11.1 مقدمہ

آپ جانتے ہیں کہ زمین کا اندراج کتنا ہے؟ وہ

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ !

آپ اس اعداد کو پڑھ سکتے ہیں؟

یورینس کا اندراج 86,800,000,000,000,000,000,000,000 کلو گرام ہے۔

زمین یا یورینس میں کون سا اندراج زیادہ ہے؟

رہائش شمس سے ساتورن تک درجہ بندی 1,433,500,000,000 میٹر ہے اور ساتورن سے یورینس تک درجہ بندی $1,439,000,000,000 m$ ہے۔ آپ یہ اعداد پڑھ سکتے ہیں؟ کون سا فاصلہ کم ہے؟

یہ بہت بڑے اعداد پڑھنے، سمجھنے اور موازنہ کرنے میں دشوار ہوتے ہیں۔ یہ اعداد آسانی سے پڑھنے، سمجھنے اور موازنہ کرنے کے لیے، ہم اِکспونینٹس استعمال کرتے ہیں۔ اس فصل میں، ہم اِکспونینٹس کے بارے میں سیکھیں گے اور انہیں کیسے استعمال کریں گے، ان کا بھی سیکھیں گے۔

11.2 اِکспونینٹس

ہم اِکспونینٹس کا استعمال کرتے ہوئے بڑے اعداد کو مختصر شکل میں لکھ سکتے ہیں۔

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ دیکھیں

مختصر نوٹشن $10^{4}$ میں $10 \times 10 \times 10 \times 10$ کا حاصل ضرب کی وجہ سے ہے۔ یہاں ‘10’ بنیاد کہلاتا ہے اور ‘4’ اِکسپونینٹ کہلاتا ہے۔ عدد $10^{4}$ کو 10 کی 4 قوت کہلاتے ہیں یا صرف $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ کو چوتھی قوت کہلاتے ہیں۔ $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ کو 10,000 کی اِکسپونینٹیل شکل کہلاتے ہیں۔

ہم 1,000 کو بھی 10 کی قوت کی طرف سے اسی طرح عبارت میں لکھ سکتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ

$$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $$

یہاں دوبارہ، $10^{3}$ 1,000 کی اِکسپونینٹیل شکل ہے۔

بالترتیب، $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ $1,00,000$ کی اِکسپونینٹیل شکل ہے۔

دونوں مثالوں میں، بنیاد 10 ہے؛ $10^{3}$ کی صورت میں، اِکسپونینٹ 3 ہے اور $10^{5}$ کی صورت میں، اِکسپونینٹ 5 ہے۔

ہم نے اِکسپنڈڈ فارم میں اعداد لکھتے وقت ان اعداد مثلاً $10,100,1000$ وغیرہ استعمال کیے ہیں۔ مثال کے طور پر، $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

اسے $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ کی طرف سے لکھا جا سکتا ہے۔

اسی طرح یہ اعداد $172,5642,6374$ لکھیں۔

مذکورہ بالا تمام مثالوں میں، ہم نے اعداد کی بنیاد 10 ہی رکھی ہے۔ لیکن بنیاد کو کسی دوسرے عدد میں بھی رکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ کو $81=3^{4}$ کی طرف سے لکھا جا سکتا ہے، یہاں 3 بنیاد ہے اور 4 اِکسپونینٹ ہے۔

کچھ قوتوں کے اپنے نام ہیں۔ مثال کے طور پر،

$10^{2}$، جو 10 کی 2 قوت ہے، اسے ‘10 مربع’ یا ‘10 کی دوسری قوت’ کہلاتے ہیں اور

$10^{3}$، جو 10 کی 3 قوت ہے، اسے ‘10 کمرہ’ یا ‘10 کی تیسری قوت’ کہلاتے ہیں۔

آپ کہ سکتے ہیں کہ $5^{3}$ (5 کمرہ) کا مطلب کیا ہے؟

$$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں کہ 125 5 کی تیسری قوت ہے۔

$5^{3}$ میں اِکسپونینٹ اور بنیاد کون ہیں؟

بالترتیب، $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$، جو 2 کی پانچویں قوت ہے۔

$2^{5}, 2$ میں $2^{5}, 2$ ہے اور 5 اِکسپونینٹ ہے۔

اسی طرح،

$$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $$

کوشش کریں

اِس طرح کے پانچ مزید مثالیں دریافت کیں، جہاں ایک عدد اِکسپونینٹیل شکل میں عبارت ہو۔ ایک طرف سے ہر موقع پر بنیاد اور اِکسپونینٹ کی شناخت بھی کریں۔

ہم اِس طرح لکھنے کو بھی یہیں تک پہنچ سکتے ہیں جہاں تک بنیاد سے منفی عدد ہو۔

$(-2)^{3}$ کا مطلب کیا ہے؟

یہ $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$ ہے۔

$\quad(-2)^{4}=16$ ہے؟ اسے چیک کریں۔

ایک مقررہ عدد کے بجائے، ہم کسی بھی عدد $a$ کو بنیاد کے طور پر رکھ کر اعداد کو یہاں تک کہ لکھیں گے،

$$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ read as ’ } a \text{ squared’ or ’ } a \text{ raised to the power } 2 \text{ ‘) } \ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ read as ’ } a \text{ cubed’ or ’ } a \text{ raised to the power } 3 \text{ ’ }) \ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ read as } a \text{ raised to the power } 4 \text{ or the } 4^{\text{th }} \text{ power of } a) \end{aligned} $$

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ کو $a$ کی 7 قوت یا $7^{\text{th }}$ کی $.a)$ قوت کے طور پر پڑھا جاتا ہے اور اسی طرح۔

$a \times a \times a \times b \times b$ کو $a^{3} b^{2}$ کے طور پر عبارت میں لکھا جا سکتا ہے ($a$ کمرہ $b$ مربع)

کوشش کریں

عبارت میں لکھیں:

(i) 729 کو 3 کی قوت کی طرف سے

(ii) 128 کو 2 کی قوت کی طرف سے

(iii) 343 کو 7 کی قوت کی طرف سے $a \times a \times b \times b \times b \times b$ کو $a^{2} b^{4}$ کے طور پر عبارت میں لکھا جا سکتا ہے ($a$ مربع میں $b$ کی 4 قوت)

مثال 1 256 کو 2 کی قوت کی طرف سے عبارت میں لکھیں۔

حل

ہم کہتے ہیں $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$۔

چاہے ہو کہ ہم کہیں کہ $256=2^{8}$

مثال 2 کون سا زیادہ ہے $2^{3}$ یا $3^{2}$؟

حل ہم کہتے ہیں $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ اور $3^{2}=3 \times 3=9$۔

چونکہ $9>8$، اس لیے، $3^{2}$ $2^{3}$ سے زیادہ ہے۔

مثال 3 کون سا زیادہ ہے $8^{2}$ یا $2^{8}$؟

حل

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

واضح طور پر، $\quad 2^{8}>8^{2}$

مثال 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ کو اِکسپینڈ کریں۔ ان میں سے سب ایک جیسے ہیں؟

حل

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \ & =a \times a \times a \times b \times b \ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \ & =a \times a \times b \times b \times b \ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \ & =b \times b \times a \times a \times a \ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $$

نوٹ کریں کہ حالت میں $a^{3} b^{2}$ اور $a^{2} b^{3}$ میں $a$ اور $b$ کی قوتیں مختلف ہیں۔ اس لیے $a^{3} b^{2}$ اور $a^{2} b^{3}$ مختلف ہیں۔

بالعکس، $a^{3} b^{2}$ اور $b^{2} a^{3}$ ایک جیسے ہیں، کیونکہ یہ دونوں حصوں میں $a$ اور $b$ کی قوتیں ایک جیسی ہیں۔ عوامل کی ترتیب نہیں ممکنہ ہے۔

چاہے ہو کہ ہم کہیں کہ $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$۔ بالترتیب، $a^{2} b^{3}$ اور $b^{3} a^{2}$ ایک جیسے ہیں۔

مثال 5 ان اعداد کو طبیعی عوامل کی قوتوں کے حاصل ضرب کی طرف سے عبارت میں لکھیں:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

حل

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں کہ $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (مطلوبہ طبیعی عوامل کی قوتوں کے حاصل ضرب کی شکل)

$$ \begin{array}{l|l} 2 & 72 \ \hline 2 & 36 \ \hline 2 & 18 \ \hline 3 & 9 \ \hline & 3 \end{array} $$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $$

یا $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(مطلوبہ شکل)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $$

یا: $$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $$

ایتل نے اس مثال کو دوسری طرح سے حل کرنا چاہا:

$$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ کیونکہ } 10=2 \times 5) \ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $$

یا: $$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $$

ایتل کا طریقہ درست ہے؟

$$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (کیونکہ } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \ & (\text{ کیونکہ } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \ & \text{ یا، } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $$

مثال 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ کا حساب کریں۔

حل

(i) ہم کہتے ہیں $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$

درحقیقت، آپ دیکھیں گے کہ 1 کسی بھی قوت کے لیے 1 ہے۔

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$$ \begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text {odd number }} & =-1 \ (-1)^{\text {even number }} & =+1 \ \hline \end{array} $$

آپ چیک کر سکتے ہیں کہ $(-1)$ کسی بھی غیر جفت قوت کے لیے $(-1)$ ہے،

اور $(-1)$ کسی بھی جفت قوت کے لیے $(+1)$ ہے۔

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

تمرین 11.1

1. ان اعداد کا قیمت دریافت کیں:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. مندرجہ ذیل کو اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. ہر ایک اعداد کو اِکسپونینٹیل نوٹیشن کے ذریعے لکھیں:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. ہر موقع پر زیادہ عدد کی شناخت کریں، جہاں ممکن ہو:

(i) $4^{3}$ یا $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ یا $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ یا $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ یا $2^{100}$

(v) $2^{10}$ یا $10^{2}$

5. ہر ایک اعداد کو ان کے طبیعی عوامل کی قوتوں کے حاصل ضرب کی طرف سے عبارت میں لکھیں:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. آسان کریں:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. آسان کریں:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. مندرجہ ذیل اعداد کا موازنہ کریں:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

11.3 اِکسپونینٹس کے قواعد

11.3.1 ایک جیسی بنیاد کے قوتوں کا ضرب

(i) $2^{2} \times 2^{3}$ کا حساب کریں۔

$$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $$

نوٹ کریں کہ $2^{2}$ اور $2^{3}$ میں بنیاد ایک جیسی ہے اور اِکسپونینٹوں کے مجموعے، جیسے 2 اور 3 کا مجموعہ 5 ہے۔

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \ & =(-3)^{7} \ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $$

دوبارہ، نوٹ کریں کہ بنیاد ایک جیسی ہے اور اِکسپونینٹوں کے مجموعے، جیسے 4 اور 3 کا مجموعہ 7 ہے۔

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $$

(نوٹ: بنیاد ایک جیسی ہے اور اِکسپونینٹوں کے مجموعہ $2+4=6$ ہے)

بالترتیب، چیک کریں:

$$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $$

آپ گھڑی میں مناسب عدد لکھ سکتے ہیں؟

$$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (یاد رکھیں، بنیاد ایک جیسی ہے؛ } b \text{ کوئی بھی عدد ہے)۔ } \ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c کوئی بھی عدد ہے) } \ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $$

اس سے ہم کسی بھی غیر صفر عدد $a$ کے لیے، جہاں $m$ اور $n$ عددِ بنیادی ہیں،

$$ \begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \ \hline \end{array} $$

کوشش کریں

آسان کریں اور اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

احتیاط!

$2^{3} \times 3^{2}$ دیکھیں۔

آپ اِکسپونینٹس کو جمع کر سکتے ہیں؟ نہیں! آپ دیکھیں ‘وجہ کیوں؟’ $2^{3}$ کی بنیاد 2 ہے اور $3^{2}$ کی بنیاد 3 ہے۔ بنیادیں ایک جیسی نہیں ہیں۔

11.3.2 ایک جیسی بنیاد کے قوتوں کا تقسیم

$3^{7} \div 3^{4}$ کو آسان کریں؟

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $$

(نوٹ، $3^{7}$ اور $3^{4}$ میں بنیاد ایک جیسی ہے اور $3^{7} \div 3^{4}$ $3^{7-4}$ بن جاتا ہے)

بالترتیب،

یا: $$ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $$

چاہے ہو کہ $a$ کسی بھی غیر صفر عدد ہو، تو،

یا: $$ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $$

آج آپ تیزی سے جواب دے سکتے ہیں؟

$$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $$

غیر صفر عددوں $b$ اور $c$ کے لیے،

$$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $$

کلیتن، کسی بھی غیر صفر عدد $a$ کے لیے،

$$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $$

جہاں $m$ اور $n$ عددِ بنیادی ہیں اور $m>n$۔

کوشش کریں

آسان کریں اور اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں: مثال کے طور پر،$11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

11.3.3 قوت کی قوت لینا

مندرجہ ذیل کو دیکھیں

$(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$ کو آسان کریں

آج، $(2^{3})^{2}$ کا مطلب ہے کہ $2^{3}$ کو دو بارے کے ساتھ کر دیا جاتا ہے۔

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3} \times 2^{3} \ & =2^{3+3}(\text{ کیونکہ } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \ & =2^{6}=2^{3 \times 2} \end{aligned} $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

بالترتیب:

$$ \begin{aligned} (3^{2})^{4} & =3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \ & =3^{2+2+2+2} \ & =3^{8}(\text{ دیکھیں } 8 \text{ 2 اور 4 کے حاصل ضرب ہے)۔ } \ & =3^{2 \times 4} \end{aligned} $$

آپ کہ سکتے ہیں کہ $(7^{2})^{10}$ کون سے برابر ہوگا؟

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3 \times 2}=2^{6} \ (3^{2})^{4} & =3^{2 \times 4}=3^{8} \ & =7^{2 \times 10}=7^{20} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (a^{2})^{3} & =a^{2 \times 3}=a^{6} \ & =a^{m \times 3}=a^{3 m} \end{aligned} $$

اس سے ہم کسی بھی غیر صفر عدد ‘$a$’ کے لیے، جہاں ‘$m$’ اور ‘$n$’ عددِ بنیادی ہیں،

$$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $$

کوشش کریں

آسان کریں اور جواب کو اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

مثال 7 آپ کہ سکتے ہیں کہ کون سا زیادہ ہے $(5^{2}) \times 3$ یا $(5^{2})^{3}$؟

حل

$(5^{2}) \times 3$ کا مطلب ہے کہ $5^{2}$ کو 3 کے ساتھ ضرب کیا جاتا ہے، یعنی $5 \times 5 \times 3=75$

لیکن $(5^{2})^{3}$ کا مطلب ہے کہ $5^{2}$ کو خود میں تین بار ضرب کیا جاتا ہے، یعنی

$$ 5^{2} \times 5^{2} \times 5^{2}=5^{6}=15,625 $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ (5^{2})^{3}>(5^{2}) \times 3 $$

11.3.4 ایک جیسے اِکسپونینٹ کے قوتوں کا ضرب

آپ $2^{3} \times 3^{3}$ کو آسان کر سکتے ہیں؟ دیکھیں کہ یہاں دو حصوں $2^{3}$ اور $3^{3}$ میں مختلف بنیادیں ہیں، لیکن ایک جیسے اِکسپونینٹ ہے۔

آج،

$$ \begin{aligned} 2^{3} \times 3^{3} & =(2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3) \ & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \ & =6 \times 6 \times 6 \ & =6^{3} \quad(\text{ دیکھیں } 6 \text{ بنیادوں } 2 \text{ اور } 3 \text{ کے حاصل ضرب ہے}) \ & =(4 \times 4 \times 4 \times 4) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3) \ & =(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \ & =12 \times 12 \times 12 \times 12 \end{aligned} $$

$4^{4} \times 3^{4}$ دیکھیں

$$ =12^{4} $$

بالترتیب، $3^{2} \times a^{2}$ دیکھیں

$$ \begin{aligned} & =(3 \times 3) \times(a \times a) \ & =(3 \times a) \times(3 \times a) \ & =(3 \times a)^{2} \ & =(3 a)^{2} \quad(\text{ نوٹ: } 3 \times a=3 a) \ & =(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) \ & =(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \ & =(a \times b)^{4} \ & =(a b)^{4} \quad(\text{ نوٹ } a \times b=a b) \end{aligned} $$

$$ \text{ بالترتیب، } a^{4} \times b^{4}=(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) $$

کلیتن، کسی بھی غیر صفر عدد $a$ کے لیے

$$ a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m} \quad \text{ (جہاں } m \text{ کوئی بھی عددِ بنیادی ہے) } $$

کوشش کریں

$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$ کا استعمال کر کے دوسری شکل میں لکھیں:

(i) $4^{3} \times 2^{3}$ (ii) $2^{5} \times b^{5}$

(iii) $a^{2} \times t^{2}$

(iv) $5^{6} \times(-2)^{6}$

(v) $(-2)^{4} \times(-3)^{4}$

مثال 8 مندرجہ ذیل حصوں کو اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں:

(i) $(2 \times 3)^{5}$

(ii) $(2 a)^{4}$

(iii) $(-4 m)^{3}$

حل

(i)

$$ \begin{aligned} (2 \times 3)^{5} & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3) \ & =2^{5} \times 3^{5} \end{aligned} $$

(ii)

$$ \begin{aligned} (2 a)^{4} & =2 a \times 2 a \times 2 a \times 2 a \ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(a \times a \times a \times a) \ & =2^{4} \times a^{4} \end{aligned} $$

(iii) $(-4 m)^{3}=(-4 \times m)^{3}$

$=(-4 \times m) \times(-4 \times m) \times(-4 \times m)$

$=(-4) \times(-4) \times(-4) \times(m \times m \times m)=(-4)^{3} \times(m)^{3}$

11.3.5 ایک جیسے اِکسپونینٹ کے قوتوں کا تقسیم

مندرجہ ذیل آسانیوں کو دیکھیں:

(i) $\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3}=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^{4}$

(ii) $\frac{a^{3}}{b^{3}}=\frac{a \times a \times a}{b \times b \times b}=\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b}=(\frac{a}{b})^{3}$

ان مثالوں سے ہم کلیت کے بارے میں فہم کر سکتے ہیں

$$ a^{m} \div b^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m} \text{ جہاں } a \text{ اور } b \text{ کوئی بھی غیر صفر عدد ہیں } $$

اور $m$ ایک عددِ بنیادی ہے۔

کوشش کریں

$a^{m} \div b^{m}=(\frac{a}{b})^{m}$ کا استعمال کر کے دوسری شکل میں لکھیں:

(i) $4^{5} \div 3^{5}$

(ii) $2^{5} \div b^{5}$

(iii) $(-2)^{3} \div b^{3}$

(iv) $p^{4} \div q^{4}$

(v) $5^{6} \div(-2)^{6}$

مثال 9 اِکسپینڈ کریں:

(i) $(\frac{3}{5})^{4}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}$

حل

(i) $(\frac{3}{5})^{4}=\frac{3^{4}}{5^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{5 \times 5 \times 5 \times 5}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}=\frac{(-4)^{5}}{7^{5}}=\frac{(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4)}{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7}$

$a^0$ کیا ہے؟

مندرجہ ذیل نمٹ کو دیکھیں:

$$ \begin{aligned} 2^{6} & =64 \ 2^{5} & =32 \ 2^{4} & =16 \ 2^{3} & =8 \ 2^{2} & =? \ 2^{1} & =? \ 2^{0} & =? \end{aligned} $$

آپ یہیں نمٹ کو دیکھ کر $2^{0}$ کی قیمت کا تخمینہ لگا سکتے ہیں!

آپ دیکھیں گے کہ $2^{0}=1$

اگر آپ $3^{6}=729$ سے شروع کر کے مذکورہ بالا طریقے سے جاری کرتے ہیں اور $3^{5}, 3^{4}, 3^{3}, \ldots$ وغیرہ کو دریافت کرتے ہیں، تو $3^{0}=$ کیا ہوگی؟

• صفر کے اِکسپونینٹ کے ساتھ اعداد

آپ کہ سکتے ہیں کہ $\frac{3^{5}}{3^{5}}$ کون سے برابر ہے؟

$$ \frac{3^{5}}{3^{5}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}=1 $$

اِکسپونینٹس کے قواعد کے ذریعے

$$ 3^{5} \div 3^{5}=3^{5-5}=3^{0} $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ 3^{0}=1 $$

آپ کہ سکتے ہیں کہ $7^{\circ}$ کون سے برابر ہے؟

اور:

$$ 7^{3} \div 7^{3}=7^{3-3}=7^{0} $$

$$ \frac{7^{3}}{7^{3}}=\frac{7 \times 7 \times 7}{7 \times 7 \times 7}=1 $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ 7^{0}=1 $$

بالترتیب:

$$ a^{3} \div a^{3}=a^{3-3}=a^{0} $$

اور:

$$ a^{3} \div a^{3}=\frac{a^{3}}{a^{3}}=\frac{a \times a \times a}{a \times a \times a}=1 $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ a^{0}=1(\text{ کسی بھی غیر صفر عدد } a \text{ کے لیے}) $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں کہ کوئی بھی عدد (صفر کے علاوہ) صفر کے اِکسپونینٹ (یا قوت) کے ساتھ ضرب کرنے سے 1 پیدا کرتا ہے۔

11.4 اِکسپونینٹس کے قواعد کے استعمال میں متفرق مثالیں

ہم اِکسپونینٹس کے قواعد کے استعمال کے ذریعے کچھ مثالیں حل کریں گے۔

مثال 10 $8 \times 8 \times 8 \times 8$ کے لیے 2 کی بنیاد کے ساتھ اِکسپونینٹیل شکل لکھیں۔

حل

ہم کہتے ہیں، $8 \times 8 \times 8 \times 8=8^{4}$

لیکن ہم جانتے ہیں کہ

$$ \begin{aligned} 8 & =2 \times 2 \times 2=2^{3} \ 8^{4} & =(2^{3})^{4}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \ & .=2^{3 \times 4} \quad \quad \quad \quad \text{ آپ بھی } (a^{m})^{n}=a^{m n} \text{ استعمال کر سکتے ہیں}] \ & =2^{12} \end{aligned} $$

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

مثال 11 آسان کریں اور جواب کو اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں۔

(i) $(\frac{3^{7}}{3^{2}}) \times 3^{5}$

(ii) $2^{3} \times 2^{2} \times 5^{5}$

(iii) $(6^{2} \times 6^{4}) \div 6^{3}$

(iv) $[(2^{2})^{3} \times 3^{6}] \times 5^{6}$

(v) $8^{2} \div 2^{3}$

حل

(i) $(\frac{3^{7}}{3^{2}}) \times 3^{5}=(3^{7-2}) \times 3^{5}$

$$ =3^{5} \times 3^{5}=3^{5+5}=3^{10} $$

(ii) $2^{3} \times 2^{2} \times 5^{5}=2^{3+2} \times 5^{5}$

$$ =2^{5} \times 5^{5}=(2 \times 5)^{5}=10^{5} $$

(iii) $(6^{2} \times 6^{4}) \div 6^{3}=6^{2+4} \div 6^{3}$

$$ =\frac{6^{6}}{6^{3}}=6^{6-3}=6^{3} $$

(iv) $[(2^{2})^{3} \times 3^{6}] \times 5^{6}=[2^{6} \times 3^{6}] \times 5^{6}$

$$ \begin{aligned} & =(2 \times 3)^{6} \times 5^{6} \ & =(2 \times 3 \times 5)^{6}=30^{6} \end{aligned} $$

(v) $8=2 \times 2 \times 2=2^{3}$

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ =2^{6} \div 2^{3}=2^{6-3}=2^{3} $$

مثال 12 آسان کریں:

(i) $\frac{12^{4} \times 9^{3} \times 4}{6^{3} \times 8^{2} \times 27}$

(ii) $2^{3} \times a^{3} \times 5 a^{4}$

(iii) $\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{9 \times 4^{2}}$

حل

(i) ہم کہتے ہیں

$$ \begin{aligned} \frac{12^{4} \times 9^{3} \times 4}{6^{3} \times 8^{2} \times 27} & =\frac{(2^{2} \times 3)^{4} \times(3^{2})^{3} \times 2^{2}}{(2 \times 3)^{3} \times(2^{3})^{2} \times 3^{3}} \ & =\frac{(2^{2})^{4} \times(3)^{4} \times 3^{2 \times 3} \times 2^{2}}{2^{3} \times 3^{3} \times 2^{2 \times 3} \times 3^{3}}=\frac{2^{8} \times 2^{2} \times 3^{4} \times 3^{6}}{2^{3} \times 2^{6} \times 3^{3} \times 3^{3}} \ & =\frac{2^{8+2} \times 3^{4+6}}{2^{3+6} \times 3^{3+3}}=\frac{2^{10} \times 3^{10}}{2^{9} \times 3^{6}} \ & =2^{10-9} \times 3^{10-6}=2^{1} \times 3^{4} \ & =2 \times 81=162 \end{aligned} $$

(ii) $2^{3} \times a^{3} \times 5 a^{4}=2^{3} \times a^{3} \times 5 \times a^{4}$

$$ \begin{aligned} & =2^{3} \times 5 \times a^{3} \times a^{4}=8 \times 5 \times a^{3+4} \ & =40 a^{7} \end{aligned} $$

(ii) $\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{9 \times 4^{2}}=\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{3^{2} \times(2^{2})^{2}}=\frac{2 \times 2^{5} \times 3^{4}}{3^{2} \times 2^{2 \times 2}}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{2^{1+5} \times 3^{4}}{2^{4} \times 3^{2}}=\frac{2^{6} \times 3^{4}}{2^{4} \times 3^{2}}=2^{6-4} \times 3^{4-2} \ & =2^{2} \times 3^{2}=4 \times 9=36 \end{aligned} $$

نوٹ: اس فصل میں ہم نے زیادہ تر مثالیں حاصل کیے جہاں قوت کی بنیاد عددِ بنیادی ہوئی ہے۔ لیکن اس فصل کے تمام نتائج کسی بھی عدد کے لیے درست ہوتے ہیں جو عددِ نسبی ہو۔

تمرین 11.2

1. اِکسپونینٹس کے قواعد کے ذریعے آسان کریں اور جواب کو اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں:

(i) $3^{2} \times 3^{4} \times 3^{8}$

(ii) $6^{15} \div 6^{10}$

(iii) $a^{3} \times a^{2}$

(iv) $7^{x} \times 7^{2}$

(v) $(5^{2})^{3} \div 5^{3}$

(vi) $2^{5} \times 5^{5}$

(vii) $a^{4} \times b^{4}$

(viii) $(3^{4})^{3}$

(ix) $(2^{20} \div 2^{15}) \times 2^{3}$

(x) $8^{t} \div 8^{2}$

2. آسان کریں اور مندرجہ ذیل کو ہر ایک اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں:

(i) $\frac{2^{3} \times 3^{4} \times 4}{3 \times 32}$

(ii) $((5^{2})^{3} \times 5^{4}) \div 5^{7}$

(iii) $25^{4} \div 5^{3}$

(iv) $\frac{3 \times 7^{2} \times 11^{8}}{21 \times 11^{3}}$

(v) $\frac{3^{7}}{3^{4} \times 3^{3}}$

(vi) $2^{0}+3^{0}+4^{0}$

(vii) $2^{0} \times 3^{0} \times 4^{0}$

(viii) $(3^{0}+2^{0}) \times 5^{0}$

(ix) $\frac{2^{8} \times a^{5}}{4^{3} \times a^{3}}$

(x) $(\frac{a^{5}}{a^{3}}) \times a^{8}$

(xi) $\frac{4^{5} \times a^{8} b^{3}}{4^{5} \times a^{5} b^{2}}$

(xii) $(2^{3} \times 2)^{2}$

3. درست یا غلط کہیں اور اپنا اجراء کریں:

(i) $10 \times 10^{11}=100^{11}$

(ii) $2^{3}>5^{2}$

(iii) $2^{3} \times 3^{2}=6^{5}$

(iv) $3^{0}=(1000)^{0}$

4. مندرجہ ذیل کو صرف طبیعی عوامل کی قوتوں کے حاصل ضرب کی طرف سے اِکسپونینٹیل شکل میں لکھیں:

(i) $108 \times 192$

(ii) 270

(iii) $729 \times 64$

(iv) 768

5. آسان کریں:

(i) $\frac{(2^{5})^{2} \times 7^{3}}{8^{3} \times 7}$

(ii) $\frac{25 \times 5^{2} \times t^{8}}{10^{3} \times t^{4}}$

(iii) $\frac{3^{5} \times 10^{5} \times 25}{5^{7} \times 6^{5}}$

11.5 ڈیسیمل نمبر سسٹم

ہم 47561 کی توسیع دیکھیں، جسے ہم نے پہلے ہی جانتے ہیں:

$$ 47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1 $$

ہم اسے 10 کی قوتوں کے ذریعے اِکسپونینٹ فارم میں بھی عبارت میں لکھ سکتے ہیں:

چاہے ہو کہ ہم کہیں، $47561=4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10^{1}+1 \times 10^{0}$

(نوٹ $10,000=10^{4}, 1000=10^{3}, 100=10^{2}, 10=10^{1}$ اور $.1=10^{0})$

دوسرا عدد توسیع کریں:

$$ \begin{aligned} 104278 & =1 \times 100,000+0 \times 10,000+4 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8 \times 1 \ & =1 \times 10^{5}+0 \times 10^{4}+4 \times 10^{3}+2 \times 10^{2}+7 \times 10^{1}+8 \times 10^{0} \ & =1 \times 10^{5}+4 \times 10^{3}+2 \times 10^{2}+7 \times 10^{1}+8 \times 10^{0} \end{aligned} $$

دیکھیں کہ 10 کی اِکسپونینٹس 5 کی بدول چھوٹے ہوتے ہیں ایک قدم سے چھوٹے ہوتے ہیں جہاں سے چھوٹے ہوتے ہیں جہاں تک 0 تک۔

11.6 بڑے اعداد کو معیاری شکل میں عبارت میں لکھنا

آئیے اب فصل کے آغاز کو واپس کریں۔ ہم نے کہا تھا کہ بڑے اعداد کو اِکسپونینٹس کے ذریعے آسانی سے عبارت میں لکھا جا سکتا ہے۔ ابھی تک ہم نے اسے دکھایا نہیں ہے۔ اب ہم اسے دکھائیں گے۔

1. شمس ہمارے ملکیٹی وی گیلکس کے مرکز سے $300,000,000,000,000,000,000 m$ کو ہے۔

2. ہماری گیلکس میں اسٹاروں کی تعداد $100,000,000,000$ ہے۔

3. زمین کا اندراج $5,976,000,000,000,000,000,000,000 kg$ ہے۔

یہ اعداد لکھنے اور پڑھنے کے لیے آسان نہیں ہیں۔ اسے آسان بنانے کے لیے ہم قوتوں کا استعمال کرتے ہیں۔

مندرجہ ذیل کو دیکھیں:

$$ \begin{aligned} 59 & =5.9 \times 10=5.9 \times 10^{1} \ 590 & =5.9 \times 100=5.9 \times 10^{2} \ 5900 & =5.9 \times 1000=5.9 \times 10^{3} \ 59000 & =5.9 \times 10000=5.9 \times 10^{4} \text{ اور اسی طرح۔ } \end{aligned} $$

کوشش کریں

اِکسپونینٹیل شکل میں 10 کی قوتوں کو توسیع کریں:

(i) 172

(ii) 5,643

(iii) 56,439

(iv) $1,76,428$

ہم نے تمام یہ اعداد معیاری شکل میں عبارت میں لکھ دیے ہیں۔ کوئی بھی عدد 1.0 سے 10.0 کے درمیان (1.0 کے ساتھ شامل) ایک ڈیسیمل عدد کے طور پر عبارت میں لکھا جا سکتا ہے جسے 10 کی ایک قوت کے ساتھ ضرب کیا جاتا ہے۔ ایسی اعداد کی شکل اس عدد کی معیاری شکل کہلاتی ہے۔ چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ 5,985=5.985 \times 1,000=5.985 \times 10^{3} \text{ 5,985 کی معیاری شکل ہے۔ } $$

نوٹ، 5,985 کو بھی $59.85 \times 100$ یا $59.85 \times 10^{2}$ کی طرف سے عبارت میں لکھا جا سکتا ہے۔ لیکن یہ 5,985 کی معیاری شکل نہیں ہیں۔ بالترتیب، $5,985=0.5985 \times 10,000=0.5985 \times 10^{4}$ بھی 5,985 کی معیاری شکل نہیں ہے۔

ہم اب معیاری شکل میں لکھنے کے قابل بڑے اعداد کو دوبارہ جو فصل کے آغاز میں ملے تھے، عبارت میں لکھنے کے قابل ہیں۔

شمس ہماری گیلکس سے دوری، جیسے کہ

$300,000,000,000,000,000,000 m$ کو لکھا جا سکتا ہے

$3.0 \times 100,000,000,000,000,000,000=3.0 \times 10^{20} m$

اب آپ $40,000,000,000$ کو اسی طرح عبارت میں لکھ سکتے ہیں؟

اس میں صفروں کی تعداد کو شمار کریں۔ وہ 10 ہے۔

چاہے ہو کہ ہم کہیں:

$$ 40,000,000,000=4.0 \times 10^{10} $$

زمین کا اندراج $=5,976,000,000,000,000,000,000,000 kg$

$$ =5.976 \times 10^{24} \text{ کلو گرام} $$

آپ اس حقیقت سے اتفاق کریں گے کہ اعداد جب معیاری شکل م