باب 9 کرنیں آپٹکس اور آپٹیکل آلات

9.1 تعارف [221-222]#

قدرت نے انسانی آنکھ (شبکیہ) کو برق مقناطیسی لہروں کو محسوس کرنے کی حس عطا کی ہے جو برق مقناطیسی طیف کے ایک چھوٹے سے حصے کے اندر آتی ہیں۔ اس طیف کے اس حصے سے تعلق رکھنے والی برق مقناطیسی تابکاری (طول موج تقریباً $400 \mathrm{~nm}$ سے $750 \mathrm{~nm}$ ) کو روشنی کہا جاتا ہے۔ یہ بنیادی طور پر روشنی اور بینائی کے احساس کے ذریعے ہے کہ ہم اپنے اردگرد کی دنیا کو جانتے اور سمجھتے ہیں۔

ہم اپنی عام تجربے سے روشنی کے بارے میں دو باتیں بدیہی طور پر بیان کر سکتے ہیں۔ پہلی، کہ یہ بہت تیز رفتار سے سفر کرتی ہے اور دوسری، کہ یہ سیدھی لکیر میں سفر کرتی ہے۔ لوگوں کو یہ سمجھنے میں وقت لگا کہ روشنی کی رفتار محدود اور ماپنے کے قابل ہے۔ خلا میں اس کی حالیہ قبول شدہ قدر $c=2.99792458 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ہے۔ بہت سے مقاصد کے لیے $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ لینا کافی ہے۔ خلا میں روشنی کی رفتار قدرتی طور پر حاصل کی جا سکنے والی سب سے زیادہ رفتار ہے۔

روشنی کے سیدھی لکیر میں سفر کرنے کے بدیہی تصور کو یہ سمجھنا مشکل ہو سکتا ہے جو ہم نے باب 8 میں سیکھا ہے کہ روشنی ایک برق مقناطیسی لہر ہے جس کی طول موج مرئی طیف کے حصے سے تعلق رکھتی ہے۔ ان دو حقائق کو کس طرح ملا سکتے ہیں؟ جواب یہ ہے کہ روشنی کی طول موج ہمیں عام طور پر ملنے والے اشیاء کے سائز کے مقابلے میں بہت چھوٹی ہوتی ہے (عام طور پر چند $\mathrm{cm}$ یا اس سے زیادہ کے حکم کی)۔ اس صورت حال میں، جیسا کہ آپ باب 10 میں سیکھیں گے، روشنی کی لہر کو ایک نقطے سے دوسرے نقطے تک، ان دونوں کو جوڑنے والی سیدھی لکیر کے ساتھ سفر کرتی ہوئی سمجھا جا سکتا ہے۔ اس راستے کو روشنی کی کرن کہا جاتا ہے، اور ایسی کرنوں کا ایک مجموعہ روشنی کی شعاع بناتا ہے۔

اس باب میں ہم روشنی کی عکاسی، انعکاس اور پھیلاؤ کے مظاہر پر غور کریں گے، روشنی کی کرن تصویر کا استعمال کرتے ہوئے۔ عکاسی اور انعکاس کے بنیادی قوانین کا استعمال کرتے ہوئے، ہم مسطح اور کروی عکاس اور انعکاس کرنے والی سطحوں کے ذریعے تصویر کی تشکیل کا مطالعہ کریں گے۔ پھر ہم کچھ اہم آپٹیکل آلات کی تعمیر اور کام کی وضاحت کریں گے، بشمول انسانی آنکھ۔

9.2 کروی آئینوں پر روشنی کی عکاسی [222]#

شکل 9.1 آنے والی کرن، عکاس کرن اور عکاس سطح کی عمودی ایک ہی مستوی میں ہوتی ہیں۔

ہم عکاسی کے قوانین سے واقف ہیں۔ عکاسی کا زاویہ (یعنی عکاس کرن اور عکاس سطح یا آئینے کی عمودی کے درمیان کا زاویہ) آمد کا زاویہ (آنے والی کرن اور عمودی کے درمیان کا زاویہ) کے برابر ہوتا ہے۔ نیز یہ کہ آنے والی کرن، عکاس کرن اور عکاس سطح کی آمد کے نقطہ پر عمودی ایک ہی مستوی میں ہوتی ہے (شکل 9.1)۔ یہ قوانین ہر عکاس سطح پر ہر نقطہ پر درست ہیں چاہے وہ مسطح ہو یا خمیدہ۔ تاہم، ہم اپنی بحث کو خمیدہ سطحوں کے خاص معاملے تک محدود کریں گے، یعنی کروی سطحوں۔ اس معاملے میں عمودی کو سطح کے اسپر ٹینجنٹ پر عمودی کے طور پر لیا جائے گا۔ یعنی، عمودی ریڈیس کے ساتھ ہوتی ہے، جو آئینے کے خمیدہ مرکز کو آمد کے نقطہ سے جوڑتی ہے۔

ہم پہلے ہی پڑھ چکے ہیں کہ کروی آئینے کا جیومیٹرک مرکز اس کا قطب کہلاتا ہے جبکہ کروی عدسے کا جیومیٹرک مرکز اس کا آپٹیکل مرکز کہلاتا ہے۔ قطب اور کروی آئینے کے خمیدہ مرکز کو جوڑنے والی لائن کو پرنسپل محور کہا جاتا ہے۔ کروی عدسوں کے معاملے میں، پرنسپل محور وہ لائن ہے جو آپٹیکل مرکز کو اس کے پرنسپل فوکس سے جوڑتی ہے جیسا کہ آپ بعد میں دیکھیں گے۔

9.2.1 علامتی اتفاق [222-223]#

شکل 9.2 کارٹیشین علامتی اتفاق۔

کروی آئینوں کی عکاسی اور کروی عدسوں کے انعکاس کے لیے متعلقہ صورتیں اخذ کرنے کے لیے، ہمیں پہلے فاصلوں کی پیمائش کے لیے علامتی اتفاق اپنانا ہوگا۔ اس کتاب میں ہم کارٹیشین علامتی اتفاق پر عمل کریں گے۔ اس اتفاق کے مطابق، تمام فاصلے آئینے کے قطب یا عدسے کے آپٹیکل مرکز سے ماپے جاتے ہیں۔ وہ فاصلے جو آنے والی روشنی کی سمت میں ماپے جاتے ہیں مثبت لیے جاتے ہیں اور جو آنے والی روشنی کی سمت کے برعکس میں ماپے جاتے ہیں منفی لیے جاتے ہیں (شکل 9.2)۔ x-axis اور پرنسپل محور ( $x$-axis) کے ساتھ عمودی اوپر کی طرف ماپے گئے اونچائی مثبت لیے جاتی ہیں (شکل 9.2)۔ نیچے کی طرف ماپے گئے اونچائی منفی لیے جاتی ہیں۔

ایک مشترکہ قبول شدہ اتفاق کے ساتھ، یہ نکلا کہ کروی آئینوں کے لیے ایک ہی صورت اور کروی عدسوں کے لیے ایک ہی صورت تمام مختلف معاملوں کو سنبھال سکتی ہے۔

9.2.2 کروی آئینوں کی فوکل لمبائی [223-224]#

شکل 9.3 دکھاتی ہے کہ کیا ہوتا ہے جب کروی آئینوں پر (a) ایک مقعر آئینہ، اور (b) ایک محدب آئینہ پر ایک متوازی شعاع آتی ہے۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ کرنیں paraxial ہیں، یعنی، وہ آئینے کے قطب $\mathrm{P}$ کے قریب کے نقطوں پر آتی ہیں اور پرنسپل محور کے ساتھ چھوٹے زاویے بناتی ہیں۔ عکاس کرنیں ایک مقعر آئینے کے پرنسپل محور پر ایک نقطہ $\mathrm{F}$ پر مرتکز ہوتی ہیں [شکل 9.3(a)]۔ ایک محدب آئینے کے لیے، عکاس کرنیں اس کے پرنسپل محور پر ایک نقطہ $\mathrm{F}$ سے پھیلتی ہوئی نظر آتی ہیں [شکل 9.3(b)]۔ نقطہ $\mathrm{F}$ کو آئینے کا پرنسپل فوکس کہا جاتا ہے۔ اگر متوازی paraxial شعاع پرنسپل محور کے ساتھ کچھ زاویہ بناتے ہوئے آتی، تو عکاس کرنیں $\mathrm{F}$ کے ذریعے عمودی پرنسپل محور والے مستوی میں ایک نقطہ پر مرتکز ہوتیں (یا پھیلتی ہوئی نظر آتیں)۔ یہ آئینے کا فوکل مستوی کہلاتا ہے [شکل 9.3(c)]۔

شکل 9.3 مقعر اور محدب آئینے کا فوکس۔

فوکس $\mathrm{F}$ اور آئینے کے قطب $\mathrm{P}$ کے درمیان کا فاصلہ آئینے کی فوکل لمبائی کہلاتا ہے، جسے $f$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ہم اب دکھاتے ہیں کہ $f=R / 2$، جہاں $R$ آئینے کے خمیدگی کے ریڈیس ہے۔ آنے والی کرن کی عکاسی کا جیومیٹری شکل 9.4 میں دکھائی گئی ہے۔

شکل 9.4 آنے والی کرن کی عکاسی کا جیومیٹری (a) مقعر کروی آئینہ پر، اور (b) محدب کروی آئینہ پر۔

فرض کریں $\mathrm{C}$ آئینے کا خمیدہ مرکز ہے۔ ایک کرن پرنسپل محور کے متوالی کو آئینے پر $\mathrm{M}$ پر ٹکراتی ہے۔ پھر $\mathrm{CM}$ آئینے پر M پر عمودی ہوگی۔ فرض کریں $\theta$ آمد کا زاویہ ہے، اور MD پرنسپل محور سے $\mathrm{M}$ کی عمودی ہے۔ پھر،

$ \angle \mathrm{MCP}=\theta \text { and } \angle \mathrm{MFP}=2 \theta $

اب،

$$ \begin{equation*} \tan \theta=\dfrac{\mathrm{MD}}{\mathrm{CD}} \text { and } \tan 2 \theta=\dfrac{\mathrm{MD}}{\mathrm{FD}} \tag{9.1} \end{equation*} $$

چھوٹے $\theta$ کے لیے، جو paraxial کرنوں کے لیے درست ہے، $\tan \theta \approx \theta$، $\tan 2 \theta \approx 2 \theta$۔ لہٰذا، مساوات (9.1) دیتا ہے

$$ \begin{equation*} \dfrac{\mathrm{MD}}{\mathrm{FD}}=2 \dfrac{\mathrm{MD}}{\mathrm{CD}} \tag{9.2} \end{equation*} $$

یا،

$$\mathrm{FD}=\dfrac{\mathrm{CD}}{2} $$

اب، چھوٹے $\theta$ کے لیے، نقطہ $D$ نقطہ $P$ کے بہت قریب ہوتا ہے۔ لہٰذا، $\mathrm{FD}=f$ اور $\mathrm{CD}=R$۔ مساوات (9.2) پھر دیتا ہے

$$ \begin{equation*} f=R/2 \tag{9.3} \end{equation*} $$

9.2.3 آئینے کا مساوات [224-228]#

شکل 9.5 مقعر آئینے کی تصویر کی تشکیل کے لیے کرن خاکہ۔

اگر ایک نقطہ سے نکلنے والی کرنیں عکاسی اور/یا انعکاس کے بعد کسی دوسرے نقطہ پر واقعی مل جائیں، تو وہ نقطہ پہلے نقطہ کی تصویر کہلاتا ہے۔ تصویر حقیقی ہوتی ہے اگر کرنیں واقعی اس نقطہ پر مرتکز ہوں؛ یہ مجازی ہوتی ہے اگر کرنیں واقعی نہ ملیں بلکہ پیچھے بڑھانے پر اس نقطہ سے پھیلتی ہوئی نظر آئیں۔ ایک تصویر اس طرح ایک نقطہ سے نقطہ کے مطابقت رکھتی ہے جو عکاسی اور/یا انعکاس کے ذریعے قائم ہوتی ہے۔

اصولاً، ہم کسی شے کے کسی نقطہ سے نکلنے والی کسی بھی دو کرنوں کو لے سکتے ہیں، ان کے راستوں کا سراغ لگا سکتے ہیں، ان کے تقاطع کا نقطہ تلاش کر سکتے ہیں اور اس طرح کروی آئینے پر عکاسی کے ذریعے اس نقطہ کی تصویر حاصل کر سکتے ہیں۔ تاہم، عملی طور پر، درج ذیل کرنوں میں سے کسی بھی دو کو منتخب کرنا آسان ہے:

(i) نقطہ سے نکلنے والی وہ کرن جو پرنسپل محور کے متوالی ہے۔ عکاس کرن آئینے کے فوکس سے گزرتی ہے۔

(ii) وہ کرن جو مقعر آئینے کے خمیدہ مرکز سے گزرتی ہے یا محدب آئینے کے لیے اس سے گزرتی ہوئی نظر آتی ہے۔ عکاس کرن صرف اسی راستے پر واپس جاتی ہے۔

(iii) وہ کرن جو مقعر آئینے کے فوکس سے گزرتی ہے (یا اس کی طرف جاتی ہے) یا محدب آئینے کے فوکس سے گزرتی ہوئی نظر آتی ہے (یا اس کی طرف جاتی ہے)۔ عکاس کرن پرنسپل محور کے متوالی ہوتی ہے۔

(iv) قطب پر کسی بھی زاویہ پر آنے والی کرن۔ عکاس کرن عکاسی کے قوانین کی پیروی کرتی ہے۔

شکل 9.5 تین کرنوں پر غور کرتے ہوئے کرن خاکہ دکھاتی ہے۔ یہ ایک مقعر آئینے کی تشکیل کردہ کسی شے $\mathrm{AB}$ کی تصویر $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ (اس معاملے میں حقیقی) کو دکھاتی ہے۔ اس کا مطلب یہ نہیں کہ صرف تین ہی کرنیں نقطہ A سے نکلتی ہیں۔ کسی بھی ماخذ سے لامحدود تعداد میں کرنیں تمام سمتوں میں نکلتی ہیں۔ اس طرح، نقطہ $\mathrm{A}^{\prime}$ نقطہ $\mathrm{A}$ کی تصویری نقطہ ہے اگر نقطہ $\mathrm{A}$ سے شروع ہونے والی ہر کرن مقعر آئینے پر گری اور عکاسی کے بعد نقطہ $\mathrm{A}^{\prime}$ سے گزرے۔

ہم اب آئینے کا مساوات یا شے کے فاصلے $(u)$، تصویر کے فاصلے $(v)$ اور فوکل لمبائی $(f)$ کے درمیان تعلق اخذ کرتے ہیں۔

شکل 9.5 سے، دو سیدھے کونے والے مثلث $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}$ اور MPF متشابہ ہیں۔ (Paraxial کرنوں کے لیے، MP کو CP پر عمودی سیدھی لکیر سمجھا جا سکتا ہے۔) لہٰذا،

$ \dfrac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{PM}}=\dfrac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}}{\mathrm{FP}} $

$$ \begin{equation*} \text {or }\dfrac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{BA}}=\dfrac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}}{\mathrm{FP}}(\mathrm{PM}=\mathrm{AB}) \tag{9.4} \end{equation*} $$

چونکہ $\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{PB}^{\prime}$، سیدھے کونے والے مثلث $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}$ اور $\mathrm{ABP}$ بھی متشابہ ہیں۔ لہٰذا،

$$ \begin{equation*} \dfrac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{B} \mathrm{A}}=\dfrac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}}{\mathrm{BP}} \tag{9.5} \end{equation*} $$

مساوات (9.4) اور (9.5) کا موازنہ کرنے سے، ہم حاصل کرتے ہیں

$\dfrac{B^{\prime} F}{F P}=\dfrac{B^{\prime} P-F P}{F P}=\dfrac{B^{\prime} P}{B P}\hspace{11cm} \ldots{9.6}$

مساوات (9.6) فاصلے کی مقدار پر مشتمل تعلق ہے۔ ہم اب علامتی اتفاق کا اطلاق کرتے ہیں۔ ہم نوٹ کرتے ہیں کہ روشنی شے سے آئینے MPN تک سفر کرتی ہے۔ لہٰذا اسے مثبت سمت کے طور پر لیا جاتا ہے۔ شے $A B$، تصویر $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ اور فوکس $\mathrm{F}$ کو قطب $\mathrm{P}$ سے حاصل کرنے کے لیے، ہمیں آنے والی روشنی کی سمت کے برعکس سفر کرنا پڑتا ہے۔ لہٰذا، ان سب میں منفی نشانات ہوں گے۔ اس طرح،

$ \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}=-v, \mathrm{FP}=-f, \mathrm{BP}=-u $

انہیں مساوات (9.6) میں استعمال کرنے سے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \dfrac{-v+f}{-f}=\dfrac{-v}{-u} $

یا

$\dfrac{v-f}{f}=\dfrac{v}{u}$

$ \dfrac{v}{f}=1+\dfrac{v}{u} $

اسے $v$ سے تقسیم کرنے سے، ہم حاصل کرتے ہیں

$\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f} \hspace{14cm} \ldots{(9.7)}$

یہ تعلق آئینے کا مساوات کہلاتا ہے۔

تصویر کا سائز شے کے سائز کے نسبت ایک اور اہم مقدار ہے۔ ہم لکیری بڑھائو $(m)$ کو تصویر کی اونچائی $\left(h^{\prime}\right)$ اور شے کی اونچائی $(h)$ کا نسبت کے طور پر بیان کرتے ہیں:

$$ \begin{equation*} m=\dfrac{h^{\prime}}{h} \tag{9.8} \end{equation*} $$

$h$ اور $h^{\prime}$ کو قبول شدہ علامتی اتفاق کے مطابق مثبت یا منفی لیا جائے گا۔ مثلث $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}$ اور $\mathrm{ABP}$ میں، ہم کے پاس ہے،

$$ \dfrac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{BA}}=\dfrac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}}{\mathrm{BP}} $$

علامتی اتفاق کے ساتھ، یہ ہو جاتا ہے

$$ \dfrac{-h^{\prime}}{h}=\dfrac{-v}{-u} $$

تاکہ

$$ \begin{equation*} m=\dfrac{h^{\prime}}{h}=-\dfrac{v}{u} \tag{9.9} \end{equation*} $$

ہم نے یہاں آئینے کا مساوات، مساوات (9.7)، اور بڑھائو کی صورت، مساوات (9.9)، مقعر آئینے کی تشکیل کردہ حقیقی، الٹ تصویر کے معاملے کے لیے اخذ کی ہے۔ علامتی اتفاق کے مناسب استعمال کے ساتھ، یہ حقیقت میں کروی آئینے کی عکاسی کے تمام معاملوں کے لیے درست ہیں (مقعر یا محدب) چاہے تصویر حقیقی ہو یا مجازی۔ شکل 9.6 مقعر اور محدب آئینے کی تشکیل کردہ مجازی تصویر کے لیے کرن خاکے دکھاتی ہے۔ آپ کو چاہیے کہ آپ مساوات (9.7) اور (9.9) کو ان معاملوں کے لیے بھی درست تصدیق کریں۔

شکل 9.6 (a) مقعر آئینے کی تصویر کی تشکیل $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{F}$ کے درمیان شے کے ساتھ، اور (b) محدب آئینہ۔

مثال 9.1 فرض کریں کہ شکل 9.6 میں مقعر آئینے کی عکاس سطح کا نچلا نصف حصہ ایک غیر عکاس مواد سے ڈھکا ہوا ہے۔ اس کا شے پر کیا اثر پڑے گا جو آئینے کے سامنے رکھا گیا ہے؟

حل آپ سوچ سکتے ہیں کہ تصویر اب صرف شے کا آدھا حصہ دکھائے گی، لیکن عکاسی کے قوانین کو آئینے کے باقی حصے کے تمام نقطوں کے لیے درست مانتے ہوئے، تصویر پوری شے کی ہوگی۔ تاہم، جیسا کہ عکاس سطح کا رقبہ کم ہو گیا ہے، تصویر کی شدت کم ہو جائے گی (اس معاملے میں، آدھی)۔

مثال 9.2 ایک موبائل فون ایک مقعر آئینے کے پرنسپل محور پر رکھا گیا ہے، جیسا کہ شکل 9.7 میں دکھایا گیا ہے۔ مناسب خاکے کے ذریعے اس کی تصویر کی تشکیل دکھائیں۔ وضاحت کریں کہ بڑھائو یکساں کیوں نہیں ہے۔ کیا تصویر کی بگاڑ آئینے کے ساتھ فون کی پوزیشن پر منحصر ہوگی؟

شکل 9.7

حل فون کی تصویر کی تشکیل کے لیے کرن خاکہ شکل 9.7 میں دکھایا گیا ہے۔ وہ حصہ جو پرنسپل محور کے عمودی مستوی پر ہے، اس کی تصویر اسی مستوی پر ہوگی۔ یہ اسی سائز کی ہوگی، یعنی، $B^{\prime} C=B C$۔ آپ خود سمجھ سکتے ہیں کہ تصویر کیوں بگڑی ہوئی ہے۔

مثال 9.3 ایک شے کو ایک مقعر آئینے کے سامنے (i) $10 \mathrm{~cm}$، (ii) $5 \mathrm{~cm}$ پر رکھا گیا ہے جس کی خمیدگی کا ریڈیس $15 \mathrm{~cm}$ ہے۔ ہر معاملے میں تصویر کی پوزیشن، نوعیت، اور بڑھائو تلاش کریں۔

حل

فوکل لمبائی $f=-15 / 2 \mathrm{~cm}=-7.5 \mathrm{~cm}$

(i) شے کا فاصلہ $u=-10 \mathrm{~cm}$ ہے۔ پھر مساوات (9.7) دیتا ہے

$ \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{-10}=\dfrac{1}{-7.5} $

یا

$ v=\dfrac{10 \times 7.5}{-2.5}=-30 \mathrm{~cm} $

تصویر آئینے سے $30 \mathrm{~cm}$ کے فاصلے پر شے کی اسی طرف ہے۔ نیز، بڑھائو

$$m=-\dfrac{v}{u}=-\dfrac{(-30)}{(-10)}=-3$$

تصویر بڑی، حقیقی اور الٹ ہے۔

(ii) شے کا فاصلہ $u=-5 \mathrm{~cm}$ ہے۔ پھر مساوات (9.7) سے،

$ \begin{aligned} & \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{-5}=\dfrac{1}{-7.5} \\ & \text { یا } v=\dfrac{5 \times 7.5}{(7.5-5)}=15 \mathrm{~cm} \end{aligned} $

یہ تصویر آئینے کے پیچھے $15 \mathrm{~cm}$ پر بنتی ہے۔ یہ ایک مجازی تصویر ہے۔

$ \text { بڑھائو } m=-\dfrac{v}{u}=-\dfrac{15}{(-5)}=3 $

تصویر بڑی، مجازی اور سیدھی ہے۔

مثال 9.4 فرض کریں کہ جب آپ ایک پارک شدہ کار میں بیٹھے ہوں، آپ $R=2 \mathrm{~m}$ کے سائیڈ ویو آئینے میں ایک جوگر کو آپ کی طرف آتے ہوئے نوٹ کرتے ہیں۔ اگر جوگر $5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ کی رفتار سے دوڑ رہا ہے، تو جوگر کی تصویر کتنی تیزی سے حرکت کرتی نظر آئے گی جب جوگر (a) $39 \mathrm{~m}$، (b) $29 \mathrm{~m}$، (c) $19 \mathrm{~m}$، اور (d) 9 میٹر کے فاصلے پر ہو۔

حل آئینے کے مساوات، مساوات (9.7) سے، ہم حاصل کرتے ہیں $v=\dfrac{f u}{u-f}$ محدب آئینے کے لیے، چونکہ $R=2 \mathrm{~m}, f=1 \mathrm{~m}$۔ پھر $u=-39 \mathrm{~m}, v=\dfrac{(-39) \times 1}{-39-1}=\dfrac{39}{40} \mathrm{~m}$ کے لیے

چونکہ جوگر $5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ کی مستقل رفتار سے حرکت کرتا ہے، $1 \mathrm{~s}$ کے بعد تصویر کی پوزیشن $v$ ($u=-39+5=-34$ کے لیے) $(34 / 35) \mathrm{m}$ ہے۔ تصویر کی پوزیشن میں تبدیلی $1 \mathrm{~s}$ میں ہے

$ \dfrac{39}{40}-\dfrac{34}{35}=\dfrac{1365-1360}{1400}=\dfrac{5}{1400}=\dfrac{1}{280} \mathrm{~m} $

لہٰذا، تصویر کی اوسط رفتار جب جوگر آئینے سے $39 \mathrm{~m}$ اور $34 \mathrm{~m}$ کے درمیان ہو، $(1 / 280) \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$ ہے

اسی طرح، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ $u=-29 \mathrm{~m},-19 \mathrm{~m}$ اور $-9 \mathrm{~m}$ کے لیے، تصویر جس رفتار سے حرکت کرتی نظر آتی ہے وہ ہے

$ \dfrac{1}{150} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, \dfrac{1}{60} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \text { اور } \dfrac{1}{10} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \text {، بالترتیب. } $

اگرچہ جوگر مستقل رفتار سے حرکت کر رہا تھا، اس کی تصویر کی رفتار اس کے آئینے کے قریب آتے ہی نمایاں طور پر بڑھتی نظر آتی ہے۔ یہ مظہر کسی بھی شخص کے لیے قابل مشاہدہ ہو سکتا ہے جو ایک ساکن کار یا بس میں بیٹھا ہو۔ چلتی گاڑیوں کے معاملے میں، ایک ایسا ہی مظہر مشاہدہ کیا جا سکتا ہے اگر پیچھے والی گاڑی مستقل رفتار سے قریب آ رہی ہو۔

9.3 انعکاس [228-229]#

جب روشنی کی ایک شعاع کسی دوسری شفاف جگہ سے ٹکراتی ہے، تو روشنی کا ایک حصہ پہلی جگہ میں واپس عکاس ہو جاتا ہے جبکہ باقی دوسری جگہ میں داخل ہو جاتا ہے۔ روشنی کی ایک کرن ایک شعاع کی نمائندگی کرتی ہے۔ دو جگہوں کے درمیان کے سطح پر آنے والی ترچھے $\left(0^{\circ}<i<90^{\circ}\right)$ کرن کی روشنی کی سمت تبدیل ہو جاتی ہے۔ اس مظہر کو روشنی کا انعکاس کہا جاتا ہے۔ سنیل نے تجرباتی طور پر انعکاس کے درج ذیل قوانین حاصل کیے:

شکل 9.8 روشنی کا انعکاس اور عکاسی۔

(i) آنے والی کرن، انعکاس شدہ کرن اور آمد کے نقطہ پر سطح کی عمودی، سب ایک ہی مستوی میں ہوتی ہیں۔

(ii) آمد کے زاویہ کے سائنس کا انعکاس کے زاویہ کے سائنس سے نسبت مستقل ہوتا ہے۔ یاد رکھیں کہ آمد $(i)$ اور انعکاس $(r)$ کے زاویے وہ زاویے ہیں جو آنے والی اور انعکاس شدہ کرنیں عمودی کے ساتھ بناتی ہیں، بالترتیب۔ ہمارے پاس ہے

$\dfrac{\sin i}{\sin r}=n_{21} \hspace{14 cm} \ldots{(9.10)}$

جہاں $n_{21}$ ایک مستقل ہے، جسے دوسری جگہ کی پہلی جگہ کے نسبت انکساری عدد کہا جاتا ہے۔ مساوات (9.10) انعکاس کا مشہور سنیل کا قانون ہے۔ ہم نوٹ کرتے ہیں کہ $n_{21}$ جگہوں کے جوڑے کی ایک خصوصیت ہے (اور روشنی کی طول موج پر بھی منحصر ہے)، لیکن آمد کے زاویہ سے آزاد ہے۔

مساوات (9.10) سے، اگر $n_{21}>1, r<i$، یعنی، انعکاس شدہ کرن عمودی کی طرف جھک جاتی ہے۔ ایسے معاملے میں جگہ 2 کو جگہ 1 سے آپٹیکلی گھنا (یا مختصراً گھنا) کہا جاتا ہے۔ دوسری طرف، اگر $n_{21}<1, r>i$، انعکاس شدہ کرن عمودی سے دور جھک جاتی ہے۔ یہ وہ معاملہ ہے جب گھنے جگہ میں آنے والی کرن کم گھنے جگہ میں انعکاس کرتی ہے۔

نوٹ: آپٹیکل گھناگی کو ماس گھناگی سے الجھانا نہیں چاہیے، جو کہ ماس فی یونٹ حجم ہے۔ یہ ممکن ہے کہ آپٹیکلی گھنے جگہ کی ماس گھناگی کم ہو ایک آپٹیکلی کم گھنے جگہ سے (مثال کے طور پر، ترپنٹائن اور پانی۔ ترپنٹائن کی ماس گھناگی پانی سے کم ہے لیکن اس کی آپٹیکل گھناگی زیادہ ہے)۔

اگر $n_{21}$ جگہ 2 کی جگہ 1 کے نسبت انکساری عدد ہے اور $n_{12}$ جگہ 1 کی جگہ 2 کے نسبت انکساری عدد ہے، تو یہ واضح ہونا چاہیے کہ

$n_{12}=\dfrac{1}{n_{21}}\hspace{13cm} \ldots{(9.11)}$

شکل 9.9 متوازی طرف والی سلاب کے ذریعے انعکاس شدہ کرن کا طرفی انتقال

یہ بھی نتیجہ نکلتا ہے کہ اگر $n_{32}$ جگہ 3 کی جگہ 2 کے نسبت انکساری عدد ہے تو $n_{32}=$ $n_{31} \times n_{12}$، جہاں $n_{31}$ جگہ 3 کی جگہ 1 کے نسبت انکساری عدد ہے۔

انعکاس کے قوانین پر مبنی کچھ ابتدائی نتائج فوراً نکلتے ہیں۔ ایک مستطیل سلاب کے لیے، انعکاس دو سطحوں پر ہوتا ہے (ہوا-شیشہ اور شیشہ-ہوا)۔ شکل 9.9 سے یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ $r_{2}=i_{1}$، یعنی، نکلنے والی کرن آنے والی کرن کے متوالی ہے-کوئی انحراف نہیں ہے، لیکن یہ آنے والی کرن کے ساتھ طرفی منتقال/منتقال کا شکار ہوتی ہے۔ ایک اور واقف مشاہدہ یہ ہے کہ پانی سے بھرے ہوئے ٹینک کا تلہ اوپر اٹھا ہوا نظر آتا ہے (شکل 9.10)۔ عمودی دیکھنے کے لیے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ظاہری گہرائی $\left(h_{1}\right)$ حقیقی گہرائی $\left(h_{2}\right)$ ہے جگہ کے انکساری عدد سے تقسیم۔

شکل 9.10 ظاہری گہرائی (a) عمودی، اور (b) ترچھے دیکھنے کے لیے۔

9.4 کل اندرونی عکاسی [229-231]#

جب روشنی ایک آپٹیکلی گھنے جگہ سے کم گھنے جگہ میں سطح پر سفر کرتی ہے، تو یہ جزوی طور پر اسی جگہ میں واپس عکاس ہو جاتی ہے اور جزوی طور پر دوسری جگہ میں انعکاس ہو جاتی ہے۔ اس عکاسی کو اندرونی عکاسی کہا جاتا ہے۔

جب روشنی کی کرن گھنے جگہ سے کم گھنے جگہ میں داخل ہوتی ہے، تو یہ عمودی سے دور جھک جاتی ہے، مثال کے طور پر، شکل 9.11 میں کرن $\mathrm{AO_1} \mathrm{~B}$۔ آنے والی کرن $\mathrm{AO_1}$ جزوی طور پر عکاس ہوتی ہے $\left(\mathrm{O_1} \mathrm{C}\right)$ اور جزوی طور پر منتقل ہوتی ہے $\left(\mathrm{O_1} \mathrm{~B}\right)$ یا انعکاس ہوتی ہے، انعکاس کا زاویہ $(r)$ آمد کے زاویہ (i) سے بڑا ہوتا ہے۔ جیسے جیسے آمد کا زاویہ بڑھتا ہے، انعکاس کا زاویہ بھی بڑھتا ہے، یہاں تک کہ کرن $\mathrm{AO_3}$ کے لیے، انعکاس کا زاویہ $\pi / 2$ ہو جاتا ہے۔ انعکاس شدہ کرن عمودی سے اتنا دور جھک جاتی ہے کہ وہ دو جگہوں کے درمیان سطح پر رگڑتی ہے۔ یہ کرن $\mathrm{AO_3} \mathrm{D}$ شکل 9.11 میں دکھائی گئی ہے۔ اگر آمد کا زاویہ مزید بڑھا دیا جائے (مثال کے طور پر، کرن $\mathrm{AO_4}$)، انعکاس ممکن نہیں ہے، اور آنے والی کرن مکمل طور پر عکاس ہو جاتی ہے۔ اسے کل اندرونی عکاسی کہا جاتا ہے۔ جب روشنی کسی سطح پر عکاس ہوتی ہے، تو عام طور پر اس کا کچھ حصہ منتقل ہو جاتا ہے۔ عکاس شدہ کرن، لہٰذا، آنے والی کرن سے کم شدید ہوتی ہے، چاہے عکاس سطح کتنی ہی ہموار کیوں نہ ہو۔ دوسری طرف، کل اندرونی عکاسی میں، روشنی کی کوئی منتقال نہیں ہوتی۔

شکل 9.11 گھنے جگہ (پانی) میں نقطہ $\mathrm{A}$ سے آنے والی کرنوں کا انعکاس اور اندرونی عکاسی کم گھنے جگہ (ہوا) کے ساتھ سطح پر مختلف زاویوں پر۔

انکساس کا زاویہ $90^{\circ}$، فرض کریں $\angle \mathrm{AO_3} \mathrm{~N}$، جس کے مطابق آمد کا زاویہ ہو، کو دی گئی جگہوں کے جوڑے کے لیے کریٹیکل زاویہ $\left(i_{c}\right)$ کہا جاتا ہے۔ ہم سنیل کے قانون [مساوات (9.10)] سے دیکھتے ہیں کہ اگر انکساس جگہ کا نسبتی انکساری عدد ایک سے کم ہے تو، چونکہ sin $r$ کی زیادہ سے زیادہ قدر ایک ہے، $\sin i$ کی قدر کے لیے ایک بالائی حد ہے، یعنی، $i=i_{c}$ ایسی کہ

$\sin i_{c}=n_{21}\hspace{14cm}\ldots{(9.12)}$

$i$ کی قدر $i_{c}$ سے بڑی ہونے پر، سنیل کا انعکاس کا قانون پورا نہیں کیا جا سکتا، اور لہٰذا کوئی انعکاس ممکن نہیں ہے۔

گھنے جگہ 1 کا کم گھنے جگہ 2 کے نسبت انکساری عدد $n_{12}=1 / \sin i_{c}$ ہوگا۔ کچھ عام کریٹیکل زاویے جدول 9.1 میں درج ہیں۔

جدول 9.1 ہوا کے نسبت کچھ شفاف جگہوں کا کریٹیکل زاویہ

مادہ جگہ	انکساری عدد	کریٹیکل زاویہ
پانی	1.33	48.75
کراؤن گلاس	1.52	41.14
ڈینس فلنٹ گلاس	1.62	37.31
ہیرا	2.42	24.41

کل اندرونی عکاسی کا مظاہرہ

تمام آپٹیکل مظاہرے کو آج کل آسانی سے لیزر ٹارچ یا پوائنٹر کے استعمال سے دکھایا جا سکتا ہے، جو کہ آج کل آسانی سے دستیاب ہیں۔ ایک گلاس بیکر لیں جس میں صاف پانی ہو۔ پانی میں چند قطرے دودھ یا کسی اور معطلی کے ڈالیں اور ہلائیں تاکہ پانی تھوڑا دھندلا ہو جائے۔ ایک لیزر پوائنٹر لیں اور اس کی شعاع دھندلے پانی میں چمکائیں۔ آپ پائیں گے کہ پانی کے اندر شعاع کا راستہ چمکدار نظر آتا ہے۔

شکل 9.12 پانی میں لیزر شعاع کے ساتھ کل اندرونی عکاسی کا مشاہدہ (بیکر کے گلاس کے انعکاس کو نظر انداز کیا گیا ہے کیونکہ بہت پتلا ہے)۔

شعاع کو بیکر کے نیچے سے چمکائیں تاکہ یہ دوسرے سرے پر بالائی پانی کی سطح پر ٹکرائے۔ کیا آپ پاتے ہیں کہ یہ جزوی عکاسی (جو کہ نیچے میز پر ایک دھبے کے طور پر دیکھی جا سکتی ہے) اور جزوی انعکاس [جو کہ ہوا میں نکلتی ہے اور چھت پر ایک دھبے کے طور پر دیکھی جا سکتی ہے؛ شکل 9.12(a)] سے گزرتی ہے؟ اب لیزر شعاع کو بیکر کے ایک طرف سے چمکائیں تاکہ یہ پانی کی بالائی سطح پر زیادہ ترچھے طور پر ٹکرائے [شکل 9.12(b)]۔ لیزر شعاع کی سمت کو ایڈجسٹ کریں یہاں تک کہ آپ وہ زاویہ تلاش کریں جس کے لیے پانی کی سطح کے اوپر انعکاس مکمل طور پر غائب ہو اور شعاع مکمل طور پر پانی میں واپس عکاس ہو جائے۔ یہ سب سے سادہ کل اندرونی عکاسی ہے۔

اس پانی کو ایک لمبی ٹیسٹ ٹیوب میں ڈالیں اور اوپر سے لیزر روشنی چمکائیں، جیسا کہ شکل 9.12(c) میں دکھایا گیا ہے۔ لیزر شعاع کی سمت کو ایڈجسٹ کریں تاکہ یہ ہر بار ٹیوب کی دیواروں پر ٹکرانے پر مکمل طور پر اندرونی طور پر عکاس ہو۔ یہ اسی طرح ہے جو کہ آپٹیکل فائبرز میں ہوتا ہے۔

خبردار رہیں کہ لیزر شعاع کو براہ راست دیکھنے سے بچیں اور اسے کسی کے چہرے کی طرف نہ اشارہ کریں۔

9.4.1 قدرت میں کل اندرونی عکاسی اور اس کے تکنالوجی پر اطلاقات [231-232]#

شکل 9.13 پرزم جو کرنوں کو $90^{\circ}$ اور $180^{\circ}$ سے موڑنے یا تصویر کو اس کے سائز کو تبدیل کیے بغیر الٹنے کے لیے ڈیزائن کیے گئے ہیں کل اندرونی عکاسی کا استعمال کرتے ہیں۔

(i) پرزم: پرزم جو روشنی کو $90^{\circ}$ یا $180^{\circ}$ سے موڑنے کے لیے ڈیزائن کیے گئے ہیں کل اندرونی عکاسی کا استعمال کرتے ہیں [شکل 9.13(a) اور (b)]۔ ایسا پرزم تصویروں کو ان کے سائز کو تبدیل کیے بغیر الٹنے کے لیے بھی استعمال کیا جاتا ہے [شکل 9.13(c)]۔ پہلے دو معاملوں میں، پرزم کے مادہ کے لیے کریٹیکل زاویہ $i_{c}$ $45^{\circ}$ سے کم ہونا چاہیے۔ ہم جدول 9.1 سے دیکھتے ہیں کہ یہ کراؤن گلاس اور ڈینس فلنٹ گلاس دونوں کے لیے درست ہے۔

(ii) آپٹیکل فائبرز: آج کل آپٹیکل فائبرز کو طویل فاصلے پر آڈیو اور ویڈیو سگنلز بھیجنے کے لیے بڑے پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے۔ آپٹیکل فائبرز بھی کل اندرونی عکاسی کے مظہر کا استعمال کرتے ہیں۔ آپٹیکل فائبرز کو اعلیٰ معیار کے مرکب گلاس/کوارٹز فائبرز سے تیار کیا جاتا ہے۔ ہر فائبر میں ایک کور اور کلڈنگ ہوتی ہے۔ کور کے مادہ کا انکساری عدد کلڈنگ سے زیادہ ہوتا ہے۔

جب روشنی کی شکل میں سگنل کو فائبر کے ایک سرے پر مناسب زاویہ پر بھیجا جاتا ہے، تو یہ فائبر کی لمبائی کے ساتھ بار بار کل اندرونی عکاسی سے گزرتی ہے اور آخر میں دوسرے سرے سے نکلتی ہے (شکل 9.14)۔ چونکہ روشنی ہر مرحلے پر کل اندرونی عکاسی سے گزرتی ہے، روشنی کے سگنل کی شدت میں کوئی نمایاں کمی نہیں ہوتی۔ آپٹیکل فائبرز کو اس طرح تیار کیا جاتا ہے کہ اندرونی سطح کی ایک طرف سے عکاس شدہ روشنی دوسری طرف اس زاویہ سے بڑی ہو کر ٹکراتی ہے جو کریٹیکل زاویہ سے زیادہ ہے۔ یہاں تک کہ اگر فائبر موڑی ہوئی ہو، روشنی آسانی سے اس کی لمبائی کے ساتھ سفر کر سکتی ہے۔ اس طرح، ایک آپٹیکل فائبر کو ایک آپٹیکل پائپ کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔

شکل 9.14 روشنی آپٹیکل فائبر کے ذریعے گزرنے پر متواتر کل اندرونی عکاسی سے گزرتی ہے۔

آپٹیکل فائبرز کے ایک مجموعے کو کئی مقاصد کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ آپٹیکل فائبرز کو برقی سگنلز بھیجنے اور وصول کرنے کے لیے بڑے پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے جو مناسب ٹرانسڈیوسرز کے ذریعے روشنی میں تبدیل ہو جاتے ہیں۔ ظاہر ہے کہ آپٹیکل فائبرز کو آپٹیکل سگنلز کے بھیجنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ اندرونی اعضاء جیسے کہ ایسوفیگس، معدہ اور آنتوں کی بصری جانچ کے لیے ‘لائٹ پائپ’ کے طور پر استعمال ہوتے ہیں۔ آپ نے ایک عام دستیاب سجاوٹی لیمپ دیکھی ہوگی جس میں پتلے پلاسٹک فائبرز ہوتے ہیں جن کے آزاد سر فاؤنٹین کی طرح کی ساخت بناتے ہیں۔ فائبرز کا دوسرا سر ایک بجلی کے لیمپ پر فکس ہوتا ہے۔ جب لیمپ آن کیا جاتا ہے، روشنی ہر فائبر کے نیچے سے سفر کرتی ہے اور اس کے آزاد سر کے نوک پر روشنی کے نقطہ کے طور پر ظاہر ہوتی ہے۔ ایسی سجاوٹی لیمپوں میں فائبرز آپٹیکل فائبرز ہوتے ہیں۔

آپٹیکل فائبرز کی تیاری میں بنیادی ضرورت یہ ہے کہ روشنی کے اندر طویل فاصلے تک سفر کرنے پر اس کی بہت کم جذب ہو۔ یہ کوارٹز جیسے مواد کی صفائی اور خاص تیاری کے ذریعے حاصل کیا گیا ہے۔ سلیکا گلاس فائبرز میں، فائبر کی $1 \mathrm{~km}$ لمبائی پر $95 %$ سے زیادہ روشنی بھیجنا ممکن ہے۔ (اس کا موازنہ کریں ایک عام کھڑکی کے شیشے کے بلاک سے $1 \mathrm{~km}$ موٹا۔)

9.5 کروی سطحوں پر انعکاس اور عدسوں کے ذریعے انعکاس [232]#

ہم نے اب تک ایک مستوی سطح پر انعکاس پر غور کیا ہے۔ ہم اب دو شفاف جگہوں کے درمیان کروی سطح پر انعکاس پر غور کریں گے۔ کروی سطح کے ایک لامحدود حصے کو مستوی سمجھا جا سکتا ہے اور انعکاس کے وہی قوانین سطح کے ہر نقطہ پر لاگو کیے جا سکتے ہیں۔ جیسا کہ کروی آئینے کی عکاسی کے لیے، آمد کے نقطہ پر عمودی سطح کے اسپر ٹینجنٹ مستوی پر عمودی ہوتی ہے اور، لہٰذا، اس کے خمیدہ مرکز سے گزرتی ہے۔ ہم پہلے ایک کروی سطح کے ذریعے انعکاس پر غور کرتے ہیں اور پھر پتلے عدسوں کے ذریعے۔ ایک پتلا عدسہ ایک شفاف آپٹیکل جگہ ہے جو دو سطحوں سے محدود ہے؛ کم از کم ایک سطح کروی ہونا چاہیے۔ ایک عدسے کی دو سطحوں پر ایک ایک کروی سطح کے ذریعے تصویر کی تشکیل کے لیے صورت کا کامیابی سے اطلاق کرتے ہوئے، ہم عدسہ ساز کی صورت اور پھر عدسے کی صورت حاصل کریں گے۔

9.5.1 کروی سطح پر انعکاس [232-233]#

شکل 9.15 دو جگہوں کو الگ کرنے والی کروی سطح پر انعکاس۔

شکل 9.15 کروی سطح پر پرنسپل محور پر شے $O$ کی تصویر $I$ کی تشکیل کا جیومیٹری دکھاتی ہے جس کا خمیدہ مرکز $\mathrm{C}$ ہے، اور خمیدگی کا ریڈیس $R$ ہے۔ کرنیں انکساری عدد $n_{1}$ کی جگہ سے آ رہی ہیں، $n_{2}$ انکساری عدد کی جگہ میں جا رہی ہیں۔ جیسا کہ پہلے، ہم سطح کے وقفہ (یا طرفی سائز) کو دیگر فاصلے کے مقابلے میں چھوٹا لیتے ہیں، تاکہ چھوٹے زاویہ کی تخمینہ کی جا سکے۔ خاص طور پر، NM کو نقطہ $\mathrm{N}$ سے پرنسپل محور پر عمودی کی لمبائی کے قریب برابر لیا جائے گا۔ ہمارے پاس، چھوٹے زاویوں کے لیے،

$ \begin{aligned} &\tan \angle \mathrm{NOM}=\dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{OM}} \\ & \tan \angle \mathrm{NCM}=\dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MC}} \\ & \tan \angle \mathrm{NIM}=\dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MI}} \end{aligned} $

اب، $\triangle \mathrm{NOC}, i$ بیرونی زاویہ ہے۔ لہٰذا،

$ \begin{aligned} & i=\angle \mathrm{NOM}+\angle \mathrm{NCM} \\ \end{aligned} $

$i=\dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{OM}}+\dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MC}}\hspace{13cm}\ldots{(9.13)}$

اسی طرح،

$ r=\angle \mathrm{NCM}-\angle \mathrm{NIM} $

یعنی،

$r=\dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MC}}-\dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MI}}\hspace{13cm}\ldots{(9.14)}$

اب، سنیل کے قانون کے مطابق

$ n_{1} \sin i=n_{2} \sin r $

یا چھوٹے زاویوں کے لیے

$ n_{1} i=n_{2} r $

$i$ اور $r$ کو مساوات (9.13) اور (9.14) سے سبسٹیٹیوٹ کرنے سے، ہم حاصل کرتے ہیں

$\dfrac{n _{1}}{\mathrm{OM}}+\dfrac{n _{2}}{\mathrm{MI}}=\dfrac{n _{2}-n _{1}}{\mathrm{MC}}\hspace{12cm}\ldots{(9.15)}$

یہاں، OM، MI اور MC فاصلے کی مقدار کو ظاہر کرتے ہیں۔ کارٹیشین علامتی اتفاق کا اطلاق کرتے ہوئے،

$ \mathrm{OM}=-u, \mathrm{MI}=+v, \mathrm{MC}=+R $

انہیں مساوات (9.15) میں سبسٹیٹیوٹ کرنے سے، ہم حاصل کرتے ہیں

$\dfrac{n_{2}}{v}-\dfrac{n_{1}}{u}=\dfrac{n_{2}-n_{1}}{R}\hspace{12cm}\ldots{(9.16)}$

مساوات (9.16) ہمیں شے اور تصویر کے فاصلے کے درمیان تعلق دیتا ہے جگہ کے انکساری عدد اور کروی سطح کے خمیدگی کے ریڈیس کے ساتھ۔ یہ کسی بھی کروی سطح کے لیے درست ہے۔

مثال 9.5 ہوا میں ایک نقطہ ماخذ سے روشنی ایک کروی گلاس سطح ( $n=1.5$ اور خمیدگی کا ریڈیس $=20 \mathrm{~cm}$ ) پر پڑتی ہے۔ روشنی کے ماخذ کی گلاس سطح سے دوری $100 \mathrm{~cm}$ ہے۔ تصویر کہاں بنتی ہے؟

حل ہم مساوات (9.16) سے دیا گیا تعلق استعمال کرتے ہیں۔ یہاں $u=-100 \mathrm{~cm}, v=?, R=+20 \mathrm{~cm}, n_{1}=1$، اور $n_{2}=1.5$ ہے۔ پھر ہمارے پاس ہے

$\dfrac{1.5}{v}+\dfrac{1}{100}=\dfrac{0.5}{20}$

یا

$v=+100 \mathrm{~cm}$$

The image is formed at a distance of $100 \mathrm{~cm}$ from the glass surface, in the direction of incident light.

9.5.2 Refraction by a lens [233-236]#

FIGURE 9.16 (a) The position of object, and the image formed by a double convex lens, (b) Refraction at the first spherical surface and (c) Refraction at the second spherical surface.

Figure 9.16(a) shows the geometry of image formation by a double convex lens. The image formation can be seen in terms of two steps: (i) The first refracting surface forms the image $I_{1}$ of the object $O$ [Fig. 9.16(b)]. The image $I_{1}$ acts as a virtual object for the second surface that forms the image at I [Fig. 9.16(c)]. Applying Eq. (9.15) to the first interface $A B C$, we get

$\dfrac{n_{1}}{\mathrm{OB}}+\dfrac{n_{2}}{\mathrm{BI_1}}=\dfrac{n_{2}-n_{1}}{\mathrm{BC_1}}\hspace{12cm}\ldots{(9.17)}$

A similar procedure applied to the second interface* $\mathrm{ADC}$ gives,

$$ \begin{equation*} -\dfrac{n_{2}}{\mathrm{DI_1}}+\dfrac{n_{1}}{\mathrm{DI}}=\dfrac{n_{2}-n_{1}}{\mathrm{DC_2}} \tag{9.18} \end{equation*} $$

For a thin lens, $\mathrm{BI_1}=\mathrm{DI_1}$. Adding Eqs. (9.17) and (9.18), we get

$$ \begin{equation*} \dfrac{n_{1}}{\mathrm{OB}}+\dfrac{n_{1}}{\mathrm{DI}}=\left(n_{2}-n_{1}\right) \dfrac{1}{\mathrm{BC_1}}+\dfrac{1}{\mathrm{DC_2}} \tag{9.19} \end{equation*} $$

Suppose the object is at infinity, i.e., $\mathrm{OB} \rightarrow \infty$ and $\mathrm{DI}=f$, Eq. (9.19) gives

$$ \dfrac{n_{1}}{f}=\left(n_{2}-n_{1}\right) \quad \dfrac{1}{\mathrm{BC_1}}+\dfrac{1}{\mathrm{DC_2}}\tag{9.20} $$

The point where image of an object placed at infinity is formed is called the focus $\mathrm{F}$, of the lens and the distance $f$ gives its focal length. A lens has two foci, $\mathrm{F}$ and $\mathrm{F}^{\prime}$, on either side of it (Fig. 9.16). By the sign convention,

$ \begin{array}{ll} \mathrm{BC} _{1}=+R _{1} & \text { [चित्र 9.16(b)] } \\ \mathrm{DC} _{2}=-R _{2} & \text { [चित्र 9.16(c)] } \end{array} $

So Eq. (9.20) can be written as

$$ \dfrac{1}{f}=\left(n_{21}-1\right)\left(\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}\right) \quad\left(\because n_{21}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}\right) \tag{9.21} $$

• Note that now the refractive index of the medium on the right side of ADC is $n_{1}$ while on its left it is $n_{2}$. Further $\mathrm{DI_1}$ is negative as the distance is measured against the direction of incident light.

Equation (9.21) is known as the lens maker’s formula. It is useful to design lenses of desired focal length using surfaces of suitable radii of curvature. Note that the formula is true for a concave lens also. In that case $R_{1}$ is negative, $R_{2}$ positive and therefore, $f$ is negative. From Eqs. (9.19) and (9.20), we get

$\dfrac{n_{1}}{\mathrm{OB}}+\dfrac{n_{1}}{\mathrm{DI}}=\dfrac{n_{1}}{f}\hspace{13cm}\ldots{(9.22)}$

Again, in the thin lens approximation, B and D are both close to the optical centre of the lens. Applying the sign convention, $\mathrm{BO}=-u, \mathrm{DI}=+v$, we get

$\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f}\hspace{13cm}\ldots{(9.23)}$

Equation (9.23) is the familiar thin lens formula. Though we derived it for a real image formed by a convex lens, the formula is valid for both convex as well as concave lenses and for both real and virtual images.

It is worth mentioning that the two foci, $\mathrm{F}$ and $\mathrm{F}^{\prime}$, of a double convex or concave lens are equidistant from the optical centre. The focus on the side of the (original) source of light is called the first focal point, whereas the other is called the second focal point.

FIGURE 9.17 Tracing rays through (a) convex lens (b) concave lens. in the same way as for spherical mirrors, it is easily seen that for a lens

To find the image of an object by a lens, we can, in principle, take any two rays emanating from a point on an object; trace their paths using the laws of refraction and find the point where the refracted rays meet (or appear to meet). In practice, however, it is convenient to choose any two of the following rays:

(i) A ray emanating from the object parallel to the principal axis of the lens after refraction passes through the second principal focus $\mathrm{F}^{\prime}$ (in a convex lens) or appears to diverge (in a concave lens) from the first principal focus $\mathrm{F}$.

(ii) A ray of light, passing through the optical centre of the lens, emerges without any deviation after refraction.

(iii) (a) A ray of light passing through the first principal focus of a convex lens [Fig. 9.17(a)] emerges parallel to the principal axis after refraction.

(b) A ray of light incident on a concave lens appearing to meet the principal axis at second focus point emerges parallel to the principal axis after refraction [Fig. 9.17(b)].

Figures 9.17(a) and (b) illustrate these rules for a convex and a concave lens, respectively. You should practice drawing similar ray diagrams for different positions of the object with respect to the lens and also verify that the lens formula, Eq. (9.23), holds good for all cases.

Here again it must be remembered that each point on an object gives out infinite number of rays. All these rays will pass through the same image point after refraction at the lens.

Magnification $(m)$ produced by a lens is defined, like that for a mirror, as the ratio of the

$\mathrm{m}=\dfrac{h^{\prime}}{h}=\dfrac{v}{u}\hspace{13cm}\ldots{(9.24)}$

When we apply the sign convention, we see that, for erect (and virtual) image formed by a convex or concave lens, $m$ is positive, while for an inverted (and real) image, $m$ is negative.

Example 9.6 A magician during a show makes a glass lens with $n=1.47$ disappear in a trough of liquid. What is the refractive index of the liquid? Could the liquid be water?

Solution The refractive index of the liquid must be equal to 1.47 in order to make the lens disappear. This means $n_{1}=n_{2}$. This gives $1 / f=0$ or $f \rightarrow \infty$. The lens in the liquid will act like a plane sheet of glass. No, the liquid is not water. It could be glycerine.

9.5.3 Power of a lens [236-237]#

FIGURE 9.18 Power of a lens.

Power of a lens is a measure of the convergence or divergence, which a lens introduces in the light falling on it. Clearly, a lens of shorter focal length bends the incident light more, while converging it in case of a convex lens and diverging it in case of a concave lens. The power $P$ of a lens is defined as the tangent of the angle by which it converges or diverges a beam of light parallel to the principal axis falling at unit distance from the optical centre (Fig. 9.18).

$$ \tan \delta=\dfrac{h}{f} ; \text { if } h=1 \quad \tan \delta=\dfrac{1}{f} $$

or

$$ \begin{equation*} \delta=\dfrac{1}{f} \quad \text{ (for small value of } \delta.) \end{equation*} $$

Thus,

$P=\dfrac{1}{f}\hspace{13cm}\ldots{(9.25)}$

The SI unit for power of a lens is dioptre (D): $1 \mathrm{D}=1 \mathrm{~m}^{-1}$. The power of a lens of focal length of 1 metre is one dioptre. Power of a lens is positive for a converging lens and negative for a diverging lens. Thus, when an optician prescribes a corrective lens of power +2.5 D, the required lens is a convex lens of focal length $+40 \mathrm{~cm}$. A lens of power of $-4.0 \mathrm{D}$ means a concave lens of focal length $-25 \mathrm{~cm}$.

Example 9.7 (i) If $f=0.5 \mathrm{~m}$ for a glass lens, what is the power of the lens? (ii) The radii of curvature of the faces of a double convex lens are $10 \mathrm{~cm}$ and $15 \mathrm{~cm}$. Its focal length is $12 \mathrm{~cm}$. What is the refractive index of glass? (iii) A convex lens has $20 \mathrm{~cm}$ focal length in air. What is focal length in water? (Refractive index of air-water $=1.33$, refractive index for air-glass $=1.5$.)

Solution

(i) Power $=+2$ dioptre.

(ii) Here, we have $f=+12 \mathrm{~cm}, R_{1}=+10 \mathrm{~cm}, R_{2}=-15 \mathrm{~cm}$. Refractive index of air is taken as unity. We use the lens formula of Eq. (9.22). The sign convention has to be applied for $f, R_{1}$ and $R_{2}$. Substituting the values, we have

$\dfrac{1}{12}=(n-1) \quad (\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{-15})$

This gives $n=1.5$.

(iii) For a glass lens in air, $n_{2}=1.5, n_{1}=1, f=+20 \mathrm{~cm}$. Hence, the lens formula gives

$ \dfrac{1}{20}=0.5 [\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}] $

For the same glass lens in water, $n_{2}=1.5, n_{1}=1.33$. Therefore,

$\dfrac{1.33}{f}=(1.5-1.33) [\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}]\hspace{11cm}\ldots{(9.26)}$

Combining these two equations, we find $f=+78.2 \mathrm{~cm}$.

9.5.4 Combination of thin lenses in contact [237-239]#

Consider two lenses $\mathrm{A}$ and $\mathrm{B}$ of focal length $f_{1}$ and $f_{2}$ placed in contact with each other. Let the object be placed at a point $\mathrm{O}$ beyond the focus of the first lens A (Fig. 9.19). The first lens produces an image at $I_{1}$. Since image $I_{1}$ is real, it serves as a virtual object for the second lens B, producing the final image at I. It must, however, be borne in mind that formation of image by the first lens is presumed only to facilitate determination of the position of the final image. In fact, the direction of rays emerging from the first lens gets modified in accordance withthe angle at which they strike the second lens. Since the lenses are thin, we assume the optical centres of the lenses to be coincident. Let this central point be denoted by $P$.

FIGURE 9.19 Image formation by a combination of two thin lenses in contact.

For the image formed by the first lens $\mathrm{A}$, we get

$\dfrac{1}{v_{1}}-\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f_{1}}\hspace{13cm}\ldots{(9.27)}$

For the image formed by the second lens B, we get

$\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{v_{1}}=\dfrac{1}{f_{2}}\hspace{13cm}\ldots{(9.28)}$

Adding Eqs. (9.27) and (9.28), we get

$\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f_{1}}+\dfrac{1}{f_{2}}\hspace{12cm}\ldots{(9.29)}$

If the two lens-system is regarded as equivalent to a single lens of focal length $f$, we have

$ \dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f} $

so that we get

$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{f_{1}}+\dfrac{1}{f_{2}}\hspace{13cm}\ldots{(9.30)}$

The derivation is valid for any number of thin lenses in contact. If several thin lenses of focal length $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots$ are in contact, the effective focal length of their combination is given by

$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{f_{1}}+\dfrac{1}{f_{2}}+\dfrac{1}{f_{3}}+\ldots\hspace{11cm}\ldots{(9.31)}$

In terms of power, Eq. (9.31) can be written as

$P=P_{1}+P_{2}+P_{3}+\ldots\hspace{12cm}\ldots{(9.32)}$

where $P$ is the net power of the lens combination. Note that the sum in Eq. (9.32) is an algebraic sum of individual powers, so some of the terms on the right side may be positive (for convex lenses) and some negative (for concave lenses). Combination of lenses helps to obtain diverging or converging lenses of desired magnification. It also enhances sharpness of the image. Since the image formed by the first lens becomes the object for the second, Eq. (9.25) implies that the total magnification $m$ of the combination is a product of magnification $\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}, \ldots\right)$ of individual lenses

$m=m_{1} m_{2} m_{3} \ldots \hspace{13cm}\ldots{(9.33)}$

Such a system of combination of lenses is commonly used in designing lenses for cameras, microscopes, telescopes and other optical instruments.

Example 9.8 Find the position of the image formed by the lens combination given in the Fig. 9.20.

FIGURE 9.20

Solution Image formed by the first lens

$ \dfrac{1}{v_{1}}-\dfrac{1}{u_{1}}=\dfrac{1}{f_{1}} $

$ \dfrac{1}{v_{1}}-\dfrac{1}{-30}=\dfrac{1}{10} $

or

$v_{1}=15 \mathrm{~cm}$

The image formed by the first lens serves as the object for the second. This is at a distance of $(15-5) \mathrm{cm}=10 \mathrm{~cm}$ to the right of the second lens. Though the image is real, it serves as a virtual object for the second lens, which means that the rays appear to come from it for the second lens.

$ \dfrac{1}{v_{2}}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{-10} $

or

$v_{2}=\infty$

The virtual image is formed at an infinite distance to the left of the second lens. This acts as an object for the third lens.

$ \dfrac{1}{v_{3}}-\dfrac{1}{u_{3}}=\dfrac{1}{f_{3}} $

or

$ \dfrac{1}{v_{3}}=\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{1}{30} $

or

$ v_{3}=30 \mathrm{~cm} $

The final image is formed $30 \mathrm{~cm}$ to the right of the third lens.

9.6 Refraction through a Prism [239-240]#

Figure 9.21 shows the passage of light through a triangular prism $\mathrm{ABC}$. The angles of incidence and refraction at the first face $\mathrm{AB}$ are $i$ and $r_{1}$, while the angle of incidence (from glass to air) at the second face $\mathrm{AC}$ is $r_{2}$ and the angle of refraction or emergence $e$. The angle between the emergent ray $\mathrm{RS}$ and the direction of the incident ray $\mathrm{PQ}$ is called the angle of deviation, $\delta$.

FIGURE 9.21 A ray of light passing through a triangular glass prism.

In the quadrilateral AQNR, two of the angles (at the vertices $\mathrm{Q}$ and $\mathrm{R}$ ) are right angles. Therefore, the sum of the other angles of the quadrilateral is $180^{\circ}$.

$\angle A+\angle \mathrm{QNR}=180^{\circ}$

From the triangle $\mathrm{QNR}$,

$ r_{1}+r_{2}+\angle \mathrm{QNR}=180^{\circ} $

Comparing these two equations, we get

$r_{1}+r_{2}=A \hspace{13cm}\ldots{(9.34)}$

The total deviation $\delta$ is the sum of deviations at the two faces,

$ \delta=\left(i-r_{1}\right)+\left(e-r_{2}\right) $

that is,

$\delta=i+e-A \hspace{13cm}\ldots{(9.35)}$

FIGURE 9.22 Plot of angle of deviation ( $\delta$ ) versus angle of incidence $(i)$ for a triangular prism.

Thus, the angle of deviation depends on the angle of incidence. A plot between the angle of deviation and angle of incidence is shown in Fig. 9.22. You can see that, in general, any given value of $\delta$, except for $i=e$, corresponds to two values $i$ and hence of $e$. This, in fact, is expected from the symmetry of $i$ and $e$ in Eq. (9.35), i.e., $\delta$ remains the same if $i$ and $e$ are interchanged. Physically, this is related to the fact that the path of ray in Fig. 9.21 can be traced back, resulting in the same angle of deviation. At the minimum deviation $D_{m}$, the refracted ray inside the prism becomes parallel to its base. We have

$$ \delta=D_{m}, i=e \text{ which implies } r_{1}=r_{2} $$

Equation (9.34) gives

$$ \begin{equation*} 2 r=A \text{ or } r=\dfrac{A}{2} \tag{9.36} \end{equation*} $$

In the same way, Eq. (9.35) gives

$$ \begin{equation*} D_{\mathrm{m}}=2 i-A, \text{ or } i=\left(A+D_{\mathrm{m}}\right) / 2 \tag{9.37} \end{equation*} $$

The refractive index of the prism is

$$ \begin{equation*} n_{21}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}=\dfrac{\sin \left[\left(A+D_{m}\right) / 2\right]}{\sin [A / 2]} \tag{9.38} \end{equation*} $$

The angles $A$ and $D_{m}$ can be measured experimentally. Equation (9.38) thus provides a method of determining refractive index of the material of the prism.

For a small angle prism, i.e., a thin prism, $D_{m}$ is also very small, and we get

$ \begin{aligned} & n_{21}=\dfrac{\sin \left[\left(A+D_{m}\right) / 2\right]}{\sin [A / 2]} \simeq \dfrac{\left(A+D_{m}\right) / 2}{A / 2} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & D_{m}=\left(n_{21}-1\right) A \end{aligned} $

It implies that, thin prisms do not deviate light much.

9.7 OPTICAL INSTRUMENTS [240]#

A number of optical devices and instruments have been designed utilising reflecting and refracting properties of mirrors, lenses and prisms. Periscope, kaleidoscope, binoculars, telescopes, microscopes are some examples of optical devices and instruments that are in common use. Our eye is, of course, one of the most important optical device the nature has endowed us with. We have already studied about the human eye in Class X. We now go on to describe the principles of working of the microscope and the telescope.

9.7.1 The microscope [240-244]#

FIGURE 9.23 A simple microscope; (a) the magnifying lens is located such that the image is at the near point, (b) the angle subtanded by the object, is the same as that at the near point, and (c) the object near the focal point of the lens; the image is far off but closer than infinity.

A simple magnifier or microscope is a converging lens of small focal length (Fig. 9.23). In order to use such a lens as a microscope, the lens is held near the object, one focal length away or less, and the eye is positioned close to the lens on the other side. The idea is to get an erect, magnified and virtual image of the object at a distance so that it can be viewed comfortably, i.e., at $25 \mathrm{~cm}$ or more. If the object is at a distance $f$, the image is at infinity. However, if the object is at a distance slightly less than the focal length of the lens, the image is virtual and closer than infinity. Although the closest comfortable distance for viewing the image is when it is at the near point (distance $D \cong 25 \mathrm{~cm}$ ), it causes some strain on the eye. Therefore, the image formed at infinity is often considered most suitable for viewing by the relaxed eye. We show both cases, the first in Fig. 9.23(a), and the second in Fig. 9.23(b) and (c).

The linear magnification $m$, for the image formed at the near point $D$, by a simple microscope can be obtained by using the relation

$ m=\dfrac{v}{u}=v\left(\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{f}\right)=\left(1-\dfrac{v}{f}\right) $

Now according to our sign convention, $v$ is negative, and is equal in magnitude to $D$. Thus, the magnification is

$m=\left(1+\dfrac{D}{f}\right) \hspace{13cm}\ldots{(9.39)}$

Since $D$ is about $25 \mathrm{~cm}$, to have a magnification of six, one needs a convex lens of focal length, $f=5 \mathrm{~cm}$.

Note that $m=h^{\prime} / h$ where $h$ is the size of the object and $h^{\prime}$ the size of the image. This is also the ratio of the angle subtended by the image to that subtended by the object, if placed at $D$ for comfortable viewing. (Note that this is not the angle actually subtended by the object at the eye, which is $h / u$.) What a single-lens simple magnifier achieves is that it allows the object to be brought closer to the eye than $D$.

We will now find the magnification when the image is at infinity. In this case we will have to obtained the angular magnification. Suppose the object has a height $h$. The maximum angle it can subtend, and be clearly visible (without a lens), is when it is at the near point, i.e., a distance $D$. The angle subtended is then given by

$\tan \theta _{0}=\left(\dfrac{h}{D}\right) \approx \theta _{0} \hspace{12cm}\ldots{(9.40)}$

We now find the angle subtended at the eye by the image when the object is at $u$. From the relations

$ \dfrac{h^{\prime}}{h}=m=\dfrac{v}{u} $

we have the angle subtended by the image

$\tan \theta_{i}=\dfrac{h^{\prime}}{-v}=\dfrac{h}{-v} \cdot \dfrac{v}{u}=\dfrac{h}{-u} \approx \theta$. The angle subtended by the object, when it is at $u=-f$.

$\theta_{i}=\dfrac{h}{f} \hspace{14cm}\ldots{(9.41)}$

as is clear from Fig. 9.23(c). The angular magnification is, therefore

$m=\dfrac{\theta_{i}}{\theta_{o}}=\dfrac{D}{f} \hspace{13cm}\ldots{(9.42)}$

This is one less than the magnification when the image is at the near point, Eq. (9.39), but the viewing is more comfortable and the difference in magnification is usually small. In subsequent discussions of optical instruments (microscope and telescope) we shall assume the image to be at infinity.

FIGURE 9.24 Ray diagram for the formation of image by a compound microscope.

A simple microscope has a limited maximum magnification $(\leq)$ for realistic focal lengths. For much larger magnifications, one uses two lenses, one compounding the effect of the other. This is known as a compound microscope. A schematic diagram of a compound microscope is shown in Fig. 9.24. The lens nearest the object, called the objective, forms a real, inverted, magnified image of the object. This serves as the object for the second lens, the eyepiece, which functions essentially like a simple microscope or magnifier, produces the final image, which is enlarged and virtual. The first inverted image is thus near (at or within) the focal plane of the eyepiece, at a distance appropriate for final image formation at infinity, or a little closer for image formation at the near point. Clearly, the final image is inverted with respect to the original object.

We now obtain the magnification due to a compound microscope. The ray diagram of Fig. 9.24 shows that the (linear) magnification due to the objective, namely $h^{\prime} / h$, equals

$m_{O}=\dfrac{h^{\prime}}{h}=\dfrac{L}{f_{o}} \hspace{13cm}\ldots{(9.43)}$

where we have used the result

$ \tan \beta=\left(\dfrac{h}{f _{0}}\right)=\left(\dfrac{h^{\prime}}{L}\right) $

Here $h^{\prime}$ is the size of the first image, the object size being $h$ and $f_{o}$ being the focal length of the objective. The first image is formed near the focal point of the eyepiece. The distance $L$, i.e., the distance between the second focal point of the objective and the first focal point of the eyepiece (focal length $f_{e}$ ) is called the tube length of the compound microscope.

As the first inverted image is near the focal point of the eyepiece, we use the result from the discussion above for the simple microscope to obtain the (angular) magnification $m_{e}$ due to it [Eq. (9.39)], when the final image is formed at the near point, is

$m _{e}=\left(1+\dfrac{D}{f _{e}}\right) \hspace{12cm}\ldots{[9.44(a)]}$

When the final image is formed at infinity, the angular magnification due to the eyepiece [Eq. (9.42)] is

$m_{e}=\left(D / f_{e}\right)\hspace{13cm}\ldots{[9.44(b)}]$

Thus, the total magnification [according to Eq. (9.33)], when the image is formed at infinity, is

$m=m _{0} m _{e}=\left(\dfrac{L}{f _{0}}\right)\left(\dfrac{D}{f _{e}}\right)\hspace{11cm}\ldots{(9.45)}$

Clearly, to achieve a large magnification of a small object (hence the name microscope), the objective and eyepiece should have small focal lengths. In practice, it is difficult to make the focal length much smaller than $1 \mathrm{~cm}$. Also large lenses are required to make L large.

For example, with an objective with $f_{o}=1.0 \mathrm{~cm}$, and an eyepiece with focal length $f_{e}=2.0 \mathrm{~cm}$, and a tube length of $20 \mathrm{~cm}$, the magnification is

$ \begin{aligned} m=m _{0} m _{e}= & \left(\dfrac{L}{f _{0}}\right)\left(\dfrac{D}{f _{e}}\right) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\dfrac{20}{1} \times \dfrac{25}{2}=250 \end{aligned} $

Various other factors such as illumination of the object, contribute to the quality and visibility of the image. In modern microscopes, multicomponent lenses are used for both the objective and the eyepiece to improve image quality by minimising various optical aberrations (defects) in lenses.

9.7.2 Telescope [244-246]#

The telescope is used to provide angular magnification of distant objects (Fig. 9.25). It also has an objective and an eyepiece. But here, the objective has a large focal length and a much larger aperture than the eyepiece. Light from a distant object enters the objective and a real image is formed in the tube at its second focal point. The eyepiece magnifies this image producing a final inverted image. The magnifying power $m$ is the ratio of the angle $\beta$ subtended at the eye by the final image to the angle $\alpha$ which the object subtends at the lens or the eye. Hence

$m \approx \dfrac{\beta}{\alpha} \approx \dfrac{h}{f_{e}} \cdot \dfrac{f_{o}}{h}=\dfrac{f_{o}}{f_{e}} \hspace{12cm}\ldots{(9.46)}$

In this case, the length of the telescope tube is $f_{o}+f_{e}$.

Terrestrial telescopes have, in addition, a pair of inverting lenses to make the final image erect. Refracting telescopes can be used both for terrestrial and astronomical observations. For example, consider a telescope whose objective has a focal length of $100 \mathrm{~cm}$ and the eyepiece a focal length of $1 \mathrm{~cm}$. The magnifying power of this telescope is $\mathrm{m}=100 / 1=100$.

Let us consider a pair of stars of actual separation 1’ (one minute of arc). The stars appear as though they are separated by an angle of $100 \times$ $1^{\prime}=100^{\prime}=1.67^{\circ}$.

FIGURE 9.25 A refracting telescope.

The main considerations with an astronomical telescope are its light gathering power and its resolution or resolving power. The former clearly depends on the area of the objective. With larger diameters, fainter objects can be observed. The resolving power, or the ability to observe two objects distinctly, which are in very nearly the same direction, also depends on the diameter of the objective. So, the desirable aim in optical telescopes is to make them with objective of large diameter. The largest lens objective in use has a diameter of $40 \mathrm{inch}(\sim 1.02 \mathrm{~m})$. It is at the Yerkes Observatory in Wisconsin, USA. Such big lenses tend to be very heavy and therefore, difficult to make and support by their edges. Further, it is rather difficult and expensive to make such large sized lenses which form images that are free from any kind of chromatic aberration and distortions.

FIGURE 9.26 Schematic diagram of a reflecting telescope (Cassegrain).

For these reasons, modern telescopes use a concave mirror rather than a lens for the objective. Telescopes with mirror objectives are called reflecting telescopes. There is no chromatic aberration in a mirror. Mechanical support is much less of a problem since a mirror weighs much less than a lens of equivalent optical quality, and can be supported over its entire back surface, not just over its rim. One obvious problem with a reflecting telescope is that the objective mirror focusses light inside the telescope tube. One must have an eyepiece and the observer right there, obstructing some light (depending on the size of the observer cage). This is what is done in the very large 200 inch ( 5.08 m) diameters, Mt. Palomar telescope, California. The viewer sits near the focal point of the mirror, in a small cage. Another solution to the problem is to deflect the light being focussed by another mirror. One such arrangement using a convex secondary mirror to focus the incident light, which now passes through a hole in the objective primary mirror, is shown in Fig. 9.26. This is known as a Cassegrain telescope, after its inventor. It has the advantages of a large focal length in a short telescope. The largest telescope in India is in Kavalur, Tamil Nadu. It is a $2.34 \mathrm{~m}$ diameter reflecting telescope (Cassegrain). It was ground, polished, set up, and is being used by the Indian Institute of Astrophysics, Bangalore. The largest reflecting telescopes in the world are the pair of Keck telescopes in Hawaii, USA, with a reflector of 10 metre in diameter.

SUMMARY#

1. Reflection is governed by the equation $\angle i=\angle r^{\prime}$ and refraction by the Snell’s law, $\sin i / \sin r=n$, where the incident ray, reflected ray, refracted ray and normal lie in the same plane. Angles of incidence, reflection and refraction are $i, r^{\prime}$ and $r$, respectively.

2. The critical angle of incidence $i_{c}$ for a ray incident from a denser to rarer medium, is that angle for which the angle of refraction is $90^{\circ}$. For $i>i_{c}$, total internal reflection occurs. Multiple internal reflections in diamond $\left(i_{c} \cong 24.4^{\circ}\right)$, totally reflecting prisms and mirage, are some examples of total internal reflection. Optical fibres consist of glass fibres coated with a thin layer of material of lower refractive index. Light incident at an angle at one end comes out at the other, after multiple internal reflections, even if the fibre is bent.

3. Cartesian sign convention: Distances measured in the same direction as the incident light are positive; those measured in the opposite direction are negative. All distances are measured from the pole/optic centre of the mirror/lens on the principal axis. The heights measured upwards above $x$-axis and normal to the principal axis of the mirror/ lens are taken as positive. The heights measured downwards are taken as negative.

4. Mirror equation:

$\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f}$

where $u$ and $v$ are object and image distances, respectively and $f$ is the focal length of the mirror. $f$ is (approximately) half the radius of curvature R. $f$ is negative for concave mirror; $f$ is positive for a convex mirror.

5. For a prism of the angle $A$, of refractive index $n_2$ placed in a medium of refractive index $n_1$, $$ n_{21}=\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{\sin \left[\left(A+D_m\right) / 2\right]}{\sin (A / 2)} $$

جہاں $D_m$ کم از کم انحراف کا زاویہ ہے۔

6. کروی سطح کے ذریعے انعکاس کے لیے (انکساری عدد $n_1$ اور $n_2$ کی جگہ 1 اور 2 سے، بالترتیب)

$ \dfrac{n_2}{v}-\dfrac{n_1}{u}=\dfrac{n_2-n_1}{R} $

پتلا عدسہ صورت

$ \dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f} $

عدسہ ساز کی صورت

$ \dfrac{1}{f}=\dfrac{\left(n_2-n_1\right)}{n_1}\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right) $

$R_1$ اور $R_2$ عدسے کی سطحوں کے خمیدگی کے ریڈیس ہیں۔ $f$ مرتکز عدسے کے لیے مثبت ہے؛ $f$ منتشر عدسے کے لیے منفی ہے۔ عدسے کی طاقت $P=1 / f$۔ عدسے کی طاقت کی SI اکائی ڈائیوپٹر (D) ہے: $1 \mathrm{D}=1 \mathrm{~m}^{-1}$۔ اگر کئی پتلے عدسے جن کی فوکل لمبائیاں $f_1, f_2, f_3, \ldots$ ہیں، ایک ساتھ ہوں، ان کے مجموعے کی مؤثر فوکل لمبائی، دی جاتی ہے

$ \dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{f_1}+\dfrac{1}{f_2}+\dfrac{1}{f_3}+\ldots $

کئی عدسوں کے مجموعے کی کل طاقت

$ P=P_1+P_2+P_3+\ldots $

7. پھیلاؤ روشنی کو اس کے اجزاء رنگوں میں تقسیم کرنے کا عمل ہے۔

8. سادہ خوردبین کی بڑھائو طاقت $m$ $m=1+(D / f)$ سے دی جاتی ہے، جہاں $D=25 \mathrm{~cm}$ واضح دیکھنے کی کم از کم دوری ہے اور $f$ محدب عدسے کی فوکل لمبائی ہے۔ اگر تصویر لامحدود پر ہو، $m=D / f$۔ مرکب خوردبین کے لیے، بڑھائو طاقت $m=m_{e} \times m_{0}$ سے دی جاتی ہے جہاں $m_{e}=1+\left(D / f_{e}\right)$، آئی پیس کی بڑھائو ہے اور $m_{o}$ مقصد کی بڑھائو ہے۔ تقریباً،

$ m=\dfrac{L}{f_{o}} \times \dfrac{D}{f_{e}} $

جہاں $f_{\mathrm{o}}$ اور $f_{e}$ مقصد اور آئی پیس کی فوکل لمبائیاں ہیں، بالترتیب، اور $L$ ان کے فوکس پوائنٹس کے درمیان کا فاصلہ ہے۔

9. دوربین کی بڑھائو طاقت $m$ تصویر کے ذریعے آنکھ پر بننے والے زاویہ $\beta$ اور شے کے ذریعے آنکھ پر بننے والے زاویہ $\alpha$ کا نسبت ہے۔

$ m=\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{f_{o}}{f_{e}} $

جہاں $f_{0}$ اور $f_{e}$ مقصد اور آئی پیس کی فوکل لمبائیاں ہیں، بالترتیب۔

غور کرنے کے نکات#

1. عکاسی اور انعکاس کے قوانین تمام سطحوں اور جگہوں کے جوڑوں کے لیے آمد کے نقطہ پر درست ہیں۔

2. محدب عدسے کے سامنے $f$ اور $2 f$ کے درمیان رکھی گئی شے کی حقیقی تصویر تصویر کی جگہ پر رکھی گئی اسکرین پر دیکھی جا سکتی ہے۔ اگر اسکرین ہٹا دی جائے، کیا تصویر اب بھی وہاں ہے؟ یہ سوال بہت سے لوگوں کو الجھاتا ہے، کیونکہ ہوا میں ایک اسکرین کے بغیر ایک تصویر کا موجود ہونا مشکل ہے۔ لیکن تصویر موجود ہے۔ شے کے کسی دیئے گئے نقطہ سے آنے والی کرنیں فضا میں ایک تصویری نقطہ پر مرتکز ہو رہی ہیں اور پھر پھیل رہی ہیں۔ اسکرین صرف ان کرنوں کو پھیلاتی ہے، جن میں سے کچھ ہماری آنکھ تک پہنچتی ہیں اور ہم تصویر دیکھتے ہیں۔ یہ لیزر شو کے دوران ہوا میں بننے والی تصویروں سے دیکھا جا سکتا ہے۔

3. تصویر کی تشکیل کو باقاعدہ عکاسی/انعکاس کی ضرورت ہوتی ہے۔ اصولاً، ایک دیئے گئے نقطے سے تمام کرنیں ایک ہی تصویری نقطہ تک پہنچنی چاہییں۔ یہی وجہ ہے کہ آپ کسی غیر باقاعدہ عکاس شے، مثال کے طور پر کتاب کے صفحہ، سے اپنی تصویر نہیں دیکھتے۔

4. موٹے عدسے پھیلاؤ کی وجہ سے رنگین تصویر دیتے ہیں۔ ہمیں اپنے اردگرد نظر آنے والی اشیاء کی رنگین تنوع روشنی کے اجزاء رنگوں کی وجہ سے ہے جو ان پر آتی ہے۔ ایک یک رنگی روشنی سفید روشنی میں دیکھی گئی اشیاء کے رنگوں کے بارے میں بالکل مختلف تصور پیدا کر سکتی ہے۔

5. سادہ خوردبین کے لیے، شے کا زاویائی سائز تصویر کے زاویائی سائز کے برابر ہوتا ہے۔ پھر بھی یہ بڑھائو فراہم کرتا ہے کیونکہ ہم چھوٹی شے کو آنکھ کے بہت قریب رکھ سکتے ہیں $25 \mathrm{~cm}$ سے اور اسے بڑا زاویہ بنانے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔ تصویر $25 \mathrm{~cm}$ پر ہے جسے ہم دیکھ سکتے ہیں۔ خوردبین کے بغیر، آپ کو چھوٹی شے کو $25 \mathrm{~cm}$ پر رکھنا پڑے گا جو کہ بہت چھوٹا زاویہ بنائے گا۔