باب 09 دائرہ اور رقبہ
9.1 AREA OF A PARALLELOGRAM
हम स्क्वायर्स और आयतों के अलावा कई अन्य आकारों का सामना करते हैं।
आयत के आकार के बाद आप आयत के आकार के भूमि का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करेंगे?
चलिए आयत के क्षेत्रफल ज्ञात करने की एक विधि जानते हैं।
क्या आयत को बराबर क्षेत्रफल वाले आयत में बदला जा सकता है?
आइए ग्राफ पेपर पर आयत का आकार आकृति 9.1(i) में दिखाए जैसे खींचें। आयत को काटें। आयत के एक शीर्ष से विपरीत शाख पर लंबवत एक रेखा खींचें [आकृति 9.1(ii)]। त्रिभुज को काटें। त्रिभुज को आयत के दूसरी पक्ष पर ले जाएं।
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आप किस आकार प्राप्त करते हैं? आप एक आयत प्राप्त करते हैं।
क्या आयत का क्षेत्रफल बनाए गए आयत के क्षेत्रफल के बराबर है?
हाँ, आयत का क्षेत्रफल $=$ बनाए गए आयत का क्षेत्रफल
आयत की लंबाई और चौड़ाई क्या हैं?
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-158_jpg_height_442_width_574_top_left_y_1958_top_left_x_1300.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.2
हम पाते हैं कि बनाए गए आयत की लंबाई आयत की आधार शाखा के बराबर है और आयत की चौड़ाई आयत की ऊँचाई के बराबर है (आकृति 9.2)।
अब,
$$ \begin{aligned} \text{ आयत का क्षेत्रफल } & =\text{ आयत का क्षेत्रफल } \ & =\text{ लंबाई } \times \text{ चौड़ाई }=l \times b \end{aligned} $$
लेकिन आयत की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ आयत की आधार $b$ और ऊँचाई $h$ के बराबर हैं।
इस प्रकार, आयत का क्षेत्रफल $=$ आधार $\times$ ऊँचाई $=b \times h$।
आयत के किसी भी पक्ष को आयत की आधार शाखा के रूप में चुना जा सकता है। उस पक्ष पर विपरीत शीर्ष से गिराई गई लंबवत रेखा को ऊँचाई (ऊँचाई) कहते हैं। आयत $ABCD, DE$ में
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c लंबवत $A B$ पर है। यहाँ $A B$ आधार है और DE आयत की ऊँचाई है।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_snip_images_eSrk9ODEqpXUjrPovDGZGz08-TINPf2GP9HJjP4bo4M_original_fullsize_png.jpg"" height=“150px”>
इस आयत में $ABCD, BF$ विपरीत शाखा AD पर लंबवत है। यहाँ $AD$ आधार है और $BF$ ऊँचाई है।
निम्नलिखित आयतों पर विचार करें (आकृति 9.2)।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-159_jpg_height_611_width_1337_top_left_y_1526_top_left_x_200.jpg"" height=“300px”>
आकृति 9.3
आकृतियों के भीतर बंद वर्गों की गिनती करके आयतों के क्षेत्रफल ज्ञात करें और भुजाओं को मापकर परिमाप भी ज्ञात करें।
निम्नलिखित तालिका को पूरा करें:
| आयत | आधार | ऊँचाई | क्षेत्रफल | परिमाप |
|---|---|---|---|---|
| (a) | 5 इकाइयाँ | 3 इकाइयाँ | 15 वर्ग इकाइयाँ | |
| (b) | ||||
| (c) | ||||
| (d) | ||||
| $(e)$ | ||||
| $(f)$ | ||||
| $(g)$ |
आप पाएंगे कि इन सभी आयतों का क्षेत्रफल बराबर है लेकिन परिमाप अलग-अलग है। अब, निम्नलिखित आयतों पर विचार करें जिनकी भुजाएँ $7 ~cm$ और $5 ~cm$ हैं (आकृति 9.4)।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-160_jpg_height_990_width_1422_top_left_y_1130_top_left_x_432.jpg"" height=“300px”>
आकृति 9.4
इन सभी आयतों का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करें। अपने परिणामों का विश्लेषण करें।
आप पाएंगे कि इन आयतों का क्षेत्रफल अलग-अलग है लेकिन परिमाप बराबर है।
एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको केवल आयत की आधार शाखा और उसके संगत ऊँचाई के बारे में जानना होता है।
आज़माइए
निम्नलिखित आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
(i)
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(ii)
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-161_jpg_height_203_width_534_top_left_y_525_top_left_x_1301.jpg"" height=“120px”>
(iii) एक आयत में $A B C D, A B=7.2 ~cm$ और $C$ पर $A B$ की लंबवत ऊँचाई $4.5 ~cm$ है।
9.2 AREA OF A TRIANGLE
एक बागवान एक त्रिभुजाकार बाग के पूरे क्षेत्र को घास से ढकने की लागत जानना चाहता है।
इस मामले में हमें त्रिभुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल जानने की आवश्यकता होती है।
चलिए त्रिभुज के क्षेत्रफल ज्ञात करने की एक विधि जानते हैं।
एक पेपर के टुकड़े पर एक असमान्त त्रिभुज खींचें। त्रिभुज को काटें। इस त्रिभुज को एक और पेपर के टुकड़े पर रखें और उसी आकार के एक और त्रिभुज को काटें।
अब आपके पास उसी आकार के दो असमान्त त्रिभुज हैं।
क्या दोनों त्रिभुज समरूप हैं?
एक त्रिभुज को दूसरे पर रखें ताकि वे मेल खाएं। आपको दोनों त्रिभुजों में से एक को घुमाना पड़ सकता है।
अब दोनों त्रिभुजों को ऐसे रखें कि एक जोड़ी सम्ध भुजाएँ जुड़ जाएं जैसा कि आकृति 9.5 में दिखाया गया है।
इस प्रकार बनाई गई आकृति एक आयत है?
आयत के क्षेत्रफल की तुलना प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल से करें।
त्रिभुज की आधार और ऊँचाई की तुलना आयत की आधार और ऊँचाई से करें।
आप पाएंगे कि दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग आयत के क्षेत्रफल के बराबर है। त्रिभुज की आधार और ऊँचाई क्रमशः आयत की आधार और ऊँचाई के बराबर हैं।
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}($ आयत का क्षेत्रफल $)$
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$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ आधार } \times \text{ ऊँचाई })(\text{ क्योंकि आयत का क्षेत्रफल }=\text{ आधार } \times \text{ ऊँचाई }) \ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ या } \frac{1}{2} b h, \text{ छोटे शवार में }) \end{aligned} $$
आज़माइए
1. विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के साथ ऊपर की गतिविधि को आज़माएं।
2. विभिन्न आयतों लें। प्रत्येक आयत को उसकी किसी भी विकर्ण के साथ काटकर दो त्रिभुजों में विभाजित करें। क्या त्रिभुज समरूप हैं?
आकृति (आकृति 9.6) में सभी त्रिभुज आधार $AB=6 ~cm$ पर हैं।
आधार $AB$ के लिए प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
क्या हम कह सकते हैं कि सभी त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर हैं? हाँ।
क्या त्रिभुज भी समरूप हैं? नहीं।
हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी समरूप त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं लेकिन क्षेत्रफल में बराबर त्रिभुज समरूप नहीं हो सकते।
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आकृति 9.6
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-162_jpg_height_400_width_545_top_left_y_1203_top_left_x_201.jpg"" height=“190px”>
आकृति 9.7
आयताकार त्रिभुज $ABC$ की आधार $6 ~cm$ को विचार करें (आकृति 9.7)।
उसकी ऊँचाई $A D$ जो $A$ शीर्ष से लंबवत है, त्रिभुज के बाहर है।
क्या आप त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं?
उदाहरण 1 एक आयत की एक भुजा और संगत ऊँचाई क्रमशः $4 ~cm$ और $3 ~cm$ हैं। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें (आकृति 9.8)।
समाधान
दिया गया है कि आधार की लंबाई $(b)=4 ~cm$, ऊँचाई $(h)=3 ~cm$
आयत का क्षेत्रफल $=b \times h$
$$ =4 ~cm \times 3 ~cm=12 ~cm^{2} $$
उदाहरण 2 यदि आयत का क्षेत्रफल $24 ~cm^{2}$ है और आधार $4 ~cm$ है, तो ऊँचाई ‘$x$’ ज्ञात करें।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-162_jpg_height_268_width_531_top_left_y_1729_top_left_x_1324.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.8
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-162_jpg_height_258_width_582_top_left_y_2060_top_left_x_201.jpg"" height=“130px”>
आकृति 9.9
समाधान
आयत का क्षेत्रफल $=b \times h$
इसलिए, $24=4 \times x$ (आकृति 9.9)
$$ \text{ या } \quad \frac{24}{4}=x \text{ या } \quad x=6 ~cm $$
इस प्रकार, आयत की ऊँचाई $6 ~cm$ है।
उदाहरण 3 आयत की दो भुजाएँ $ABCD$ $6 ~cm$ और $4 ~cm$ हैं। आधार $CD$ के लिए संगत ऊँचाई $3 ~cm$ है (आकृति 9.10)। ज्ञात करें: (i) आयत का क्षेत्रफल। (ii) आधार $AD$ के लिए संगत ऊँचाई।
समाधान
(i) आयत का क्षेत्रफल $=b \times h$
$$ =6 ~cm \times 3 ~cm=18 ~cm^{2} $$
(ii)
$$ \text{ आधार }(b)=4 ~cm \text{, ऊँचाई }=x \text{ (चूंकि), } $$
$$ \text{ क्षेत्रफल }=18 ~cm^{2} $$
आयत का क्षेत्रफल $=b \times x$
$$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $$
इस प्रकार,
$$ x=4.5 ~cm $$
इस प्रकार, आधार $AD$ के लिए ऊँचाई $4.5 ~cm$ है।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-163_jpg_height_337_width_647_top_left_y_821_top_left_x_937.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.10
उदाहरण 4 निम्नलिखित त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करें (आकृति 9.11)।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-163_jpg_height_337_width_574_top_left_y_1366_top_left_x_271.jpg"" height=“150px”>
(i) आकृति 9.11
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-163_jpg_height_342_width_592_top_left_y_1366_top_left_x_1072.jpg"" height=“150px”>
(ii)
समाधान
(i) त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$
$$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 2 ~cm=4 ~cm^{2} $$
(ii) त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$
$$ =\frac{1}{2} \times 3 ~cm \times 2 ~cm=3 ~cm^{2} $$
उदाहरण 5 त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $36 ~cm^{2}$ है और ऊँचाई $A D$ $3 ~cm$ है, तो $BC$ ज्ञात करें (आकृति 9.12)।
समाधान
ऊँचाई $=3 ~cm$, क्षेत्रफल $=36 ~cm^{2}$
या:
त्रिभुज का क्षेत्रफल $ABC=\frac{1}{2} b h$
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-164_jpg_height_313_width_471_top_left_y_317_top_left_x_1385.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.12
इसलिए,
$$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ अर्थात्, } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~cm $$
उदाहरण 6 $\triangle PQR, PR=8 ~cm, QR=4$ में $~cm$ $PL=5 ~cm$ हैं (आकृति 9.13)। ज्ञात करें:
(i) $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल
(ii) $QM$
समाधान
(i) $QR=$ आधार $=4 ~cm, PL=$ ऊँचाई $=5 ~cm$
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-164_jpg_height_431_width_553_top_left_y_1100_top_left_x_1281.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.13
त्रिभुज का क्षेत्रफल $PQR=\frac{1}{2} b h$
$$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 5 ~cm=10 ~cm^{2} $$
(ii) $PR=$ आधार $=8 ~cm$
$$ QM=\text{ ऊँचाई }=? $$
क्षेत्रफल $=10 ~cm^{2}$
$$ \begin{matrix} \text{ त्रिभुज का क्षेत्रफल } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ अर्थात्, } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ इसलिए, } & QM & =2.5 ~cm \end{matrix} $$
प्रश्नावली 9.1
1. निम्नलिखित आयतों के प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
2. निम्नलिखित त्रिभुजों के प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
3. अज्ञात मान ज्ञात करें:
| क्र.सं. | आधार | ऊँचाई | आयत का क्षेत्रफल |
|---|---|---|---|
| ए. | $20 ~cm$ | $246 ~cm^{2}$ | |
| बी. | $15 ~cm$ | $154.5 ~cm^{2}$ | |
| सी. | $8.4 ~cm$ | $48.72 ~cm^{2}$ | |
| डी. | $15.6 ~cm$ | $16.38 ~cm^{2}$ |
4. अज्ञात मान ज्ञात करें:
| आधार | ऊँचाई | त्रिभुज का क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| $15 ~cm$ | $87 ~cm^{2}$ | |
| $31.4 mm$ | $1256 mm^{2}$ | |
| $22 ~cm$ | $170.5 ~cm^{2}$ |
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-166_jpg_height_276_width_508_top_left_y_420_top_left_x_1346.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.14
5. $PQRS$ एक आयत है (आकृति 9.14)। QM $P S$ पर Q से गिराई गई ऊँचाई है और QN $S R=12 ~cm$ पर Q से गिराई गई ऊँचाई है। $Q M=7.6 ~cm$ यदि $PS=8 ~cm$ है, तो ज्ञात करें:
(ए) आयत का क्षेत्रफल $PQRS$
(बी) $QN$, यदि $PS=8 ~cm$
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6. $DL$ और $BM$ आयत $ABCD$ की भुजाओं $AB$ और $AD$ के लिए ऊँचाई हैं (आकृति 9.15)। $1470 ~cm^{2}, AB=35 ~cm$ यदि $AD=$ $49 ~cm$ है, तो BM और DL की लंबाई ज्ञात करें।
7. $\triangle ABC$ $A$ पर दायाँ कोण का त्रिभुज है (आकृति 9.16)। $AD$ $BC$ पर लंबवत है। $AB=5 ~cm$, $B C=13 ~cm$ और $A C=12 ~cm$ हैं, $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $AD$ की लंबाई भी ज्ञात करें।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-166_jpg_height_379_width_581_top_left_y_1455_top_left_x_562.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.16
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-166_jpg_height_395_width_466_top_left_y_1431_top_left_x_1301.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.17
8. $\triangle ABC$ $AB=AC=7.5 ~cm$ और $BC=9 ~cm$ के समानांतर भुजाओं वाला त्रिभुज है (आकृति 9.17)। $A$ से $B C$ तक $A D$ की ऊँचाई $6 ~cm$ है। $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $C$ से $AB$ तक की ऊँचाई क्या होगी, अर्थात् $CE$?
9.3 CIRCLES
एक दौड़ का ट्रैक दोनों छोरों पर अर्धवृत्ताकार है (आकृति 9.18)।
क्या आप एक एथलीट द्वारा दौड़ के ट्रैक के दो दौर पर कवर की गई दूरी ज्ञात कर सकते हैं? हमें एक आकार को वृत्ताकार बनाने की आवश्यकता है जब आप दूरी को चारों ओर ज्ञात करना चाहते हैं।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-166_jpg_height_273_width_510_top_left_y_2087_top_left_x_1345.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.18
9.3.1 वृत्त की परिपक्ष
तान्या ने कार्डबोर्ड से वृत्ताकार आकृतियों के टुकड़े काटे। वह इन कार्डों के चारों ओर एक लेस रखना चाहती है इसे सजाने के लिए। प्रत्येक के लिए वह कितनी लंबाई की लेस चाहिए? (आकृति 9.19)
रूलर की मदद से आप इन आकृतियों के वक्रों की माप नहीं कर सकते, क्योंकि ये आकृतियाँ “सीधे” नहीं हैं।
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-167_jpg_height_171_width_211_top_left_y_630_top_left_x_1597.jpg"" height=“120px”>
आकृति 9.20 आप क्या कर सकते हैं?
आकृति 9.19(ए) में दिखाए गए आकृति के लिए लेस की आवश्यकता की एक दृष्टिकोण यहाँ है। कार्ड की किनारी पर एक बिंदु चिह्नित करें और कार्ड को टेबल पर रखें। टेबल पर बिंदु की स्थिति भी चिह्नित करें (आकृति 9.20)।
अब कार्ड को टेबल पर एक सीधी रेखा के साथ घुमाएं जब तक चिह्नित बिंदु फिर से टेबल को नहीं छूता। रेखा के साथ दूरी को मापें
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-167_jpg_height_290_width_646_top_left_y_884_top_left_x_1208.jpg"" height=“150px”>
आकृति 9.21 इस दूरी को मापें। यह लेस की आवश्यकता की लंबाई है (आकृति 9.21)। यह कार्ड की किनारी पर चिह्नित बिंदु से चिह्नित बिंदु तक की दूरी भी है।
आप वृत्ताकार वस्तु के किनारे पर एक रस्सी रखकर भी दूरी ज्ञात कर सकते हैं।
एक वृत्ताकार क्षेत्र के चारों ओर की दूरी को उसकी परिपक्ष कहते हैं।
आज़माइए
एक बोतल के कैप, एक बैंगल या कोई भी अन्य वृत्ताकार वस्तु लें और उसकी परिपक्ष ज्ञात करें।
अब, क्या आप इस विधि से ट्रैक पर एथलीट द्वारा कवर की गई दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
फिर भी, रस्सी के माध्यम से ट्रैक या किसी भी अन्य वृत्ताकार वस्तु के चारों ओर की दूरी ज्ञात करना बहुत कठिन होगा। इसके अलावा, माप सटीक नहीं होगी।
इसलिए, हमें इसके लिए कुछ सूत्र की आवश्यकता है, जैसा कि हम रेक्टिलिनियर आकृतियों या आकृतियों के लिए है।
चलिए देखते हैं कि वृत्तों के व्रज और परिपक्ष के बीच कोई संबंध है क्या।
निम्नलिखित तालिका पर विचार करें: छह वृत्तों को अलग-अलग त्रिज्याओं से खींचें और रस्सी का उपयोग करके उनकी परिपक्ष ज्ञात करें। भीतर की दूरी के अनुपात को भी ज्ञात करें।
| वृत्त | त्रिज्या | व्रज | परिपक्ष | व्रज के साथ परिपक्ष का अनुपात |
|---|---|---|---|---|
| 1. | $3.5 ~cm$ | $7.0 ~cm$ | $22.0 ~cm$ | $\frac{22}{7}=3.14$ |
| 2. | $7.0 ~cm$ | $14.0 ~cm$ | $44.0 ~cm$ | $\frac{44}{14}=3.14$ |
| 3. | $10.5 ~cm$ | $21.0 ~cm$ | $66.0 ~cm$ | $\frac{66}{21}=3.14$ |
| 4. | $21.0 ~cm$ | $42.0 ~cm$ | $132.0 ~cm$ | $\frac{132}{42}=3.14$ |
| 5. | $5.0 ~cm$ | $10.0 ~cm$ | $32.0 ~cm$ | $\frac{32}{10}=3.2$ |
| 6. | $15.0 ~cm$ | $30.0 ~cm$ | $94.0 ~cm$ | $\frac{94}{30}=3.13$ |
आप ऊपर की तालिका से क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? क्या यह अनुपात लगभग समान है? हाँ।
क्या आप कह सकते हैं कि वृत्त की परिपक्ष कभी-कभी उसके व्रज के तीन गुना से अधिक नहीं है? हाँ।
यह अनुपात एक धार्मिक है और $\pi$ (पाई) द्वारा निरूपित किया जाता है। इसका लगभग मान $\frac{22}{7}$ या 3.14 है।
इसलिए, हम कह सकते हैं कि $\frac{C}{d}=\pi$, जहाँ ‘$C$’ वृत्त की परिपक्ष का प्रतिनिधित्व करता है और ‘$d$’ उसके व्रज का प्रतिनिधित्व करता है।
या:
$$ C=\pi d $$
हम जानते हैं कि वृत्त का व्रज $(d)$ त्रिज्या $(r)$ के दोगुना है अर्थात् $d=2 r$
इसलिए, $\quad C=\pi d=\pi \times 2 r \quad$ या $\quad C=2 \pi r$।
आज़माइए
आकृति 9.22 में,
(ए) कौन सा वर्ग अधिक परिमाप रखता है?
(बी) क्या छोटे वर्ग का परिमाप वृत्त की परिपक्ष से बड़ा है?
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आकृति 9.22
आज़माइए
<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_e0e2475e41714db07559g-168_jpg_height_276_width_473_top_left_y_2167_top_left_x_224.jpg"" height=“150px”>
चार चरण की और आधी प्लेट प्रत्येक लें। इन प्रत्येक को टेबल-टॉप पर एक बार घुमाएं। कौन सी प्लेट एक पूर्ण चक्र में अधिक दूरी कवर करेगी? कौन सी प्लेट टेबल-टॉप की लंबाई को कवर करने के लिए कम चक्रों में लगेगी?
उदाहरण 7 व्रज $10 ~cm$ वाले वृत्त की परिपक्ष क्या है ($\pi=3.14$ लें)?
समाधान
वृत्त का व्रज $(d)=10 ~cm$
वृत्त की परिपक्ष $=\pi d$
$$ =3.14 \times 10 ~cm=31.4 ~cm $$
इस प्रकार, व्रज $10 ~cm$ वाले वृत्त की परिपक्ष $31.4 ~cm$ है।
उदाहरण 8 त्रिज्या $14 ~cm$ वाले वृत्ताकार डिस्क की परिपक्ष क्या है?
$$ (\text{ उपयोग करें } \pi=\frac{22}{7}) $$
समाधान
वृत्ताकार डिस्क की त्रिज्या $(r)=14 ~cm$
डिस्क की परिपक्ष $=2 \pi r$
$$ =2 \times \frac{22}{7} \times 14 ~cm=88 ~cm $$
इस प्रकार, वृत्ताकार डिस्क की परिपक्ष $88 ~cm$ है।
उदाहरण 9 एक वृत्ताकार पाइप की त्रिज्या $10 ~cm$ है। पाइप के चारों ओर एक बार लपेटने के लिए कितनी लंबाई की टेप की आवश्यकता है $(\pi=3.14)$?
समाधान
पाइप की त्रिज्या $(r)=10 ~cm$
टेप की आवश्यकता की लंबाई पाइप की परिपक्ष के बराबर है।
पाइप की परिपक्ष $=2 \pi r$
$$ \begin{aligned} & =2 \times 3.14 \times 10 ~cm \ & =62.8 ~cm \end{aligned} $$
इस प्रकार, पाइप के चारों ओर एक बार लपेटने के लिए आवश्यक टेप की लंबाई $62.8 ~cm$ है।
उदाहरण 10 $\pi=\frac{22}{7}$ लें के अनुसार दिए गए आकृति के परिमाप ज्ञात करें (आकृति 9.23)।
समाधान
इस आकृति में हमें वर्ग के प्रत्येक पक्ष पर अर्धवृत्तों की परिपक्ष ज्ञात करनी है। क्या आपको वर्ग के परिमाप भी ज्ञात करने की आवश्यकता है? नहीं। इस आकृति की बाहरी सीमा अर्धवृत्तों से बनी हुई है। प्रत्येक अर्धवृत्त का व्रज $14 ~cm$ है।
हम जानते हैं कि:
वृत्त की परिपक्ष $=\pi d$
अर्धवृत्त की परिपक्ष $=\frac{1}{2} \pi d$
$$ =\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 ~cm=22 ~cm $$
प्रत्येक अर्धवृत्त की परिपक्ष $22 ~cm$
इस प्रकार, दिए गए आकृति का परिमाप $=4 \times 22 ~cm=88 ~cm$
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आकृति 9.23
उदाहरण 11 सुधांशु एक त्रिज्या $7 ~cm$ वाले वृत्ताकार डिस्क को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार आकृति डिस्क का परिमाप क्या है? ($\pi=\frac{22}{7}$ उपयोग करें)
समाधान
अर्धवृत्ताकार डिस्क (आकृति 9.24) के परिमाप ज्ञात करने के लिए, हमें ज्ञात करना होगा
(i) अर्धवृत्ताकार आकृति की परिपक्ष
(ii) व्रज
दिया गया है कि त्रिज्या $(r)=7 ~cm$। हम जानते हैं कि वृत्त की परिपक्ष $=2 \pi r$
इस प्रकार, अर्धवृत्त की परिपक्ष $=\frac{1}{2}\times 2 \pi r=\pi r$
$=\frac{22}{7}\times 7 ~cm=22 ~cm$
इस प्रकार, वृत्त का व्रज = $2r = 2 \times 7 cm = 14 cm$
इस प्रकार, प्रत्येक अर्धवृत्ताकार डिस्क का परिमाप $=22 ~cm+14 ~cm=36 ~cm$
9.3.2 वृत्त का क्षेत्रफल
निम्नलिखित पर विचार करें:
- एक किसान एक खेत के केंद्र में त्रिज्या $7 m$ वाली फूलों की खेती करने के लिए खोदता है। वह खाद खरीदना चाहता है। यदि 1 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के लिए $1 kg$ खाद की आवश्यकता है, तो वह कितनी खाद खरीदनी चाहता है?
- त्रिज्या $2 m$ वाले एक वृत्ताकार टेबल-टॉप को पॉलिश करने की लागत क्या होगी जब दर ₹ 10 प्रति वर्ग मीटर है?
इस प्रकार के मामलों में हमें क्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, क्षेत्रफल या परिमाप? इस प्रकार के मामलों में हमें वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है। चलिए ग्राफ पेपर का उपयोग करके वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।
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आकृति 9.25
ग्राफ पेपर पर त्रिज्या $4 ~cm$ वाला एक वृत्त खींचें (आकृति 9.25)। बंद वर्गों की संख्या गिनकर क्षेत्रफल ज्ञात करें।
आge सीधे नहीं हैं, इस विधि से हम वृत्त के क्षेत्रफल का एक मौशिक अनुमान प्राप्त करते हैं। वृत्त के क्षेत्रफल ज्ञात करने के दूसरे तरीके के बारे में है।
एक वृत्त खींचें और वृत्त के एक आधे को सिलाई करें [आकृति 9.26(ए)]। अब वृत्त को आठवें में फोल्ड करें और फोल्ड के साथ काटें [आकृति 9.26(बी)]।
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(ए)
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(बी)
आकृति 9.26
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आकृति 9.27
अलग-अलग टुकड़ों को आकृति 9.27 में दिखाए जैसे व्यवस्थित करें, जो लगभग एक आयत है।
हमारे पास अधिक खंड होते हैं, जिससे हम एक उचित आयत तक पहुँचते हैं।
ऊपर जैसे किया गया है यदि हम वृत्त को 64 खंडों में विभाजित करते हैं और इन खंडों को व्यवस्थित करते हैं, तो यह लगभग एक आयत देता है (आकृति 9.28)।
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आकृति 9.28
इस आयत की चौड़ाई क्या है? इस आयत की चौड़ाई वृत्त की त्रिज्या है, अर्थात् ‘$r$’।
जैसे ही पूरा वृत्त 64 खंडों में विभाजित है और प्रत्येक पक्ष पर हमारे पास 32 खंड हैं, इसलिए आयत की लंबाई 32 खंडों की लंबाई है, जो परिपक्ष के आधे के बराबर है। (आकृति 9.28)
वृत्त का क्षेत्रफल $=$ इस प्रकार बनाए गए आयत का क्षेत्रफल $=l \times b$
$=($ परि
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