1.1 خصوصیات جمع و حدّی عددیں

ہم نے کلاس VI میں عددیں اور عددیں کے بارے میں سیکھا ہے۔ ہم نے عددیں کی جمع اور حدّی بھی سیکھی ہے۔

1.1.1 جمع کے تحت بنیادی خاصیت

ہم نے سیکھا ہے کہ دو عددیں کا مجموعہ دوبارہ ایک عددی ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، $17+24=41$ جو دوبارہ ایک عددی ہے۔ ہم جانتے ہیں، یہ خاصیت عددیں کی جمع کے لیے بنیادی خاصیت کہلاتی ہے۔

آئیے ان کی جمع کے لیے اس خاصیت کو عددیں کے لیے درست ہے یا نہیں دیکھیں۔

ذیل میں کچھ عددیں کے جوڑے دیے گئے ہیں۔ ذیل کی جدول دیکھیں اور اسے مکمل کریں۔

آپ نے کیا دیکھا؟ کیا دو عددیں کا مجموعہ ہمیشہ ایک عددی ہوتا ہے؟

کیا آپ نے کوئی جوڑا عددیں تلاش کیا جس کا مجموعہ عددی نہ ہو؟

چونکہ عددیں کی جمع عددیں دیتی ہے، ہم کہتے ہیں کہ عددیں جمع کے تحت بنیادی ہیں۔

عمومی طور پر، دو عددیں $a$ اور $b, a+b$ کا مجموعہ ایک عددی ہوتا ہے۔

1.1.2 حدّی کے تحت بنیادی خاصیت

جب ہم ایک عددی سے دوسرے عددی کو حدّی کرتے ہیں؟ کیا ہم کہ سکتے ہیں کہ ان کا فرق بھی ایک عددی ہوگا؟

ذیل کی جدول دیکھیں اور اسے مکمل کریں:

آپ نے کیا دیکھا؟ کیا کوئی جوڑا عددیں تلاش کیا جس کا فرق عددی نہ ہو؟ کیا ہم کہ سکتے ہیں کہ عددیں حدّی کے تحت بنیادی ہیں؟ ہاں، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ عددیں حدّی کے تحت بنیادی ہیں۔

اس لیے، $a$ اور $b$ دو عددیں ہوں تو $a-b$ بھی ایک عددی ہوگا۔ کیا عددیں اس خاصیت کو پورا کرتے ہیں؟

1.1.3 تبادلی خاصیت

ہم جانتے ہیں کہ $3+5=5+3=8$، یعنی عددیں کو کسی بھی ترتیب میں جمع کیا جا سکتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، عددیں کی جمع تبادلی ہے۔

کیا ہم اسی طرح عددیں کے لیے بھی کہ سکتے ہیں؟

ہم $5+(-6)=-1$ اور $(-6)+5=-1$ ہیں

ظاہر ہوتا ہے $5+(-6)=(-6)+5$

ذیل کے دونوں مساوی ہیں؟

(i) $(-8)+(-9)$ اور $(-9)+(-8)$

(ii) $(-23)+32$ اور $32+(-23)$

(iii) $(-45)+0$ اور $0+(-45)$

دوسرے پانچ جوڑے عددیں کے لیے اس کو چیک کریں۔ کیا آپ کوئی جوڑا عددیں تلاش کر سکتے ہیں جس کے لیے ترتیب تبدیل کرنے پر مجموعہ مختلف ہو؟ کوئی بھی نہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ عددیں کی جمع تبادلی ہے۔

عمومی طور پر، دو عددیں $a$ اور $b$ کے لیے، ہم کہ سکتے ہیں

$ a+b=b+a $

• ہم جانتے ہیں کہ عددیں کے لیے حدّی تبادلی نہیں ہے۔ کیا اسی طرح عددیں کے لیے تبادلی ہے؟

عددیں 5 اور (-3) لیں۔

$5-(-3)$ اور $(-3)-5$ ایک جیسے ہیں؟ نہیں، چونکہ $5-(-3)=5+3=8$، اور $(-3)-5$

$=-3-5=-8$۔

کم از کم پانچ مختلف جوڑے عددیں لیں اور اس کو چیک کریں۔

ہم جانچ پڑھ کر کہتے ہیں کہ عددیں کے لیے حدّی تبادلی نہیں ہے۔

1.1.4 ترتیبی خاصیت

ذیل کے مثالوں کو دیکھیں:

عددیں $-3,-2$ اور -5 لیں۔

$(-5)+[(-3)+(-2)]$ اور $[(-5)+(-3)]+(-2)$ کو دیکھیں۔

پہلے مجموعے میں (-3) اور (-2) ایک جگہ رکھے گئے اور دوسرے میں (-5) اور (-3) ایک جگہ رکھے گئے ہیں۔ ہم چیک کریں کہ ہم مختلف نتائج حاصل کریں یا نہیں۔

$ (-5)+[(-3)+(-2)] $

$ [(-5)+(-3)]+(-2) $

دونوں صورتوں میں، ہم -10 حاصل کرتے ہیں۔

یعنی،

$ (-5)+[(-3)+(-2)]=[(-5)+(-2)]+(-3) $

بالترتیب $-3,1$ اور -7 لیں۔

$ \begin{aligned} & (-3)+[1+(-7)]=-3+……=…… \\ & [(-3)+1]+(-7)=-2+……=…… \end{aligned} $

$(-3)+[1+(-7)]$ اور $[(-3)+1]+(-7)$ ایک جیسے ہیں؟

پانچ مزید مثالیں لیں۔ آپ کوئی مثال نہیں دکھائیں گے جس کے لیے مجموعہ مختلف ہو۔ عددیں کی جمع ترتیبی ہے۔

عمومی طور پر دو عددیں $a, b$ اور $c$ کے لیے، ہم کہ سکتے ہیں

$ a+(b+c)=(a+b)+c $

1.1.5 جمع کی شناختی شناخت

جب ہم کسی عددی کے ساتھ صفر جمع کرتے ہیں، تو ہمیشہ ایک ہی عددی حاصل ہوتی ہے۔ صفر عددیں کے لیے جمع کی شناختی شناخت ہے۔ کیا اسی طرح صفر عددیں کے لیے بھی جمع کی شناختی شناخت ہے؟

ذیل کو دیکھیں اور فاصلے بھریں:

(i) $(-8)+0=-8$

(ii) $0+(-8)=-8$

(iii) $(-23)+0=……$

(iv) $0+(-37)=-37$

(v) $0+(-59)=……$

(vi) $0+……$ $=-43$

(vii) $-61+……$ $=-61$

(آڑ) $……-0=……$

ظاہر ہوتا ہے کہ صفر عددیں کے لیے جمع کی شناختی شناخت ہے۔

آپ اسے کسی دوسرے پانچ عددیں کے ساتھ صفر جمع کرکے چیک کر سکتے ہیں۔

عمومی طور پر، کسی بھی عددی $a$ کے لیے

$ a+0=a=0+a $

سبق کریں

1. دو عددیں لکھیں جس کا مجموعہ

(أ) ایک منفی عددی

(ب) صفر

(ج) دونوں عددیں سے چھوٹا عددی

(د) صرف ایک عددی سے چھوٹا عددی

(هـ) دونوں عددیں سے بڑا عددی

2. دو عددیں لکھیں جس کا فرق

(أ) ایک منفی عددی

(ب) صفر

(ج) دونوں عددیں سے چھوٹا عددی

(د) صرف ایک عددی سے بڑا عددی

(هـ) دونوں عددیں سے بڑا عددی

مثال 1 دو عددیں لکھیں جس کا

(أ) مجموعہ -3 ہو $\qquad$ (ب) فرق -5 ہو

(ج) فرق 2 ہو $\quad$ (د) مجموعہ 0 ہو

حل

(أ) $(-1)+(-2)=-3$ یا $(-5)+2=-3$

(ب) $(-9)-(-4)=-5$ یا $(-2)-3=-5$

(ج) $(-7)-(-9)=2$ یا $1-(-1)=2$

(د) $(-10)+10=0$ یا $5+(-5)=0$

آپ ان مثالوں میں مزید پہلوؤں لکھ سکتے ہیں؟

تمرین 1.1

1. دو عددیں لکھیں جس کا:

(أ) مجموعہ -7 ہو $\qquad$ (ب) فرق -10 ہو $\qquad$ (ج) مجموعہ 0 ہو

2. (أ) 8 کو حاصل کرنے والی دو منفی عددیں لکھیں۔

(ب) -5 کا مجموعہ حاصل کرنے والی ایک منفی اور ایک موجب عددیں لکھیں۔

(ج) -3 کا فرق حاصل کرنے والی ایک منفی اور ایک موجب عددیں لکھیں۔

3. ایک ٹیسٹ میں، ٹیم $A$ نے تین مستقل راونڈ میں -40، 10، 0 پیش کیے، اور ٹیم $B$ نے $10,0,-40$ پیش کیا۔ کونسی ٹیم زیادہ پیش کیا؟ کیا ہم کہ سکتے ہیں کہ ہم عددیں کو کسی بھی ترتیب میں جمع کر سکتے ہیں؟

4. ذیل کے عبارتوں کو درست کرنے کے لیے فاصلے بھریں:

(أ) $(-5)+(-8)=(-8)+(\ldots \ldots \ldots \ldots)$۔

(ب) $-53+\ldots \ldots \ldots \ldots .=-53$

(ج) $17+\ldots \ldots \ldots \ldots=0$

(د) $[13+(-12)]+(\ldots \ldots \ldots \ldots)=.13+[(-12)+(-7)]$

(هـ) $(-4)+[15+(-3)]=[-4+15]+\ldots \ldots \ldots$

1.2 عددیں کا ضرب

ہم عددیں جمع اور حدّی کر سکتے ہیں۔ اب ہم پڑھیں کہ عددیں کو کیسے ضرب کیا جائے۔

1.2.1 موجب اور منفی عددی کا ضرب

ہم جانتے ہیں کہ عددیں کا ضرب تکراری جمع ہے۔ مثال کے طور پر،

$ 5+5+5=3 \times 5=15 $

آپ کوئی بھی طرح عددیں کی تکراری جمع اسی طرح ظاہر کر سکتے ہیں؟

ہم ذیل کی نمبر لائن سے $(-5)+(-5)+(-5)=-15$ پا سکتے ہیں

لیکن ہم اسی طرح بھی لکھ سکتے ہیں

$ \qquad(-5)+(-5)+(-5)=3 \times(-5) $

اس لیے، $ \qquad 3 \times(-5)=-15 $

سبق کریں

حاصل کریں:

$ \begin{aligned} & 4 \times(-8), \\ & 8 \times(-2), \\ & 3 \times(-7), \\ & 10 \times(-1) \end{aligned} $

نمبر لائن کے ذریعے۔

بالترتیب: $ (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=5 \times(-4)=-20 $

$ \text{اور}\quad (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=\ldots \ldots \ldots= \ldots \ldots \ldots $

$ \text{اور، }\qquad(-7)+(-7)+(-7)=\ldots \ldots \ldots =\ldots \ldots \ldots $

آئیے نمبر لائن کے ذریعے بغیر موجب عددی اور منفی عددی کا ضرب کیسے حاصل کیا جائے۔

آئیے $3 \times(-5)$ کو مختلف طریقے سے حاصل کریں۔ پہلے $3 \times 5$ حاصل کریں اور پھر حاصل ضرب میں ماس کی علامت (-) دے دیں۔ آپ -15 حاصل کرتے ہیں۔ یعنی ہم $-(3 \times 5)$ حاصل کرتے ہیں تاکہ -15 حاصل ہو۔

بالترتیب، $ \qquad 5 \times(-4)=-(5 \times 4)=-20 $

بالترتیب حاصل کریں،

$ \begin{matrix} 4 \times(-8)= \ldots \ldots= \ldots \ldots , 3 \times(-7)=\ldots \ldots = \ldots \ldots \\ 6 \times(-5)=\ldots \ldots = \ldots \ldots , 2 \times(-9)= \ldots \ldots = \ldots \ldots \end{matrix} $

سبق کریں

حاصل کریں:

(أ) $6 \times(-19)$

(ب) $12 \times(-32)$

(ج) $7 \times(-22)$

اس طریقے سے ہمیں ملتا ہے کہ موجب عددی اور منفی عددی ضرب کرتے وقت انہیں عددیں کے طور پر ضرب کرتے ہیں اور ضرب کے سامنے ماس کی علامت (-) دے دیتے ہیں۔ ہم اسی طرح ایک منفی عددی حاصل کرتے ہیں۔

سبق کریں

1. حاصل کریں:

(أ) $15 \times(-16)\qquad $ (ب) $21 \times(-32)$

(ج) $(-42) \times 12\qquad $ (د) $-55 \times 15$

2. چیک کریں کہ

(أ) $25 \times(-21)=(-25) \times 21\qquad $ (ب) $(-23) \times 20=23 \times(-20)$

پانچ مزید ایسے مثالیں لکھیں۔

عمومی طور پر دو موجب عددیں $a$ اور $b$ کے لیے ہم کہ سکتے ہیں

$ a \times(-b)=(-a) \times b=-(a \times b) $

1.2.2 دو منفی عددی کا ضرب

کیا آپ $(-3) \times(-2)$ کا ضرب حاصل کر سکتے ہیں؟

ذیل کو دیکھیں:

$ \begin{aligned} & -3 \times 4=-12 \\ & -3 \times 3=-9=-12-(-3) \\ & -3 \times 2=-6=-9-(-3) \\ & -3 \times 1=-3=-6-(-3) \\ & -3 \times 0=-3-(-3)=0 \\ & -3 \times-1=0-(-3)=0+3=3 \\ & -3 \times-2=3-(-3)=3+3=6 \end{aligned} $

کیا آپ کو کوئی نمٹ دیکھی ہے؟ نتائج کیسے تبدیل ہو رہی ہیں دیکھیں۔

اس مشاہدے کی بنیاد پر، ذیل کو مکمل کریں:

$ -3 \times-3=\ldots \ldots -3 \times-4=\ldots \ldots $

اب یہ نتائج دیکھیں اور فاصلے بھریں:

$ \begin{aligned} & -4 \times 4=-16 \\ & -4 \times 3=-12=-16+4 \\ & -4 \times 2= \ldots \ldots=-12+4 \\ & -4 \times 1=\ldots \ldots \\ & -4 \times 0=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-1)=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-2)= \ldots \ldots\\ & -4 \times(-3)=\ldots \ldots \end{aligned} $

سبق کریں

(أ) $(-5) \times 4$ سے شروع کریں، $(-5) \times(-6)$ حاصل کریں

(ب) $(-6) \times 3$ سے شروع کریں، $(-6) \times(-7)$ حاصل کریں

یہ نمٹوں سے ہم دیکھتے ہیں کہ،

$ \begin{aligned} & (-3) \times(-1)=3=3 \times 1 \\ & (-3) \times(-2)=6=3 \times 2 \\ & (-3) \times(-3)=9=3 \times 3 \\ & \text{اور} \quad (-4) \times(-1)=4=4 \times 1 \\ & \text{ اس لیے، } \quad(-4) \times(-2)=4 \times 2=\ldots \ldots \\ & (-4) \times(-3)=\ldots \ldots=\ldots \ldots \end{aligned} $

اس ضربوں کو دیکھ کر ہم کہ سکتے ہیں کہ دو منفی عددی کا ضرب ایک موجب عددی ہوتا ہے۔ دو منفی عددیں عددیں کے طور پر ضرب کرتے ہیں اور ضرب کے سامنے موجب علامت (+) دے دیتے ہیں۔

اس لیے، ہم $\quad(-10) \times(-12)=+120=120$ پا سکتے ہیں

بالترتیب $\quad(-15) \times(-6)=+90=90$

عمومی طور پر دو موجب عددیں $a$ اور $b$ کے لیے،

$ (-a) \times(-b)=a \times b $

سبق کریں

حاصل کریں: $(-31) \times(-100),(-25) \times(-72),(-83) \times(-28)$

بازی 1

(أ) ذیل میں دکھائی گئی طرح ایک بورڈ کو -104 سے 104 تک مارک کریں۔

(ب) دو زرد اور دو سفید ڈائیس کی ایک ڈیگ میں شامل کریں۔ ڈائیس پر دکھائے گئے نمبر موجب عددیں ظاہر کرتے ہیں اور زرد ڈائیس پر دکھائے گئے نمبر منفی عددیں ظاہر کرتے ہیں۔

(ج) ہر کھلاڑی کو اپنا کاؤنٹر صفر پر رکھنا ہوگا۔

(د) ہر کھلاڑی ڈیگ کو ایک سے ایک بار ڈیگ کی ڈیگ سے نکال کر ڈالنا ہوگا۔

(هـ) ہر ڈالنے کے بعد، کھلاڑی کو ڈائیس پر دکھائے گئے نمبروں کا ضرب حاصل کرنا ہوگا۔

(و) اگر ضرب ایک موجب عددی ہو تو کھلاڑی اپنا کاؤنٹر 104 کی طرف ہلائے گا؛ اگر ضرب ایک منفی عددی ہو تو کھلاڑی اپنا کاؤنٹر -104 کی طرف ہلائے گا۔

(ز) پہلے -104 یا 104 پر پہنچنے والا کھلاڑی فاتح ہوگا۔

1.3 عددیں کے ضرب کی خصوصیات

1.3.1 ضرب کے تحت بنیادی خاصیت

1. ذیل کی جدول دیکھیں اور اسے مکمل کریں:

آپ نے کیا دیکھا؟ کیا آپ کوئی جوڑا عددیں تلاش کر سکتے ہیں جس کا ضرب عددی نہ ہو؟ نہیں۔ یہ ہمیں ایک خیال دیتا ہے کہ دو عددیں کا ضرب دوبارہ ایک عددی ہوتا ہے۔ اس لیے ہم کہ سکتے ہیں کہ عددیں ضرب کے تحت بنیادی ہیں۔

عمومی طور پر،

$a \times b$ ایک عددی ہے، ہر دو عددیں $a$ اور $b$ کے لیے۔

پانچ مزید جوڑے عددیں کا ضرب حاصل کریں اور ظاہر کریں کہ یہ عبارت درست ہے۔

1.3.2 ضرب کی تبادلی خاصیت

ہم جانتے ہیں کہ عددیں کے لیے ضرب تبادلی ہے۔ کیا ہم کہ سکتے ہیں، ضرب عددیں کے لیے بھی تبادلی ہے؟

ذیل کی جدول دیکھیں اور اسے مکمل کریں:

آپ کے مشاہدات کیا ہیں؟ ظاہر ہوتا ہے کہ عددیں کے لیے ضرب تبادلی ہے۔ پانچ مزید ایسے مثالیں لکھیں اور چیک کریں۔

عمومی طور پر دو عددیں $a$ اور $b$ کے لیے،

$ a \times b=b \times a $

1.3.3 صفر کے ساتھ ضرب

ہم جانتے ہیں کہ کوئی بھی عددی صفر کے ساتھ ضرب کرنے پر صفر حاصل کرتی ہے۔ ذیل میں منفی عددیں اور صفر کے ضرب دیکھیں۔ یہ پہلے کی نمٹوں سے حاصل ہوئے ہیں۔

$ (-3) \times 0=0 $

$0 \times(-4)=0$

$-5 \times 0=……$

$0 \times(-6)=……$

یہ ظاہر کرتا ہے کہ منفی عددی اور صفر کا ضرب صفر ہوتا ہے۔

عمومی طور پر، کسی بھی عددی $a$ کے لیے،

$ a \times 0=0 \times a=0 $

1.3.4 ضرب کی شناختی شناخت

ہم جانتے ہیں کہ 1 عددیں کے لیے ضرب کی شناختی شناخت ہے۔

1 کو چیک کریں کہ یہ عددیں کے لیے بھی ضرب کی شناختی شناخت ہے۔ ذیل میں عددیں اور 1 کے ضرب دیکھیں۔

$ \begin{matrix} (-3) \times 1=-3 & 1 \times 5=5 \\ (-4) \times 1=\ldots \ldots & 1 \times 8=\ldots \ldots \\ 1 \times(-5)=\ldots \ldots & 3 \times 1=\ldots \ldots \\ 1 \times(-6)=\ldots \ldots & 7 \times 1=\ldots \ldots \end{matrix} $

یہ ظاہر کرتا ہے کہ 1 عددیں کے لیے بھی ضرب کی شناختی شناخت ہے۔

عمومی طور پر، کسی بھی عددی $a$ کے لیے ہمیں ملتا ہے،

$ a \times 1=1 \times a=a $

جب ہم کسی بھی عددی کے ساتھ -1 ضرب کرتے ہیں؟ ذیل کو مکمل کریں:

$(-3) \times(-1)=3$

$3 \times(-1)=-3$

$(-6) \times(-1)=\ldots \ldots$

$(-1) \times 13=\ldots \ldots$

$(-1) \times(-25)=\ldots \ldots$

$18 \times(-1)=\ldots \ldots$

صفر جمع کی شناختی شناخت ہے، جبکہ 1 ضرب کی شناختی شناخت عددیں کے لیے ہے۔ ہم عددی کو جمع کے مکمل حاصل کرتے ہیں جب ہم $(-1)$ کے ساتھ $a$ ضرب کرتے ہیں، یعنی $a \times(-1)=(-1) \times a=-a$

آپ نے کیا دیکھا؟

کیا ہم کہ سکتے ہیں کہ -1 عددیں کی ضرب کی شناختی شناخت ہے؟ نہیں۔

1.3.5 ضرب کے لیے ترتیبی خاصیت

$-3,-2$ اور 5 لیں۔

$[(-3) \times(-2)] \times 5$ اور $(-3) \times[(-2) \times 5]$ کو دیکھیں۔

پہلی صورت میں (-3) اور (-2) ایک جگہ رکھے گئے اور دوسری صورت میں (-2) اور 5 ایک جگہ رکھے گئے ہیں۔

ہم دیکھتے ہیں کہ $[(-3) \times(-2)] \times 5=6 \times 5=30$

اور $(-3) \times[(-2) \times 5]=(-3) \times(-10)=30$

اس لیے، دونوں صورتوں میں ہمیں ایک ہی جواب ملتا ہے۔

اس لیے، $\quad[(-3) \times(-2)] \times 5=(-3) \times[(-2) \times 5]$

یہ کوئی بھی ضرب کا ترتیب اثر نہیں ڈالتا۔ عمومی طور پر، ثلاث عددیں $a, b$ اور $c$ کے لیے

$ (a \times b) \times c=a \times(b \times c) $

$a, b$ اور $c$ کے لیے کوئی بھی پانچ قیم لیں اور اس خاصیت کو چیک کریں۔

اسی طرح، عددیں کے طور پر، ثلاث عددیں کا ضرب عددیں کے ترتیب پر انحصار نہیں کرتا اور یہ ضرب کے لیے ترتیبی خاصیت کہلاتا ہے۔

1.3.6 توزیعی خاصیت

ہم جانتے ہیں

$16 \times(10+2)=(16 \times 10)+(16 \times 2) \quad$ [ضرب کی جمع پر توزیعی خاصیت]

آئیے چیک کریں کہ یہ عددیں کے لیے بھی درست ہے یا نہیں۔

ذیل کو دیکھیں:

(أ) $(-2) \times(3+5)=-2 \times 8=-16$

اور $[(-2) \times 3]+[(-2) \times 5]=(-6)+(-10)=-16$

اس لیے، $\quad(-2) \times(3+5)=[(-2) \times 3]+[(-2) \times 5]$

(ب) $(-4) \times[(-2)+7]=(-4) \times 5=-20$

اور $[(-4) \times(-2)]+[(-4) \times 7]=8+(-28)=-20$

اس لیے، $\quad(-4) \times[(-2)+7]=[(-4) \times(-2)]+[(-4) \times 7]$

(ج) $(-8) \times[(-2)+(-1)]=(-8) \times(-3)=24$

اور $[(-8) \times(-2)]+[(-8) \times(-1)]=16+8=24$

اس لیے، $\quad(-8) \times[(-2)+(-1)]=[(-8) \times(-2)]+[(-8) \times(-1)]$

کیا ہم کہ سکتے ہیں کہ ضرب کی جمع پر توزیعی خاصیت عددیں کے لیے بھی درست ہے؟ ہاں۔

عمومی طور پر، دو عددیں $a, b$ اور $c$ کے لیے،

$ a \times(b+c)=a \times b+a \times c $

$a, b$ اور $c$ کے لیے کم از کم پانچ مختلف قیم لیں اور ظاہر کریں کہ یہ توزیعی خاصیت درست ہے۔

سبق کریں

(أ) $10 \times[(6+(-2)]=10 \times 6+10 \times(-2)$ ہے؟

(ب) $(-15) \times[(-7)+(-1)]=(-15) \times(-7)+(-15) \times(-1)$ ہے؟

اب ذیل کو دیکھیں:

کیا ہم کہ سکتے ہیں $4 \times(3-8)=4 \times 3-4 \times 8$؟

آئیے چیک کریں:

$ \begin{aligned} & 4 \times(3-8)=4 \times(-5)=-20 \\ & 4 \times 3-4 \times 8=12-32=-20 \end{aligned} $

اس لیے، $4 \times(3-8)=4 \times 3-4 \times 8$۔

ذیل کو دیکھیں:

$ \begin{aligned} & (-5) \times[(-4)-(-6)]=(-5) \times 2=-10 \\ & {[(-5) \times(-4)]-[(-5) \times(-6)]=20-30=-10} \end{aligned} $

اس لیے، $\quad(-5) \times[(-4)-(-6)]=[(-5) \times(-4)]-[(-5) \times(-6)]$

$(-9) \times[10-(-3)]$ اور $[(-9) \times 10]-[(-9) \times(-3)]$ کو چیک کریں

آپ دیکھیں گے کہ یہ بھی مساوی ہیں۔

عمومی طور پر، ثلاث عددیں $a, b$ اور $c$ کے لیے،

$ a \times(b-c)=a \times b-a \times c $

$a, b$ اور $c$ کے لیے کم از کم پانچ مختلف قیم لیں اور اس خاصیت کو چیک کریں۔

سبق کریں

(أ) $10 \times(6-(-2)]=10 \times 6-10 \times(-2)$ ہے؟

(ب) $(-15) \times[(-7)-(-1)]=(-15) \times(-7)-(-15) \times(-1)$ ہے؟

تمرین 1.2

1. ان کا ہر ضرب حاصل کریں:

(أ) $3 \times(-1)$

(ب) $(-1) \times 225$

(ج) $(-21) \times(-30)$

(د) $(-316) \times(-1)$

(هـ) $(-15) \times 0 \times(-18)$

(و) $(-12) \times(-11) \times(10)$

(ز) $9 \times(-3) \times(-6)$

(ح) $(-18) \times(-5) \times(-4)$

(ط) $(-1) \times(-2) \times(-3) \times 4$

(ي) $(-3) \times(-6) \times(-2) \times(-1)$

2. درست کریں:

(أ) $18 \times[7+(-3)]=[18 \times 7]+[18 \times(-3)]$

(ب) $(-21) \times[(-4)+(-6)]=[(-21) \times(-4)]+[(-21) \times(-6)]$

3. (أ) کسی بھی عددی $a$ کے لیے، $(-1) \times a$ کیا ہوگا؟

(ب) (-1) کے ساتھ ضرب کرنے والا عددی تلاش کریں جس کا

(أ) -22

(ب) 37

(ج) 0

4. $(-1) \times 5$ سے شروع کریں، $(-1) \times(-1)=1$ کو ظاہر کرنے کے لیے کچھ نمٹ دیکھنے کے لیے مختلف ضربیں لکھیں۔

1.4 عددیں کا تقسیم

ہم جانتے ہیں کہ تقسیم ضرب کے مکمل عمل کے ہے۔ آئیے ایک مثال عددیں کے لیے دیکھیں۔

چونکہ $3 \times 5=15$

اس لیے $15 \div 5=3$ اور $15 \div 3=5$

بالترتیب، $4 \times 3=12$ $12 \div 4=3$ اور $12 \div 3=4$ دیتا ہے

ہم کہ سکتے ہیں کہ عددیں کی ہر ضرب کی عبارت کے دو تقسیم کی عبارتیں ہوتی ہیں۔

کیا آپ عددیں کے لیے ضرب کی عبارت اور اس کے متناسب تقسیم کی عبارتیں لکھ سکتے ہیں؟

• ذیل کو دیکھیں اور اسے مکمل کریں۔

ظاہر ہوتا ہے کہ:

$ \begin{aligned} & (-12) \div 2=(-6) \\ & (-20) \div 5=(-4) \\ & (-32) \div 4=(-8) \\ & (-45) \div 5=(-9) \end{aligned} $

سبق کریں

حاصل کریں:

(أ) $(-100) \div 5\qquad$ (ب) $(-81) \div 9$

(ج) $(-75) \div 5\qquad$ (د) $(-32) \div 2$

ہم دیکھتے ہیں کہ جب ہم ایک منفی عددی کو ایک موجب عددی سے تقسیم کرتے ہیں، تو ہم انہیں عددیں کے طور پر تقسیم کرتے ہیں اور پھر تقسیم کے سامنے ماس کی علامت (-) دے دیتے ہیں۔

• ہم دوسری بھی دیکھتے ہیں کہ:

$ \begin{matrix} 72 \div(-8)=-9 & \text{ اور } & 50 \div(-10)=-5 \\ 72 \div(-9)=-8 & & 50 \div(-5)=-10 \end{matrix} $

اس لیے ہم کہ سکتے ہیں کہ جب ہم ایک موجب عددی کو ایک منفی عددی سے تقسیم کرتے ہیں، تو ہم پہلے انہیں عددیں کے طور پر تقسیم کرتے ہیں اور پھر تقسیم کے سامنے ماس کی علامت (-) دے دیتے ہیں۔

عمومی طور پر دو موجب عددیں $a$ اور $b$ کے لیے

$ a \div(-b)=(-a) \div b \quad \text{ جہاں } b \neq 0 $

کیا ہم کہ سکتے ہیں کہ

$ (-48) \div 8=48 \div(-8) ? $

آئیے چیک کریں۔ ہم جانتے ہیں کہ

$ (-48) \div 8=-6 $

اور $48 \div(-8)=-6$

اس لیے $(-48) \div 8=48 \div(-8)$

یہ چیک کریں کہ

(أ) $90 \div(-45)$ اور $(-90) \div 45$

(ب) $(-136) \div 4$ اور $136 \div(-4)$

سبق کریں

حاصل کریں:

(أ) $125 \div(-25)\qquad$

(ب) $80 \div(-5)\qquad$

(ج) $64 \div(-16)\qquad$

• آخر میں، ہم دیکھتے ہیں کہ

$ (-12) \div(-6)=2 ;(-20) \div(-4)=5 ;(-32) \div(-8)=4 ;(-45) \div(-9)=5 $

اس لیے ہم کہ سکتے ہیں کہ جب ہم ایک منفی عددی کو دوسرے منفی عددی سے تقسیم کرتے ہیں، تو ہم پہلے انہیں عددیں کے طور پر تقسیم کرتے ہیں اور پھر تقسیم کے سامنے موجب علامت (+) دے دیتے ہیں۔

عمومی طور پر دو موجب عددیں $a$ اور $b$ کے لیے

$ (-a) \div(-b)=a \div b \quad \text{ جہاں } b \neq 0 $

سبق کریں

حاصل کریں:

(أ) $(-36) \div(-4)\qquad$

(ب) $(-201) \div(-3)\qquad$

(ج) $(-325) \div(-13)\qquad$

1.5 عددیں کے تقسیم کی خصوصیات

ذیل کی جدول دیکھیں اور اسے مکمل کریں:

آپ نے کیا دیکھا؟ ہم دیکھتے ہیں کہ عددیں تقسیم کے تحت بنیادی نہیں ہیں۔

اسے اپنے اپنے پانچ مزید مثالوں کے ذریعے توضیح دیں۔

• ہم جانتے ہیں کہ تقسیم عددیں کے لیے تبادلی نہیں ہے۔ آئیے اسے عددیں کے لیے بھی چیک کریں۔

جدول سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ $(-8) \div(-4) \neq(-4) \div(-8)$۔

$(-9) \div 3$ اور $3 \div(-9)$ ایک جیسے ہیں؟

$(-30) \div(-6)$ اور $(-6) \div(-30)$ ایک جیسے ہیں؟

کیا ہم کہ سکتے ہیں کہ تقسیم عددیں کے لیے تبادلی ہے؟ نہیں۔

اسے پانچ مزید جوڑے عددیں کے ذریعے چیک کر سکتے ہیں۔

• عددیں کے طور پر، کوئی بھی عددی صفر کے ساتھ تقسیم کرنا معنی نہیں دیتا اور صفر کو کسی بھی عددی سے تقسیم صفر ہوتا ہے، یعنی، کسی بھی عددی $a, a \div 0$ کے لیے معیاری نہیں ہے لیکن $0 \div a=0$ $a \neq 0$ کے لیے ہے۔
• جب ہم ایک عددی کو 1 سے تقسیم کرتے ہیں تو ہمیشہ ایک ہی عددی حاصل ہوتی ہے۔ آئیے چیک کریں کہ یہ منفی عددیں کے لیے بھی درست ہے یا نہیں۔

ذیل کو دیکھیں:

$(-8) \div 1=(-8)\qquad$ $(-11) \div 1=-11\qquad$ $(-13) \div 1=-13$

$(-25) \div 1=\ldots \ldots \qquad$ $(-37) \div 1=\ldots \ldots \qquad$ $(-48) \div 1=\ldots \ldots$

یہ ظاہر کرتا ہے کہ منفی عددی کو 1 سے تقسیم کرنے پر ایک ہی منفی عددی حاصل ہوتی ہے۔

اس لیے، کوئی بھی عددی کو 1 سے تقسیم کرنے پر ایک ہی عددی حاصل ہوتی ہے۔

عمومی طور پر، کسی بھی عددی $a$ کے لیے،

$ a \div 1=a $

• جب ہم کسی بھی عددی کو $(-1)$ سے تقسیم کرتے ہیں؟ ذیل کی جدول کو مکمل کریں

$ \begin{matrix} (-8) \div(-1)=8 \qquad 11 \div(-1)=-11 \qquad 13 \div(-1)= ……\\ (-25) \div(-1)=…… \qquad (-37) \div(-1)= …… \qquad -48 \div(-1)= \end{matrix} $

آپ نے کیا دیکھا؟

ہم