7.1 تعارف

ہم نے اب تک براہ راست رو (ڈی سی) کے ماخذ اور ڈی سی ماخذ والے سرکٹس پر غور کیا ہے۔ یہ رو وقت کے ساتھ سمت نہیں بدلتیں۔ لیکن وقت کے ساتھ بدلنے والے وولٹیجز اور رو بہت عام ہیں۔ ہمارے گھروں اور دفاتر میں بجلی کی مین سپلائی ایک ایسا وولٹیج ہے جو وقت کے ساتھ سائن فنکشن کی طرح بدلتا ہے۔ ایسے وولٹیج کو متبادل وولٹیج (اے سی وولٹیج) کہا جاتا ہے اور اس کے ذریعے کسی سرکٹ میں چلنے والی رو کو متبادل رو (اے سی رو)* کہتے ہیں۔ آج کل، ہم جو زیادہ تر برقی آلات استعمال کرتے ہیں انہیں اے سی وولٹیج کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس کی بنیادی وجہ یہ ہے کہ بجلی کی کمپنیوں کے ذریعے فروخت ہونے والی زیادہ تر برقی توانائی متبادل رو کے طور پر منتقل اور تقسیم کی جاتی ہے۔ ڈی سی وولٹیج کے مقابلے میں اے سی وولٹیج کے استعمال کو ترجیح دینے کی بنیادی وجہ یہ ہے کہ اے سی وولٹیجز کو ٹرانسفارمرز کے ذریعے آسانی اور مؤثر طریقے سے ایک وولٹیج سے دوسرے وولٹیج میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، برقی توانائی کو معاشی طور پر طویل فاصلوں پر بھی منتقل کیا جا سکتا ہے۔ اے سی سرکٹس ایسی خصوصیات کا مظاہرہ کرتے ہیں جو روزمرہ استعمال کے بہت سے آلات میں استعمال ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، جب بھی ہم اپنے ریڈیو کو کسی پسندیدہ اسٹیشن پر ٹیون کرتے ہیں، تو ہم اے سی سرکٹس کی ایک خاص خصوصیت سے فائدہ اٹھا رہے ہوتے ہیں - ان میں سے ایک جو آپ اس باب میں پڑھیں گے۔

• اے سی وولٹیج اور اے سی رو کے فقرے متضاد اور غیر ضروری ہیں، بالترتیب، کیونکہ ان کے لغوی معنی ہیں: متبادل رو وولٹیج اور متبادل رو رو۔ پھر بھی، اے سی کا مخفف کسی برقی مقدار کو ظاہر کرنے کے لیے جو سادہ ہارمونک وقت پر انحصار کرتا ہے، عالمی سطح پر اتنا قبول کر لیا گیا ہے کہ ہم اس کے استعمال میں دوسروں کی پیروی کرتے ہیں۔ مزید برآں، وولٹیج – ایک اور عام طور پر استعمال ہونے والا فقرہ دو نکات کے درمیان ممکنہ فرق کو ظاہر کرتا ہے۔

7.2 اے سی وولٹیج ایک ریزسٹر پر لگایا گیا

>

نکولا ٹیسلا (1856 –1943) سربیا-امریکی سائنسدان، موجد اور ذہین۔ انہوں نے گردش کرنے والے مقناطیسی میدان کا تصور پیش کیا، جو عملی طور پر تمام متبادل رو مشینری کی بنیاد ہے، اور جس نے بجلی کی طاقت کے دور کے آغاز میں مدد کی۔ انہوں نے دیگر چیزوں کے علاوہ انڈکشن موٹر، اے سی پاور کا پولی فیز سسٹم، اور ہائی فریکوئنسی انڈکشن کائل (ٹیسلا کائل) بھی ایجاد کیا جو ریڈیو اور ٹیلی ویژن سیٹس اور دیگر الیکٹرانک آلات میں استعمال ہوتا ہے۔ ایس آئی یونٹ آف میگنیٹک فیلڈ ان کے اعزاز میں نامزد کیا گیا ہے۔

شکل 7.1 ایک ریزسٹر کو دکھاتی ہے جو اے سی وولٹیج کے ماخذ $\varepsilon$ سے منسلک ہے۔ سرکٹ ڈایاگرام میں اے سی ماخذ کی علامت $\Theta$ ہے۔ ہم ایک ایسے ماخذ پر غور کرتے ہیں جو اپنے ٹرمینلز کے پار سائنوسیڈلی بدلتا ہوا ممکنہ فرق پیدا کرتا ہے۔ اس ممکنہ فرق کو، جسے اے سی وولٹیج بھی کہا جاتا ہے، اس طرح دیا جائے

$$ \begin{equation*} v=v_{m} \sin \omega t \tag{7.1} \end{equation*} $$

جہاں $v_{m}$ کمپن کرنے والے ممکنہ فرق کا طول ہے اور $\omega$ اس کی کونیائی فریکوئنسی ہے۔

شکل 7.1 اے سی وولٹیج ایک ریزسٹر پر لگایا گیا۔

ریزسٹر سے گزرنے والی رو کی قدر معلوم کرنے کے لیے، ہم Kirchhoffs لوپ رول $\sum \varepsilon(t)=0$ (سیکشن 3.13 دیکھیں) کو شکل 7.1 میں دکھائے گئے سرکٹ پر لاگو کرتے ہیں تاکہ حاصل کریں

$ v_{m} \sin \omega t=i R $

یا $i=\frac{v_{m}}{R} \sin \omega t$

چونکہ $R$ ایک مستقل ہے، ہم اس مساوات کو اس طرح لکھ سکتے ہیں

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t \tag{7.2} \end{equation*} $$

جہاں رو کا طول $i_{m}$ اس طرح دیا گیا ہے

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{R} \tag{7.3} \end{equation*} $$

شکل 7.2 ایک خالص ریزسٹر میں، وولٹیج اور رو ایک ہی فیز میں ہوتے ہیں۔ کم سے کم، صفر اور زیادہ سے زیادہ ایک ہی متعلقہ اوقات پر واقع ہوتے ہیں۔

مساوات (7.3) Ohm کا قانون ہے، جو ریزسٹرز کے لیے، اے سی اور ڈی سی دونوں وولٹیجز کے لیے یکساں طور پر کام کرتا ہے۔ ایک خالص ریزسٹر کے پار وولٹیج اور اس سے گزرنے والی رو، جو مساوات (7.1) اور (7.2) کے ذریعے دی گئی ہیں، کو وقت کے فنکشن کے طور پر شکل 7.2 میں پلاٹ کیا گیا ہے۔ خاص طور پر نوٹ کریں کہ دونوں $v$ اور $i$ ایک ہی وقت پر صفر، کم از کم اور زیادہ سے زیادہ اقدار تک پہنچتے ہیں۔ واضح طور پر، وولٹیج اور رو ایک دوسرے کے ساتھ فیز میں ہیں۔

ہم دیکھتے ہیں کہ، لگائے گئے وولٹیج کی طرح، رو سائنوسیڈلی بدلتی ہے اور ہر سائیکل کے دوران متعلقہ مثبت اور منفی اقدار رکھتی ہے۔ اس طرح، ایک مکمل سائیکل پر فوری رو اقدار کا مجموعہ صفر ہے، اور اوسط رو صفر ہے۔ حقیقت کہ اوسط رو صفر ہے، تاہم، اس کا یہ مطلب نہیں ہے کہ اوسط طاقت کا استعمال صفر ہے اور برقی توانائی کا کوئی اخراج نہیں ہے۔ جیسا کہ آپ جانتے ہیں، Joule حرارت $i^{2} R$ کے ذریعے دی جاتی ہے اور $i^{2}$ پر انحصار کرتی ہے (جو ہمیشہ مثبت ہوتی ہے چاہے $i$ مثبت ہو یا منفی) اور $i$ پر نہیں۔ اس طرح، Joule حرارت اور برقی توانائی کا اخراج ہوتا ہے جب ایک اے سی رو کسی ریزسٹر سے گزرتی ہے۔

جارج ویسٹنگ ہاؤس (1846 – 1914) متبادل رو کے استعمال کے براہ راست رو پر استعمال کے ایک سرکردہ حامی۔ اس طرح، وہ تھامس ایلوا ایڈیسن کے ساتھ تصادم میں آئے، جو براہ راست رو کے وکیل تھے۔ ویسٹنگ ہاؤس پر یقین تھا کہ متبادل رو کی ٹیکنالوجی برقی مستقبل کی کنجی تھی۔ انہوں نے اپنے نام سے مشہور کمپنی قائم کی اور نکولا ٹیسلا اور دیگر موجدوں کی خدمات حاصل کیں متبادل رو موٹرز اور ہائی ٹینشن رو کی ترسیل کے آلات کی ترقی میں، بڑے پیمانے پر روشنی میں پائلٹ۔

ریزسٹر میں فوری طور پر ضائع ہونے والی طاقت ہے

$$ \begin{equation*} p=i^{2} R=i_{m}^{2} R \sin ^{2} \omega t \tag{7.4} \end{equation*} $$

ایک سائیکل پر $p$ کی اوسط قدر ہے*

$$ \begin{equation*} \bar{p}=<i^{2} R>=<i_{m}^{2} R \sin ^{2} \omega t> \tag{7.5 a} \end{equation*} $$

جہاں کسی حرف (یہاں، $p$ ) پر بار اس کی اوسط قدر کو ظاہر کرتا ہے اور $<\ldots . .>$ بریکٹ کے اندر کی مقدار کا اوسط لینے کو ظاہر کرتا ہے۔ چونکہ، $i_{m}^{2}$ اور $R$ مستقل ہیں،

$$ \begin{equation*} \bar{p}=i_{m}^{2} R<\sin ^{2} \omega t> \tag{7.5 b} \end{equation*} $$

مثلثیاتی شناخت استعمال کرتے ہوئے، $\sin ^{2} \omega t=$ $1 / 2(1-\cos 2 \omega t)$، ہمارے پاس $\left.<\sin ^{2} \omega t>=(1 / 2)(1-<\cos 2 \omega t \right)$ ہے اور چونکہ $<\cos 2 \omega t>=0^{*}$، ہمارے پاس ہے،

$$ <\sin ^{2} \omega t>=\frac{1}{2} $$

اس طرح،

$$ \begin{equation*} \bar{p}=\frac{1}{2} i_{m}^{2} R \tag{7.5 c} \end{equation*} $$

اے سی پاور کو ڈی سی پاور $\left(P=I^{2} R\right)$ کی ہی شکل میں ظاہر کرنے کے لیے، رو کی ایک خاص قدر تعریف کی جاتی ہے اور استعمال کی جاتی ہے۔ اسے روٹ مین اسکوائر (rms) یا مؤثر رو کہا جاتا ہے (شکل 7.3) اور اسے $I_{r m s}$ یا $I$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

شکل 7.3 rms رو $I$ چوٹی کی رو $i_{m}$ سے اس طرح متعلق ہے $I=i_{m} / \sqrt{2}=0.707 i_{m}$۔

• کسی فنکشن $F(t)$ کی اوسط قدر ایک مدت $T$ پر اس طرح دی جاتی ہے $\langle F(t)\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} F(t) \mathrm{d} t$

$<\cos 2 \omega t> \text{=} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\cos 2 \omega tdt \text{=} \frac{1}{T}[\large\frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_{0}^{T} \text{=}\frac{1}{2 \omega T}[\sin 2 \omega \text{-}0]=0$

یہ اس طرح تعریف کی گئی ہے

$$ \begin{align*} I=\sqrt{\overline{i^{2}}} & =\sqrt{\frac{1}{2} i_{m}^{2}}=\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} \\ & =0.707 i_{m} \tag{7.6} \end{align*} $$

$I$ کے لحاظ سے، اوسط طاقت، جسے $P$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، ہے

$$ \begin{equation*} P=\bar{p}=\frac{1}{2} i_{m}^{2} R=I^{2} R \tag{7.7} \end{equation*} $$

اسی طرح، ہم rms وولٹیج یا مؤثر وولٹیج کو اس طرح تعریف کرتے ہیں

$$ \begin{equation*} V=\frac{v_{m}}{\sqrt{2}}=0.707 v_{m} \tag{7.8} \end{equation*} $$

مساوات (7.3) سے، ہمارے پاس ہے

$$ v_{m}=i_{m} R $$

یا، $\frac{v_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} R$

یا، $V=I R$

مساوات (7.9) اے سی رو اور اے سی وولٹیج کے درمیان تعلق دیتی ہے اور ڈی سی کیس کی طرح ہے۔ یہ rms اقدار کے تصور کو متعارف کرانے کا فائدہ ظاہر کرتا ہے۔ rms اقدار کے لحاظ سے، طاقت کے لیے مساوات [مساوات (7.7)] اور اے سی سرکٹس میں رو اور وولٹیج کے درمیان تعلق بنیادی طور پر ڈی سی کیس جیسے ہی ہیں۔

اے سی مقداروں کے لیے rms اقدار کو ماپنا اور بیان کرنا رواج ہے۔ مثال کے طور پر، گھریلو لائن وولٹیج $220 \mathrm{~V}$ ایک $\mathrm{rms}$ قدر ہے جس کی چوٹی وولٹیج ہے

$$ v_{m}=\sqrt{2} \quad V=(1.414)(220 \mathrm{~V})=311 \mathrm{~V} $$

درحقیقت، $I$ یا rms رو وہ مساوی ڈی سی رو ہے جو متبادل رو کی طرح اوسط طاقت کا نقصان پیدا کرے گی۔ مساوات (7.7) کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے

$$ P=V^{2} / R=I V \quad(\text { since } V=I R) $$

مثال 7.1 ایک لائٹ بلب کو $100 \mathrm{~W}$ کے لیے $220 \mathrm{~V}$ سپلائی کے لیے ریٹ کیا گیا ہے۔ معلوم کریں (الف) بلب کا مزاحمت؛ (ب) ماخذ کی چوٹی وولٹیج؛ اور (ج) بلب سے گزرنے والی rms رو۔

حل

(الف) ہمیں دیا گیا ہے $P=100 \mathrm{~W}$ اور $V=220 \mathrm{~V}$۔ بلب کا مزاحمت ہے

$$ R=\frac{V^{2}}{P}=\frac{(220 \mathrm{~V})^{2}}{100 \mathrm{~W}}=484 \Omega $$

(ب) ماخذ کی چوٹی وولٹیج ہے

$$ v_{m}=\sqrt{2} \mathrm{~V}=311 \mathrm{~V} $$

(ج) چونکہ، $P=I V$

$$ I=\frac{P}{V}=\frac{100 \mathrm{~W}}{220 \mathrm{~V}}=0.454 \mathrm{~A} $$

7.3 گھومنے والے ویکٹرز کے ذریعے اے سی رو اور وولٹیج کی نمائندگی - فیزرز

پچھلے سیکشن میں، ہم نے سیکھا کہ ریزسٹر سے گزرنے والی رو اے سی وولٹیج کے ساتھ فیز میں ہوتی ہے۔ لیکن یہ معاملہ انڈکٹر، کیپسیٹر یا ان سرکٹ عناصر کے مجموعے کے معاملے میں ایسا نہیں ہے۔ اے سی سرکٹ میں وولٹیج اور رو کے درمیان فیز تعلق ظاہر کرنے کے لیے، ہم فیزرز کے تصور کا استعمال کرتے ہیں۔ اے سی سرکٹ کا تجزیہ فیزر ڈایاگرام کے استعمال سے آسان ہو جاتا ہے۔ ایک فیزر* ایک ویکٹر ہے جو مبدا کے گرد کونیائی رفتار $\omega$ کے ساتھ گھومتا ہے، جیسا کہ شکل 7.4 میں دکھایا گیا ہے۔ فیزرز $\mathbf{V}$ اور $\mathbf{I}$ کے عمودی اجزاء سائنوسیڈلی بدلتی ہوئی مقداروں $v$ اور $i$ کی نمائندگی کرتے ہیں۔ فیزرز $\mathbf{V}$ اور $\mathbf{I}$ کے طول ان کمپن کرنے والی مقداروں کے طول یا چوٹی اقدار $v_{m}$ اور $i_{m}$ کی نمائندگی کرتے ہیں۔ شکل 7.4(a) وولٹیج اور رو فیزرز اور ان کے تعلق کو وقت $t_{1}$ پر اس کیس کے لیے دکھاتی ہے جب ایک اے سی ماخذ کسی ریزسٹر سے منسلک ہو یعنی، شکل 7.1 میں دکھائے گئے سرکٹ کے مطابق۔ وولٹیج اور رو فیزرز کا عمودی محور پر پراجیکشن، یعنی $v_{m} \sin \omega t$ اور $i_{m} \sin \omega t$، بالترتیب اس لمحے وولٹیج اور رو کی قدر کی نمائندگی کرتے ہیں۔ جیسے ہی وہ فریکوئنسی $\omega$ کے ساتھ گھومتے ہیں، شکل 7.4(b) میں منحنی خطوط پیدا ہوتے ہیں۔

شکل 7.4 (الف) شکل 7.1 میں سرکٹ کے لیے ایک فیزر ڈایاگرام۔ (ب) $v$ اور $i$ بمقابلہ $\omega t$ کا گراف۔

شکل 7.4(a) سے ہم دیکھتے ہیں کہ ریزسٹر کے معاملے میں فیزرز $\mathbf{V}$ اور $\mathbf{I}$ ایک ہی سمت میں ہیں۔ یہ ہر وقت کے لیے سچ ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ وولٹیج اور رو کے درمیان فیز زاویہ صفر ہے۔

7.4 اے سی وولٹیج ایک انڈکٹر پر لگایا گیا

شکل 7.5 ایک اے سی ماخذ کو منسلک کرتے ہوئے دکھاتی ہے جو ایک انڈکٹر سے منسلک ہے۔ عام طور پر، انڈکٹرز کی وائنڈنگز میں قابل قدر مزاحمت ہوتی ہے، لیکن ہم فرض کریں گے کہ اس انڈکٹر میں نہ ہونے کے برابر مزاحمت ہے۔ اس طرح، سرکٹ ایک خالص انڈکٹو اے سی سرکٹ ہے۔ ماخذ کے پار وولٹیج $v=v_{m} \sin \omega t$ ہونے دیں۔ Kirchhoff’s لوپ رول استعمال کرتے ہوئے، $\sum \varepsilon(t)=0$، اور چونکہ سرکٹ میں کوئی ریزسٹر نہیں ہے،

$$ \begin{equation*} v-L \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}=0 \tag{7.10} \end{equation*} $$

جہاں دوسرا ٹرم انڈکٹر میں خود پیدا ہونے والی Faraday emf ہے؛ اور $L$ کی خود انڈکٹنس ہے

شکل 7.5 ایک اے سی ماخذ ایک انڈکٹر سے منسلک۔

• اگرچہ اے سی سرکٹ میں وولٹیج اور رو فیزرز – گھومنے والے ویکٹرز کے ذریعے ظاہر کیے جاتے ہیں، وہ خود ویکٹر نہیں ہیں۔ وہ سکیلر مقدار ہیں۔ ایسا ہوتا ہے کہ ہارمونیکلی بدلنے والے سکیلرز کے طول اور فیز ریاضیاتی طور پر اسی طرح ملتے ہیں جیسے متعلقہ طول اور سمتوں کے گھومنے والے ویکٹرز کے پراجیکشن۔ گھومنے والے ویکٹرز جو ہارمونیکلی بدلنے والی سکیلر مقداروں کی نمائندگی کرتے ہیں، صرف ہمیں ان مقداروں کو جوڑنے کا ایک آسان طریقہ فراہم کرنے کے لیے متعارف کرائے جاتے ہیں، ایک ایسا اصول استعمال کرتے ہوئے جو ہم پہلے سے جانتے ہیں۔

انڈکٹر۔ منفی علامت Lenz کے قانون (باب 6) سے ملتی ہے۔ مساوات (7.1) اور (7.10) کو ملا کر، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}=\frac{v}{L}=\frac{v_{m}}{L} \sin \omega t \tag{7.11} \end{equation*} $$

مساوات (7.11) کا مطلب ہے کہ $i(t)$ کے لیے مساوات، وقت کے فنکشن کے طور پر رو، ایسی ہونی چاہیے کہ اس کا ڈھلوان $\mathrm{d} i / \mathrm{d} t$ ایک سائنوسیڈلی بدلتی ہوئی مقدار ہو، ماخذ وولٹیج کے ساتھ ایک ہی فیز اور ایک طول جو $v_{m} / L$ کے ذریعے دیا گیا ہو۔ رو حاصل کرنے کے لیے، ہم $\mathrm{d} i / \mathrm{d} t$ کو وقت کے ساتھ انٹیگریٹ کرتے ہیں:

$$ \int \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t} \mathrm{~d} t=\frac{v_{m}}{L} \int \sin (\omega t) \mathrm{d} t $$

اور حاصل کرتے ہیں،

$$ i=-\frac{v_{m}}{\omega L} \cos (\omega t)+\text { constant } $$

انٹیگریشن کانسٹنٹ کا رو کے جیسا ڈائمینشن ہے اور وقت سے آزاد ہے۔ چونکہ ماخذ کی emf ہے جو صفر کے گرد ہم آہنگی سے کمپن کرتی ہے، جو رو اسے برقرار رکھتی ہے وہ بھی صفر کے گرد ہم آہنگی سے کمپن کرتی ہے، تاکہ رو کا کوئی مستقل یا وقت سے آزاد جزو موجود نہ ہو۔ اس لیے، انٹیگریشن کانسٹنٹ صفر ہے۔ استعمال کرتے ہوئے

$$ -\cos (\omega t)=\sin \omega t-\frac{\pi}{2} \text {, we have } $$

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t-\frac{\pi}{2} \tag{7.12} \end{equation*} $$

جہاں $i_{m}=\frac{v_{m}}{\omega L}$ رو کا طول ہے۔ مقدار $\omega L$ مزاحمت سے مشابہ ہے اور اسے انڈکٹو ری ایکٹنس کہا جاتا ہے، جسے $X_{L}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے:

$$ \begin{equation*} X_{L}=\omega L \tag{7.13} \end{equation*} $$

رو کا طول ہے، پھر

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{X_{L}} \tag{7.14} \end{equation*} $$

انڈکٹو ری ایکٹنس کا ڈائمینشن مزاحمت جیسا ہی ہے اور اس کا ایس آئی یونٹ اوہم $(\Omega)$ ہے۔ انڈکٹو ری ایکٹنس خالص انڈکٹو سرکٹ میں رو کو اسی طرح محدود کرتی ہے جیسے مزاحمت خالص مزاحمتی سرکٹ میں رو کو محدود کرتی ہے۔ انڈکٹو ری ایکٹنس براہ راست انڈکٹنس اور رو کی فریکوئنسی کے متناسب ہے۔

انڈکٹر میں ماخذ وولٹیج اور رو کے لیے مساوات (7.1) اور (7.12) کا موازنہ دکھاتا ہے کہ رو وولٹیج سے $\pi / 2$ یا ایک چوتھائی (1/4) سائیکل پیچھے رہ جاتی ہے۔ شکل 7.6 (a) اس وقت لمحہ $t_{1}$ پر موجودہ معاملے میں وولٹیج اور رو فیزرز دکھاتی ہے۔ رو فیزر $\mathbf{I}$ وولٹیج فیزر $\pi / 2$ سے پیچھے ہے $\mathbf{V}$۔ جب فریکوئنسی $\omega$ کے ساتھ گھڑی کی مخالف سمت میں گھمایا جاتا ہے، تو وہ وولٹیج اور رو پیدا کرتے ہیں جو بالترتیب مساوات (7.1) اور (7.12) کے ذریعے دیے گئے ہیں اور جیسا کہ شکل 7.6(b) میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 7.6 (الف) شکل 7.5 میں سرکٹ کے لیے ایک فیزر ڈایاگرام۔ (ب) $v$ اور $i$ بمقابلہ $\omega t$ کا گراف۔

ہم دیکھتے ہیں کہ رو اپنی زیادہ سے زیادہ قدر وولٹیج کے مقابلے میں ایک مدت کے ایک چوتھائی $\left[\frac{T}{4}=\frac{\pi / 2}{\omega}\right]$ کے بعد تک پہنچتی ہے۔ آپ نے دیکھا ہے کہ انڈکٹر میں ری ایکٹنس ہوتی ہے جو ڈی سی سرکٹ میں مزاحمت کی طرح رو کو محدود کرتی ہے۔ کیا یہ مزاحمت کی طرح طاقت بھی استعمال کرتی ہے؟ آئیے جاننے کی کوشش کرتے ہیں۔

انڈکٹر کو فراہم کی جانے والی فوری طاقت ہے

$$ \begin{aligned} p_{L}=i v & =i_{m} \sin \omega t-\frac{\pi}{2} \times v_{m} \sin (\omega t) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =-i_{m} v_{m} \cos (\omega t) \sin (\omega t) \\ & =-\frac{i_{m} v_{m}}{2} \sin (2 \omega t) \end{aligned} $$

لہذا، ایک مکمل سائیکل پر اوسط طاقت ہے

$$ \begin{aligned} P _{\mathrm{L}} & =\left\langle-\frac{i _{m} v _{m}}{2} \sin (2 \omega t)\right\rangle \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =-\frac{i _{m} v _{m}}{2}\langle\sin (2 \omega t)\rangle=0 \end{aligned} $$

چونکہ ایک مکمل سائیکل پر $\sin (2 \omega t)$ کا اوسط صفر ہے۔

اس طرح، ایک مکمل سائیکل پر انڈکٹر کو فراہم کی جانے والی اوسط طاقت صفر ہے۔

مثال 7.2 ایک خالص انڈکٹر $25.0 \mathrm{mH}$ کو $220 \mathrm{~V}$ کے ماخذ سے منسلک کیا گیا ہے۔ انڈکٹو ری ایکٹنس اور سرکٹ میں rms رو معلوم کریں اگر ماخذ کی فریکوئنسی $50 \mathrm{~Hz}$ ہے۔

حل انڈکٹو ری ایکٹنس،

$$ \begin{aligned} X_{L} & =2 \pi \nu L=2 \times 3.14 \times 50 \times 25 \times 10^{-3} \Omega \\ & =7.85 \Omega \end{aligned} $$

سرکٹ میں rms رو ہے

$$ I=\frac{V}{X_{L}}=\frac{220 \mathrm{~V}}{7.85 \Omega}=28 \mathrm{~A} $$

7.5 اے سی وولٹیج ایک کیپسیٹر پر لگایا گیا

شکل 7.7 ایک اے سی ماخذ $\varepsilon$ دکھاتی ہے جو اے سی وولٹیج $v=v_{m}$ sin $\omega \mathrm{t}$ پیدا کر رہا ہے صرف ایک کیپسیٹر سے منسلک ہے، ایک خالص کیپسیسیٹو اے سی سرکٹ۔

شکل 7.7 ایک اے سی ماخذ ایک کیپسیٹر سے منسلک۔ ڈی سی سرکٹ میں،

جب ایک کیپسیٹر کو وولٹیج ماخذ سے منسلک کیا جاتا ہے تو رو اس مختصر وقت کے لیے بہے گی جو کیپسیٹر کو چارج کرنے کے لیے درکار ہے۔ جیسے ہی چارج کیپسیٹر پلیٹوں پر جمع ہوتا ہے، ان کے پار وولٹیج بڑھتا ہے، رو کی مخالفت کرتا ہے۔ یعنی، ڈی سی سرکٹ میں کیپسیٹر رو کو محدود یا مخالف کرے گا جیسے ہی یہ چارج ہوتا ہے۔ جب کیپسیٹر مکمل طور پر چارج ہو جاتا ہے، تو سرکٹ میں رو صفر ہو جاتی ہے۔

جب کیپسیٹر کو اے سی ماخذ سے منسلک کیا جاتا ہے، جیسا کہ شکل 7.7 میں ہے، تو یہ رو کو محدود یا ریگولیٹ کرتا ہے، لیکن چارج کے بہاؤ کو مکمل طور پر نہیں روکتا۔ کیپسیٹر کو متبادل طور پر چارج اور ڈسچارج کیا جاتا ہے جیسے ہی رو ہر آدھے سائیکل میں الٹ جاتی ہے۔ $q$ کو کسی بھی وقت $t$ پر کیپسیٹر پر چارج ہونے دیں۔ کیپسیٹر کے پار فوری وولٹیج $v$ ہے

$$ \begin{equation*} v=\frac{q}{C} \tag{7.15} \end{equation*} $$

Kirchhoff’s لوپ رول سے، ماخذ اور کیپسیٹر کے پار وولٹیج برابر ہیں،

$$ v_{m} \sin \omega t=\frac{q}{C} $$

رو معلوم کرنے کے لیے، ہم تعلق $i=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t}$ استعمال کرتے ہیں

$$ i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(v_{m} C \sin \omega t\right)=\omega C v_{m} \cos (\omega t) $$

تعلق استعمال کرتے ہوئے، $\cos (\omega t)=\sin \omega t+\frac{\pi}{2}$، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t+\frac{\pi}{2} \tag{7.16} \end{equation*} $$

جہاں کمپن کرنے والی رو کا طول $i_{m}=\omega C v_{m}$ ہے۔ ہم اسے اس طرح دوبارہ لکھ سکتے ہیں

$$ i_{m}=\frac{v_{m}}{(1 / \omega C)} $$

اس کا موازنہ خالص مزاحمتی سرکٹ کے لیے $i_{m}=v_{m} / R$ سے کرتے ہوئے، ہم پاتے ہیں کہ $(1 / \omega C)$ مزاحمت کا کردار ادا کرتا ہے۔ اسے کیپسیٹو ری ایکٹنس کہا جاتا ہے اور اسے $X_{c}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے،

$$ \begin{equation*} X_{c}=1 / \omega C \tag{7.17} \end{equation*} $$

تاکہ رو کا طول ہے

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{X_{C}} \tag{7.18} \end{equation*} $$

کیپسیٹو ری ایکٹنس کا ڈائمینشن مزاحمت جیسا ہی ہے اور اس کا ایس آئی یونٹ اوہم $(\Omega)$ ہے۔ کیپسیٹو ری ایکٹنس خالص کیپسیسیٹو سرکٹ میں رو کے طول کو اسی طرح محدود کرتی ہے جیسے مزاحمت خالص مزاحمتی سرکٹ میں رو کو محدود کرتی ہے۔ لیکن یہ فریکوئنسی اور کیپسیٹنس کے الٹ متناسب ہے۔

شکل 7.8 (الف) شکل 7.8 میں سرکٹ کے لیے ایک فیزر ڈایاگرام۔ (ب) v اور i بمقابلہ wt کا گراف۔

مساوات (7.16) کا ماخذ وولٹیج کی مساوات، مساوات (7.1) کے ساتھ موازنہ دکھاتا ہے کہ رو وولٹیج سے $\pi / 2$ آگے ہے۔ شکل 7.8(a) ایک لمحہ $t_{1}$ پر فیزر ڈایاگرام دکھاتی ہے۔ یہاں رو فیزر $\mathbf{I}$ وولٹیج فیزر $\pi / 2$ سے آگے ہے $\mathbf{V}$ جیسے ہی وہ گھڑی کی مخالف سمت میں گھومتے ہیں۔ شکل 7.8(b) وقت کے ساتھ وولٹیج اور رو کی تبدیلی دکھاتی ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ رو اپنی زیادہ سے زیادہ قدر وولٹیج کے مقابلے میں ایک مدت کے ایک چوتھائی پہلے تک پہنچ جاتی ہے۔

کیپسیٹر کو فراہم کی جانے والی فوری طاقت ہے $$ \begin{align*} p_{c} & =i v=i_{m} \cos (\omega t) v_{m} \sin (\omega t) \\ & =i_{m} v_{m} \cos (\omega t) \sin (\omega t) \\ & =\frac{i_{m} v_{m}}{2} \sin (2 \omega t) \tag{7.19} \end{align*} $$

لہذا، انڈکٹر کیس کی طرح، اوسط طاقت

$$ \overline{\mathrm{P}} _{C}=\left\langle\frac{i _{m} v _{m}}{2} \sin (2 \omega t)\right\rangle=\frac{i _{m} v _{m}}{2}\langle\sin (2 \omega t)\rangle=0 $$

چونکہ ایک مکمل سائیکل پر $<\sin (2 \omega t)>=0$۔

اس طرح، ہم دیکھتے ہیں کہ انڈکٹر کیس میں، رو وولٹیج سے $\pi / 2$ پیچھے رہ جاتی ہے اور کیپسیٹر کیس میں، رو وولٹیج سے $\pi / 2$ آگے ہوتی ہے۔

مثال 7.3 ایک لیمپ کو کیپسیٹر کے ساتھ سیریز میں جوڑا جاتا ہے۔ ڈی سی اور اے سی کنکشنز کے لیے اپنے مشاہدات کی پیشین گوئی کریں۔ اگر کیپسیٹر کی کیپسیٹنس کم ہو جائے تو ہر کیس میں کیا ہوتا ہے؟

حل جب ڈی سی ماخذ کو کیپسیٹر سے منسلک کیا جاتا ہے، تو کیپسیٹر چارج ہو جاتا ہے اور چارج ہونے کے بعد سرکٹ میں کوئی رو نہیں بہتی ہے اور لیمپ نہیں جلے گا۔ اگر $C$ کم ہو جائے تو بھی کوئی تبدیلی نہیں ہوگی۔ اے سی ماخذ کے ساتھ، کیپسیٹر کیپسیٹیٹو ری ایکٹنس $(1 / \omega C)$ پیش کرتا ہے اور رو سرکٹ میں بہتی ہے۔ نتیجتاً، لیمپ چمکے گا۔ $C$ کو کم کرنے سے ری ایکٹنس بڑھ جائے گی اور لیمپ پہلے سے کم روشن چمکے گا۔

مثال 7.4 ایک $15.0 \mu \mathrm{F}$ کیپسیٹر کو $220 \mathrm{~V}$، $50 \mathrm{~Hz}$ ماخذ سے منسلک کیا گیا ہے۔ کیپسیٹو ری ایکٹنس اور سرکٹ میں رو (rms اور چوٹی) معلوم کریں۔ اگر فریکوئنسی دوگنی ہو جائے، تو کیپسیٹو ری ایکٹنس اور رو پر کیا اثر پڑتا ہے؟

حل کیپسیٹو ری ایکٹنس ہے

$$ X_{C}=\frac{1}{2 \pi \nu C}=\frac{1}{2 \pi(50 \mathrm{~Hz})\left(15.0 \times 10^{-6} \mathrm{~F}\right)}=212 \Omega $$

rms رو ہے

$$ I=\frac{V}{X_{C}}=\frac{220 \mathrm{~V}}{212 \Omega}=1.04 \mathrm{~A} $$

چوٹی کی رو ہے

$$ i_{m}=\sqrt{2} I=(1.41)(1.04 A)=1.47 A $$

یہ رو $+1.47 \mathrm{~A}$ اور $-1.47 \mathrm{~A}$ کے درمیان کمپن کرتی ہے، اور وولٹیج سے $\pi / 2$ آگے ہے۔

اگر فریکوئنسی دوگنی ہو جائے، تو کیپسیٹو ری ایکٹنس آدھی ہو جاتی ہے اور نتیجتاً، رو دوگنی ہو جاتی ہے۔

مثال 7.5 ایک لائٹ بلب اور ایک اوپن کائل انڈکٹر کو ایک اے سی ماخذ سے ایک کلید کے ذریعے منسلک کیا گیا ہے جیسا کہ شکل 7.9 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 7.9

سوئچ بند ہے اور کچھ وقت بعد، انڈکٹر کے اندر ایک آئرن راڈ داخل کیا جاتا ہے۔ لائٹ بلب کی چمک (الف) بڑھ جاتی ہے؛ (ب) کم ہو جاتی ہے؛ (ج) تبدیل نہیں ہوتی، جیسے ہی آئرن راڈ داخل کیا جاتا ہے۔ اپنے جواب کے س