باب 1 اکائیاں اور پیمائش کے مشقی سوالات

جواب

(الف) 1 سینٹی میٹر $=\frac{1}{100} ~m$

مکعب کا حجم $=1 ~cm^{3}$

لیکن، $1 ~cm^{3}=1 ~cm \times 1 ~cm \times 1 ~cm=(\frac{1}{100}) ~m \times(\frac{1}{100}) ~m \times(\frac{1}{100}) ~m$

$\therefore 1 ~cm^{3}=10^{-6} ~m^{3}$

لہٰذا، ایک مکعب جس کا ضلع $1 ~cm$ ہے کا حجم $10^{-6} ~m^{3}$ کے برابر ہے۔

(ب) ایک سلنڈر جس کا رداس $r$ اور اونچائی $h$ ہے کا کل سطحی رقبہ ہے

$S=2 \pi r(r+h)$۔

دیے گئے ہیں،

$r=2 ~cm=2 \times 1 ~cm=2 \times 10 ~mm=20 ~mm$

$h=10 ~cm=10 \times 10 ~mm =100 ~mm$

$\therefore S=2 \times 3.14 \times 20 \times(20+100)=15072=1.5 \times 10^{4} ~mm^{2}$

(ج) تبادلوں کا استعمال کرتے ہوئے،

$1 ~km / h=\frac{5}{18} ~m / s$

$18 ~km / h=18 \times \frac{5}{18}=5 ~m / s$

لہٰذا، فاصلہ درج ذیل تعلق سے حاصل کیا جا سکتا ہے:

فاصلہ $=$ رفتار $\times$ وقت $=5 \times 1=5 ~m$

لہٰذا، گاڑی $1 ~s$ میں $5 ~m$ طے کرتی ہے۔

(د) کسی مادے کی نسبتی کثافت درج ذیل تعلق سے دی جاتی ہے،

نسبتی کثافت $=\frac{\text{ Density of substance }}{\text{ Density of water }}$

پانی کی کثافت $=1 ~g / ~cm^{3}$

سیسے کی کثافت $=$ سیسے کی نسبتی کثافت $\times$ پانی کی کثافت

$ =11.3 \times 1=11.3 g / ~cm^{3} $

پھر، $1 g=\frac{1}{1000} kg$

$1 ~cm^{3}=10^{-6} ~m^{3}$

$1 g / ~cm^{3}=\frac{10^{-3}}{10^{-6}} kg / ~m^{3}=10^{3} kg / ~m^{3}$

$\therefore 11.3 g / ~cm^{3}=11.3 \times 10^{3} kg / ~m^{3}$

جواب

(الف) $1 kg=10^{3} ~g$

$1 m^{2}=10^{4} cm^{2}$

$1 ~g m^{2} s^{-2}=1 ~kg \times 1 m^{2} \times 1 ~s^{-2}$

$=10^{3} ~g \times 10^{4} cm^{2} \times 1 ~s^{-2}=10^{7} ~g cm^{2} s^{-2}$

(ب) نوری سال وہ کل فاصلہ ہے جو روشنی ایک سال میں طے کرتی ہے۔

$1 ~ly=$ روشنی کی رفتار $\times$ ایک سال

$=(3 \times 10^{8} ~m / s) \times(365 \times 24 \times 60 \times 60 s)$

$=9.46 \times 10^{15} ~m$

$\therefore 1 ~m=\frac{1}{9.46 \times 10^{15}}=1.057 \times 10^{-16} ~ly$

(ج) $1 ~m=10^{-3} ~km$

پھر، $1 ~s=\frac{1}{3600} ~h$

$1 ~s^{-1}=3600 ~h^{-1}$

$1 ~s^{-2}=(3600)^{2} ~h^{-2}$

$\therefore 3 ~m s^{-2}=(3 \times 10^{-3} ~km) \times((3600)^{2} h^{-2})=3.88 \times 10^{-4} ~km h^{-2}$

(د) $1 ~N=1 ~kg m s^{-2}$

$1 ~kg=10^{-3} ~g^{-1}$

$1 ~m^{3}=10^{6} ~cm^{3}$

$\therefore 6.67 \times 10^{-11} ~N m^{2} kg^{-2}=6.67 \times 10^{-11} \times(1 ~kg m s^{-2})(1 m^{2})(1 s^{-2})$

$ \begin{aligned} & =6.67 \times 10^{-11} \times(1 kg \times 1 m^{3} \times 1 s^{-2}) \\ & =6.67 \times 10^{-11} \times(10^{-3} g^{-1}) \times(10^{6} cm^{3}) \times(1 s^{-2}) \\ & =6.67 \times 10^{-8} cm^{3} s^{-2} g^{-1} \end{aligned} $

جواب

دیے گئے ہیں،

1 کیلوری $=4.2(1 kg)(1 m^{2})(1 s^{-2})$

کمیت کی نئی اکائی $=\alpha kg$

لہٰذا، نئی اکائی کے لحاظ سے، $1 kg=\frac{1}{\alpha}=\alpha^{-1}$

لمبائی کی نئی اکائی کے لحاظ سے،

$ 1 m=\frac{1}{\beta}=\beta^{-1} \text{ یا } 1 m^{2}=\beta^{-2} $

اور، وقت کی نئی اکائی کے لحاظ سے،

$ \begin{aligned} & 1 s=\frac{1}{\gamma}=\gamma^{-1} \\ & 1 s^{2}=\gamma^{-2} \\ & 1 s^{-2}=\gamma^{2} \\ & \therefore 1 \text{ کیلوری }=4.2(1 \alpha^{-1})(1 \beta^{-2})(1 \gamma^{2})=4.2 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^{2} \end{aligned} $

جواب

دی گئی بات درست ہے کیونکہ ایک بُعدی مقدار کسی معیاری حوالے کے مقابلے میں بڑی یا چھوٹی ہو سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، رگڑ کا ضریب بُعدی ہے۔ سلائڈنگ رگڑ کا ضریب رولنگ رگڑ کے ضریب سے زیادہ ہوتا ہے، لیکن جامد رگڑ کے ضریب سے کم ہوتا ہے۔

(الف) ایک ایٹم فٹ بال کے مقابلے میں ایک بہت چھوٹی شے ہے۔

(ب) ایک جیٹ طیارہ سائیکل کی رفتار سے زیادہ رفتار سے چلتا ہے۔

(ج) کرکٹ کی گیند کی کمیت کے مقابلے میں مشتری کی کمیت بہت زیادہ ہے۔

(د) جیومیٹری باکس میں موجود مالیکیولوں کے مقابلے میں اس کمرے کے اندر کی ہوا میں مالیکیولوں کی تعداد بہت زیادہ ہے۔

(ہ) ایک پروٹون الیکٹران سے زیادہ بھاری ہے۔

(و) آواز کی رفتار روشنی کی رفتار سے کم ہے۔

جواب

سورج اور زمین کے درمیان فاصلہ:

$=$ روشنی کی رفتار $\times$ روشنی کے ذریعے فاصلہ طے کرنے میں لگا وقت

دیے گئے ہیں کہ نئی اکائی میں، روشنی کی رفتار $=1$ اکائی

لیا گیا وقت، $t=8 \min 20 s=500 s$

$\therefore$ سورج اور زمین کے درمیان فاصلہ $=1 \times 500=500$ اکائیاں

جواب

(الف) کم سے کم گنتی (count) والا آلہ لمبائی ناپنے کے لیے سب سے موزوں ہے۔

ورنیئر کیلیپرز کی کم سے کم گنتی

$=1$ معیاری تقسیم $(SD)-1$ ورنیئر تقسیم (VD)

$=1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}=0.01 cm$

(ب) سکرو گیج کی کم سے کم گنتی $= \frac{\text{Pitch}}{\text{Number of divisions}}$

$=\frac{1}{1000}=0.001 cm$

(ج) آپٹیکل آلے کی کم سے کم گنتی $=$ روشنی کی طول موج $\sim 10^{-5} cm$

$=0.00001 cm$

لہٰذا، یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ لمبائی ناپنے کے لیے آپٹیکل آلہ سب سے موزوں آلہ ہے۔

جواب

خوردبین کی تکبیر (magnification) $=100$

خوردبین کے میدانِ نظر میں بال کی اوسط چوڑائی $=3.5 ~mm$

$\therefore$ بال کی اصل موٹائی $\frac{3.5}{100}=0.035 ~mm$ ہے۔

جواب

دھاگے کو ایک ہموار یکساں سلاخ پر اس طرح لپیٹیں کہ بننے والے چکر ایک دوسرے کے بہت قریب ہوں۔ میٹر کے پیمانے سے دھاگے کی لمبائی ناپیں۔ دھاگے کا قطر درج ذیل تعلق سے دیا جاتا ہے،

قطر $=\frac{\text{ Length of thread }}{\text{ Number of turns }}$

سرکلر اسکیل پر تقسیموں کی تعداد بڑھا کر سکرو گیج کی درستگی کو بڑھانا ممکن نہیں ہے۔ سرکلر اسکیل پر تقسیموں کی تعداد بڑھانے سے اس کی درستگی صرف ایک خاص حد تک ہی بڑھے گی۔

100 پیمائشوں کا سیٹ 5 پیمائشوں کے سیٹ کے مقابلے میں زیادہ قابل اعتماد ہے کیونکہ سابقہ میں شامل بے ترتیب غلطیاں مؤخر الذکر کے مقابلے میں بہت کم ہیں۔

جواب

سلائیڈ پر گھر کا رقبہ $=1.75 cm^{2}$

اسکرین پر بننے والے گھر کی تصویر کا رقبہ $=1.55 m^{2}$

$=1.55 \times 10^{4} cm^{2}$

سطحی تکبیر (aerial magnification)، $m_a=\frac{\text{ Area of image }}{\text{ Area of object }}=\frac{1.55}{1.75} \times 10^{4}$

$\therefore$ خطی تکبیر، $m_l=\sqrt{m_a}$

$=\sqrt{\frac{1.55}{1.75} \times 10^{4}}=94.11$

جواب

(الف)

دی گئی مقدار $0.007 ~m^{2}$ ہے۔

اگر عدد ایک سے کم ہے، تو اعشاریہ کے دائیں طرف (لیکن پہلے غیر صفر عدد کے بائیں طرف) والے تمام صفر غیر معنی دار ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ یہاں، اعشاریہ کے بعد کے دو صفر معنی دار نہیں ہیں۔ لہٰذا، اس مقدار میں صرف 7 ایک معنوی عدد ہے۔

(ب)

دی گئی مقدار $2.64 \times 10^{24} ~kg$ ہے۔

یہاں، معنوی اعداد کے تعین کے لیے 10 کی طاقت غیر متعلق ہے۔ لہٰذا، تمام ہندسے یعنی 2، 6 اور 4 معنوی اعداد ہیں۔

(ج)

دی گئی مقدار $0.2370 ~g cm^{-3}$ ہے۔

اعشاریہ والے عدد کے لیے، آخر میں آنے والے صفر معنی دار ہوتے ہیں۔ لہٰذا، ہندسوں 2، 3 اور 7 کے علاوہ، اعشاریہ کے بعد آنے والا 0 بھی ایک معنوی عدد ہے۔

(د)

دی گئی مقدار $6.320 ~J$ ہے۔

اعشاریہ والے عدد کے لیے، آخر میں آنے والے صفر معنی دار ہوتے ہیں۔ لہٰذا، دی گئی مقدار میں ظاہر ہونے والے تمام چار ہندسے معنوی اعداد ہیں۔

(ہ)

دی گئی مقدار $6.032 ~Nm^{-2}$ ہے۔

دو غیر صفر ہندسوں کے درمیان آنے والے تمام صفر ہمیشہ معنی دار ہوتے ہیں۔

(و)

دی گئی مقدار $0.0006032 ~m^{2}$ ہے۔

اگر عدد ایک سے کم ہے، تو اعشاریہ کے دائیں طرف (لیکن پہلے غیر صفر عدد کے بائیں طرف) والے صفر غیر معنی دار ہوتے ہیں۔ لہٰذا، 6 سے پہلے آنے والے تینوں صفر معنوی اعداد نہیں ہیں۔ دو غیر صفر ہندسوں کے درمیان آنے والے تمام صفر ہمیشہ معنی دار ہوتے ہیں۔ لہٰذا، باقی چار ہندسے معنوی اعداد ہیں۔

جواب

شیٹ کی لمبائی، $l=4.234 ~m$

شیٹ کی چوڑائی، $b=1.005 ~m$

شیٹ کی موٹائی، $h=2.01 cm=0.0201 ~m$

دی گئی جدول متعلقہ معنوی اعداد کو فہرست کرتی ہے:

لہٰذا، رقبہ اور حجم دونوں میں کم سے کم معنوی اعداد یعنی 3 ہونے چاہئیں۔

شیٹ کا سطحی رقبہ $=2(l \times b+b \times h+h \times l)$

$=2(4.234 \times 1.005+1.005 \times 0.0201+0.0201 \times 4.234)$

$=2(4.25517+0.02620+0.08510)$

$=2 \times 4.360$

$=8.72 ~m^{2}$

شیٹ کا حجم $=l \times b \times h$

$=4.234 \times 1.005 \times 0.0201$

$=0.0855 ~m^{3}$

اس عدد میں صرف 3 معنوی اعداد ہیں یعنی 8، 5، اور 5۔

جواب

پنساری کے ڈبے کی کمیت $=2.300 ~kg$

سونے کے ٹکڑے کی کمیت $\mathbf{I}=20.15 ~g=0.02015 ~kg$

سونے کے ٹکڑے کی کمیت $\mathbf{I I}=20.17 ~g=0.02017 ~kg$

ڈبے کی کل کمیت $=2.3+0.02015+0.02017=2.34032 ~kg$

جمع میں، حتمی نتیجہ میں اتنی ہی اعشاریہ جگہیں برقرار رکھنی چاہئیں جتنی کہ سب سے کم اعشاریہ جگہوں والے عدد میں ہوں۔ لہٰذا، ڈبے کی کل کمیت $2.3 ~kg$ ہے۔

کمیتوں کا فرق $=20.17-20.15=0.02 ~g$

تفریق میں، حتمی نتیجہ میں اتنی ہی اعشاریہ جگہیں برقرار رکھنی چاہئیں جتنی کہ سب سے کم اعشاریہ جگہوں والے عدد میں ہوں۔

جواب

دی گئی نسبت،

$ m=\frac{m_0}{(1-v^{2})^{\frac{1}{2}}} $

$m=M^{1} L^{0} T^{0}$ کا بُعد

$m_0=M^{1} L^{0} T^{0}$ کا بُعد

$v=M^{0} L^{1} T^{-1}$ کا بُعد

$v^{2}=M^{0} L^{2} T^{-2}$ کا بُعد

$c=M^{0} L^{1} T^{-1}$ کا بُعد

دی گئی فارمولا بُعدی طور پر تب ہی درست ہوگا جب بائیں طرف (L.H.S) کا بُعد دائیں طرف (R.H.S) کے بُعد کے برابر ہو۔ یہ تب ہی ممکن ہے جب عامل، $(1-v^{2})^{\frac{1}{2}}$ بُعدی ہو یعنی $(1-v^{2})$ بُعدی ہو۔ یہ تب ہی ممکن ہے اگر $v^{2}$ کو $c^{2}$ سے تقسیم کیا جائے۔ لہٰذا، درست تعلق ہے

$ m=\frac{m_0}{(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{1}{2}}} $

جواب

ہائیڈروجن ایٹم کا رداس، $r=0.5 \quad \dot{A}=0.5 \times 10^{-10} m$

ہائیڈروجن ایٹم کا حجم $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.5 \times 10^{-10})^{3}$

$=0.524 \times 10^{-30} m^{3}$

ہائیڈروجن کا 1 مول $6.023 \times 10^{23}$ ہائیڈروجن ایٹم رکھتا ہے۔

$\therefore$ ہائیڈروجن ایٹموں کے 1 مول کا حجم $=6.023 \times 10^{23} \times 0.524 \times 10^{-30}$

$=3.16 \times 10^{-7} m^{3}$

جواب

ہائیڈروجن ایٹم کا رداس، $r=0.5 \quad \dot{A}=0.5 \times 10^{-10} m$

ہائیڈروجن ایٹم کا حجم $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.5 \times 10^{-10})^{3}$

$=0.524 \times 10^{-30} m^{3}$

اب، ہائیڈروجن کا 1 مول $6.023 \times 10^{23}$ ہائیڈروجن ایٹم رکھتا ہے۔

$\therefore$ ہائیڈروجن ایٹموں کے 1 مول کا حجم، $V_a=6.023 \times 10^{23} \times 0.524 \times 10^{-30}$

$=3.16 \times 10^{-7} m^{3}$

معیاری درجہ حرارت اور دباؤ (STP) پر ہائیڈروجن ایٹموں کے 1 مول کا مولر حجم،

$V_m=22.4 L=22.4 \times 10^{-3} m^{3}$

$\therefore \frac{V_m}{V_a}=\frac{22.4 \times 10^{-3}}{3.16 \times 10^{-7}}=7.08 \times 10^{4}$

لہٰذا، مولر حجم ایٹمی حجم سے $7.08 \times 10^{4}$ گنا زیادہ ہے۔ اسی وجہ سے، ہائیڈروجن گیس میں ایٹموں کے درمیان فاصلہ ہائیڈروجن ایٹم کے سائز سے کہیں زیادہ ہے۔

جواب

نظر کی لکیر (line of sight) ایک خیالی لکیر کے طور پر تعریف کی جاتی ہے جو کسی شے اور ناظر کی آنکھ کو جوڑتی ہے۔ جب ہم حرکت کرتی ہوئی ٹرین میں بیٹھے ہوئے قریب کی ساکن اشیاء جیسے درخت، مکانات وغیرہ کو دیکھتے ہیں، تو وہ مخالف سمت میں تیزی سے حرکت کرتے ہوئے دکھائی دیتے ہیں کیونکہ نظر کی لکیر بہت تیزی سے بدلتی ہے۔

دوسری طرف، دور کی اشیاء جیسے درخت، ستارے وغیرہ زیادہ فاصلے کی وجہ سے ساکن دکھائی دیتے ہیں۔ نتیجتاً، نظر کی لکیر اپنی سمت تیزی سے نہیں بدلتی۔

جواب

سورج کی کمیت، $M=2.0 \times 10^{30} kg$

سورج کا رداس، $R=7.0 \times 10^{8} m$

سورج کا حجم، $V=\frac{4}{3} \pi R^{3}$

$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(7.0 \times 10^{8})^{3}$

$=\frac{88}{21} \times 343 \times 10^{24}=1437.3 \times 10^{24} m^{3}$

سورج کی کثافت $=\frac{\text{ Mass }}{\text{ Volume }}=\frac{2.0 \times 10^{30}}{1437.3 \times 10^{24}} \sim 1.4 \times 10^{3} kg / m^{5}$

سورج کی کثافت ٹھوس اور مائعات کی کثافت کے دائرے میں ہے۔ یہ اعلی کثافت سورج کی بیرونی تہہ پر اندرونی تہوں کی شدید کشش ثقل کی وجہ سے ہے۔