موجی حرکت

موجی حرکت کو سمجھنا#

موجی حرکت محض یہ ہے کہ لہریں کیسے حرکت کرتی ہیں۔ ایک لہر ایک خلل ہے جو توانائی کو ایک جگہ سے دوسری جگہ منتقل کرتی ہے۔ آپ پانی میں لہروں، جو آواز آپ سنتے ہیں، اور جو روشنی آپ دیکھتے ہیں، میں موجی حرکت دیکھ سکتے ہیں۔ اس مضمون میں، ہم مختلف قسم کی لہروں اور ان کی حرکت کے طریقے دیکھیں گے۔ ہم لہروں کے افعال اور خصوصیات پر بھی بات کریں گے، اور صوتی لہروں کے بارے میں جانیں گے۔

لہریں کیا کرتی ہیں؟#

لہریں کئی مختلف کام کر سکتی ہیں:

• توانائی منتقل کرنا
• معلومات بھیجنا
• جس واسطے میں وہ حرکت کر رہی ہوں، اس میں خلل پیدا کرنا

سفر کرنے والی موجی حرکت کی رفتار#

سفر کرنے والی لہر ایک خلل ہے جو کسی واسطے میں پھیلتی ہے، توانائی کو ایک نقطے سے دوسرے نقطے تک منتقل کرتی ہے۔ سفر کرنے والی لہر کی رفتار وہ شرح ہے جس پر خلل واسطے میں حرکت کرتا ہے۔ یہ لہروں کی ایک اہم خصوصیت ہے جو طے کرتی ہے کہ وہ معلومات یا توانائی کتنی تیزی سے منتقل کر سکتی ہیں۔

سفر کرنے والی لہر کی رفتار کا فارمولا#

سفر کرنے والی لہر کی رفتار مندرجہ ذیل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے حساب کی جا سکتی ہے:

$$ v = fλ $$

جہاں:

• v لہر کی رفتار میٹر فی سیکنڈ (m/s) میں ہے۔
• f لہر کی تعدد ہرٹز (Hz) میں ہے۔
• λ لہر کی طولِ موج میٹر (m) میں ہے۔

لہروں کی رفتار کی مثالیں#

یہاں مختلف قسم کی لہروں کی رفتار کی کچھ مثالیں ہیں:

• صوتی لہریں: کمرے کے درجہ حرارت پر ہوا میں آواز کی رفتار تقریباً 343 m/s ہے۔
• آبی لہریں: آبی لہروں کی رفتار پانی کی گہرائی اور لہر کی طولِ موج پر منحصر ہے۔ گہرے پانی کی لہروں کے لیے، رفتار اس طرح دی جاتی ہے:

$$ v = \sqrt{(gλ/2π)} $$

جہاں g کششِ ثقل کی وجہ سے ہونے والی شتاب (9.8 m/s²) ہے۔

• برقی مقناطیسی لہریں: برقی مقناطیسی لہریں، جن میں روشنی اور ریڈیو لہریں شامل ہیں، روشنی کی رفتار سے سفر کرتی ہیں، جو خلا میں تقریباً 299,792,458 m/s ہے۔

لہر کی رفتار کے اطلاقات#

سفر کرنے والی لہروں کی رفتار کے مختلف شعبوں میں بے شمار اطلاقات ہیں، جن میں شامل ہیں:

• مواصلات: برقی مقناطیسی لہروں کی رفتار ریڈیو، ٹیلی ویژن اور انٹرنیٹ جیسی مواصلاتی ٹیکنالوجیز کے لیے انتہائی اہم ہے۔
• رہنمائی: صوتی لہروں کی رفتار پانی کے اندر رہنمائی اور اشیاء کی شناخت کے لیے سونار سسٹمز میں استعمال ہوتی ہے۔
• طبی امیجنگ: الٹراساؤنڈ لہروں کی رفتار الٹراساؤنڈ اسکینز جیسی طبی امیجنگ تکنیکوں میں استعمال ہوتی ہے۔
• ارضی طبیعیات: زلزلے کی لہروں کی رفتار زمین کے اندرونی ڈھانچے اور خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔

سفر کرنے والی لہروں کی رفتار کو سمجھنا، موجی مظاہر اور مختلف سائنسی اور تکنیکی شعبوں میں ان کے عملی اطلاقات کو سمجھنے کے لیے ضروری ہے۔

لہروں کی اصطلاحات#

لہریں ہماری جسمانی دنیا کا ایک بنیادی حصہ ہیں، اور وہ خصوصیات اور رویوں کی ایک وسیع رینج ظاہر کرتی ہیں۔ لہروں کی سائنس کو مؤثر طریقے سے بات چیت کرنے اور سمجھنے کے لیے، ان سے وابستہ اہم اصطلاحات سے واقف ہونا ضروری ہے۔ یہاں لہروں سے متعلق کچھ اہم اصطلاحات ہیں:

1. مطالب (A)#

لہر کا مطالب واسطے کا اس کی توازن کی پوزیشن سے زیادہ سے زیادہ جابجا ہونا ہے۔ یہ لہر کی طاقت یا شدت کی نمائندگی کرتا ہے اور میٹر (m) یا سینٹی میٹر (cm) جیسی اکائیوں میں ناپا جاتا ہے۔

2. دورانیہ (T)#

لہر کا دورانیہ (T) وہ وقت ہے جو کسی ذرے کو اپنی اوسط پوزیشن کے گرد ایک بار آگے پیچھے حرکت کرنے میں لگتا ہے۔ یہ سیکنڈ میں ناپا جاتا ہے۔

3. طولِ موج (λ)#

لہر کی طولِ موج (λ) دو مسلسل چوٹیوں یا گھاٹیوں کے درمیان فاصلہ ہے۔ یہ میٹر میں ناپی جاتی ہے۔

4. تعدد (n):#

لہر کی تعدد ایک سیکنڈ میں ہونے والے مکمل ارتعاشات یا چکروں کی تعداد ہے۔ اسے ہرٹز (Hz) میں ناپا جاتا ہے، جہاں 1 Hz ایک سائیکل فی سیکنڈ کے برابر ہے۔

ان اہم اصطلاحات کو سمجھنا لہروں کے رویے اور خصوصیات کو سمجھنے کے لیے نہایت اہم ہے، جو طبیعیات، انجینئرنگ اور سمندریات سمیت مختلف سائنسی شعبوں میں مؤثر مواصلات اور تجزیہ کو ممکن بناتا ہے۔

موجی حرکت کی درجہ بندی#

موجی حرکت کو مختلف خصوصیات کی بنیاد پر مختلف اقسام میں درجہ بند کیا جا سکتا ہے۔ یہاں کچھ عام درجہ بندیاں ہیں:

1. میکانیکی لہریں بمقابلہ برقی مقناطیسی لہریں:#

• میکانیکی لہریں: ان لہروں کو پھیلنے کے لیے ایک جسمانی واسطے (جیسے ہوا، پانی یا ٹھوس اشیاء) کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان میں واسطے کے ذرات کا ارتعاش یا کمپن شامل ہوتا ہے۔ مثالیں ہیں صوتی لہریں اور آبی لہریں۔
• برقی مقناطیسی لہریں: ان لہروں کو کسی جسمانی واسطے کی ضرورت نہیں ہوتی اور یہ خالی جگہ سے گزر سکتی ہیں۔ یہ کمپن کرنے والے برقی اور مقناطیسی میدانوں پر مشتمل ہوتی ہیں۔ مثالیں ہیں روشنی کی لہریں، ریڈیو لہریں اور مائیکرو ویوز۔

2. عرضی لہریں بمقابلہ طولی لہریں:#

• عرضی لہریں: عرضی لہروں میں، واسطے کے ذرات لہر کی اشاعت کی سمت کے عموداً کمپتے ہیں۔ لہر واسطے کو اوپر نیچے یا ایک طرف سے دوسری طرف حرکت دیتی ہے۔ مثالیں ہیں آبی لہریں اور برقی مقناطیسی لہریں (جیسے روشنی کی لہریں)۔
• طولی لہریں: طولی لہروں میں، واسطے کے ذرات لہر کی اشاعت کی سمت کے متوازی کمپتے ہیں۔ لہر واسطے کو حرکت کی سمت میں سکیڑتی اور پھیلاتی ہے۔ مثالیں ہیں صوتی لہریں اور زلزلے کی لہریں۔

3. سطحی لہریں بمقابلہ جسمانی لہریں:#

• سطحی لہریں: یہ لہریں کسی واسطے کی سرحد یا سطح کے ساتھ سفر کرتی ہیں۔ یہ عام طور پر دو مختلف مواد کے درمیان سطح سے وابستہ ہوتی ہیں۔ مثالیں ہیں سمندر کی سطح پر آبی لہریں اور زمین کی پرت پر سطحی لہریں۔
• جسمانی لہریں: یہ لہریں کسی واسطے کے اندرونی حصے یا جسم میں سفر کرتی ہیں۔ یہ سطح تک محدود نہیں ہوتیں۔ مثالیں ہیں زلزلے کی جسمانی لہریں جو زمین کی تہوں میں پھیلتی ہیں۔

4. مسلسل لہریں بمقابلہ نبضوں:#

• مسلسل لہریں: ان لہروں میں کمپن کا ایک باقاعدہ اور بلا رکاوٹ نمونہ ہوتا ہے۔ یہ وقت کے ساتھ مستقل مطالب اور تعدد برقرار رکھتی ہیں۔ مثالیں ہیں سائن لہریں اور مربعی لہریں۔
• نبضوں: یہ لہریں مختصر دورانیے کے خلل ہیں جن کا ایک آغاز اور اختتام ہوتا ہے۔ یہ مطالب میں اچانک تبدیلی اور پھر اصل حالت میں واپسی کی خصوصیت رکھتی ہیں۔ مثالیں ہیں صوتی نبضیں اور روشنی کی نبضیں۔

5. دوری لہریں بمقابلہ غیر دوری لہریں:#

• دوری لہریں: ان لہروں میں کمپن کا ایک دہرایا جانے والا نمونہ ہوتا ہے۔ ان کی ایک واضح طور پر بیان کردہ طولِ موج اور تعدد ہوتی ہے، اور یہ خود کو باقاعدہ وقفوں پر دہراتی ہیں۔ مثالیں ہیں سائن لہریں اور مربعی لہریں۔
• غیر دوری لہریں: ان لہروں میں کمپن کا کوئی باقاعدہ یا دہرایا جانے والا نمونہ نہیں ہوتا۔ ان کی ایک پیچیدہ اور بے قاعدہ موجی شکل ہوتی ہے۔ مثالیں ہیں شور اور زلزلے کی لہریں۔

6. کھڑی لہریں بمقابلہ سفر کرنے والی لہریں:#

• کھڑی لہریں: یہ لہریں اس وقت بنتی ہیں جب ایک ہی تعدد اور مطالب کی دو لہریں مخالف سمتوں میں سفر کرتی ہیں اور ایک دوسرے پر اثرانداز ہوتی ہیں۔ یہ زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم جابجائی کے مقررہ نقاط کے ساتھ کمپن کا ایک ساکن نمونہ بناتی ہیں۔ مثالیں ہیں کسی کمپتے ہوئے تار پر یا گونج دار گہا میں کھڑی لہریں۔
• سفر کرنے والی لہریں: یہ لہریں کسی واسطے میں حرکت کرتی ہیں، توانائی کو ایک نقطے سے دوسرے نقطے تک لے جاتی ہیں۔ ان کی اشاعت کی ایک واضح سمت ہوتی ہے اور ان کی شکل سفر کے دوران ایک جیسی رہتی ہے۔ مثالیں ہیں آبی لہریں اور صوتی لہریں۔

موجی حرکت کی یہ درجہ بندیاں ہمیں مختلف قسم کی لہروں کو ان کی خصوصیات اور رویے کی بنیاد پر سمجھنے اور تجزیہ کرنے میں مدد کرتی ہیں۔

کھڑی موجی حرکت#

کھڑی موجی حرکت موجی حرکت کی ایک خاص قسم ہے جو اس وقت ہوتی ہے جب ایک ہی تعدد اور مطالب کی دو لہریں مخالف سمتوں میں سفر کرتی ہیں اور ایک دوسرے پر اثرانداز ہوتی ہیں۔ یہ مداخلت لہروں کا ایک ساکن نمونہ بناتی ہے جو کھڑا ہوا دکھائی دیتا ہے۔

کھڑی لہروں کی خصوصیات#

کھڑی لہروں میں کئی خصوصی خصوصیات ہوتی ہیں جو انہیں دیگر اقسام کی لہروں سے ممتاز کرتی ہیں:

• نوڈز اور اینٹی نوڈز: کھڑی لہروں میں صفر جابجائی کے نقاط ہوتے ہیں جنہیں نوڈز کہتے ہیں اور زیادہ سے زیادہ جابجائی کے نقاط ہوتے ہیں جنہیں اینٹی نوڈز کہتے ہیں۔ نوڈز وہاں ہوتے ہیں جہاں دو لہریں تخریبی طور پر مداخلت کرتی ہیں، جبکہ اینٹی نوڈز وہاں ہوتے ہیں جہاں وہ تعمیری طور پر مداخلت کرتی ہیں۔
• تعدد: کھڑی لہر کی تعدد ان دو لہروں کی تعدد کے برابر ہوتی ہے جو اسے بناتی ہیں۔
• طولِ موج: کھڑی لہر کی طولِ موج دو متصل نوڈز یا اینٹی نوڈز کے درمیان فاصلے سے دوگنی ہوتی ہے۔
• مطالب: کھڑی لہر کا مطالب ان دو لہروں کے مطالب کے برابر ہوتا ہے جو اسے بناتی ہیں۔

کھڑی لہروں کی تشکیل#

کھڑی لہریں مختلف طریقوں سے بنائی جا سکتی ہیں، لیکن ایک عام طریقہ یہ ہے کہ کسی لہر کو کسی سرحد سے منعکس کیا جائے۔ جب کسی لہر کو کسی سرحد سے منعکس کیا جاتا ہے، تو وہ اصل لہر پر اثرانداز ہوتی ہے اور ایک کھڑی لہر بناتی ہے۔

مثال کے طور پر، اگر کسی لہر کو دیوار سے منعکس کیا جائے، تو منعکس ہونے والی لہر لہر کے ماخذ کی طرف واپس سفر کرے گی اور اصل لہر پر اثرانداز ہو گی۔ یہ مداخلت دیوار پر نوڈز اور دیوار اور لہر کے ماخذ کے درمیان وسطی نقطے پر اینٹی نوڈز کے ساتھ ایک کھڑی لہر بنائے گی۔

کھڑی لہروں کے اطلاقات#

کھڑی لہروں کے سائنس اور انجینئرنگ میں کئی اطلاقات ہیں۔ کچھ مثالیں یہ ہیں:

• موسیقی کے آلات: کھڑی لہریں گٹار، وائلن اور پیانو جیسے موسیقی کے آلات میں آواز بنانے کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ موسیقی کے آلے سے پیدا ہونے والے مختلف سُر ان کھڑی لہروں کی مختلف تعددوں سے طے ہوتے ہیں جو بنتی ہیں۔
• اینٹینا: کھڑی لہریں ریڈیو لہروں کو ٹرانسمٹ اور وصول کرنے کے لیے اینٹینا میں استعمال ہوتی ہیں۔ اینٹینا کی لمبائی ریڈیو لہروں کی طولِ موج سے طے ہوتی ہے جنہیں ٹرانسمٹ یا وصول کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔
• آپٹیکل فائبرز: کھڑی لہریں آپٹیکل فائبرز میں روشنی کے سگنلز ٹرانسمٹ کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ روشنی کے مختلف رنگ جو آپٹیکل فائبر کے ذریعے ٹرانسمٹ کیے جا سکتے ہیں، ان کھڑی لہروں کی مختلف تعددوں سے طے ہوتے ہیں جو بنتی ہیں۔

کھڑی موجی حرکت طبیعیات کا ایک بنیادی تصور ہے جس کے سائنس اور انجینئرنگ میں وسیع اطلاقات ہیں۔ کھڑی لہروں کی خصوصیات اور تشکیل کو سمجھ کر، ہم اپنے ارد گرد کی دنیا کو بہتر طور پر سمجھ سکتے ہیں اور نئی ٹیکنالوجیز تیار کر سکتے ہیں۔

ترقی پذیر موجی حرکت#

ایک ترقی پذیر لہر وہ لہر ہے جو خلا میں آگے کی طرف حرکت کرتی ہے، جس میں لہر کی توانائی لہر کی حرکت کی ہی سمت میں پھیلتی ہے۔ یہ کھڑی لہر کے برعکس ہے، جو آگے پھیلے بغیر اپنی جگہ پر کمپتی ہے۔

ترقی پذیر لہریں مختلف ذرائع سے بنائی جا سکتی ہیں، جن میں کمپتے ہوئے تار، کمپتے ہوئے سپرنگز، اور آبی لہریں شامل ہیں۔ ہر صورت میں، لہر ایک ایسے خلل سے بنتی ہے جو واسطے کے ذرات کو کمپنے پر مجبور کرتا ہے۔ یہ کمپن پھر واسطے میں پھیلتا ہے، لہر کی توانائی کو اپنے ساتھ لے جاتا ہے۔

ترقی پذیر لہروں کی خصوصیات#

ترقی پذیر لہروں کو کئی خصوصیات کی طرف سے بیان کیا جاتا ہے، جن میں شامل ہیں:

• طولِ موج: لہر کی طولِ موج لہر کی دو متصل چوٹیوں (یا گھاٹیوں) کے درمیان فاصلہ ہے۔
• تعدد: لہر کی تعدد وہ تعداد ہے جو خلا میں کسی مقررہ نقطے سے ایک سیکنڈ میں گزرتی ہے۔
• مطالب: لہر کا مطالب واسطے کے ذرات کا ان کی توازن کی پوزیشنوں سے زیادہ سے زیادہ جابجا ہونا ہے۔
• لہر کی رفتار: لہر کی رفتار وہ شرح ہے جس پر لہر واسطے میں پھیلتی ہے۔

ترقی پذیر لہروں کی ریاضیاتی وضاحت#

ترقی پذیر لہر کی ریاضیاتی وضاحت مندرجہ ذیل مساوات سے دی جاتی ہے:

$$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$

جہاں:

• $y(x, t)$ مقام $x$ اور وقت $t$ پر واسطے کے ذرات کی جابجائی ہے۔
• $A$ لہر کا مطالب ہے۔
• $k$ لہر نمبر ہے، جو $2\pi/\lambda$ کے برابر ہے۔
• $\omega$ لہر کی زاویائی تعدد ہے، جو $2\pi f$ کے برابر ہے۔

ترقی پذیر لہروں کے اطلاقات#

ترقی پذیر لہروں کے وسیع اطلاقات ہیں، جن میں شامل ہیں:

• صوتی لہریں: صوتی لہریں ترقی پذیر لہریں ہیں جو ہوا میں سفر کرتی ہیں۔ صوتی لہر کی تعدد آواز کی پچ طے کرتی ہے، جبکہ مطالب آواز کی بلندی طے کرتا ہے۔
• روشنی کی لہریں: روشنی کی لہریں ترقی پذیر لہریں ہیں جو خلا میں سفر کرتی ہیں۔ روشنی کی لہر کی تعدد روشنی کا رنگ طے کرتی ہے، جبکہ مطالب روشنی کی چمک طے کرتا ہے۔
• آبی لہریں: آبی لہریں ترقی پذیر لہریں ہیں جو پانی کی سطح پر سفر کرتی ہیں۔ آبی لہر کی طولِ موج لہر کا سائز طے کرتی ہے، جبکہ مطالب لہر کی اونچائی طے کرتا ہے۔

ترقی پذیر لہریں ہماری دنیا کا ایک بنیادی حصہ ہیں۔ وہ مختلف مظاہر کی ذمہ دار ہیں، ہماری آوازوں کی آواز سے لے کر جو روشنی ہم دیکھتے ہیں۔ ترقی پذیر لہروں کی خصوصیات کو سمجھ کر، ہم اپنے ارد گرد کی دنیا کو بہتر طور پر سمجھ سکتے ہیں۔

ترقی پذیر لہروں کی اقسام#

ترقی پذیر لہریں وہ لہریں ہیں جو کسی واسطے میں آگے کی طرف حرکت کرتی ہیں، توانائی کو ایک نقطے سے دوسرے نقطے تک منتقل کرتی ہیں۔ ان کی خصوصیت ان کے موج محاذوں سے ہوتی ہے، جو مستقل مرحلے کی سطحیں ہیں، اور ان کی طولِ موجوں سے ہوتی ہے، جو متصل موج محاذوں کے درمیان فاصلے ہیں۔

ترقی پذیر لہروں کی دو اہم اقسام ہیں:

1. عرضی لہریں#

عرضی لہروں میں، واسطے کے ذرات لہر کی اشاعت کی سمت کے عموداً کمپتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ موج محاذ لہر کی اشاعت کی سمت کے عموداً ہوتے ہیں۔ عرضی لہروں کی مثالیں ہیں:

• آبی لہریں: آبی لہریں عرضی لہریں ہیں جو پانی کی سطح پر سفر کرتی ہیں۔ آبی لہروں کے موج محاذ پانی کی سطح کے متوازی ہوتے ہیں، اور پانی کے ذرات اوپر نیچے کمپتے ہیں۔
• روشنی کی لہریں: روشنی کی لہریں عرضی لہریں ہیں جو خلا میں سفر کرتی ہیں۔ روشنی کی لہروں کے موج محاذ روشنی کی اشاعت کی سمت کے عموداً ہوتے ہیں، اور روشنی کے ذرات (فوٹون) لہر کی اشاعت کی سمت کے عموداً کمپتے ہیں۔
• ریڈیو لہریں: ریڈیو لہریں عرضی لہریں ہیں جو خلا میں سفر کرتی ہیں۔ ریڈیو لہروں کے موج محاذ ریڈیو لہر کی اشاعت کی سمت کے عموداً ہوتے ہیں، اور ریڈیو لہروں کے ذرات (فوٹون) لہر کی اشاعت کی سمت کے عموداً کمپتے ہیں۔

2. طولی لہریں#

طولی لہروں میں، واسطے کے ذرات لہر کی اشاعت کی سمت کے متوازی کمپتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ موج محاذ لہر کی اشاعت کی سمت کے متوازی ہوتے ہیں۔ طولی لہروں کی مثالیں ہیں:

• صوتی لہریں: صوتی لہریں طولی لہریں ہیں جو ہوا، پانی اور دیگر مواد میں سفر کرتی ہیں۔ صوتی لہروں کے موج محاذ آواز کی اشاعت کی سمت کے متوازی ہوتے ہیں، اور ہوا، پانی یا دیگر مواد کے ذرات لہر کی اشاعت کی سمت میں آگے پیچھے کمپتے ہیں۔
• زلزلے کی لہریں: زلزلے کی لہریں طولی لہریں ہیں جو زمین میں سفر کرتی ہیں۔ زلزلے کی لہروں کے موج محاذ زلزلے کی لہر کی اشاعت کی سمت کے متوازی ہوتے ہیں، اور زمین کے ذرات لہر کی اشاعت کی سمت میں آگے پیچھے کمپتے ہیں۔

موجی مساوات#

موجی مساوات ایک ریاضیاتی مساوات ہے جو لہروں کی اشاعت کو بیان کرتی ہے۔ یہ ایک دوسرے درجے کی جزوی تفریقی مساوات ہے جو لہر کی جابجائی کو اس کی رفتار اور شتاب سے مربوط کرتی ہے۔

موجی مساوات کی اخذ#

موجی مساوات توانائی اور معیارِ حرکت کے تحفظ سے اخذ کی جا سکتی ہے۔ ایک یک بعدی لہر پر غور کریں جو مثبت x-سمت میں پھیل رہی ہے۔ لہر کی توانائی کثافت اس طرح دی جاتی ہے:

$$E = \frac{1}{2} \rho v^2$$

جہاں $\rho$ واسطے کی کثافت ہے اور $v$ لہر کی رفتار ہے۔

لہر کی معیارِ حرکت کثافت اس طرح دی جاتی ہے:

$$P = \rho v$$

توانائی کا تحفظ کہتا ہے کہ لہر کی کل توانائی مستقل رہنی چاہیے۔ اسے اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے:

$$\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial (Pv)}{\partial x} = 0$$

معیارِ حرکت کا تحفظ کہتا ہے کہ لہر کا کل معیارِ حرکت مستقل رہنا چاہیے۔ اسے اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے:

$$\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial \sigma}{\partial x} = 0$$

جہاں $\sigma$ تناؤ ٹینسر ہے۔

ان دو مساوات کو ملا کر، ہمیں ملتا ہے:

$$\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$$

جہاں $c$ لہر کی رفتار ہے۔

یہ یک بعدی موجی مساوات ہے۔

موجی مساوات کے حل#

موجی مساوات کے مختلف حل ہیں، جو سرحدی حالات پر منحصر ہیں۔ کچھ عام حل میں شامل ہیں:

• سطحی لہریں: یہ وہ لہریں ہیں جن کا مطالب اور رفتار مستقل ہوتی ہے۔
• کروی لہریں: یہ وہ لہریں ہیں جو ایک نقطہ ماخذ سے ہر سمت میں پھیلتی ہیں۔
• اسطوانی لہریں: یہ وہ لہریں ہیں جو ایک خطی ماخذ سے ہر سمت میں پھیلتی ہیں۔
• کھڑی لہریں: یہ وہ لہریں ہیں جو دو سرحدوں کے درمیان آگے پیچھے منعکس ہوتی ہیں۔

نیوٹن کے فارمولے کے مطابق طولی لہروں کی رفتار#

طبیعیات میں، طولی لہر وہ لہر ہے جس میں واسطے کے ذرات لہر کی اشاعت کی سمت کے متوازی کمپتے ہیں۔ صوتی لہریں طولی لہروں کی ایک مثال ہیں۔ طولی لہر کی رفتار اس واسطے کی خصوصیات پر منحصر ہوتی ہے جس میں سے وہ سفر کر رہی ہے۔ اس مضمون میں، ہم نیوٹن کے فارمولے کے مطابق طولی لہر کی رفتار کے فارمولے کو اخذ کریں گے۔

طولی لہروں کی رفتار کے لیے نیوٹن کا فارمولا#

طولی لہروں کی رفتار کے لیے نیوٹن کا فارمولا اس طرح دیا جاتا ہے:

$$v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

جہاں:

• v لہر کی رفتار میٹر فی سیکنڈ (m/s) میں ہے۔
• E واسطے کا لچک کا معیار پاسکل (Pa) میں ہے۔
• ρ واسطے کی کثافت کلوگرام فی کیوبک میٹر (kg/m³) میں ہے۔

نیوٹن کے فارمولے کی اخذ#

نیوٹن کا فارمولا میکانیات کے بنیادی اصولوں سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ سپرنگز سے جڑے ذرات کی ایک یک بعدی زنجیر پر غور کریں۔ جب کسی ذرے کو اس کی توازن کی پوزیشن سے جابجا کیا جاتا ہے، تو وہ پڑوسی ذرات پر قوت ڈالے گا، جس سے وہ بھی حرکت کریں گے۔ یہ زنجیر میں ایک لہر بناتی ہے جو پھیلتی ہے۔

لہر کی رفتار ذرے پر عمل کرنے والی قوتوں پر غور کر کے طے کی جا سکتی ہے۔ سپرنگ کے ذرے پر ڈالی جانے والی قوت اس طرح دی جاتی ہے:

$$F = -kx$$

جہاں:

• F قوت نیوٹن (N) میں ہے۔
• k سپرنگ مستقل نیوٹن فی میٹر (N/m) میں ہے۔
• x میٹر (m) میں ذرے کی اس کی توازن کی پوزیشن سے جابجائی ہے۔

ذرے کا شتاب اس طرح دیا جاتا ہے:

$$a = \frac{F}{m}$$

جہاں:

• a شتاب میٹر فی سیکنڈ مربع (m/s²) میں ہے۔
• m ذرے کا کمیت کلوگرام (kg) میں ہے۔

ان دو مساوات کو ملا کر، ہمیں ملتا ہے:

$$a = -\frac{k}{m}x$$

یہ ایک دوسرے درجے کی تفریقی مساوات ہے جو سپرنگز سے جڑے ذرات کی ایک یک بعدی زنجیر میں ذرے کی حرکت کو بیان کرتی ہے۔ اس مساوات کا حل ایک سائنوسی لہر ہے:

$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

جہاں:

• A لہر کا مطالب میٹر (m) میں ہے۔
• ω لہر کی زاویائی تعدد ریڈین فی سیکنڈ (rad/s) میں ہے۔
• t وقت سیکنڈ (s) میں ہے۔
• ϕ ریڈین میں مرحلہ مستقل ہے۔

لہر کی رفتار اس طرح دی جاتی ہے:

$$v = \frac{\omega}{k}$$

اس مساوات میں ω کے اظہار کو شامل کر کے، ہمیں ملتا ہے:

$$v = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

یہ طولی لہر کی رفتار کے لیے نیوٹن کا فارمولا ہے۔

طولی لہر کی رفتار کے لیے نیوٹن کا فارمولا طبیعیات میں ایک بنیادی مساوات ہے۔ اس کا استعمال مختلف واسطوں میں صوتی لہروں کی رفتار کے ساتھ ساتھ دیگر اقسام کی طولی لہروں کی رفتار کا حساب لگانے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔

لیپلاس کی اصلاح کے مطابق طولی لہروں (آواز) کی رفتار#

لیپلاس کی اصلاح ہوا میں آواز کی رفتار کے فارمولے میں ایک ریاضیاتی ایڈجسٹمنٹ ہے جو اس حقیقت کو مدنظر رکھتی ہے کہ ہوا ایک کامل گیس نہیں ہے۔ یہ اصلاح ضروری ہے کیونکہ گیس میں آواز کی رفتار گیس کے درجہ حرارت، دباؤ اور کثافت سے متاثر ہوتی ہے۔

ہوا میں آواز کی رفتار کا فارمولا#

ہوا میں آواز کی رفتار کا فارمولا ہے:

$$v = \sqrt{\frac{kRT}{M}}$$

جہاں:

• $v$ میٹر فی سیکنڈ میں آواز کی رفتار ہے۔
• $k$ مستقل دباؤ اور مستقل حجم پر مخصوص حرارتوں کا تناسب ہے۔
• ⟦31