2.1 ضرب تقسیمات

آپ ریڈیکل کے مسائل کا حل کرنا جانتے ہیں۔ اس کا حل ہوتا ہے جوڑ $\times$ چوڑائی کے برابر ہوتا ہے۔ اگر ریڈیکل کا جوڑ $7 cm$ اور چوڑائی $4 cm$ ہو تو اس کا حل کیا ہوگا؟ اس کا حل $7 \times 4=28 cm^{2}$ ہوگا۔

اگر ریڈیکل کا جوڑ $7 \frac{1}{2} cm$ اور چوڑائی $3 \frac{1}{2} cm$ ہو تو اس کا حل کیا ہوگا؟ آپ کہیں گے کہ $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$ ہوگا۔ اعداد $\frac{15}{2}$

اور $\frac{7}{2}$ تقسیمات ہیں۔ دیا گیا ریڈیکل کا حل حاصل کرنے کے لیے، ہمیں تقسیمات کا ضرب جاننا ہوگا۔ اب ہم اسے سیکھیں گے۔

2.1.1 تقسیمات کا ایک عدد سے ضرب

شکل 2.1

چونکہ چیپس کی طرف سے دیکھیں (شکل 2.1)۔ ہر سیاہ حصہ ایک دائرے کا $\frac{1}{4}$ حصہ ہے۔ دو سیاہ حصوں کا مجموعہ کون سا ہوگا؟ وہ $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ ہوگا۔

دو سیاہ حصوں کو جوڑتے ہیں، ہم حصول شکل 2.2 پا سکتے ہیں۔ شکل 2.2 کا سیاہ حصہ دائرے کا کون سا حصہ ہے؟ اس کا حصہ $\frac{2}{4}$ دائرے کا ہے۔

شکل 2.2

شکل 2.1 میں سیاہ حصوں کا مجموعہ شکل 2.2 میں سیاہ حصے کے برابر ہے، یعنی ہم شکل 2.3 حاصل کرتے ہیں۔

شکل 2.3

یا: $ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

اب آپ کہ سکتے ہیں کہ یہ تصویر کون سا ہوگا؟ (شکل 2.4)

شکل 2.4

اور یہ؟ (شکل 2.5)

شکل 2.5

اب ہم $3 \times \frac{1}{2}$ حاصل کریں۔

ہم کہتے ہیں

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

ہم کہتے ہیں

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

تو: $ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

بالمثل: $ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

کیا آپ کہ سکتے ہیں

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

ہم نے اب تک دیکھے گئے تقسیمات، یعنی $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ اور $\frac{3}{5}$ صحیح تقسیمات تھے۔

غیر صحیح تقسیمات کے لیے ہم کہتے ہیں،

کوشش کریں،

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

اس طرح، ایک عدد کو صحیح یا غیر صحیح تقسیمات کے ساتھ ضرب کرنے کے لیے، ہم عدد کو تقسیمات کے نائبر کے ساتھ ضرب کرتے ہیں، ڈینومینیٹر کو نہیں بدلاتے۔

کوشش کریں

1. حاصل کریں: (a) $\frac{2}{7} \times 3$

(b) $\frac{9}{7} \times 6$

(c) $3 \times \frac{1}{8}$

(d) $\frac{13}{11} \times 6$

اگر حاصل ضرب غیر صحیح تقسیمات ہو تو اسے مکسڈ تقسیمات کی صورت میں لکھیں۔

2. تصویری طور پر پیش کریں: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

کوشش کریں

حاصل کریں: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

ایک مکسڈ تقسیمات کو ایک عدد کے ساتھ ضرب کرنے کے لیے، پہلے مکسڈ تقسیمات کو غیر صحیح تقسیمات میں تبدیل کریں اور پھر اسے ضرب کریں۔

اس لیے، $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$۔

بالمثل، $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$؟

تقسیمات کا عمل ‘of’ کے طور پر

دیکھیں یہ تصاویر (شکل 2.6)

دو مربعات کے برابر ہیں۔

ہر سیاہ حصہ 1 کا $\frac{1}{2}$ ہے۔

تو، دو سیاہ حصوں کا مجموعہ 2 کا $\frac{1}{2}$ ہوگا۔

2 سیاہ $\frac{1}{2}$ حصوں کو جوڑیں۔ یہ 1 کا حصہ ہے۔

اس لیے ہم کہتے ہیں $\frac{1}{2}$ کا 2 کا 1 ہے۔ یہ ہمیں $\frac{1}{2} \times 2=1$ کے طور پر بھی مل سکتا ہے۔

اس طرح، $\frac{1}{2}$ کا $2=\frac{1}{2} \times 2=1$

شکل 2.6

اسی طرح، یہ مشابہے مربعات دیکھیں (شکل 2.7)۔

ہر سیاہ حصہ 1 کا $\frac{1}{2}$ ہے۔

تو، تین سیاہ حصوں کا مجموعہ 3 کا $\frac{1}{2}$ ہوگا۔

3 سیاہ حصوں کو جوڑیں۔

یہ $1 \frac{1}{2}$ یعنی $\frac{3}{2}$ کا حصہ ہے۔

اس لیے ہم کہتے ہیں $\frac{1}{2}$ کا 3 کا $\frac{3}{2}$ ہے۔ بالمثل، $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$۔

شکل 2.7

اس طرح، $\frac{1}{2}$ کا $3=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$۔

اس لیے ہم دیکھتے ہیں کہ ‘of’ ضرب کا مطابقت دیتا ہے۔

فاریدا کے 20 میربل ہیں۔ ریشما کے پاس فاریدا کے میربل کی تعداد کا $\frac{1}{5}$ ہے۔ ریشما کے پاس کتنے میربل ہیں؟ کیونکہ ‘of’ ضرب کا مطابقت دیتا ہے، اس لیے ریشما کے پاس $\frac{1}{5} \times 20=4$ میربل ہیں۔

بالمثل، $\frac{1}{2}$ کا 16 کا $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$ ہے۔

کوشش کریں

کیا آپ کہ سکتے ہیں کہ (i) $\frac{1}{2}$ کا $10 ?$، (ii) $\frac{1}{4}$ کا $16 ?$، (iii) $\frac{2}{5}$ کا $25 ?$ کیا ہے؟

مثال 1 40 بالکل اسٹڈنٹس والی کلاس میں $\frac{1}{5}$ کلاس کے کل اسٹڈنٹس کا مجموعہ سے انگلش کی تحریر پڑھنا پسند کرتے ہیں، $\frac{2}{5}$ کلاس کے کل اسٹڈنٹس کا مجموعہ میثمیٹیکس کی تحریر پڑھنا پسند کرتے ہیں اور باقی اسٹڈنٹس علم کی تحریر پڑھنا پسند کرتے ہیں۔

(i) کتنے اسٹڈنٹس انگلش کی تحریر پڑھنا پسند کرتے ہیں؟

(ii) کتنے اسٹڈنٹس میثمیٹیکس کی تحریر پڑھنا پسند کرتے ہیں؟

(iii) کل اسٹڈنٹس کا کون سا حصہ علم کی تحریر پڑھنا پسند کرتا ہے؟

حل

کلاس میں کل اسٹڈنٹس کی تعداد $=40$ ہے۔

(i) ان میں سے $\frac{1}{5}$ کلاس کے کل اسٹڈنٹس کا مجموعہ انگلش کی تحریر پڑھنا پسند کرتے ہیں۔

اس لیے، انگلش کی تحریر پڑھنا پسند کرنے والے اسٹڈنٹس کی تعداد $=\frac{1}{5}$ کا $40=\frac{1}{5} \times 40=8$ ہے۔

(ii) خود کوشش کریں۔

(iii) انگلش اور میثمیٹیکس کی تحریر پڑھنا پسند کرنے والے اسٹڈنٹس کی تعداد $=8+16=24$ ہے۔ اس لیے، علم کی تحریر پڑھنا پسند کرنے والے اسٹڈنٹس کی تعداد $=40-24=16$ ہے۔

اس لیے، درکار حصہ $\frac{16}{40}$ ہے۔

تمرین 2.1

1. کون سا رسم (a) سے (d) دیکھتا ہے:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

(d)

2. کچھ تصاویر (a) سے (c) ذیل میں دی گئی ہیں۔ کون سے ان میں سے دیکھتے ہیں:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

3. ضرب کریں اور حد کم کریں اور مکسڈ تقسیمات میں تبدیل کریں:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

4. سیاہ کریں: (i) $\frac{1}{2}$ دے باکس (a) میں دائروں کا (ii) $\frac{2}{3}$ دے باکس (b) میں دائروں کا (iii) $\frac{3}{5}$ دے باکس (c) میں دائروں کا

(a)

(b)

(c)

5. حاصل کریں:

(a) $\frac{1}{2}$ کا (i) 24 (ii) 46

(b) $\frac{2}{3}$ کا (i) 18 (ii) 27

(c) $\frac{3}{4}$ کا (i) 16 (ii) 36

(d) $\frac{4}{5}$ کا (i) 20 (ii) 35

6. ضرب کریں اور مکسڈ تقسیمات کی صورت میں لکھیں:

(a) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(b) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(c) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(d) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(e) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(f) $3 \frac{2}{5} \times 8$

7. حاصل کریں: (a) $\frac{1}{2}$ کا (i) $2 \frac{3}{4}$ (ii) $4 \frac{2}{9}$

(b) $\frac{5}{8}$ کا (i) $3 \frac{5}{6}$ (ii) $9 \frac{2}{3}$

8. ویڈیا اور پراتپ پیکنک کے لیے گزرے۔ ان کی ماں نے ان کو ایک واٹر بوٹل دی تھی جس میں 5 لیٹر واٹر تھے۔ ویڈیا نے $\frac{2}{5}$ واٹر کو استعمال کیا۔ پراتپ نے باقی واٹر کو استعمال کیا۔

(i) ویڈیا نے کتنا واٹر پیا؟

(ii) کل کی واٹر کی تعداد کا کون سا حصہ پراتپ نے پیا؟

2.1.2 تقسیمات کا تقسیمات سے ضرب

فاریدا کے پاس ایک $9 cm$ لمبی ربین کی شرٹ تھی۔ اس نے اس شرٹ کو چار متساوی حصوں میں تقسیم کیا۔ اس نے یہ کیسے کیا؟ اس نے شرٹ کو دو بار گھٹایا۔ کل لمبائی کا کون سا حصہ ہر حصہ کا مطابقت دیگا؟

ہر حصہ شرٹ کا $\frac{9}{4}$ ہوگا۔ اس نے ایک حصہ اٹھایا اور اسے ایک بار گھٹاؕے کے ساتھ متساوی دو حصوں میں تقسیم کیا۔ ایک جزء کون سا ہوگا؟ اس کا حصہ $\frac{1}{2}$ کا $\frac{9}{4}$ یا $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ ہوگا۔

اب ہم دو تقسیمات کے حاصل ضرب کی طرف دیکھیں جیسے $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$۔

شکل 2.8

شکل 2.9

یہ کرنے کے لیے ہم پہلے $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ جیسے حاصل ضربوں کو سیکھیں۔

(أ) $\frac{1}{3}$ کا ایک کل کیسے حاصل کیا جاتا ہے؟ ہم کل کو تین متساوی حصوں میں تقسیم کرتے ہیں۔ تین حصوں میں سے ہر ایک حصہ کل کا $\frac{1}{3}$ کا مطابقت دیتا ہے۔ ان تین حصوں میں سے ایک حصے کو اٹھائے اور اسے جیسے شکل 2.8 میں دکھایا گیا ہے سیاہ کریں۔

(ب) یہ سیاہ حصہ کیسے حاصل کیا جاتا ہے $\frac{1}{2}$؟ اس ایک تیر کے $(\frac{1}{3})$ سیاہ حصے کو دو متساوی حصوں میں تقسیم کریں۔ ان دو حصوں میں سے ہر ایک حصہ $\frac{1}{2}$ کا $\frac{1}{3}$ یعنی $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ (شکل 2.9) کا مطابقت دیتا ہے۔

ان دو حصوں میں سے 1 حصہ اٹھائے اور اسے ‘A’ کہیں۔ ‘A’ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ کا مطابقت دیتا ہے۔

(ج) ‘A’ کل کا کون سا حصہ ہے؟ اس کے لیے، باقی $\frac{1}{3}$ حصوں کو بھی دو متساوی حصوں میں تقسیم کریں۔ اب آپ کے پاس کتنے متساوی حصے ہیں؟

اب آپ کے پاس شہری حصے ہیں۔ ‘A’ ان میں سے ایک ہے۔

تو، ‘$A$’ کل کا $\frac{1}{6}$ ہے۔ اس طرح، $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$۔

ہم نے کیسے قرار دیا کہ ‘$A$’ کل کا $\frac{1}{6}$ ہے؟ کل $6=2 \times 3$ حصوں میں تقسیم کیا گیا تھا اور اس میں سے $1=1 \times 1$ حصہ اٹھایا گیا تھا۔

اس طرح،

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \\ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ کا قیمت کیسے حاصل کیا جاتا ہے؟ اسی طرح جیسے جیسے کل کو دو متساوی حصوں میں تقسیم کریں اور پھر ان میں سے ایک حصے کو تین متساوی حصوں میں تقسیم کریں۔ ان میں سے ایک حصہ اٹھائے۔ اس کا حصہ $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ کا مطابقت دیگا یعنی $\frac{1}{6}$۔

اس لیے: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ جیسے جیسے پہلے بات کی تھی۔ } $

اس لیے: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ اور $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ اور $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ حاصل کریں اور چیک کریں کہ آپ کو

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

ملتے ہیں۔

کوشش کریں

یہ باکسوں کو پُر کریں: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

مثال 2 سوشنٹ ایک کتاب کا $\frac{1}{3}$ حصہ 1 گھنٹے میں پڑھتا ہے۔ اس کتاب کا کون سا حصہ اس نے $2 \frac{1}{5}$ گھنٹوں میں پڑھا ہوگا؟

حل

1 گھنٹے میں سوشنٹ کہاں سے کتاب کا حصہ پڑھتا ہے $=\frac{1}{3}$۔

تو، اس کہاں سے کتاب کا حصہ پڑھے گا $2 \frac{1}{5}$ گھنٹوں میں $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$

$ =\frac{11}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{11 \times 1}{5 \times 3}=\frac{11}{15} $

اب ہم $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}$ حاصل کریں۔ ہم جانتے ہیں $\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \times 5$۔

$ \text{ تو، } \frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 5=\frac{1}{6} \quad 5=\frac{5}{6} $

بالمثل، $\frac{5}{6}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}$۔ اس طرح، $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}=\frac{5}{6}$۔

یہ بھی نیچے درج کی گئی تصاویر سے دکھایا جا سکتا ہے۔ ان پانچ متساوی شکلوں (شکل 2.10) میں سے ہر ایک دائروں کا حصہ ہے۔ ایک مثل یہ شکل اٹھائے۔ اس شکل کو حاصل کرنے کے لیے ہم پہلے ایک دائرہ کو تین متساوی حصوں میں تقسیم کرتے ہیں۔ ان تین حصوں میں سے ہر ایک حصے کو دو متساوی حصوں میں تقسیم کریں۔ اس میں سے ایک حصہ ہماری توجہ کی شکل ہے۔ اس کا حصہ کون سا ہوگا؟

اس کا حصہ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ کا مطابقت دیگا۔ اس طرح کے حصوں کا کل $5 \times \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ ہوگا۔

کوشش کریں

حاصل کریں: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} ; \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}$

بالمثل: $ \quad \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{5 \times 7}=\frac{3}{35} . $

ہم اس طرح $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$ کو $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{2 \times 7}{3 \times 5}=\frac{14}{15}$ کے طور پر حاصل کر سکتے ہیں۔

اس لیے، ہم دو تقسیمات کو ضرب کرتے ہیں $\frac{\text{ Product of Numerators }}{\text{ Product of Denominators }}$۔

کوشش کریں

حاصل کریں: $\frac{8}{3} \times \frac{4}{7} ; \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$۔

حاصل ضرب کی قیمت

آپ نے دیکھا کہ دو عدد کے ضرب کا حصہ دونوں عددوں سے بڑا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، $3 \times 4=12$ اور $12>4,12>3$۔ ہم نے تقسیمات کا ضرب کرتے ہوئے اپنی قیمت کیسے پیدا ہوتی ہے؟

ہم پہلے دو صحیح تقسیمات کا ضرب دیکھیں۔

ہم کہتے ہیں،

آپ دیکھیں گے کہ دو صحیح تقسیمات کا ضرب دونوں تقسیمات سے کم ہوتا ہے۔ یا ہم کہتے ہیں دو صحیح تقسیمات کا ضرب کی قیمت دونوں تقسیمات سے کم ہوتی ہے۔

یہ 5 مزید مثالوں کے ساتھ چیک کریں۔

اب ہم دو غیر صحیح تقسیمات کا ضرب دیکھیں۔

ہم دیکھتے ہیں کہ دو غیر صحیح تقسیمات کا ضرب دونوں تقسیمات سے بڑا ہوتا ہے۔

یا ہم کہتے ہیں دو غیر صحیح تقسیمات کا ضرب کی قیمت دونوں تقسیمات سے زیادہ ہوتی ہے۔

اس بیان کو 5 مزید مثالوں کے لیے خود کوشش کریں اور چیک کریں۔

اب ہم ایک صحیح اور ایک غیر صحیح تقسیمات کا ضرب دیکھیں، جیسے $\frac{2}{3}$ اور $\frac{7}{5}$۔

ہم کہتے ہیں $\quad \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$۔ یہاں، $\frac{14}{15}<\frac{7}{5}$ اور $\frac{14}{15}>\frac{2}{3}$

حاصل ضرب ضرب میں شامل غیر صحیح تقسیمات سے کم ہوتا ہے اور صحیح تقسیمات سے زیادہ ہوتا ہے۔

یہ $\frac{6}{5} \times \frac{2}{8}, \frac{8}{3} \times \frac{4}{5}$ کے لیے چیک کریں۔

تمرین 2.2

1. حاصل کریں:

(i) $\frac{1}{4}$ کا $\quad$(أ) $\frac{1}{4}$ $\quad$ (ب) $\frac{3}{5}$(ج) $\quad$ $\frac{4}{3}$

(ii) $\frac{1}{7}$ کا $\quad$ (أ) $\frac{2}{9}$ $\quad$ (ب) $\frac{6}{5}$ $\quad$ (ج) $\frac{3}{10}$

2. ضرب کریں اور حد کم کریں (اگر ممکن ہو):

(i) $\frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{2}{7} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{8} \times \frac{6}{4}$

(iv) $\frac{9}{5} \times \frac{3}{5}$

(v) $\frac{1}{3} \times \frac{15}{8}$

(vi) $\frac{11}{2} \times \frac{3}{10}$

(vii) $\frac{4}{5} \times \frac{12}{7}$

3. درج ذیل تقسیمات کا ضرب کریں:

(i) $\frac{2}{5} \times 5 \frac{1}{4}$

(ii) $6 \frac{2}{5} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{2} \times 5 \frac{1}{3}$

(iv) $\frac{5}{6} \times 2 \frac{3}{7}$

(v) $3 \frac{2}{5} \times \frac{4}{7}$

(vi) $2 \frac{3}{5} \times 3$

(vii) $3 \frac{4}{7} \times \frac{3}{5}$

4. کون سا بڑا ہے:

(i) $\frac{2}{7}$ کا $\frac{3}{4}$ یا $\frac{3}{5}$ کا $\frac{5}{8}$

(ii) $\frac{1}{2}$ کا $\frac{6}{7}$ یا $\frac{2}{3}$ کا $\frac{3}{7}$

5. سیلی اپنے باغ میں 4 سپلنگ کا ایک ریڑھ کی ہڈی پیدا کرتی ہے۔ دونوں قریبی سپلنگوں کے درمیان فاصلہ $\frac{3}{4} m$ ہے۔ پہلے اور آخری سپلنگ کے درمیان فاصلہ حاصل کریں۔

6. لیپکا ایک کتاب کو ہر روز $1 \frac{3}{4}$ گھنٹوں میں پڑھتی ہے۔ وہ کتاب کو 6 دنوں میں کھاتی ہے۔ اس نے کتاب کو پڑھنے کے لیے کل کتنی گھنٹے لگیں؟

7. ایک کار 1 لیٹر پیٹرول استعمال کرتے ہوئے $16 km$ کا فاصلہ چلاتا ہے۔ $2 \frac{3}{4}$ لیٹر پیٹرول استعمال کرتے ہوئے اس کا کون سا فاصلہ چلے گا۔

8. (أ) (i) دائرے میں درج ذیل نمبر درج کریں $\square$، تاکہ $\frac{2}{3} \times \square=\frac{10}{30}$۔

(ii) $\square$ میں حاصل شدہ نمبر کا سب سے زیادہ حد کم شکل

(ب) (i) دائرے میں درج ذیل نمبر درج کریں $\square$، تاکہ $\frac{3}{5} \times \square=\frac{24}{75}$۔

(ii) $\square$ میں حاصل شدہ نمبر کا سب سے زیادہ حد کم شکل

2.2 تقسیمات کا تقسیم

جان کے پاس لمبائی $6 cm$ والی ایک ورق کی شرٹ تھی۔ اس نے اس شرٹ کو لمبائی $2 cm$ والی تین شرٹوں میں تقسیم کی۔ آپ جانتے ہیں کہ اس کو $6 \div 2=3$ شرٹ ملیں گے۔

جان نے دوسری شرٹ کی لمبائی $6 cm$ کو لمبائی $\frac{3}{2} cm$ والی شرٹوں میں تقسیم کی۔ اب اس کو کتنی شرٹ ملیں گی؟ اس کو $6 \div \frac{3}{2}$ شرٹ ملیں گے۔

لمبائی $\frac{15}{2} cm$ والی ورق کی شرٹ کو لمبائی $\frac{3}{2} cm$ والی شرٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے تاکہ $\frac{15}{2} \div \frac{3}{2}$ جزو ملیں۔

اس لیے، ہم کے لیے درکار ہے کہ ایک عدد کو ایک تقسیمات سے یا ایک تقسیمات کو دوسرے تقسیمات سے تقسیم کریں۔ ہم دیکھیں گے کہ یہ کیسے کیا جاتا ہے۔

2.2.1 عدد کا تقسیمات سے تقسیم

ہم $1 \div \frac{1}{2}$ حاصل کریں۔

ہم ایک کل کو ایسی تعداد میں متساوی حصوں میں تقسیم کرتے ہیں جس کا ہر حصہ کل کا نیچا ہو۔

اس نیچے کے حصوں کی تعداد $(\frac{1}{2}.$ ) ہوگی۔ شکل (شکل 2.11) کو دیکھیں۔ آپ کون سے نیچے حصے دیکھتے ہیں؟

دو نیچے حصے ہیں۔

اس لیے، $\quad 1 \div \frac{1}{2}=2$۔ بالمثل، $1 \times \frac{2}{1}=1 \times 2=2$۔

اس طرح، $1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}(\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2})$

شکل 2.11

بالمثل، $3 \div \frac{1}{4}=$ عدد کے $\frac{1}{4}$ حصوں کی تعداد حاصل ہوتی ہے جو $\frac{1}{4}$ متساوی حصوں میں تقسیم کرنے کے بعد حاصل ہوتی ہے $=12$ (شکل 2.12 سے)

شکل 2.12

دیکھیں بھی کہ، $3 \times \frac{4}{1}=3 \times 4=12$۔ اس طرح، $3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=12$۔

بالمثل طریقے سے، $3 \div \frac{1}{2}$ اور $3 \times \frac{2}{1}$ حاصل کریں۔

ایک تقسیمات کا مقلوب

نمبر $\frac{2}{1}$ کو $\frac{1}{2}$ کے نائبر اور $\frac{1}{2}$ کو منقلب کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ بالمثل، $\frac{3}{1}$ کو $\frac{1}{3}$ کو منقلب کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔

ہم پہلے اس طرح کے نمبروں کے معلومات کے بارے میں دیکھیں۔

درج ذیل ضربات کو دیکھیں اور فاصلے پُر کریں:

5 مزید اس طرح کے جوڑوں کو ضرب کریں۔

ایک غیر صفر کے نمبر کا ضرب ایک دوسرے کے ساتھ 1 ہونے کے لیے، وہ نمبر ایک دوسرے کے مقلوب ہوتے ہیں۔

اس لیے $\frac{5}{9}$ کا مقلوب $\frac{9}{5}$ ہے اور $\frac{9}{5}$ کا مقلوب $\frac{5}{9}$ ہے۔ $\frac{1}{9}$ کا مقلوب کیا ہے؟ $\frac{2}{7}$؟

آپ دیکھیں گے کہ $\frac{2}{3}$ کا مقلوب اسے منقلب کر کے حاصل کیا جاتا ہے۔ آپ $\frac{3}{2}$ حاصل کرتے ہیں۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

(أ) ایک صحیح تقسیمات کا مقلوب دوبارہ ایک صحیح تقسیمات ہوگا؟

(ب) ایک غیر صحیح تقسیمات کا مقلوب دوبارہ ایک غیر صحیح تقسیمات ہوگا؟ اس لیے ہم کہ سکتے ہیں کہ

$ \begin{aligned} & 1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}=1 \times \text{ مقلوب } \frac{1}{2} \\ & 3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=3 \times \text{ مقلوب } \frac{1}{4} \\ & 3 \div \frac{1}{2}=—-=—- \end{aligned} $

اس طرح، $2 \div \frac{3}{4}=2 \times$ مقلوب $\frac{3}{4}=2 \times \frac{4}{3}$۔

$ 5 \div \frac{2}{9}=5 \times \text{————— }=5 \times $

اس طرح، ایک عدد کو کسی تقسیمات کے ساتھ تقسیم کرنے کے لیے، ہم اس عدد کو اس تقسیمات کے مقلوب کے ساتھ ضرب کرتے ہیں۔

کوشش کریں

حاصل کریں: (أ) $7 \div \frac{2}{5}\quad$(ب) $6 \div \frac{4}{7}\quad$(ج) $2 \div \frac{8}{9}$

• ایک عدد کو ایک مکسڈ تقسیمات کے ساتھ تقسیم کرتے ہوئے، پہلے مکسڈ تقسیمات کو غیر صحیح تقسیمات میں تبدیل کریں اور پھر اسے حل کریں۔

اس طرح، $4 \div 2 \frac{2}{5}=4 \div \frac{12}{5}=? \quad$ بالمثل، $5 \div 3 \frac{1}{3}=3 \div \frac{10}{3}=$؟

کوشش کریں

حاصل کریں: (أ) $6 \div 5 \frac{1}{3}\quad$(ب) $7 \div 2 \frac{4}{7}$

2.2.2 ایک تقسیمات کا عدد سے تقسیم

• $\frac{3}{4} \div 3$ کیا ہوگا؟

ہماری پہلی مشاہدات کے بنیاد پر ہم کہتے ہیں: $\frac{3}{4} \div 3=\frac{3}{4} \div \frac{3}{1}=\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

اس لیے، $\frac{2}{3} \div 7=\frac{2}{3} \times \frac{1}{7}=\quad$؟ $\frac{5}{7} \div 6, \frac{2}{7} \div 8$ کیا ہے؟

• مکسڈ تقسیمات کو عددوں کے ساتھ تقسیم کرتے ہوئے، مکسڈ تقسیمات کو غیر صحیح تقسیمات میں تبدیل کریں۔ یعنی،

$ 2 \frac{2}{3} \div 5=\frac{8}{3} \div 5=—–\quad 4 \frac{2}{5} \div 3=—-=—-; 2 \frac{3}{5} \div 2=—–= $

2.2.3 ایک تقسیمات کا دوسرے تقسیمات سے تقسیم

اب ہم $\frac{1}{3} \div \frac{6}{5}$ حاصل کر سکتے ہیں۔

$ \frac{1}{3} \div \frac{6}{5}=\frac{1}{3} \times \text{ مقلوب } \frac{6}{5}=\frac{1}{3} \times \frac{5}{6}=\frac{5}{18} $

بالمثل، $\frac{8}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{8}{5} \times$ مقلوب $\frac{2}{3}=$؟

اور، $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4}=$؟

کوشش کریں

حاصل کریں: (أ) $\frac{3}{5} \div \frac{1}{2}$

(ب) $\frac{1}{2} \div \frac{3}{5}$

(ج) $2 \frac{1}{2} \div \frac{3}{5}$

(د) $5 \frac{1}{6} \div \frac{9}{2}$

تمرین 2.3

1. حاصل کریں:

(أ) $12 \div \frac{3}{4}$

(ب) $14 \div \frac{5}{6}$

(ج) $8 \div \frac{7}{3}$

(د) $4 \div \frac{8}{3}$

(هـ) $3 \div 2 \frac{1}{3}$

و) $5 \div 3 \frac{4}{7}$

2. درج ذیل تقسیمات کے مقلوب حاصل کریں۔ مقلوب کو صحیح تقسیمات، غیر صحیح تقسیمات اور عدد کے طور پر صنف بنائیں۔

(أ) $\frac{3}{7}$

(ب) $\frac{5}{8}$

(ج) $\frac{9}{7}$

(د) $\frac{6}{5}$

(هـ) $\frac{12}{7}$

و) $\frac{1}{8}$

ز) $\frac{1}{11}$

3. حاصل کریں:

(أ) $\frac{7}{3} \div 2$

(ب) $\frac{4}{9} \div 5$

(ج) $\frac{6}{13} \div 7$

(د) $4 \frac{1}{3} \div 3$

(هـ) $3 \frac{1}{2} \div 4$

و) $4 \frac{3}{7} \div 7$

4. حاصل کریں:

(أ) $\frac{2}{5} \div \frac{1}{2}$

(ب) $\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}$

(ج) $\frac{3}{7} \div \frac{8}{7}$

(د) $2 \frac{1}{3} \div \frac{3}{5}$

(هـ) $3 \frac{1}{2} \div \frac{8}{3}$

و) $\frac{2}{5} \div 1 \frac{1}{2}$

ز) $3 \frac{1}{5} \div 1 \frac{2}{3}$

ح) $2 \frac{1}{5} \div 1 \frac{1}{5}$

2.3 اشکالی نمبروں کا ضرب

ریشما نے $1.5 kg$ ویگٹ بیل کی قیمت ₹ $8.50 per kg$ پر خریدی۔ اس کو کتنی رقم ادا کرنی ہوگی؟ کوئی شک نہیں کہ $₹(8.50 \times 1.50)$ ہوگی۔ 8.5 اور 1.5 دونوں اشکالی نمبر ہیں۔ اس لیے ہم کو ایک اشکالی نمبر کے ساتھ دوسرے اشکالی نمبر کا ضرب کیسے کرنا ہے اسے جاننا ہوگا۔ اب ہم دو اشکالی نمبر کا ضرب سیکھیں گے۔

پہلے ہم $0.1 \times 0.1$ حاصل کریں۔

اب، $0.1=\frac{1}{10}$۔ اس لیے، $0.1 \times 0.1=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=$ $\frac{1 \times 1}{10 \times 10}=\frac{1}{100}=0.01$۔

یہ کی تصویری تمثیل دیکھیں (شکل 2.13) تقسیم کا تعلق ہے $\frac{1}{10}$ 10 متساوی حصوں میں سے ایک حصے کا۔

شکل 2.13

تصویر میں سیاہ حصہ $\frac{1}{10}$ کا مطابقت دیتا ہے۔

ہم جانتے ہیں کہ،

$\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}$ کو $\frac{1}{10}$ کے $\frac{1}{10}$ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اس لیے اس $\frac{1}{10}$ کے حصے کو 10 متساوی حصوں میں تقسیم کریں اور اس میں سے ایک حصہ اٹھائے۔

اس طرح، ہم کہتے ہیں، (شکل 2.14)۔

ڈاٹڈ سکوئر 10 کے $\frac{1}10^{\text{th }}$ کے حصے میں سے ایک حصہ ہے۔ یعنی، اس کا مطابقت $\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}$ یا $0.1 \times 0.1$ ہے۔

ڈاٹڈ سکوئر کو کسی دوسری طریقے سے بیان کیا جا سکتا ہے؟

شکل 2.14 میں آپ کتنے چھوٹے سکوئر دیکھتے ہیں؟

100 چھوٹے سکوئر ہیں۔ اس لیے ڈاٹڈ سکوئر 100 میں سے ایک یا 0.01 کا مطابقت دیتا ہے۔

اس لیے، $0.1 \times 0.1=0.01$۔

نوٹ کریں کہ 0.1 میں ضرب میں دو بار آیا ہے۔ 0.1 میں داکھے کے ساتھ ایک ڈیجٹ ہے۔ 0.01 میں داکھے کے ساتھ دو ڈیجٹ ہیں (یعنی، $1+1$)۔

اب ہم $0.2 \times 0.3$ حاصل کریں۔

ہم کہتے ہیں، $0.2 \times 0.3=\frac{2}{10} \times \frac{3}{10}$

$\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}$ کے لیے جیسے کیا تھا، ہم سکوئر کو 10 متساوی حصوں میں تقسیم کرتے ہیں اور اس میں سے تین حصوں اٹھاتے ہیں تاکہ $\frac{3}{10}$ حاصل کیا جائے۔ دوبارہ ان تین متساوی حصوں میں سے ہر ایک کو 10 متساوی حصوں میں تقسیم کریں اور ہر سے دو اٹھائے۔ ہم $\frac{2}{10} \times \frac{3}{10}$ حاصل کرتے ہیں۔

ڈاٹڈ سکوئر $\frac{2}{10} \times \frac{3}{10}$ یا $0.2 \times 0.3$ کا مطابقت دیتے ہیں۔ (شکل 2.15)

کیونکہ 100 میں سے 6 ڈاٹڈ سکوئر ہیں، اس لیے وہ بھی 0.06 کا مطابقت دیتے ہیں۔ اس طرح، $0.2 \times 0.3=0.06$۔

دیکھیں کہ $2 \times 3=6$ اور 0.06 میں داکھے کے ساتھ ڈیجٹ کی تعداد $2(=1+1)$ ہے۔

یہ $0.1 \times 0.1$ میں بھی پائی جا سکتی ہے چیک کریں۔

$0.2 \times 0.4$ کو یہ مشاہدات کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کریں۔

$0.1 \times 0.1$ اور $0.2 \times 0.3$ حاصل کرتے ہوئے، آپ نے شاید نوٹ کیا کہ پہلے ہم اشکالی نقطے کو نظر انداز کر کے اسے عدد کے طور پر ضرب کرتے ہیں۔ $0.1 \times 0.1$ میں ہم $01 \times 01$ یا $1 \times$ 1 حاصل کرتے ہیں۔ بالمثل $0.2 \times 0.3$ میں ہم $02 \times 03$ یا $2 \times 3$ حاصل کرتے ہیں۔

پھر، ہم دائیں سے بائیں طرف سے راستے کے حساب سے ڈیجٹ کی تعداد کرتے ہیں۔ پھر ہم اس میں اشکالی نقطہ ڈال دیتے ہیں۔ اشکالی نقطے کے دائیں سے آخری ڈیجٹ سے شروع کرتے ہیں۔ اس کی تعداد کرنے کی تعداد اشکالی نمبروں کے اضافے کے حساب سے حاصل کی جاتی ہے جو ضرب کرنے ک�