PYQ NEET- گردشی حرکت L-1

سوال: ایک ٹھوس کرہ جس کا کتلا $M$ ہے اور رداس $R$ ہے، کے اپنے محور کے گرد گردش کے رداس کا تناسب، ایک پتلی کھوکھلی کرہ (جس کا کتلا اور رداس یکساں ہیں) کے اپنے محور کے گرد گردش کے رداس سے کیا ہے:-#

A) $5: 3$

B) $2: 5$

C) $\sqrt{5}: \sqrt{3}$

D) $\sqrt{3}: \sqrt{5}$

جواب: $\sqrt{3}: \sqrt{5}$#

حل:#

اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے ہمیں ٹھوس کرہ $\left(\mathrm{K}_1\right)$ کے گردش کے رداس کا تناسب پتلی کھوکھلی کرہ $\left(\mathrm{K}_2\right)$ کے گردش کے رداس سے نکالنا ہے، جب کہ دونوں کا کتلا $M$ اور رداس $R$ برابر ہیں۔

ایک ٹھوس کرے کا اپنے محور کے گرد موڑنِ دھار (I) اس طرح دیا جاتا ہے: $$ I_{\text {solid }}=\frac{2}{5} M R^2 $$

گردش کا رداس $(\mathrm{K})$، موڑنِ دھار $(\mathrm{I})$ اور کتلا $(\mathrm{M})$ کے درمیان اس فارمولے سے متعلق ہے: $$ I=M K^2 $$

لہٰذا ٹھوس کرے کے لیے ہم $\mathrm{K}1$ اس طرح نکال سکتے ہیں: $$ \begin{aligned} & K_1^2=\frac{I{\text {solid }}}{M}=\frac{2}{5} R^2 \ & K_1=R \sqrt{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

اب، پتلی کھوکھلی کرے کے لیے، اس کے محور کے گرد موڑنِ دھار اس طرح دیا جاتا ہے: $$ I_{\text {hollow }}=\frac{2}{3} M R^2 $$

ہم $\mathrm{K}2$ اس طرح نکال سکتے ہیں: $$ K_2^2=\frac{I{\text {hollow }}}{M}=\frac{2}{3} R^2 $$ $$ K_2=R \sqrt{\frac{2}{3}} $$

اب ہمیں تناسب $K_1: K_2$ نکالنا ہے: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{R \sqrt{\frac{2}{5}}}{R \sqrt{\frac{2}{3}}} $$

R کی اصطلاحیں منسوخ ہو جاتی ہیں، اور ہمیں یہ بچتا ہے: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} $$

کسر کا مربع جذر لے کر سادہ کریں: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{5} \sqrt{2}} $$

اب، 2 کی اصطلاحیں منسوخ ہو جاتی ہیں، اور ہمیں یہ ملتا ہے: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $$