5.1 تعارف

آپ پہلے ہی جانتے ہیں کہ کسی بھی شکل میں مختلف لائنز، لائن سیگمنٹس اور زاویوں کو کیسے شناخت کر سکتے ہیں۔ کیا آپ مختلف لائن سیگمنٹس اور زاویوں کو مندرجہ ذیل تصاویر میں شناخت سکتے ہیں؟ (شکل 5.1)

کیا آپ یہ بھی شناخت سکتے ہیں کہ زاویے کون سے ہیں؟ جیسے حاد، موجب یا دریچہ زاویے؟

یاد رکھیں کہ لائن سیگمنٹ کے دو نقطے آخر ہوتے ہیں۔ اگر ہم دونوں نقطوں کو کسی بھی سمت میں لانگھا کر چھوڑ دیں تو ہم لائن حاصل کر لیتے ہیں۔ اس لیے ہم کہ سکتے ہیں کہ لائن کے کوئی نقطے آخر نہیں ہوتے۔ دوسری طرف، یاد رکھیں کہ رے کا صرف ایک نقطہ آخر ہوتا ہے (اپنی شروعی نقطے کو)۔ مثال کے طور پر، نیچے دیے گئے تصاویر کو دیکھیں:

یہاں، شکل 5.2 (i) لائن سیگمنٹ کی دکھاوا ہے، شکل 5.2 (ii) لائن کی دکھاوا ہے اور شکل 5.2 (iii) رے کی دکھاوا ہے۔ لائن سیگمنٹ $PQ$ کا عام طور پر نشان $\overline{PQ}$ کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے، لائن $AB$ کا نشان $\overrightarrow{{}AB}$ کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے اور رے OP کا نشان $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے۔ اپنی روزمرہ زندگی سے کچھ لائن سیگمنٹس اور رے کے مثالیں دیں اور ان کے بارے میں اپنے دوستوں کے ساتھ بات چیت کریں۔

دوبارہ یاد رکھیں کہ جب لائنز یا لائن سیگمنٹس ملتے ہیں تو زاویہ ہو جاتا ہے۔ شکل 5.1 میں گولیاں دیکھیں۔ یہ گولیاں وقت کے ساتھ دو لائنز یا لائن سیگمنٹس کا ملنے کے بعد ایک نقطے پر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، نیچے دیے گئے تصاویر کو دیکھیں:

شکل 5.3 (i) میں لائن سیگمنٹس $AB$ اور $BC$ نقطہ $B$ پر مل کر زاویہ $A B C$ کی تشکیل دیتے ہیں، اور دوبارہ لائن سیگمنٹس $B C$ اور $A C$ نقطہ $C$ پر مل کر زاویہ $ACB$ کی تشکیل دیتے ہیں اور اسی طرح۔ جبکہ، شکل 5.3 (ii) میں لائنز $PQ$ اور $RS$ نقطہ $O$ پر مل کر چار زاویے POS، SOQ، QOR اور ROP کی تشکیل دیتے ہیں۔ زاویہ ABC کو نشان $\angle ABC$ کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس طرح، شکل 5.3 (i) میں ثلاث زاویے $\angle ABC, \angle BCA$ اور $\angle BAC$ ہیں، اور شکل 5.3 (ii) میں چار زاویے $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ اور $\angle POR$ ہیں۔ آپ پہلے ہی

کوشش کریں

اپنے ارد گرد کی عشرت تصاویر ذکر کریں اور ان میں حاد، موجب اور دریچہ زاویوں کو شناخت کریں۔ زاویوں کو حاد، موجب یا دریچہ زاویہ کے طور پر تصنیف کرنا پیشہ کر چکے ہیں۔

نوٹ: زاویہ $ABC$ کی مقدار کے حوالے کرتے وقت، ہم $m \angle ABC$ کو صرف $\angle ABC$ کے طور پر لکھیں گے۔ حوالہ سبق کے مطابق ہو گا کہ ہم زاویہ یا اس کی مقدار کے حوالے کر رہے ہیں۔

5.2 متعلقہ زاویے

5.2.1 مکمل زاویے

جب دو زاویوں کی مقداروں کا مجموعہ $90^{\circ}$ ہو تو ان کو مکمل زاویہ کہا جاتا ہے۔

یہ دو زاویہ مکمل زاویہ ہیں؟

شکل 5.4

نہیں: جبکہ دو زاویہ مکمل ہوتے ہیں تو ہر زاویہ کو دوسرے زاویے کا مکمل کہا جاتا ہے۔ اگلے مقام پر دی گئی تصویر (شکل 5.4) میں، ‘$30^{\circ}$ زاویہ’ ‘$60^{\circ}$ زاویہ’ کا مکمل ہے اور بالعکس۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. کیا دو حاد زاویہ ایک دوسرے کا مکمل ہو سکتے ہیں؟

2. کیا دو موجب زاویہ ایک دوسرے کا مکمل ہو سکتے ہیں؟

3. کیا دو دریچہ زاویہ ایک دوسرے کا مکمل ہو سکتے ہیں؟

کوشش کریں

1. ذیل میں دیے گئے زاویے کے کون سے جوڑے مکمل زاویہ ہیں؟ (شکل 5.5)

2. ذیل میں دیے گئے ہر زاویے کا مکمل کیا ہوگا؟

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. دو مکمل زاویوں کی مقداروں کا فرق $12^{\circ}$ ہے۔ ان زاویوں کی مقداریں تلاش کریں۔

5.2.2 تعاونی زاویہ

آئیے اب بھی مندرجہ ذیل زوج زاویوں (شکل 5.6) کو دیکھیں:

آپ نے دیکھا کہ اگلے مقام پر دیے گئے ہر زوج (شکل 5.6) میں زاویوں کی مقداروں کا مجموعہ $180^{\circ}$ ہو جاتا ہے؟ ان زوج زاویوں کو تعاونی زاویہ کہا جاتا ہے۔ جب دو زاویہ تعاونی ہوتے ہیں تو ہر زاویہ کو دوسرے زاویے کا تعاونی کہا جاتا ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. کیا دو موجب زاویہ تعاونی ہو سکتے ہیں؟

2. کیا دو حاد زاویہ تعاونی ہو سکتے ہیں؟

3. کیا دو دریچہ زاویہ تعاونی ہو سکتے ہیں؟

کوشش کریں

1. شکل 5.7 میں تعاونی زاویے کے جوڑے تلاش کریں:

2. ذیل میں دیے گئے ہر زاویے کا تعاونی کیا ہوگا؟

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. دو تعاونی زاویوں میں بڑی زاویہ کی مقدار کوچکی زاویہ کی مقدار سے $44^{\circ}$ زیادہ ہے۔ ان دونوں زاویوں کی مقداریں تلاش کریں۔

تمرین 5.1

1. ذیل میں دیے گئے ہر زاویے کا مکمل تلاش کریں:

2. ذیل میں دیے گئے ہر زاویے کا تعاونی تلاش کریں:

(iii)

3. ذیل میں دیے گئے زاویے کے زوج کو شناخت کریں کہ کون سے مکمل زاویہ اور کون سے تعاونی زاویہ ہیں۔

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. مکمل زاویہ جو اس کے مکمل کے مساوی ہو تلاش کریں۔

5. تعاونی زاویہ جو اس کے تعاونی کے مساوی ہو تلاش کریں۔

6. دی گئی تصویر میں، $\angle 1$ اور $\angle 2$ تعاونی زاویہ ہیں۔

اگر $\angle 1$ کم ہو جائے تو $\angle 2$ میں کی تبدیلی ہونی چاہیے تاکہ دونوں زاویہ ہمیشہ بھی تعاونی رہیں۔

7. کیا دو زاویہ تعاونی ہو سکتے ہیں اگر ان میں سے دونوں:

(i) حاد؟

(ii) موجب؟

(iii) دریچہ؟

8. ایک زاویہ $45^{\circ}$ سے زیادہ ہے۔ اس کا مکمل زاویہ $45^{\circ}$ سے زیادہ ہے یا $45^{\circ}$ سے برابر ہے یا $45^{\circ}$ سے کم؟

9. فراخوان کو پُر کریں:

(i) اگر دو زاویہ مکمل ہو تو ان کی مقداروں کا مجموعہ _______ ہو گا۔

(ii) اگر دو زاویہ تعاونی ہو تو ان کی مقداروں کا مجموعہ _______ ہو گا۔

(iii) اگر دو ایجنٹ زاویہ تعاونی ہو تو وہ _______ کی تشکیل دیتے ہیں۔

10. رابطہ کرنے والی تصویر میں، مندرجہ ذیل زوج زاویہ کا نام دے۔

(i) موجب ورٹیکلز آپوزٹ زاویہ

(ii) ایجنٹ مکمل زاویہ

(iii) برابر تعاونی زاویہ

(iv) ناجید تعاونی زاویہ

(v) ایجنٹ زاویہ جو لائنر پور کو نہیں بناتے

5.3 لائن کے جوڑے

5.3.1 ملنے والے لائنز

شکل 5.8

بلک بورڈ اپنے سٹینڈ، لفظ Y جو لائن سیگمنٹس سے بنا ہوا اور دریچہ کے دروازے کی گرل (شکل 5.8) کیا ان میں کچھ پہلو ہے؟ وہ ہر ایک ملنے والے لائنز کے مثال ہیں۔

دو لائنز $l$ اور $m$ اگر ایک پہلو کے مشترکہ ہوں تو ان کو ملنے والے لائنز کہا جاتا ہے۔ یہ مشترکہ پہلہ $O$ ان کا ملنے کا پہلہ ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

شکل 5.9 میں، $AC$ اور $BE$ نقطہ $P$ پر ملتے ہیں۔

$AC$ اور $BC$ نقطہ $C, AC$ پر ملتے ہیں اور $EC$ نقطہ $C$ پر ملتا ہے۔

دوسرے دس جوڑے ملنے والے لائن سیگمنٹس کو تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

کیا دو لائنز یا لائن سیگمنٹس کا کوئی بھی جوڑا لازمی طور پر مل سکتا ہے؟ کیا آپ دی گئی تصویر میں دو جوڑے نامل لائن سیگمنٹس کو تلاش کر سکتے ہیں؟

کیا دو لائنز ایک سے زیادہ پہلے پر مل سکتے ہیں؟ اس بات کے بارے میں سوچیں۔

شکل 5.9

کوشش کریں

1. اپنے ارد گرد لائنز کے جوڑے کے جوڑے حاصل کرنے کے لیے مثالیں تلاش کریں۔

2. ملنے والے لائنز کے رینگ میں زاویوں کی مقداریں تلاش کریں۔

3. کوئی بھی دبے تھپے رینگ بنائیں اور چار رینگ میں ملنے والے لائنز کے زاویوں کی مقداریں تلاش کریں۔

4. اگر دو لائنز ملتے ہیں، تو کیا وہ ہمیشہ دریچہ زاویوں پر ملتے ہیں؟

5.3.2 ٹرانسیول

آپ ہو سکتے ہیں کہ آپ ایک راستہ کے دو یا زیادہ راستوں یا ایک ریلوے لائن کے دوسری لائنوں کو جتھوٹ کرنا دیکھ چکے ہیں (شکل 5.10)۔ یہ ایک ٹرانسیول کی خیالی کو دکھاتے ہیں۔

دو یا زیادہ لائنوں کو مختلف نقطوں پر جتھوٹانے والی لائن کو ٹرانسیول کہا جاتا ہے۔

شکل 5.11 میں، $p$ لائنوں $l$ اور $m$ کے لیے ایک ٹرانسیول ہے۔

شکل 5.12 میں لائن $p$ لائنوں $l$ اور $m$ کو جتھوٹاتا ہے، لیکن وہ ایک ٹرانسیول نہیں ہے۔ کیا آپ کہ سکتے ہیں، ‘کیونکہ’؟

5.3.3 ٹرانسیول کے زاویہ

شکل 5.13 میں، آپ دیکھیں گے کہ لائنوں $l$ اور $m$ کو ٹرانسیول $p$ نے جتھوٹا ہے۔ نشان دہنگی 8 زاویے 1 سے 8 کے خاص نام ہیں:

شکل 5.13

کوشش کریں

1. اگر دو لائنز دیے گئے ہوں، تو ان لائنوں کے لیے آپ چند ٹرانسیول بن سکتے ہیں؟

2. اگر ایک لائن تین لائنوں کے لیے ٹرانسیول ہے، تو ملنے کے چند پہلے ہوں گے؟

3. اپنے ارد گرد چند ٹرانسیول کو شناخت کرنے کی کوشش کریں۔

نوٹ: مطابق زاویہ (جیسے شکل 5.14 میں $\angle 1$ اور $\angle 5$) شامل ہوتے ہیں

(i) مختلف رینگ

(ii) ٹرانسیول کے اسی سمت میں اور

(iii) دو لائنوں کے نسبت میں ‘مطابق’ مواضع میں (اوپر یا نیچے، بائیں یا دائیں)۔

متبادل داخلی زاویہ (جیسے شکل 5.15 میں $\angle 3$ اور $\angle 6$)

(i) مختلف رینگ ہوتے ہیں

(ii) ٹرانسیول کے مخالف سمت میں ہوتے ہیں اور

(iii) دو لائنوں کے درمیان ‘داخل میں’ ہوتے ہیں۔

شکل 5.15

کوشش کریں

ہر تصویر میں زاویہ کے جوڑے کا نام دے:

5.3.4 مساوی لائنوں کا ٹرانسیول

کیا آپ یاد رکھتے ہیں کہ مساوی لائنز کیا ہیں؟ وہ ایک پلین پر لائنز ہیں جو کہیں بھی مل نہیں ہوتے۔ کیا آپ مندرجہ ذیل تصاویر میں مساوی لائنز کو شناخت کر سکتے ہیں؟ (شکل 5.16)

مساوی لائنوں کے ٹرانسیول کے ذریعے کچھ بہت دلچسپ نتائج حاصل ہوتے ہیں۔

کریں

ایک رولد شیٹ پریٹ پر اٹھائیں۔ دو مساوی لائنز $l$ اور $m$ (سخت رنگ میں) بنائیں۔

لائنوں $l$ اور $m$ کے لیے ٹرانسیول $t$ بنائیں۔ جیسے ہی دکھایا گیا ہے، $\angle 1$ اور $\angle 2$ کو نشان زد کریں [شکل 5.17(i)]۔ اپنے رسم کے اوپر ایک ٹریسنگ پریٹ ڈالیں۔ لائنوں $l, m$ اور $t$ کو ٹریس کریں۔

ٹریسنگ پریٹ کو $t$ کے ساتھ $l$ کے مطابق $m$ تک چلائیں۔

آپ دیکھیں گے کہ ٹریس پریٹ پر $\angle 1$ رسم کے $\angle 2$ کے مطابق ہو جاتا ہے۔

اسی طرح، آپ ٹریسنگ اور چلانے کے فعل کے ذریعے مندرجہ ذیل نتائج کو بھی دیکھ سکتے ہیں۔

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$

(ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$

(iv) $\angle 7=\angle 8$

یہ فعل ایک حقیقت کو دکھاتا ہے:

اگر دو مساوی لائنوں کو ٹرانسیول نے جتھوٹا ہے، تو ہر زوج مطابق زاویہ برابر مقدار میں ہوتے ہیں۔

ہم یہ نتیجہ استعمال کرتے ہیں تاکہ دوسرا دلچسپ نتیجہ حاصل کیا جاسکے۔ شکل 5.18 کو دیکھیں۔

جب $t$ مساوی لائنوں $l, m$ کو جتھوٹتا ہے، تو ہم $\angle 3=\angle 7$ (ورٹیکلز آپوزٹ زاویہ) حاصل کرتے ہیں۔

لیکن $\angle 7=\angle 8$ (مطابق زاویہ)۔ اس لیے، $\angle 3=\angle 8$

آپ اسی طرح $\angle 1=\angle 6$ کو بھی دکھ سکتے ہیں۔ اس طرح، ہم مندرجہ ذیل نتیجہ حاصل کرتے ہیں:

اگر دو مساوی لائنوں کو ٹرانسیول نے جتھوٹا ہے، تو ہر زوج متبادل داخلی زاویہ برابر ہوتے ہیں۔

یہ دوسرا نتیجہ دوسری ایک دلچسپ خاصیت کو بھی دے دیتا ہے۔ دوبارہ، شکل 5.18 سے۔

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ اور $\angle 1$ ایک لائنر پور ہیں)

لیکن $\angle 1=\angle 6$ (متبادل داخلی زاویہ کا ایک جوڑا)۔

اس لیے، ہم کہ سکتے ہیں کہ $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$۔

اسی طرح، $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$۔ اس طرح، ہم مندرجہ ذیل نتیجہ حاصل کرتے ہیں:

اگر دو مساوی لائنوں کو ٹرانسیول نے جتھوٹا ہے، تو ٹرانسیول کے اسی سمت میں ہر زوج داخلی زاویہ تعاونی ہوتے ہیں۔

اگر آپ اپنی آنکھوں کے ذریعے ‘شکلوں’ کو تلاش کر سکتے ہیں تو یہ نتائج بہت آسانی سے یاد رکھ سکتے ہیں۔

کریں

ایک جوڑے مساوی لائنز اور ایک ٹرانسیول بنائیں۔ مندرجہ ذیل تین اصول کو درستگی دیکھنے کے لیے زاویوں کو درستگی سے پیمائش کریں۔

کوشش کریں

5.4 مساوی لائنوں کی جانچ

اگر دو لائنز مساوی ہوں، تو آپ جانتے ہیں کہ ٹرانسیول مطابق زاویہ کے برابر جوڑے، متبادل داخلی زاویہ کے برابر جوڑے اور ٹرانسیول کے اسی سمت میں داخلی زاویہ کے تعاونی جوڑے کی تشکیل دیتی ہے۔

جب دو لائنز دیے گئے ہوں، تو کیا ان لائنوں کو مساوی یا نامساوی کی جانچ کرنے کا کوئی طریقہ ہے؟ آپ کو کئی زندگی کے مواقع میں اس مہارت کی ضرورت ہوتی ہے۔

ایک ڈرافٹسمن ایک کارپنٹر کے سکیوئر اور ایک سٹرین ایج (رولر) کا استعمال کرتا ہے تاکہ ان کو ان سیگمنٹس بنائیں (شکل 5.19)۔ وہ ادعا کرتا ہے کہ وہ مساوی ہیں۔ کیا آپ دیکھ سکتے ہیں کہ وہ مطابق زاویہ کو برابر رکھا ہے؟ (یہاں ٹرانسیول کیا ہے؟)

اس طرح، جب ٹرانسیول دو لائنوں کو جتھوٹتا ہے، اور ایسے جوڑے مطابق زاویہ برابر ہوں، تو لائنیں مساوی ہونا پڑتے ہیں۔

لفظ Z (شکل 5.20) کو دیکھیں۔ یہاں صرف زاویہ برابر ہیں، اس لیے یہاں کے صفر زاویہ مساوی ہیں۔

جب ٹرانسیول دو لائنوں کو جتھوٹتا ہے، اور ایسے جوڑے متبادل داخلی زاویہ برابر ہوں، تو لائنیں مساوی ہونا پڑتے ہیں۔

شکل 5.19

شکل 5.20

شکل 5.21 میں لائن $l$ بنائیں۔

لائن $m$ بنائیں، جو $l$ کے عمودی ہو۔ دوبارہ لائن $p$ بنائیں، جو $p$ کے عمودی ہو۔

اس طرح، $p$ ایک عمودی کے عمودی کے عمودی $l$ کے عمودی ہو گا۔

آپ $p | l$ دیکھیں گے۔ کیونکہ آپ $p$ بناتے ہیں تاکہ $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$۔

شکل 5.21

اس طرح، جب ٹرانسیول دو لائنوں کو جتھوٹتا ہے، اور ایسے جوڑے ٹرانسیول کے اسی سمت میں داخلی زاویہ تعاونی ہوں، تو لائنیں مساوی ہونا پڑتے ہیں۔

کوشش کریں

تمرین 5.2

1. ہر مندرجہ ذیل حکم کے لیے جو خاصیت استعمال کی جاتی ہے، اسے ذکر کریں؟

(i) اگر $a || b$، تو $\angle 1=\angle 5$۔

(ii) اگر $\angle 4=\angle 6$، تو $a \ || b$۔

(iii) اگر $\angle 4+\angle 5=180^{\circ}$، تو $a \ || b$۔

2. رابطہ کرنے والی تصویر میں، ذکر کریں

(i) مطابق زاویہ کے جوڑے۔

(ii) متبادل داخلی زاویہ کے جوڑے۔

(iii) ٹرانسیول کے اسی سمت میں داخلی زاویہ کے جوڑے۔

(iv) ورٹیکلز آپوزٹ زاویہ۔

3. رابطہ کرنے والی تصویر میں، $p || q$۔ غیر معلوم زاویوں کی مقداریں تلاش کریں۔

4. $l || m$ ہونے پر ہر مندرجہ ذیل تصاویر میں $x$ کی قدر تلاش کریں۔

5. دی گئی تصویر میں، دو زاویوں کے آرمز مساوی ہیں۔

اگر $\angle ABC=70^{\circ}$، تو

(i) $\angle DGC$

(ii) $\angle DEF$

6. نیچے دی گئی تصاویر میں، $l$ کو $m$ کے ساتھ مساوی کی جانچ کریں۔

ہم نے کیا بات کی؟

1. ہم یاد رکھتے ہیں کہ (i) لائن سیگمنٹ کے دو نقطے آخر ہوتے ہیں۔

(ii) رے صرف ایک نقطہ آخر ہوتا ہے (اپنی شروعی نقطہ)؛ اور

(iii) لائن کے کوئی نقطے آخر نہیں ہوتے۔

2. جب دو لائنوں $l$ اور $m$ ملتے ہیں، تو ہم کہتے ہیں کہ وہ ملتے ہیں؛ ملنے کا پہلہ کو ملنے کا پہلہ کہا جاتا ہے۔

جب ایک شیٹ پر پینے والی لائنز کہیں بھی لانگھا کر بھی مل نہیں ہوتے، تو ان کو مساوی لائنز کہا جاتا ہے۔