PYQ NEET- گردشی حرکت L-1

سوال: ایک ٹھوس گولے کا جس کی کمیت $M$ اور رداس $R$ ہے، اپنے محور کے گرد گردشی رداس کا تناسب ایک پتلی کھوکھلی گولے کے گردشی رداس سے جس کی کمیت اور رداس یکساں ہیں، ہے :-#

A) $5: 3$

B) $2: 5$

C) $\sqrt{5}: \sqrt{3}$

D) $\sqrt{3}: \sqrt{5}$

جواب: $\sqrt{3}: \sqrt{5}$#

حل:#

اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے، ہمیں ایک ٹھوس گولے $\left(\mathrm{K}_1\right)$ کے گردشی رداس کا تناسب ایک پتلی کھوکھلی گولے $\left(\mathrm{K}_2\right)$ کے گردشی رداس سے نکالنا ہے جس کی کمیت $M$ اور رداس $R$ یکساں ہیں۔

ایک ٹھوس گولے کا اپنے محور کے گرد جڑتا کا موڑ (I) یوں دیا جاتا ہے: $$ I_{\text {solid }}=\frac{2}{5} M R^2 $$

گردشی رداس $(\mathrm{K})$ جڑتا کے موڑ $(\mathrm{I})$ اور کمیت $(\mathrm{M})$ سے اس فارمولے کے ذریعے منسلک ہے: $$ I=M K^2 $$

تو ٹھوس گولے کے لیے، ہم $\mathrm{K}1$ یوں نکال سکتے ہیں: $$ \begin{aligned} & K_1^2=\frac{I{\text {solid }}}{M}=\frac{2}{5} R^2 \ & K_1=R \sqrt{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

اب، ایک پتلی کھوکھلی گولے کے لیے، اس کے محور کے گرد جڑتا کا موڑ یوں دیا جاتا ہے: $$ I_{\text {hollow }}=\frac{2}{3} M R^2 $$

ہم $\mathrm{K}2$ یوں نکال سکتے ہیں: $$ K_2^2=\frac{I{\text {hollow }}}{M}=\frac{2}{3} R^2 $$ $$ K_2=R \sqrt{\frac{2}{3}} $$

اب، ہمیں تناسب $K_1: K_2$ نکالنا ہے: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{R \sqrt{\frac{2}{5}}}{R \sqrt{\frac{2}{3}}} $$

R کے عوامل ایک دوسرے کو ختم کر دیتے ہیں، اور ہمارے پاس بچتا ہے: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} $$

کسر کا مربع جڑ لے کر سادہ کریں: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{5} \sqrt{2}} $$

اب، 2 کے مربع جڑ کے عوامل ایک دوسرے کو ختم کر دیتے ہیں، جو ہمیں دیتا ہے: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $$