باب 6 ذرات کے نظام اور گردشی حرکت کے مشقی سوالات

جواب

ہندسی مرکز؛ نہیں

مرکزِ کمیت (C.M.) ایک ایسا نقطہ ہے جہاں جسم کا تمام ماس مرتکز سمجھا جاتا ہے۔ دی گئی ہندسی شکلوں کے لیے جو یکساں کثافت رکھتی ہیں، C.M. ان کے اپنے اپنے ہندسی مراکز پر واقع ہوتا ہے۔

کسی جسم کا مرکزِ کمیت لازمی طور پر اس کے اندر واقع نہیں ہوتا۔ مثال کے طور پر، ایک چھلے، کھوکھلے کرے وغیرہ جیسے اجسام کا C.M. جسم سے باہر واقع ہوتا ہے۔

جواب

دی گئی صورت حال کو اس طرح دکھایا جا سکتا ہے:

$H$ اور $Cl$ ایٹموں کے درمیان فاصلہ $=1.27 \mathring{A}$

$H$ ایٹم کا ماس $=m$

$Cl$ ایٹم کا ماس $=35.5 m$

چلیے نظام کا مرکزِ کمیت $Cl$ ایٹم سے $x$ کے فاصلے پر واقع ہو۔

$H$ ایٹم سے مرکزِ کمیت کا فاصلہ $=(1.27-x)$

فرض کرتے ہیں کہ دیے گئے مالیکیول کا مرکزِ کمیت مبدا پر واقع ہے۔ لہذا، ہمارے پاس ہو سکتا ہے:

$ \begin{aligned} & \frac{m(1.27-x)+35.5 m x}{m+35.5 m}=0 \\ & m(1.27-x)+35.5 m x=0 \\ & 1.27-x=-35.5 x \\ & \therefore x=\frac{-1.27}{(35.5-1)}=-0.037 \mathring{A} \end{aligned} $

یہاں، منفی علامت ظاہر کرتی ہے کہ مرکزِ کمیت مالیکیول کے بائیں طرف واقع ہے۔ لہذا، $HCl$ مالیکیول کا مرکزِ کمیت $Cl$ ایٹم سے $0.037 \mathring{A}$ پر واقع ہے۔

جواب

کوئی تبدیلی نہیں

بچہ $v$ کی رفتار سے حرکت کرنے والی ٹرالی پر من مانی طرح سے دوڑ رہا ہے۔ تاہم، بچے کے دوڑنے سے ٹرالی کے مرکزِ کمیت کی رفتار پر کوئی اثر نہیں پڑے گا۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ لڑکے کی حرکت سے پیدا ہونے والی قوت محض اندرونی ہے۔ اندرونی قوتیں ان اجسام کی حرکت پر کوئی اثر نہیں ڈالتیں جن پر وہ عمل کرتی ہیں۔ چونکہ لڑکے-ٹرالی نظام میں کوئی بیرونی قوت شامل نہیں ہے، لہذا لڑکے کی حرکت سے ٹرالی کے مرکزِ کمیت کی رفتار میں کوئی تبدیلی نہیں آئے گی۔

جواب

دو ویکٹرز $\overrightarrow{{}OK}=|\vec{a}| _{\text{and }} \overrightarrow{{}OM}=|\vec{b}|$ پر غور کریں، جو زاویہ $\theta$ پر جھکے ہوئے ہیں، جیسا کہ مندرجہ ذیل شکل میں دکھایا گیا ہے۔

$\triangle OMN$ میں، ہم یہ تعلق لکھ سکتے ہیں:

$ \begin{aligned} & \sin \theta=\frac{MN}{OM}=\frac{MN}{|\vec{b}|} \\ & MN=|\vec{b}| \sin \theta \\ & |\vec{a} \times \vec{a}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \end{aligned} $

$ =OK \cdot MN \times \frac{2}{2} $

$=2 \times$ $\triangle OMK$ کا رقبہ

$\therefore$ $\triangle OMK=\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$ کا رقبہ

جواب

ایک متوازی السطوح جس کا مبدا $O$ ہے اور کنارے $a, b$، اور $c$ ہیں، مندرجہ ذیل شکل میں دکھایا گیا ہے۔

دیے گئے متوازی السطوح کا حجم $=a b c$

$\overrightarrow{{}OC}=\vec{a}$

$\overrightarrow{{}OB}=\vec{b}$

$\overrightarrow{{}OC}=\vec{c}$

چلیے $\hat{\mathbf{n}}$ ایک اکائی ویکٹر ہے جو $b$ اور $c$ دونوں کے عمود ہے۔ لہذا، $\hat{\mathbf{n}}$ اور $a$ کی سمت ایک جیسی ہے۔

$ \begin{aligned} & \therefore \vec{b} \times \vec{c}=b c \sin \theta \hat{\mathbf{n}} \\ & =b c \sin 90^{\circ} \hat{\mathbf{n}} \\ & =b c \hat{n} \\ & \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c}) \\ & =a \cdot(b c \hat{\mathbf{n}}) \\ & =a b c \cos \theta \hat{\mathbf{n}} \\ & =a b c \cos 0^{\circ} \\ & =a b c \end{aligned} $

$=$ متوازی السطوح کا حجم

جواب

$l_x=y p_z-z p_y$

$l_y=z p_x-x p_z$

$l_z=x p_y-y p_x$

ذرے کا خطی معیار حرکت، $\vec{p}=p_x \hat{\mathbf{i}}+p_y \hat{\mathbf{j}}+p_z \hat{\mathbf{k}}$

ذرے کا مقامی ویکٹر، $\vec{r}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}$

زاویائی معیار، $\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}$

$ =(x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}) \times(p_x \hat{\mathbf{i}}+p_y \hat{\mathbf{j}}+p_z \hat{\mathbf{k}}) $

$= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z\end{vmatrix} $

$l_x \hat{\mathbf{i}}+l_y \hat{\mathbf{j}}+l_z \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}(y p_z-z p_y)-\hat{\mathbf{j}}(x p_z-z p_x)+\hat{\mathbf{k}}(x p_y-z p_x)$

$\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}$، اور $\hat{\mathbf{k}}$ کے سرے موازنہ کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے:

$$ \left. \begin{matrix} l_x=y p_z-z p_y \\ l_y=x p_z-z p_x \tag{i}\\ l_z=x p_y-y p_x \end{matrix} \right\rbrace $$

ذرہ $x-y$ مستوی میں حرکت کرتا ہے۔ لہذا، مقامی ویکٹر اور خطی معیار حرکت ویکٹر کا $z$-جز صفر ہو جاتا ہے، یعنی،

$z=p_z=0$

اس طرح، مساوات $(i)$ کم ہو کر بن جاتی ہے:

$ \left.\begin{matrix} l_x=0 \\ l_y=0 \\ l_z=x p_y-y p_x \end{matrix} \right\rbrace $

لہذا، جب ذرہ $x-y$ مستوی میں حرکت کرنے کے لیے محدود ہو، تو زاویائی معیار کی سمت $z$-سمت کے ساتھ ہوتی ہے۔

جواب

فرض کریں کہ ایک خاص لمحے پر دو ذرات نقطہ $P$ اور $Q$ پر ہیں، جیسا کہ مندرجہ ذیل شکل میں دکھایا گیا ہے۔

نقطہ P کے بارے میں نظام کا زاویائی معیار:

$$ \begin{align*} \vec{L} _P & =m v \times 0+m v \times d \\ & =m v d \tag{i} \end{align*} $$

نقطہ $Q$ کے بارے میں نظام کا زاویائی معیار:

$$ \begin{align*} \vec{L} _Q & =m v \times d+m v \times 0 \\ & =m v d \tag{ii} \end{align*} $$

ایک نقطہ $R$ پر غور کریں، جو نقطہ $Q$ سے $y$ کے فاصلے پر ہے، یعنی،

$QR=y$

$\therefore PR=d-y$

نقطہ R کے بارے میں نظام کا زاویائی معیار:

$$ \begin{align*} \vec{L} _R & =m v \times(d-y)+m v \times y \\ & =m v d-m v y+m v y \\ & =m v d \tag{iii} \end{align*} $$

مساوات (i)، (ii)، اور (iii) کا موازنہ کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے:

$ \vec{L} _P= \vec{L} _Q= \vec{L} _R$

ہم مساوات (iv) سے نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ کسی نظام کا زاویائی معیار اس نقطے پر منحصر نہیں ہوتا جس کے بارے میں اسے لیا جاتا ہے۔

جواب

سلاخ کا آزاد جسمی خاکہ مندرجہ ذیل شکل میں دکھایا گیا ہے۔

سلاخ کی لمبائی، $l=2 m$

$T_1$ اور $T_2$ بالترتیب بائیں اور دائیں ڈوریوں میں پیدا ہونے والی کھچاؤ ہیں۔

انتقالی توازن پر، ہمارے پاس ہے:

$T_1 \sin 36.9^{\circ}=T_2 \sin 53.1$

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\sin 53.1^{\circ}}{\sin 36.9}$

$=\frac{0.800}{0.600}=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow T_1=\frac{4}{3} T_2$

گردشی توازن کے لیے، مرکزِ ثقل کے بارے میں ٹارک لیتے ہوئے، ہمارے پاس ہے:

$ \begin{aligned} & T_1 \cos 36.9 \times d=T_2 \cos 53.1(2-d) \\ \\ & T_1 \times 0.800 d=T_2 0.600(2-d) \\ \\ & \frac{4}{3} \times T_2 \times 0.800 d=T_2[0.600 \times 2-0.600 d] \\ \\ & 1.067 d+0.6 d=1.2 \\ \\ & \therefore d=\frac{1.2}{1.67} \\ \\ & \quad=0.72 m \end{aligned} $

لہذا، دی گئی سلاخ کا C.G. (مرکزِ ثقل) اس کے بائیں سرے سے $0.72 m$ پر واقع ہے۔

جواب

کار کا ماس، $m=1800 kg$

اگلے اور پچھلے دھروں کے درمیان فاصلہ، $d=1.8 m$

C.G. (مرکزِ ثقل) اور پچھلے دھرے کے درمیان فاصلہ $=1.05 m$

کار پر عمل کرنے والی مختلف قوتیں مندرجہ ذیل شکل میں دکھائی گئی ہیں۔

$R_f$ اور $R_b$ ہموار زمین کے ذریعے اگلے اور پچھلے پہیوں پر وارد ہونے والی قوتیں ہیں۔

انتقالی توازن پر:

$ \begin{aligned} & R_f+R_b=m g \\ = & 1800 \times 9.8 \\ = & 17640 N \ldots(i) \end{aligned} $

گردشی توازن کے لیے، C.G. کے بارے میں ٹارک لیتے ہوئے، ہمارے پاس ہے:

$$ \begin{align*} & R_f(1.05)=R_b(1.8-1.05) \\ & R_f \times 1.05=R_b \times 0.75 \\ & \frac{R_f}{R_b}=\frac{0.75}{1.05}=\frac{5}{7} \\ & \frac{R_b}{R_f}=\frac{7}{5} \\ & R_b=1.4 R_f \tag{ii} \end{align*} $$

مساوات $(i)$ اور (ii) کو حل کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے:

$ \begin{aligned} & 1.4 R_f+R_f=17640 \\ & R_f=\frac{17640}{2.4}=7350 N \end{aligned} $

$\therefore R_b=17640-7350=10290 N$

لہذا، ہر اگلے پہیے پر وارد ہونے والی قوت $=\frac{7350}{2}=3675 N$، اور

ہر پچھلے پہیے پر وارد ہونے والی قوت

$ =\frac{10290}{2}=5145 N $

جواب

چلیے $m$ اور $r$ بالترتیب کھوکھلے سلنڈر اور ٹھوس کرے کے ماس ہیں۔

کھوکھلے سلنڈر کا اس کے معیاری محور کے بارے میں جڑتا کا موڑ، $I_1=m r^{2}$

ٹھوس کرے کا اس کے مرکز سے گزرنے والے محور کے بارے میں جڑتا کا موڑ، $I_{II}=\frac{2}{5} m r^{2}$

ہمارے پاس تعلق ہے:

$ \tau=I \alpha $

جہاں،

$\alpha=$ زاویائی اسراع

$\tau=$ ٹارک

$I=$ جڑتا کا موڑ

کھوکھلے سلنڈر کے لیے، $ _1=I_1 \alpha_1$

ٹھوس کرے کے لیے، $\tau_{II}=I_{II} \alpha_{II}$

چونکہ دونوں اجسام پر ایک جیسا ٹارک لگایا جاتا ہے، $\tau_1=\tau_2$

$\therefore \frac{\alpha_{II}}{\alpha_I}=\frac{I_I}{I_{Il}}=\frac{m r^{2}}{\frac{2}{5} m r^{2}}=\frac{2}{5}$

$$\alpha_{\text{II }}>\alpha_{\text{I }}\tag{i} $$

اب، تعلق استعمال کرتے ہوئے:

$\omega=\omega_0+\alpha t$

جہاں،

$\omega_0=$ ابتدائی زاویائی سمتار

$t=$ گردش کا وقت

$\omega=$ حتمی زاویائی سمتار

یکساں $\omega_0$ اور $t$ کے لیے، ہمارے پاس ہے:

$\omega \propto \alpha \ldots(ii)$

مساوات ( $i$ ) اور (ii) سے، ہم لکھ سکتے ہیں:

$\omega_{\text{II }}>\omega _{\text{I }}$

لہذا، ٹھوس کرے کی زاویائی سمتار کھوکھلے سلنڈر سے زیادہ ہوگی۔

جواب

سلنڈر کا ماس، $m=20 kg$

زاویائی رفتار، $\omega=100 rad s^{-1}$

سلنڈر کا رداس، $r=0.25 m$

ٹھوس سلنڈر کا جڑتا کا موڑ:

$I=\frac{m r^{2}}{2}$

$=\frac{1}{2} \times 20 \times(0.25)^{2}$

$=0.625 kg m^{2}$

$\therefore$ حرکی توانائی $=\frac{1}{2} I \omega^{2}$

$=\frac{1}{2} \times 6.25 \times(100)^{2}=3125 J$

$\therefore$ زاویائی معیار، $L=I \omega$

$=6.25 \times 100$

$=62.5 Js$

جواب

$100 \text{ rev/min }$

ابتدائی زاویائی سمتار، $\omega_1=40 \text{ rev/min }$

حتمی زاویائی سمتار $=\omega_2$

پھیلی ہوئی بہنوں والے لڑکے کا جڑتا کا موڑ $=I_1$

موڑی ہوئی بہنوں والے لڑکے کا جڑتا کا موڑ $=I_2$

دو جڑتا کے موڑ اس طرح سے متعلق ہیں:

$I_2=\frac{2}{5} I_1$

چونکہ لڑکے پر کوئی بیرونی قوت عمل نہیں کرتی، لہذا زاویائی معیار $L$ ایک مستقل مقدار ہے۔

لہذا، دونوں صورتوں کے لیے، ہم لکھ سکتے ہیں:

$ \begin{aligned} & I_2 \omega_2=I_1 \omega_1 \\ & \omega_2=\frac{I_1}{I_2} \omega_1 \\ & =\frac{I_1}{\frac{2}{5} I_1} \times 40=\frac{5}{2} \times 40 \\ & =100 \text{ rev/min } \end{aligned} $

(b) حتمی حرکی توانائی = 2.5 ابتدائی حرکی توانائی

حتمی گردشی حرکی توانائی، $E_F=\frac{1}{2} I_2 \omega_2^{2}$

ابتدائی گردشی حرکی توانائی، $E_I=\frac{1}{2} I_1 \omega_1^{2}$

$ \begin{aligned} \frac{E_F}{E_1} & =\frac{\frac{1}{2} I_2 \omega_2^{2}}{\frac{1}{2} I_1 \omega_1^{2}} \\ \\ & =\frac{2}{5} \frac{I_1}{I_1} \frac{(100)^{2}}{(40)^{2}} \\ \\ & =\frac{2}{5} \times \frac{100 \times 100}{40 \times 40} \\ \\ & =\frac{5}{2}=2.5 \\ \\ \therefore E_F & =2.5 E_1 \end{aligned} $

گردشی حرکی توانائی میں اضافہ لڑکے کی اندرونی توانائی کی وجہ سے ہے۔

جواب

کھوکھلے سلنڈر کا ماس، $m=3 kg$

کھوکھلے سلنڈر کا رداس، $r=40 cm=0.4 m$

وارد کردہ قوت، $F=30 N$

کھوکھلے سلنڈر کا اس کے ہندسی محور کے بارے میں جڑتا کا موڑ:

$I=m r^{2}$

$=3 \times(0.4)^{2}=0.48 kg m^{2}$

ٹارک، ${ }^{\tau}=F \times r$

$=30 \times 0.4=12 Nm$

زاویائی اسراع $\alpha$ کے لیے، ٹارک بھی تعلق سے دیا جاتا ہے:

$\tau=I \alpha$

$\alpha=\frac{\tau}{I}=\frac{12}{0.48}$

$=25 rad s^{-2}$

خطی اسراع $=r \alpha=0.4 \times 25=10 m s^{-2}$

جواب

روٹر کی زاویائی رفتار، $\omega=200 \text{ rad / s}$

درکار ٹارک، $\tau=180 Nm$

روٹر کی طاقت $(P)$ ٹارک اور زاویائی رفتار سے تعلق سے منسلک ہے:

$P=\tau \omega$

$=180 \times 200=36 \times 10^{3}$

$=36 kW$

لہذا، انجن کے لیے درکار طاقت $36 kW$ ہے۔

جواب

$R / 6$؛ جسم کے اصل مرکز سے اور کٹے ہوئے حصے کے مرکز کے مخالف۔

اصل ڈسک کا فی اکائی رقبہ ماس $=\sigma$

اصل ڈسک کا رداس $=R$

اصل ڈسک کا ماس، $M=\pi R^{2} \sigma$

کٹے ہوئے حصے والی ڈسک مندرجہ ذیل شکل میں دکھائی گئی ہے:

چھوٹی ڈسک کا رداس $=\frac{R}{2}$

چھوٹی ڈسک کا ماس، $M^{\prime}=\pi(\frac{R}{2})^{2} \sigma=\frac{1}{4} \pi R^{2} \sigma=\frac{M}{4}$

چلیے $O$ اور $O^{\prime}$ بالترتیب اصل ڈسک اور اصل سے کاٹی گئی ڈسک کے مراکز ہیں۔ مرکزِ کمیت کی تعریف کے مطابق، اصل ڈسک کا مرکزِ کمیت $O$ پر مرتکز سمجھا جاتا ہے، جبکہ چھوٹی ڈسک کا مرکزِ کمیت $O^{\prime}$ پر مرتکز سمجھا جاتا ہے۔

یہ دیا گیا ہے کہ: $OO^{\prime}=\frac{R}{2}$

چھوٹی ڈسک کے اصل سے کٹ جانے کے بعد، باقی حصہ دو کمیتوں کا نظام سمجھا جاتا ہے۔ دو کمیتیں یہ ہیں:

$M$ ($O$ پر مرتکز)، اور

$-M^{\prime}(=\frac{M}{4}) _{\text{concentrated at } O^{\prime}}$

(منفی علامت ظاہر کرتی ہے کہ یہ حصہ اصل ڈسک سے ہٹا دیا گیا ہے۔)

چلیے $x$ وہ فاصلہ ہے جس کے ذریعے باقی حصے کا مرکزِ کمیت نقطہ $O$ سے منتقل ہوتا ہے۔

دو کمیتوں کے مراکزِ کمیت کے درمیان تعلق اس طرح دیا جاتا ہے:

$ x=\frac{m_1 r_1+m_2 r_2}{m_1+m_2} $

دیے گئے نظام کے لیے، ہم لکھ سکتے ہیں:

$ \begin{aligned} x & =\frac{M \times 0-M^{\prime} \times(\frac{R}{2})}{M+(-M^{\prime})} \\ \\ & =\frac{\frac{-M}{4} \times \frac{R}{2}}{M-\frac{M}{4}}=\frac{-M R}{8} \times \frac{4}{3 M}=\frac{-R}{6} \end{aligned} $

(منفی علامت ظاہر کرتی ہے کہ مرکزِ کمیت نقطہ O کے بائیں طرف منتقل ہو جاتا ہے۔)

جواب

چلیے $W$ اور $W^{\prime}$ بالترتیب میٹر ڈنڈے اور سکے کے وزن ہیں۔

میٹر ڈنڈے کا ماس اس کے وسطی نقطہ پر مرتکز ہوتا ہے، یعنی، $50 ~cm$ نشان پر۔

میٹر ڈنڈے کا ماس $=m$

ہر سکے کا ماس، $m=5 ~g$

جب سکے $P$ سرے سے $12 cm$ دور رکھے جاتے ہیں، تو مرکزِ کمیت نقطہ $R$ سے $P$ سرے کی طرف $5 cm$ منتقل ہو جاتا ہے۔ مرکزِ کمیت نقطہ $P$ سے $45 ~cm$ کے فاصلے پر واقع ہوتا ہے۔

نقطہ $R$ کے بارے میں گردشی توازن کے لیے خالص ٹارک محفوظ رہے گا۔

$ \begin{aligned} & 10 \times g(45-12)-m^{\prime} g(50-45)=0 \\ & \therefore m^{\prime}=\frac{10 \times 33}{5}=66 ~g \end{aligned} $

لہذا، میٹر ڈنڈے کا ماس $66 g$ ہے۔

جواب

آکسیجن مالیکیول کا ماس، $m=5.30 \times 10^{-26} kg$

جڑتا کا موڑ، $I=1.94 \times 10^{-46} kg m^{2}$

آکسیجن مالیکیول کی رفتار، $v=500 m / s$

آکسیجن مالیکیول کے دو ایٹموں کے درمیان علیحدگی $=2 r$

ہر آکسیجن ایٹم کا ماس $=\frac{m}{2}$

لہذا، جڑتا کا موڑ $I$، اس طرح حساب کیا جاتا ہے:

$ \begin{aligned} & (\frac{m}{2}) r^{2}+(\frac{m}{2}) r^{2}=m r^{2} \\ \\ & r=\sqrt{\frac{I}{m}} \\ \\ & \sqrt{\frac{1.94 \times 10^{-46}}{5.36 \times 10^{-26}}}=0.60 \times 10^{-10} m \end{aligned} $

یہ دیا گیا ہے کہ:

$ \begin{aligned} & KE _{\text{rot }}=\frac{2}{3} KE _{\text{trans }} \\ \\ & \frac{1}{2} I \omega^{2}=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times m v^{2} \\ \\ & m r^{2} \omega^{2}=\frac{2}{3} m v^{2} \\ \\ & \omega=\sqrt{\frac{2}{3}} \frac{v}{r} \\ \\ & =\sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{500}{0.6 \times 10^{-10}} \\ \\ & =6.80 \times 10^{12} \text{ rad / s} \end{aligned} $