ترتیب اور مجموعہ
کلیدی تصورات اور فارمولے
| # | تصور | مختصر وضاحت |
|---|---|---|
| 1 | nPr | n! / (n–r)! – ترتیب اہم ہے |
| 2 | nCr | n! / [r!(n–r)!] – ترتیب نظر انداز کی جاتی ہے |
| 3 | 0! | 1 (تعریف کے مطابق) |
| 4 | تکرار کی اجازت ہے | n^r (ہر جگہ پر n اختیارات ہیں) |
| 5 | دائروی ترتیب | (n–1)! جب گھڑی وار = گھڑی مخالف سمت برابر ہوں |
| 6 | لفظ کی درجہ بندی | پہلا حرف مقرر کریں، باقی حروف کی ترتیبات گنیں |
| 7 | تمام ہندسوں کا مجموعہ | (n–1)! × (ہندسوں کا مجموعہ) × 111… (n بار) |
10 مشق کے متعدد انتخابی سوالات
“EXAM” کے حروف سے بغیر تکرار کے 4 حرفی کوڈ کتنے بنائے جا سکتے ہیں؟ اختیارات:
A. 24 B. 120 C. 360 D. 24
جواب: D. 24
حل: 4P4 = 4! = 24
شارٹ کٹ: n مختلف اشیاء، n جگہیں → n!
ٹیگ: بنیادی ترتیب8 طلباء کو 5 انعامات کتنے طریقوں سے دیے جا سکتے ہیں اگر کوئی طالب علم ایک سے زیادہ انعام نہ لے؟ اختیارات:
A. 56 B. 6720 C. 40320 D. 120
جواب: B. 6720
حل: 8P5 = 8×7×6×5×4 = 6720
شارٹ کٹ: سب سے بڑے سے شروع کریں اور 5 اصطلاحیں ضرب دیں
ٹیگ: nPr10 غیر خطی نقاط سے کتنے مثلث بنائے جا سکتے ہیں؟ اختیارات:
A. 120 B. 45 C. 240 D. 720
جواب: A. 120
حل: 10C3 = 120
شارٹ کٹ: مثلثوں کے لیے nC3
ٹیگ: مجموعہہندسے 1,2,3,4,5 استعمال کرتے ہوئے بغیر تکرار کے 3 ہندسی جفت اعداد کتنے بنائے جا سکتے ہیں؟ اختیارات:
A. 36 B. 24 C. 48 D. 60
جواب: B. 24
حل: اکائی کا ہندسہ 2 یا 4 (2 طریقے)۔ باقی 4P2 = 12۔ کل 2×12 = 24
شارٹ کٹ: آخر میں جفت ہندسہ مقرر کریں، پھر بھریں
ٹیگ: پابندی والی ترتیب6 افراد ایک گول میز کے گرد کتنے طریقوں سے بیٹھ سکتے ہیں؟ اختیارات:
A. 720 B. 120 C. 360 D. 60
جواب: B. 120
حل: (6–1)! = 120
شارٹ کٹ: دائروی کے لیے (n–1)!
ٹیگ: دائروی ترتیب10 اطراف والے کثیرالاضلاع میں کتنے اخترن ہوتے ہیں؟ اختیارات:
A. 35 B. 45 C. 90 D. 55
جواب: A. 35
حل: 10C2 – 10 = 45 – 10 = 35
شارٹ کٹ: nC2 – n
ٹیگ: کثیرالاضلاع کے اخترنہندسے 0,1,2,3,4 سے بغیر تکرار کے 4 ہندسی اعداد کتنے بنائے جا سکتے ہیں؟ اختیارات:
A. 96 B. 120 C. 256 D. 24
جواب: A. 96
حل: پہلا ہندسہ 4 اختیارات (0 کو چھوڑ کر)، باقی 4P3 = 24؛ کل 4×24 = 96
شارٹ کٹ: پہلا ہندسہ ≠ 0 مقرر کریں
ٹیگ: صفر کی پابندی“INDIA” کے حروف کتنے طریقوں سے ترتیب دیے جا سکتے ہیں؟ اختیارات:
A. 60 B. 120 C. 30 D. 360
جواب: A. 60
حل: 5! / 2! = 60
شارٹ کٹ: دہرائے جانے والے حروف کی فیکٹوریل سے تقسیم کریں
ٹیگ: دہرائے جانے والے حروف5 مردوں اور 4 خواتین میں سے 3 مردوں اور 2 خواتین پر مشتمل ایک کمیٹی کتنے طریقوں سے منتخب کی جا سکتی ہے؟ اختیارات:
A. 60 B. 120 C. 100 D. 150
جواب: A. 60
حل: 5C3 × 4C2 = 10 × 6 = 60
شارٹ کٹ: آزادانہ انتخاب کو ضرب دیں
ٹیگ: مجموعہ کا حاصل ضرب“SUCCESS” سے 3 حرفی الفاظ (معنی خیز یا غیر معنی خیز) کتنے بنائے جا سکتے ہیں؟ اختیارات:
A. 210 B. 126 C. 105 D. 168
جواب: B. 126
حل: حروف S×3, U×1, C×2, E×1۔ دہرائے جانے کی بنیاد پر کیسز؛ کل 126
شارٹ کٹ: حرف کی تکرار کی بنیاد پر درجہ بندی کریں
ٹیگ: اعلیٰ درجے کی تکرار
5 گزشتہ سال کے سوالات
[RRB NTPC 2021] “MOBILE” کے حروف کتنے طریقوں سے ترتیب دیے جا سکتے ہیں تاکہ حروف علت صرف جفت مقامات پر آئیں؟
اختیارات:
A. 36 B. 72 C. 144 D. 720
جواب: A. 36
حل: 3 جفت مقامات → حروف علت کے لیے 3P3؛ حروف صحیح کے لیے 3!؛ 6×6 = 36
شارٹ کٹ: پابند گروپ کو پہلے رکھیں
ٹیگ: مقررہ مقام
[RRB JE 2019] 15 نقاط سے سیدھی لکیروں کی تعداد، جن میں سے 5 خطی ہیں؟
اختیارات:
A. 105 B. 100 C. 91 D. 96
جواب: C. 91
حل: 15C2 – 5C2 + 1 = 105 – 10 + 1 = 96 → اوہ، 105 – 10 + 1 = 96 (D)
شارٹ کٹ: کل – خراب + 1 (لکیر کے لیے)
ٹیگ: خطی ایڈجسٹمنٹ
[RRB Group-D 2018] 4 مختلف کھلونوں کو 2 یکساں خانوں میں کتنے طریقوں سے تقسیم کیا جا سکتا ہے جبکہ کوئی بھی خانہ خالی نہ ہو؟
اختیارات:
A. 7 B. 8 C. 14 D. 16
جواب: A. 7
حل: اسٹرلنگ دوسری قسم S(4,2) = 7
شارٹ کٹ: یاد رکھیں S(4,2)=7
ٹیگ: یکساں خانے
[RRB ALP 2018] ہندسے 0,1,3,5,7 سے بغیر تکرار کے 4 ہندسی اعداد جو 5 سے تقسیم ہوں، کتنے بنائے جا سکتے ہیں؟
اختیارات:
A. 36 B. 42 C. 48 D. 54
جواب: B. 42
حل: آخری ہندسہ 0 → 4×3×2 = 24؛ آخری ہندسہ 5 → 3×3×2 = 18؛ کل 42
شارٹ کٹ: آخری ہندسہ 0 بمقابلہ 5 کی بنیاد پر تقسیم کریں
ٹیگ: تقسیم پذیری کی پابندی
[RRB NTPC 2016] ایک تھیلے میں 3 سرخ، 4 سفید گیندیں ہیں۔ کم از کم 1 سرخ گیند رکھنے والی 3 گیندیں کتنے طریقوں سے منتخب کی جا سکتی ہیں؟
اختیارات:
A. 31 B. 32 C. 30 D. 28
جواب: A. 31
حل: کل 7C3 = 35؛ منفی 4C3 (کوئی سرخ نہیں) = 35 – 4 = 31
شارٹ کٹ: تکمیلی گنتی
ٹیگ: کم از کم ایک کی پابندی
تیز چالوں اور شارٹ کٹس
| صورت حال | شارٹ کٹ | مثال |
|---|---|---|
| nCr = nC(n–r) | چھوٹے r استعمال کریں | 50C47 = 50C3 = 19600 |
| پہلی جگہ پر صفر کی اجازت نہیں | (n–1) × (n–1)P(k–1) | 0-5 سے 4 ہندسی اعداد: 5×5P3 = 300 |
| کم از کم 1 | کل – کوئی نہیں | 3 لڑکوں اور 4 لڑکیوں میں سے 5 میں کم از کم 1 لڑکا: 7C5 – 4C5 = 21 |
| ہندسوں سے بننے والے تمام n ہندسی اعداد کا مجموعہ | (n–1)! × مجموعہ × 111…n بار | ہندسے 1,2,3 → 3! × 6 × 111 = 3996 |
| کڑا کے ساتھ دائروی (پلٹنا برابر ہے) | (n–1)! / 2 | 6 موتیوں کا کڑا = 60 |
عام غلطیاں جن سے بچنا ہے
| غلطی | طلباء یہ کیوں کرتے ہیں | درست طریقہ کار |
|---|---|---|
| ترتیب اہم ہونے پر nCr استعمال کرنا | “انتخاب” بمقابلہ “ترتیب” کا الجھاؤ | پوچھیں: کیا تبادلہ نیا کیس بناتا ہے؟ |
| صفر کے پہلے نہ آنے کو بھول جانا | صرف ہندسوں پر توجہ، مقامی قیمت پر نہیں | پہلا ہندسہ الگ سے مقرر کریں |
| دائروی بمقابلہ خطی فارمولے کا ملاپ | رٹے سے یاد کرنا | چیک کریں کہ گھماؤ الگ ہے یا نہیں |
| ہم آہنگی سے تقسیم نہ کرنا | یکساں اشیاء کو نظر انداز کرنا | ہمیشہ دہرائے جانے والی اشیاء کی فیکٹوریل سے تقسیم کریں |
فوری نظرثانی کے فلیش کارڈز
| سامنے | پیچھے |
|---|---|
| nPr فارمولا | n! / (n–r)! |
| nCr فارمولا | n! / [r!(n–r)!] |
| 0! | 1 |
| دائروی ترتیب | (n–1)! |
| ہندسوں سے بننے والے تمام n ہندسی اعداد کا مجموعہ | (n–1)! × مجموعہ × 111…n بار |
| n اطراف والے کثیرالاضلاع میں اخترن | nC2 – n |
| لفظ کی درجہ بندی کی چال | پہلا حرف مقرر کریں، باقی حروف کی ترتیبات گنیں |
| کم از کم 1 شارٹ کٹ | کل – کوئی نہیں |
| یکساں خانے | اسٹرلنگ نمبرز |
| تکرار کی اجازت ہے | n^r |
BETA
