۔

جس طرح ساکن بار ایک برقی میدان پیدا کرتے ہیں، اسی طرح کرنٹ یا متحرک بار (اس کے علاوہ) ایک مقناطیسی میدان پیدا کرتے ہیں، جسے $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، جو پھر سے ایک ویکٹر فیلڈ ہے۔ اس کی کئی بنیادی خصوصیات برقی میدان جیسی ہیں۔ یہ خلا میں ہر نقطہ پر تعریف شدہ ہے (اور وقت پر بھی منحصر ہو سکتا ہے)۔ تجرباتی طور پر، یہ سپرپوزیشن کے اصول کی پابندی کرتا پایا گیا ہے: کئی مصادر کا مقناطیسی میدان ہر انفرادی ماخذ کے مقناطیسی میدان کا ویکٹر جمع ہے۔

4.2.2 مقناطیسی میدان، لورنٹز قوت

فرض کریں کہ ایک نقطہ بار $q$ (رفتار $\mathbf{v}$ کے ساتھ حرکت کر رہا ہے اور، وقت $t$ پر مقام $\mathbf{r}$ پر واقع ہے) دونوں برقی میدان $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ اور مقناطیسی میدان $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ کی موجودگی میں ہے۔ برقی بار $q$ پر دونوں کی وجہ سے قوت لکھی جا سکتی ہے

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q[\mathbf{E}(\mathbf{r})+\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r})] \equiv \mathbf{F_\text {electric }}+\mathbf{F_\text {magnetic }} \tag{4.3} \end{equation*} $$

یہ قوت سب سے پہلے H.A. لورنٹز نے ایمپیر اور دوسروں کے وسیع تجربات کی بنیاد پر دی تھی۔ اسے لورنٹز قوت کہا جاتا ہے۔ آپ نے برقی میدان کی وجہ سے قوت کا پہلے ہی تفصیل سے مطالعہ کیا ہے۔ اگر ہم مقناطیسی میدان کے ساتھ تعامل کو دیکھیں، تو ہمیں مندرجہ ذیل خصوصیات ملتی ہیں۔

(i) یہ $q, \mathbf{v}$ اور $\mathbf{B}$ (ذرے کا بار، رفتار اور مقناطیسی میدان) پر منحصر ہے۔ منفی بار پر قوت مثبت بار پر قوت کے مخالف ہوتی ہے۔

(ii) مقناطیسی قوت $q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]$ میں رفتار اور مقناطیسی میدان کا ویکٹر حاصل ضرب شامل ہے۔ ویکٹر حاصل ضرب مقناطیسی میدان کی وجہ سے قوت کو ختم (صفر) کر دیتا ہے اگر رفتار اور مقناطیسی میدان متوازی یا مخالف متوازی ہوں۔ قوت ایک (پہلو کی) سمت میں کام کرتی ہے جو رفتار اور مقناطیسی میدان دونوں کے عمود ہوتی ہے۔ اس کی سمت سکرو رول یا ویکٹر (یا کراس) حاصل ضرب کے لیے دائیں ہاتھ کے اصول سے دی جاتی ہے جیسا کہ شکل 4.2 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 4.2 ایک باردار ذرے پر عمل کرنے والی مقناطیسی قوت کی سمت۔ (a) مثبت باردار ذرے پر قوت جس کی رفتار $\mathbf{v}$ ہے اور جو مقناطیسی میدان $\mathbf{B}$ کے ساتھ زاویہ $\theta$ بناتی ہے، دائیں ہاتھ کے اصول سے دی جاتی ہے۔ (b) ایک متحرک باردار ذرہ $q$ مقناطیسی میدان کی موجودگی میں $-q$ کے مخالف سمت میں منحرف ہوتا ہے۔

(iii) مقناطیسی قوت صفر ہوتی ہے اگر بار حرکت نہ کر رہا ہو (کیونکہ اس وقت $|\mathbf{v}|=0$)۔ صرف ایک متحرک بار مقناطیسی قوت محسوس کرتا ہے۔

مقناطیسی قوت کا اظہار ہمیں مقناطیسی میدان کی اکائی کی تعریف کرنے میں مدد کرتا ہے، اگر کوئی قوت مساوات $\mathbf{F}=q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]=q v B \sin \theta \hat{\mathbf{n}}$ میں $q, \mathbf{F}$ اور $\mathbf{v}$، سب کو اکائی مان لے، جہاں $\theta$ $\mathbf{v}$ اور $\mathbf{B}$ کے درمیان زاویہ ہے [دیکھیں شکل 4.2 (a)]۔ مقناطیسی میدان $B$ کا شدت 1 ایس آئی اکائی ہے، جب اکائی بار $(1 \mathrm{C})$ پر، جو $\mathbf{B}$ کے عمود رفتار $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ سے حرکت کر رہا ہے، ایک نیوٹن قوت عمل کرتی ہے۔

بعدی طور پر، ہمارے پاس $[B]=[F / q v]$ ہے اور $\mathbf{B}$ کی اکائی نیوٹن سیکنڈ / (کولم میٹر) ہے۔ اس اکائی کو ٹیسلا (T) کہا جاتا ہے جس کا نام نکولا ٹیسلا (1856 - 1943) کے نام پر رکھا گیا ہے۔ ٹیسلا ایک کافی بڑی اکائی ہے۔ ایک چھوٹی اکائی (غیر ایس آئی) جسے گاس $\left(=10^{-4}\right.$ ٹیسلا) بھی اکثر استعمال ہوتی ہے۔ زمین کا مقناطیسی میدان تقریباً $3.6 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ ہے۔

4.2.3 کرنٹ بردار موصل پر مقناطیسی قوت

ہم ایک متحرک واحد بار پر مقناطیسی میدان کی وجہ سے قوت کے تجزیے کو کرنٹ لے جانے والی سیدھی سلاخ تک بڑھا سکتے ہیں۔ ایک یکساں قطع مقطع رقبہ $A$ اور لمبائی $l$ کی سلاخ پر غور کریں۔ ہم موصل (یہاں الیکٹران) میں ایک قسم کے متحرک حاملین فرض کریں گے۔ ان متحرک بار حاملین کی عددی کثافت اس میں $n$ ہو۔ پھر اس میں متحرک بار حاملین کی کل تعداد $n l A$ ہے۔ اس موصل سلاخ میں مستقل کرنٹ $I$ کے لیے، ہم فرض کر سکتے ہیں کہ ہر متحرک حامل کی اوسط بہاؤ رفتار $\mathbf{v_d}$ ہے (باب 3 دیکھیں)۔ بیرونی مقناطیسی میدان $\mathbf{B}$ کی موجودگی میں، ان حاملین پر قوت ہے:

$$ \mathbf{F}=(n l A) q \mathbf{v_d} \times \mathbf{B} $$

جہاں $q$ ایک حامل پر بار کی قیمت ہے۔ اب $n q \mathbf{v_\mathrm{d}}$ کرنٹ کثافت $\mathbf{j}$ ہے اور $\left|\left(n q \mathbf{v_\mathrm{d}}\right)\right| A$ کرنٹ $I$ ہے (کرنٹ اور کرنٹ کثافت کی بحث کے لیے باب 3 دیکھیں)۔ اس طرح،

$$ \begin{align*} \mathbf{F} & =\left[\left(n q \mathbf{v_d}\right) l A\right] \times \mathbf{B}=[\mathbf{j} A l] \times \mathbf{B} \\ & =I l \times \mathbf{B} \tag{4.4} \end{align*} $$

جہاں $l$ شدت $l$، سلاخ کی لمبائی، کا ایک ویکٹر ہے، اور جس کی سمت کرنٹ $I$ کے مطابق ہے۔ نوٹ کریں کہ کرنٹ $I$ ایک ویکٹر نہیں ہے۔ مساوات (4.4) تک پہنچنے والے آخری مرحلے میں، ہم نے ویکٹر کی علامت $\mathbf{j}$ سے $\boldsymbol{l}$ میں منتقل کر دی ہے۔

مساوات (4.4) ایک سیدھی سلاخ کے لیے درست ہے۔ اس مساوات میں، B بیرونی مقناطیسی میدان ہے۔ یہ کرنٹ بردار سلاخ کے ذریعے پیدا کردہ میدان نہیں ہے۔ اگر تار کی کوئی من مانی شکل ہو تو ہم اس پر لورنٹز قوت کا حساب لگا سکتے ہیں اسے خطی پٹیوں $\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{\mathrm{j}}$ کے مجموعے کے طور پر لے کر اور جمع کر کے

$$ \mathbf{F}=\sum_{\mathrm{j}} \operatorname{Id} \boldsymbol{l}_{\mathrm{j}} \times \mathbf{B} $$

یہ جمع زیادہ تر معاملات میں ایک تکمل میں تبدیل کی جا سکتی ہے۔

مثال 4.1 ایک سیدھی تار جس کا کمیت $200 \mathrm{~g}$ اور لمبائی $1.5 \mathrm{~m}$ ہے، کرنٹ $2 \mathrm{~A}$ لے کر جاتی ہے۔ یہ ہوا میں ایک یکساں افقی مقناطیسی میدان B کے ذریعے معلق ہے (شکل 4.3)۔ مقناطیسی میدان کی شدت کیا ہے؟

شکل 4.3

حل مساوات (4.4) سے، ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ ایک اوپر کی طرف قوت F ہے، جس کی شدت $I l B$ ہے۔ ہوا میں معلق رہنے کے لیے، یہ کشش ثقل کی قوت سے متوازن ہونا چاہیے:

$$ \begin{aligned} m g & =I l B \\ B & =\frac{m g}{I l} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =\frac{0.2 \times 9.81}{2 \times 1.5}=0.65 \mathrm{~T} \end{aligned} $$

نوٹ کریں کہ $\mathrm{m} / l$، تار کی فی اکائی لمبائی کی کمیت، کی وضاحت کرنا کافی ہوتا۔ زمین کا مقناطیسی میدان تقریباً $4 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ ہے اور ہم نے اسے نظر انداز کر دیا ہے۔

مثال 4.2 اگر مقناطیسی میدان مثبت $y$-محور کے متوازی ہے اور باردار ذرہ مثبت $x$-محور کے ساتھ حرکت کر رہا ہے (شکل 4.4)، تو لورنٹز قوت کس سمت میں ہوگی (a) ایک الیکٹران (منفی بار) کے لیے، (b) ایک پروٹون (مثبت بار) کے لیے۔

شکل 4.4

حل ذرے کی رفتار $\mathbf{v}$ $x$-محور کے ساتھ ہے، جبکہ $\mathbf{B}$، مقناطیسی میدان $y$-محور کے ساتھ ہے، لہذا $\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ $z$-محور کے ساتھ ہے (سکرو رول یا دائیں ہاتھ کے انگوٹھے کا اصول)۔ لہذا، (a) الیکٹران کے لیے یہ $-Z$ محور کے ساتھ ہوگا۔ (b) مثبت بار (پروٹون) کے لیے قوت $+z$ محور کے ساتھ ہوگی۔

4.3 مقناطیسی میدان میں حرکت

اب ہم ایک مقناطیسی میدان میں حرکت کرنے والے بار کی حرکت پر زیادہ تفصیل سے غور کریں گے۔ ہم نے میکینکس میں سیکھا ہے (دیکھیں کلاس گیارہ کی کتاب، باب 5) کہ کسی ذرے پر قوت کام کرتی ہے اگر قوت کے پاس ذرے کی حرکت کی سمت کے ساتھ (یا مخالف) ایک جزو ہو۔ مقناطیسی میدان میں بار کی حرکت کے معاملے میں، مقناطیسی قوت ذرے کی رفتار کے عمود ہوتی ہے۔ لہذا کوئی کام نہیں ہوتا اور رفتار کی شدت میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی (حالانکہ رفتار کی سمت بدل سکتی ہے)۔ [نوٹ کریں کہ یہ برقی میدان کی وجہ سے قوت، qE، کے برعکس ہے، جو حرکت کے متوازی (یا مخالف متوازی) جزو رکھ سکتی ہے اور اس طرح رفتار کے علاوہ توانائی بھی منتقل کر سکتی ہے۔]

شکل 4.5 دائروی حرکت

ہم ایک یکساں مقناطیسی میدان میں باردار ذرے کی حرکت پر غور کریں گے۔ پہلے B کے عمود v کے معاملے پر غور کریں۔ عمودی قوت، q v B، مرکز گریز قوت کے طور پر کام کرتی ہے اور مقناطیسی میدان کے عمود ایک دائروی حرکت پیدا کرتی ہے۔ ذرہ ایک دائرہ بیان کرے گا اگر v اور B ایک دوسرے کے عمود ہوں (شکل 4.5)

اگر رفتار کا B کے ساتھ ایک جزو $\mathbf{B}$ ہو، تو یہ جزو تبدیل نہیں ہوتا کیونکہ مقناطیسی میدان کے ساتھ حرکت مقناطیسی میدان سے متاثر نہیں ہوگی۔ B کے عمود مستوی میں حرکت پہلے کی طرح ایک دائروی ہوگی، جس سے ایک پیچ دار حرکت پیدا ہوتی ہے (شکل 4.6)۔

آپ نے پہلے ہی پچھلی کلاسوں میں سیکھا ہے (دیکھیں کلاس XI، باب 3) کہ اگر r ذرے کے دائروی راستے کا رداس ہے، تو m v² / r کی قوت راستے کے عمود مرکز کی طرف عمل کرتی ہے، اور اسے مرکز گریز قوت کہا جاتا ہے۔ اگر رفتار v مقناطیسی میدان B کے عمود ہے، تو مقناطیسی قوت v اور B دونوں کے عمود ہوتی ہے اور مرکز گریز قوت کی طرح عمل کرتی ہے۔ اس کی شدت q v B ہوتی ہے۔ مرکز گریز قوت کے دو اظہار کو برابر کرتے ہوئے،

شکل 4.6 پیچ دار حرکت

$$ \begin{align*} & m v^{2} / r=q v B, \text { which gives } \\ & r=m v / q B \tag{4.5} \end{align*} $$

باردار ذرے کے ذریعے بیان کردہ دائرے کے رداس کے لیے۔ رفتار جتنی بڑی ہوگی، رداس اتنا ہی بڑا ہوگا اور بیان کردہ دائرہ اتنا ہی بڑا ہوگا۔ اگر $\omega$ زاویائی تعدد ہے، تو $v$ $=\omega r$۔ لہذا،

$$ \begin{equation*} \omega=2 \pi v=q B / m \tag{4.6 a} \end{equation*} $$

جو رفتار یا توانائی سے آزاد ہے۔ یہاں $v$ گردش کی تعدد ہے۔ $v$ کا توانائی سے آزاد ہونا سائیکلوٹرون کی ڈیزائن میں اہم اطلاق رکھتا ہے (دیکھیں سیکشن 4.4.2)۔

ایک چکر مکمل کرنے میں لگا وقت $T=2 \pi / \omega$ $\equiv 1 / v$ ہے۔ اگر رفتار کا مقناطیسی میدان کے متوازی ایک جزو ہو (جسے $v_{| \mid}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے)، تو یہ ذرے کو میدان کے ساتھ حرکت کرائے گا اور ذرے کا راستہ ایک پیچ دار ہوگا (شکل 4.6)۔ ایک چکر میں مقناطیسی میدان کے ساتھ طے کی گئی دوری کو پچ $p$ کہا جاتا ہے۔ مساوات [4.6 (a)] استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} p=v _{|} T=2 \pi m v _{|} / q B \tag{ 4.6 b} \end{equation*} $$

حرکت کے دائروی جزو کا رداس ہیلکس کا رداس کہلاتا ہے۔

مثال 4.3 ایک الیکٹران جس کا کمیت $9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ اور بار $1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ ہے، رفتار $3 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ سے مقناطیسی میدان $6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ میں اس کے عمود حرکت کر رہا ہے، اس کے راستے کا رداس کیا ہے؟ اس کی تعدد کیا ہے؟ اس کی توانائی $\mathrm{keV} .\left(1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right)$ میں حساب کریں۔

حل مساوات (4.5) استعمال کرتے ہوئے ہمیں ملتا ہے

$$ \begin{aligned} & r=m v /(q B)=9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times 3 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} /\left(1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \times 6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}\right) \\ & =28 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=28 \mathrm{~cm} \\ & v=v /(2 \pi r)=17 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}=17 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}=17 \mathrm{MHz} \\ & E=(1 / 2) m v^{2}=(1 / 2) 9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times 9 \times 10^{14} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}^{2}=40.5 \times 10^{-17} \mathrm{~J} \\ & \approx 4 \times 10^{-16} \mathrm{~J}=2.5 \mathrm{keV} \end{aligned} $$

4.4 کرنٹ عنصر کی وجہ سے مقناطیسی میدان، بائیوٹ-ساوارٹ قانون

ہم جو تمام مقناطیسی میدان جانتے ہیں وہ کرنٹوں (یا متحرک باروں) اور ذرات کے اندرونی مقناطیسی لمحات کی وجہ سے ہیں۔ یہاں، ہم کرنٹ اور اس کے پیدا کردہ مقناطیسی میدان کے درمیان تعلق کا مطالعہ کریں گے۔ یہ بائیوٹ-ساوارٹ کے قانون کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ شکل 4.7 کرنٹ I لے جانے والا ایک محدود موصل XY دکھاتی ہے۔ غور کریں موصل کا ایک لامتناہی عنصر dl۔ مقناطیسی میدان dB اس عنصر کی وجہ سے نقطہ P پر معلوم کرنا ہے جو اس سے فاصلہ r پر ہے۔ فرض کریں کہ dl اور جابجائی ویکٹر r کے درمیان زاویہ θ ہے۔ بائیوٹ-ساوارٹ کے قانون کے مطابق، مقناطیسی میدان dB کی شدت کرنٹ I، عنصر کی لمبائی |dl| کے متناسب ہے، اور فاصلہ r کے مربع کے الٹ متناسب ہے۔ اس کی سمت* dl اور r پر مشتمل مستوی کے عمود ہے۔ اس طرح، ویکٹر علامت میں،

$$ \begin{align*} d \mathbf{B} & \propto \frac{I d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \\ & =\frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{I d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \tag{4.7 a} \end{align*} $$

جہاں $\mu_{0} / 4 \pi$ تناسب کا ایک مستقل ہے۔ جب واسطہ خلا ہو تو مذکورہ اظہار درست ہے۔

شکل 4.7 بائیٹ-ساوارٹ قانون کی وضاحت۔ کرنٹ عنصر $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ فاصلہ $r$ پر ایک میدان $d \mathbf{B}$ پیدا کرتا ہے۔ $\otimes$ علامت ظاہر کرتی ہے کہ میدان اس صفحہ کے مستوی کے عمود ہے اور اس میں اندر کی طرف ہدایت شدہ ہے۔

• $\mathrm{d} l \times \mathbf{r}$ کا احساس بھی دائیں ہاتھ کے سکرو اصول سے دیا جاتا ہے: ویکٹرز $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ اور $\mathbf{r}$ پر مشتمل مستوی کو دیکھیں۔ پہلے ویکٹر سے دوسرے ویکٹر کی طرف حرکت کرنے کا تصور کریں۔ اگر حرکت گھڑی کی مخالف سمت میں ہے، تو حاصل آپ کی طرف ہے۔ اگر یہ گھڑی کی سمت میں ہے، تو حاصل آپ سے دور ہے۔

اس میدان کی شدت ہے،

$$ \begin{equation*} |\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^{2}} \tag{4.7 b} \end{equation*} $$

جہاں ہم نے کراس پروڈکٹ کی خاصیت استعمال کی ہے۔ مساوات [4.7 (a)] مقناطیسی میدان کے لیے ہماری بنیادی مساوات تشکیل دیتی ہے۔ تناسب مستقل ایس آئی اکائیوں میں عین قدر رکھتا ہے،

$$ \begin{equation*} \frac{\mu _{0}}{4 \pi}=10^{-7} \mathrm{Tm} / \mathrm{A} \tag{4.7 c} \end{equation*} $$

ہم $\mu_{0}$ کو آزاد خلا (یا خلا) کی پارگمیت کہتے ہیں۔

مقناطیسی میدان کے لیے بائیوٹ-ساوارٹ قانون میں کچھ مماثلتیں، نیز، برقی ساکن میدان کے لیے کولمب کے قانون سے اختلافات ہیں۔ ان میں سے کچھ یہ ہیں:

(i) دونوں طویل رینج کے ہیں، کیونکہ دونوں ماخذ سے دلچسپی کے نقطہ تک فاصلے کے مربع کے الٹ پر منحصر ہیں۔ سپرپوزیشن کا اصول دونوں میدانوں پر لاگو ہوتا ہے۔ [اس تعلق میں، نوٹ کریں کہ مقناطیسی میدان ماخذ $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ میں خطی ہے جیسا کہ برقی ساکن میدان اپنے ماخذ میں خطی ہے: برقی بار۔]

(ii) برقی ساکن میدان ایک اسکیلر ماخذ، یعنی برقی بار، کے ذریعے پیدا ہوتا ہے۔ مقناطیسی میدان ایک ویکٹر ماخذ $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ کے ذریعے پیدا ہوتا ہے۔

(iii) برقی ساکن میدان ماخذ اور میدان نقطہ کو ملا نے والے جابجائی ویکٹر کے ساتھ ہوتا ہے۔ مقناطیسی میدان جابجائی ویکٹر $\mathbf{r}$ اور کرنٹ عنصر $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ پر مشتمل مستوی کے عمود ہوتا ہے۔

(iv) بائیوٹ-ساوارٹ قانون میں ایک زاویہ انحصار ہے جو برقی ساکن معاملے میں موجود نہیں ہے۔ شکل 4.7 میں، کسی بھی نقطہ پر مقناطیسی میدان dl کی سمت میں (ڈیش لائن) صفر ہے۔ اس لائن کے ساتھ، θ = 0، sin θ = 0 اور مساوات [4.7(a)] سے، |dB| = 0

$\varepsilon_{0}$، آزاد خلا کی برقی پارگمیت؛ $\mu_{0}$، آزاد خلا کی مقناطیسی پارگمیت؛ اور $c$، خلا میں روشنی کی رفتار کے درمیان ایک دلچسپ تعلق ہے:

$$ \varepsilon_{0} \mu_{0}=\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) \frac{\mu_{0}}{4 \pi}=\frac{1}{9 \times 10^{9}}\left(10^{-7}\right)=\frac{1}{\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}}=\frac{1}{c^{2}} $$

ہم اس تعلق پر مزید باب 8 میں برقی مقناطیسی لہروں پر بحث کریں گے۔ چونکہ خلا میں روشنی کی رفتار مستقل ہے، لہذا حاصل ضرب $\mu_{0} \varepsilon_{0}$ شدت میں مقرر ہے۔ $\varepsilon_{0}$ یا $\mu_{0}$ میں سے کسی ایک کی قیمت کا انتخاب، دوسرے کی قیمت کو مقرر کرتا ہے۔ ایس آئی اکائیوں میں، $\mu_{0}$ کی شدت میں $4 \pi \times 10^{-7}$ کے برابر مقرر کیا گیا ہے۔

مثال 4.4 ایک عنصر $\Delta \boldsymbol{l}=\Delta x \hat{\mathbf{i}}$ مبدا پر رکھا گیا ہے اور ایک بڑا کرنٹ $I=10$ A لے کر جاتا ہے (شکل 4.8)۔ $y$ محور پر فاصلہ $0.5 \mathrm{~m} . \Delta x=1 \mathrm{~cm}$ پر مقناطیسی میدان کیا ہے۔

شکل 4.8

حل

$|\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^{2}}$ [مساوات (4.7) استعمال کرتے ہوئے]

$\mathrm{d} l=\Delta x=10^{-2} \mathrm{~m}, I=10 \mathrm{~A}, \quad r=0.5 \mathrm{~m}=y, \mu_{0} / 4 \pi=10^{-7} \frac{\mathrm{Tm}}{\mathrm{A}}$

$\theta=90^{\circ} ; \sin \theta=1$

$|\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{10^{-7} \times 10 \times 10^{-2}}{25 \times 10^{-2}}=4 \times 10^{-8} \mathrm{~T}$

میدان کی سمت $+z$-سمت میں ہے۔ یہ اس لیے ہے کیونکہ،

$$ \mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}=\Delta x \hat{\mathbf{i}} \times y \hat{\mathbf{j}}=y \Delta x(\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}})=y \Delta x \hat{\mathbf{k}} $$

ہم آپ کو کراس پروڈکٹس کی مندرجہ ذیل چکری خاصیت کی یاد دلاتے ہیں،

$\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} ; \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} ; \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}$

نوٹ کریں کہ میدان شدت میں چھوٹا ہے۔

اگلے سیکشن میں، ہم بائیوٹ-ساوارٹ قانون کا استعمال کرکے ایک دائروی لوپ کی وجہ سے مقناطیسی میدان کا حساب لگائیں گے۔

4.5 دائروی کرنٹ لوپ کے محور پر مقناطیسی میدان

اس سیکشن میں، ہم ایک دائروی کنڈلی کے محور کے ساتھ اس کی وجہ سے مقناطیسی میدان کا اندازہ لگائیں گے۔ اندازہ لگانے میں پ