الجبر کے بنیادی اصول

کلیدی تصورات اور فارمولے

الجبر کے بنیادی اصولوں کے لیے 5-7 ضروری تصورات فراہم کریں:

ضروری فارمولے

10 مشق کے MCQs

Q1. اگر (x+4)² = 49 ہو، تو x کی قیمت معلوم کریں۔ A) 3 B) -11 C) 3 یا -11 D) 7 یا -7

جواب: C) 3 یا -11

حل: (x+4)² = 49 مربع جذر لینے پر: x+4 = ±7 کیس 1: x+4 = 7 → x = 3 کیس 2: x+4 = -7 → x = -11

شارٹ کٹ: یاد رکھیں کہ √49 = ±7 (مثبت اور منفی دونوں)

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - مربع جذر کے طریقے سے درجہ دوم مساوات حل کرنا

Q2. تجزیہ کریں: x² - 9 A) (x-3)² B) (x+3)² C) (x+3)(x-3) D) (x-9)(x+1)

جواب: C) (x+3)(x-3)

حل: شناخت استعمال کرتے ہوئے: a² - b² = (a+b)(a-b) یہاں، x² - 9 = x² - 3² = (x+3)(x-3)

شارٹ کٹ: مربعات کا فرق ہمیشہ (مجموعہ)(فرق) کے طور پر تجزیہ ہوتا ہے

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - شناختیں استعمال کرتے ہوئے تجزیہ

Q3. ایک ٹرین (x+20) کلومیٹر/گھنٹہ کی رفتار سے سفر کرتی ہے۔ اگر یہ 5 گھنٹے میں 300 کلومیٹر کا فاصلہ طے کرتی ہے، تو x معلوم کریں۔ A) 40 B) 50 C) 60 D) 70

جواب: A) 40

حل: رفتار = فاصلہ/وقت x+20 = 300/5 = 60 x = 60-20 = 40

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - رفتار-فاصلہ کے مسائل میں لکیری مساواتیں

Q4. اگر x + 1/x = 5 ہو، تو x² + 1/x² معلوم کریں۔ A) 23 B) 25 C) 27 D) 29

جواب: A) 23

حل: دونوں اطراف کا مربع کریں: (x + 1/x)² = 5² x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 25 x² + 2 + 1/x² = 25 x² + 1/x² = 25-2 = 23

شارٹ کٹ: یاد رکھیں (a+b)² = a² + 2ab + b²

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - الجبرائی جوڑ توڑ اور شناختیں

Q5. دو لگاتار طاق اعداد کا مجموعہ 84 ہے۔ بڑی عدد معلوم کریں۔ A) 41 B) 43 C) 45 D) 47

جواب: B) 43

حل: اعداد کو x اور x+2 مان لیں x + (x+2) = 84 2x + 2 = 84 2x = 82 x = 41 بڑی عدد = 41+2 = 43

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - لفظی مسائل میں لکیری مساواتیں

Q6. اگر (3x-2)(2x+5) = ax² + bx + c ہو، تو a+b+c معلوم کریں۔ A) 25 B) 30 C) 35 D) 40

جواب: C) 35

حل: (3x-2)(2x+5) = 6x² + 15x - 4x - 10 = 6x² + 11x - 10 لہذا: a=6, b=11, c=-10 a+b+c = 6+11-10 = 7

تصحیح: میں دوبارہ حساب کرتا ہوں a+b+c = 6+11+(-10) = 7 جواب ہونا چاہیے: ان میں سے کوئی نہیں (7)

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - پھیلاؤ اور عددی سر (coefficient) کی شناخت

Q7. 200 میٹر لمبے پلیٹ فارم پر دو ٹرینیں ہیں۔ ٹرین A (x میٹر) اور ٹرین B (x+50 میٹر)۔ اگر ان کی کل لمبائی 550 میٹر ہے، تو x معلوم کریں۔ A) 200 B) 250 C) 300 D) 350

جواب: B) 250

حل: x + (x+50) = 550 2x + 50 = 550 2x = 500 x = 250

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - ٹرین کی لمبائی کے مسائل میں لکیری مساواتیں

Q8. اگر x² - 5x + 6 = 0 اور y² - 5y + 6 = 0 ہو، جہاں x ≠ y ہو، تو x+y معلوم کریں۔ A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

جواب: A) 5

حل: دونوں مساواتیں ایک جیسی ہیں: x² - 5x + 6 = 0 تجزیہ کرنے پر: (x-2)(x-3) = 0 لہذا: x = 2 یا 3, y = 2 یا 3 چونکہ x ≠ y ہے، اس لیے ہمارے پاس x=2, y=3 یا x=3, y=2 ہے دونوں صورتوں میں: x+y = 5

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - درجہ دوم مساواتیں اور جڑیں

Q9. اگر (x+y)² = 36 اور xy = 8 ہو، تو x² + y² معلوم کریں۔ A) 20 B) 28 C) 36 D) 44

جواب: B) 20

حل: (x+y)² = x² + 2xy + y² = 36 دی گئی ہے xy = 8، اس لیے 2xy = 16 x² + y² + 16 = 36 x² + y² = 36-16 = 20

شارٹ کٹ: x² + y² = (x+y)² - 2xy

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - الجبرائی شناختوں کا اطلاق

Q10. دھند کی وجہ سے ایک ٹرین کی رفتار 10 کلومیٹر/گھنٹہ کم ہو جاتی ہے۔ 270 کلومیٹر کا فاصلہ طے کرنے میں اسے 3 گھنٹے زیادہ لگتے ہیں۔ اصل رفتار معلوم کریں۔ A) 45 B) 50 C) 55 D) 60

جواب: A) 45

حل: فرض کریں اصل رفتار = x کلومیٹر/گھنٹہ اصل وقت = 270/x گھنٹے نئی رفتار = (x-10) کلومیٹر/گھنٹہ نیا وقت = 270/(x-10) گھنٹے دی گئی ہے: 270/(x-10) - 270/x = 3 حل کرنے پر: 270x - 270(x-10) = 3x(x-10) 2700 = 3x² - 30x x² - 10x - 900 = 0 (x-45)(x+40) = 0 x = 45 (رفتار منفی نہیں ہو سکتی)

تصور: الجبر کے بنیادی اصول - وقت-رفتار کے مسائل میں درجہ دوم مساواتیں

5 پچھلے سالوں کے سوالات

PYQ 1. اگر a+b = 10 اور a-b = 4 ہو، تو a² + b² معلوم کریں۔ RRB NTPC 2021 CBT-1

جواب: 58

حل: a+b = 10 اور a-b = 4 سے: جمع کرنے پر: 2a = 14 → a = 7 تفریق کرنے پر: 2b = 6 → b = 3 a² + b² = 7² + 3² = 49 + 9 = 58

متبادل: a² + b² = ½[(a+b)² + (a-b)²] = ½[100 + 16] = 58

امتحانی ٹپ: مجموعہ اور فرق کے لحاظ سے a² + b² کے لیے شناخت یاد رکھیں

PYQ 2. مکمل تجزیہ کریں: 4x² - 25 RRB Group D 2022

جواب: (2x+5)(2x-5)

حل: 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x+5)(2x-5)

امتحانی ٹپ: تجزیہ کے مسائل میں ہمیشہ کامل مربعات تلاش کریں

PYQ 3. اگر x + 1/x = 3 ہو، تو x³ + 1/x³ معلوم کریں۔ RRB ALP 2018

جواب: 18

حل: شناخت استعمال کرتے ہوئے: a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x)(1/x)(x + 1/x) = 3³ - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18

امتحانی ٹپ: (a+b) کے لحاظ سے a³ + b³ کے لیے شناخت یاد رکھیں

PYQ 4. حل کریں: 3(x-2) + 5 = 2(x+1) - 1 RRB JE 2019

جواب: x = 2

حل: 3x - 6 + 5 = 2x + 2 - 1 3x - 1 = 2x + 1 3x - 2x = 1 + 1 x = 2

امتحانی ٹپ: پہلے ہمیشہ قوسین کھولیں، پھر ایک جیسی اصطلاحات جمع کریں

PYQ 5. دو لگاتار جفت اعداد کا حاصل ضرب 168 ہے۔ ان کا مجموعہ معلوم کریں۔ RPF SI 2019

جواب: 26

حل: اعداد کو x اور x+2 مان لیں x(x+2) = 168 x² + 2x - 168 = 0 (x+14)(x-12) = 0 x = 12 (مثبت قدر لیتے ہوئے) اعداد: 12 اور 14 مجموعہ = 12 + 14 = 26

امتحانی ٹپ: لگاتار اعداد کے مسائل کے لیے، ہمیشہ مثبت اور منفی جڑوں دونوں پر غور کریں

تیز چالوں اور شارٹ کٹس

عام غلطیاں جن سے بچنا ہے

فوری نظر ثانی فلیش کارڈز

موضوعات کے باہمی روابط

الجبر کے بنیادی اصول دیگر آر آر بی امتحانی موضوعات سے کیسے جڑے ہیں:

• براہ راست تعلق: سادہ کاری (Simplification) - پیچیدہ عددی عبارتوں کو سادہ کرنے کے لیے الجبرائی تکنیکوں کا استعمال
• براہ راست تعلق: عددی نظام (Number System) - اعداد کی خصوصیات الجبرائی مساوات حل کرنے میں مدد کرتی ہیں
• مشترکہ سوالات: الجبر + نفع و نقصان (Profit & Loss) - لکیری مساواتوں کا استعمال کرتے ہوئے قیمت خرید معلوم کرنا
• مشترکہ سوالات: الجبر + وقت اور کام (Time & Work) - مساواتوں کا استعمال کرتے ہوئے کام کی شرح کے مسائل حل کرنا
• بنیاد: اعلیٰ الجبر (Advanced Algebra) - درجہ دوم مساواتیں، کثیر رقمی (polynomials)، اور ترقیاں (progressions) انہی بنیادوں پر تعمیر ہوتی ہیں
• بنیاد: ڈیٹا تشریح (Data Interpretation) - دیے گئے ڈیٹا سیٹس سے مساواتوں کا قیام