1.1 تعارف

ریاضی میں ہم جلد ہی سادہ مساوات کو حل کرنے کے لیے آتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مساواة

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

جواب $x=11$ پر حل ہوتی ہے، کیونکہ $x$ کا اس مساواة کو مطابقت دیتا ہے۔ حل 11 ایک قدرتی عدد ہے۔ دوسری طرف، مساواة

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

کا حل عدد کے پورے عدد کے صفر (صفر) کو دیتا ہے۔ اگر ہم صرف قدرتی اعداد سمجھتے ہیں، تو مساواة (2) کو حل نہیں کر سکتے۔ مثلاً مساواة (2) حل کرنے کے لیے، ہم نے قدرتی اعداد کے مجموعے میں صفر کا اضافہ کیا اور پورے اعداد حاصل کیے۔ پورے اعداد بھی مساوات کے لیے کافی نہیں ہوں گے

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

آپ کو ‘وجہ’ دیکھی ہے؟ ہمارا ضرورت ہے -13 جو ایک پورا عدد نہیں ہے۔ اس سے ہم پورے اعداد (منفی اور موجب) کے ذہن میں آئے۔ نوٹ کریں کہ موجب اعداد قدرتی اعداد کے مطابق ہوتے ہیں۔ شاید آپ سوچ سکتے ہیں کہ ہمارے پاس مساوات کو حل کرنے کے لیے قراردادہ اعداد کی تمام مساوات کو حل کرنے کے لیے کافی ہے۔ اب مساواتوں کو سمجھیں

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

جن کے لیے ہم منفی اعداد سے کوئی حل نہیں دے سکتے۔ (اسے چیک کریں) مساواة (4) کو حل کرنے کے لیے ہمارے پاس $\frac{3}{2}$ کی ضرورت ہے اور مساواة (5) کو حل کرنے کے لیے $\frac{-7}{5}$ کی ضرورت ہے۔ اس سے ہم منطقی اعداد کے مجموعے کی طرف آئےہیں۔

ہم نے پہلے ہی منطقی اعداد پر بنیادی عملیات کو دیکھا ہے۔ اب ہم اس سے مختلف قسم کے اعداد کی عملیات کے کچھ خصوصیات کو پڑھنے کی کوشش کریں گے۔

1.2 منطقی اعداد کی خصوصیات

1.2.1 بنیادی خصوصیت (Closure)

(i) پورے اعداد

پورے اعداد پر تمام عملیات کی بنیادی خصوصیت کو دوبارہ چھوٹی طرح سے دیکھتے ہیں۔

قدرتی اعداد پر تمام چار عملیات کے تحت بنیادی خصوصیت کے لیے چیک کریں۔

(ii) منفی اعداد

اب ہم منفی اعداد بنیادی ہونے کے تحت عملیات کو دوبارہ یاد کریں۔

آپ نے دیکھا ہے کہ پورے اعداد جمع اور ضرب کے تحت بنیادی ہیں لیکن ترکیب اور تقسیم کے تحت بنیادی نہیں ہیں۔ لیکن منفی اعداد جمع، ترکیب اور ضرب کے تحت بنیادی ہیں لیکن تقسیم کے تحت بنیادی نہیں ہیں۔

(iii) منطقی اعداد

یاد رکھیں کہ ایسا عدد جو $\frac{p}{q}$ کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے، جہاں $p$ اور $q$ منفی اعداد ہیں اور $q \neq 0$ کو منطقی عدد کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ تمام منطقی اعداد ہیں۔ کیونکہ اعداد $0,-2,4$ کو $\frac{p}{q}$ کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے، ان کو بھی منطقی اعداد کہا جاتا ہے۔ (اسے چیک کریں!)

(a) آپ پہلے سے جمع کرنے کا طریقہ جانتے ہیں۔ ہم کچھ جوڑوں کو جمع کریں۔

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(ایک منطقی عدد)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{یہ ایک منطقی عدد ہے؟} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{یہ ایک منطقی عدد ہے؟} \end{aligned} $

ہم دیکھتے ہیں کہ دو منطقی اعداد کا مجموعہ دوبارہ ایک منطقی عدد ہوتا ہے۔ کچھ مزید منطقی اعداد کے جوڑوں کے لیے اسے چیک کریں۔

ہم کہتے ہیں کہ منطقی اعداد جمع کے تحت بنیادی ہیں۔ یعنی، ہر دو منطقی اعداد $a$ اور $b, a+b$ کا مجموعہ دوبارہ ایک منطقی عدد ہوتا ہے۔

(b) دو منطقی اعداد کا فرق دوبارہ ایک منطقی عدد ہوگا؟

ہم نے دیکھا ہے،

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (ایک منطقی عدد) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{یہ ایک منطقی عدد ہے؟ }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{یہ ایک منطقی عدد ہے؟ } \end{aligned} $

کچھ مزید منطقی اعداد کے جوڑوں کے لیے یہ کوشش کریں۔ ہم دیکھتے ہیں کہ منطقی اعداد ترکیب کے تحت بنیادی ہیں۔ یعنی، ہر دو منطقی اعداد $a$ اور $b, a-b$ کا فرق دوبارہ ایک منطقی عدد ہوتا ہے۔

(c) اب ہم دو منطقی اعداد کا حاصل ضرب دیکھیں۔

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (دونوں حاصل ضرب منطقی اعداد ہیں) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{یہ ایک منطقی عدد ہے؟ } \end{matrix} $

مزید منطقی اعداد کے کچھ جوڑوں کو حاصل ضرب کر کے چیک کریں کہ ان کا حاصل ضرب دوبارہ ایک منطقی عدد ہوتا ہے۔

ہم کہتے ہیں کہ منطقی اعداد ضرب کے تحت بنیادی ہیں۔ یعنی $i s$، ہر دو منطقی اعداد $a$ اور $b, a \times b$ کا حاصل ضرب دوبارہ ایک منطقی عدد ہوتا ہے۔

(d) ہم دیکھتے ہیں کہ $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(ایک منطقی عدد)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$۔ یہ ایک منطقی عدد ہے؟ $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$۔ یہ ایک منطقی عدد ہے؟

آپ کہ سکتے ہیں کہ منطقی اعداد تقسیم کے تحت بنیادی ہیں؟

ہم دیکھتے ہیں کہ ہر منطقی عدد $a, a \div 0$ کے لیے تقسیم معیاری نہیں ہے۔

لہٰذا منطقی اعداد تقسیم کے تحت بنیادی نہیں ہیں۔

لیکن، اگر ہم صفر کو خارج کر دیں تو تمام دیگر منطقی اعداد کو تقسیم کے تحت بنیادی ہوتے ہیں۔

سوال کریں

درج ذیل جدول میں فاصلے بھریں۔

1.2.2 تبدیلی (Commutativity)

(i) پورے اعداد

درج ذیل جدول کو بھر کر پورے اعداد کی مختلف عملیات کی تبدیلی کو دوبارہ یاد کریں۔

قدرتی اعداد کے لیے عملیات کی تبدیلی کو بھی چیک کریں۔

(ii) منفی اعداد

درج ذیل جدول کو بھر کر منفی اعداد کے لیے مختلف عملیات کی تبدیلی کو چیک کریں:

(iii) منطقی اعداد

(a) جمع

آپ پہلے سے دو منطقی اعداد جمع کرنے کا طریقہ جانتے ہیں۔ اب ہم یہاں کچھ جوڑوں کو جمع کریں۔

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ اور } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ لہٰذا، } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ اور، } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ اور } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ $\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ ہے؟ } \end{aligned} $

آپ دیکھیں گے کہ دو منطقی اعداد کو کسی بھی ترتیب میں جمع کیا جا سکتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ منطقی اعداد کے لیے جمع تبدیلی ہے۔ یعنی، ہر دو منطقی اعداد $a$ اور $b, a+b=b+a$۔

(b) ترکیب

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ ہے؟

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ ہے؟

آپ دیکھیں گے کہ منطقی اعداد کے لیے ترکیب تبدیلی نہیں ہے۔

نوٹ کریں کہ منفی اعداد کے لیے ترکیب تبدیلی نہیں ہے اور منفی اعداد بھی منطقی اعداد ہیں۔ لہٰذا منطقی اعداد کے لیے بھی ترکیب تبدیلی نہیں ہوگی۔

(c) ضرب

ہم، $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

$a \times b=b \times$ ہے؟

کچھ مزید ایسے حاصل ضربوں کے لیے چیک کریں۔

آپ دیکھیں گے کہ منطقی اعداد کے لیے ضرب تبدیلی ہے۔ عام طور پر، $a$ اور $b$ ہر دو منطقی اعداد کے لیے۔

(d) تقسیم

$\ldots$ ہے؟

آپ دیکھیں گے کہ دونوں طرف کی تعبیرات برابر نہیں ہیں۔

لہٰذا منطقی اعداد کے لیے تقسیم تبدیلی نہیں ہے۔

سوال کریں

درج ذیل جدول کو مکمل کریں:

1.2.3 تعاونیت (Associativity)

(i) پورے اعداد

درج ذیل جدول کے ذریعے پورے اعداد کی چار عملیات کی تعاونیت کو دوبارہ یاد کریں:

اس جدول کو بھر کر آخری عمود میں دیے گئے تبصرے کو تصدیق کریں۔

قدرتی اعداد کے لیے مختلف عملیات کی تعاونیت کو خود چیک کریں۔

(ii) منفی اعداد

چار عملیات کی منفی اعداد کے لیے تعاونیت اس جدول سے دیکھی جا سکتی ہے

(iii) منطقی اعداد

(a)

جمع: ہم، $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

لہٰذا، $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ اور $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ کو پایا جائے۔ دو مجموعے برابر ہیں؟

کچھ مزید منطقی اعداد کو جمع کر کے دیکھیں کہ دو مجموعے برابر ہیں۔ ہم دیکھتے ہیں کہ منطقی اعداد کے لیے جمع تعاونی ہے۔ یعنی $i$، ہر سہ منطقی اعداد $a, b$ اور $c, a+(b+c)=(a+b)+c$۔

(b) ترکیب

آپ پہلے سے جانتے ہیں کہ منفی اعداد کے لیے ترکیب تعاونی نہیں ہے، تو منطقی اعداد کے لیے کیا ہوگی۔

$\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$ ہے؟

خود چیک کریں۔

منطقی اعداد کے لیے ترکیب تعاونی نہیں ہے۔

(c) ضرب

ہم ضرب کے لیے تعاونیت کو چیک کریں۔

$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $

$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $

ہم دیکھتے ہیں کہ $\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$

$a, b$ ہے؟

کچھ مزید منطقی اعداد کے لیے خود چیک کریں۔

ہم دیکھتے ہیں کہ منطقی اعداد کے لیے ضرب تعاونی ہے۔ یعنی ہر سہ منطقی اعداد $c, a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$۔ (d) تقسیم

یاد رکھیں کہ منفی اعداد کے لیے تقسیم تعاونی نہیں ہے، تو منطقی اعداد کے لیے کیا ہوگی؟

$\frac{1}{2} \div[\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5}]=[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5}$ ہے؟

ہم، LHS $=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5})=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \times \frac{5}{2}) \quad(.$ کا معکوس $\frac{2}{5}$ ہے ($\frac{5}{2}$ )

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \div(-\frac{5}{6})=\ldots \\ \text{ RHS } & =[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5} \\ & =(\frac{1}{2} \times \frac{-3}{1}) \div \frac{2}{5}=\frac{-3}{2} \div \frac{2}{5}=\ldots \end{aligned} $

LHS = RHS ہے؟ خود چیک کریں۔ آپ دیکھیں گے کہ منطقی اعداد کے لیے تقسیم تعاونی نہیں ہے۔

سوال کریں

درج ذیل جدول کو مکمل کریں:

مثال 1 : $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$ کا پتہ لگائیں

حل: $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$

$=\frac{198}{462}+(\frac{-252}{462})+(\frac{-176}{462})+(\frac{105}{462})$ (نوٹ کریں کہ 462 7، 11، 21 اور 22 کا LCM ہے)

$=\frac{198-252-176+105}{462}=\frac{-125}{462}$

اسے دوسری طرح بھی حل کیا جا سکتا ہے۔

$ \begin{aligned} & \frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+\frac{5}{22} \\ & =[\frac{3}{7}+(\frac{-8}{21})]+[\frac{-6}{11}+\frac{5}{22}] \quad \text{ (تبدیلی اور تعاونیت کا استعمال کرتے ہوئے) } \\ & =[\frac{9+(-8)}{21}]+[\frac{-12+5}{22}] \quad \text{ (7 اور 21 کا LCM 21 ہے؛ 11 اور 22 کا LCM 22 ہے) } \\ & =\frac{1}{21}+(\frac{-7}{22})=\frac{22-147}{462}=\frac{-125}{462} \end{aligned} $

کیا آپ سوچتے ہیں کہ تبدیلی اور تعاونیت کے خصوصیات حسابات کو آسان بنا دیتے ہیں؟

مثال 2 : $\frac{-4}{5} \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9})$ کا پتہ لگائیں

حل: ہم دیکھتے ہیں

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(-\frac{4 \times 3}{5 \times 7}) \times(\frac{15 \times(-14)}{16 \times 9}) \\ & =\frac{-12}{35} \times(\frac{-35}{24})=\frac{-12 \times(-35)}{35 \times 24}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

ہم اسے دوسری طرح بھی کر سکتے ہیں۔

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(\frac{-4}{5} \times \frac{15}{16}) \times[\frac{3}{7} \times(\frac{-14}{9})] \text{ (تبدیلی اور تعاونیت کا استعمال کرتے ہوئے) } \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-2}{3})=\frac{1}{2} \end{aligned} $

1.2.4 صفر (0) کا کردار

درج ذیل کو دیکھیں۔

$ \begin{aligned} 2+0 & =0+2=2 \\ -5+0 & =\ldots+\ldots=-5 \\ \frac{-2}{7}+\ldots & =0+(\frac{-2}{7})=\frac{-2}{7} \end{aligned} $

(ایک پورے عدد میں 0 کا جمع) (ایک منفی عدد میں 0 کا جمع)

(ایک منطقی عدد میں 0 کا جمع)

آپ نے پہلے ہی ایسے جمع کیے ہیں۔ کچھ مزید ایسے جمع کریں۔

آپ کیا دیکھتے ہیں؟ آپ دیکھیں گے کہ جب آپ 0 کو ایک پورے عدد میں جمع کرتے ہیں، تو مجموعہ دوبارہ وہی پورے عدد ہوتا ہے۔ یہ منفی اعداد اور منطقی اعداد کے لیے بھی ہوتا ہے۔

عام طور پر،

$ \begin{matrix} a+0 & =0+a=a, & \text{ جہاں } a \text{ ایک پورا عدد ہے } \\ b+0 & =0+b=b, & \text{ جہاں } b \text{ ایک منفی عدد ہے } \\ c+0 & =0+c=c, & \text{ جہاں } c \text{ ایک منطقی عدد ہے } \end{matrix} $

صفر منطقی اعداد کے جمع کے لیے شناختی عدد کہلاتا ہے۔ یہ منفی اعداد اور پورے اعداد کے لیے بھی جمع کے لیے شناختی عدد ہے۔

1.2.5 1 کا کردار

ہم دیکھتے ہیں،

$ \begin{aligned} & 5 \times 1=5=1 \times 5 \quad \text{ (1 کے ساتھ ایک پورے عدد کا ضرب) } \\ & \frac{-2}{7} \times 1=\ldots \times \ldots=\frac{-2}{7} \\ & \frac{3}{8} \times \ldots=1 \times \frac{3}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned} $

آپ کیا دیکھتے ہیں؟

آپ دیکھیں گے کہ جب آپ کسی بھی منطقی عدد کو 1 سے ضرب کرتے ہیں، تو آپ ہمیشہ اپنے ہی منطقی عدد کو حاصل ضرب حاصل کرتے ہیں۔ اسے کچھ مزید منطقی اعداد کے لیے چیک کریں۔ آپ دیکھیں گے کہ، $a \times 1=1 \times a=a$ ہر منطقی عدد $a$ کے لیے۔

ہم کہتے ہیں کہ 1 منطقی اعداد کے لیے ضرب کے لیے شناختی عدد ہے۔

1 منفی اعداد کے لیے ضرب کے لیے شناختی عدد ہے؟ پورے اعداد کے لیے؟

سوچیں، بات کریں اور لکھیں

اگر ایک خصوصیت منطقی اعداد کے لیے ہوتی ہے، تو کیا یہ منفی اعداد کے لیے بھی ہوگی؟ پورے اعداد کے لیے؟ کونسی ہوگی؟ کونسی نہیں ہوگی؟

1.2.6 منطقی اعداد کے لیے ضرب کا جمع پر توزیعیت

اسے سمجھنے کے لیے، منطقی اعداد $\frac{-3}{4}, \frac{2}{3}$ اور $\frac{-5}{6}$ کو سمجھیں۔

$ \begin{aligned} \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+(\frac{-5}{6})} & =\frac{-3}{4} \times{\frac{(4)+(-5)}{6}} \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-1}{6})=\frac{3}{24}=\frac{1}{8} \end{aligned} $

اور: $ \frac{-3}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{-3 \times 2}{4 \times 3}=\frac{-6}{12}=\frac{-1}{2} $

اور: $ \frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}=\frac{5}{8} $

لہٰذا $(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6})=\frac{-1}{2}+\frac{5}{8}=\frac{1}{8}$

لہٰذا،

$ \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+\frac{-5}{6}}=(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}) $

ضرب کا جمع اور ترکیب پر توزیعیت۔

ہر منطقی عدد $a, b$ اور $c$ کے لیے $a(b+c)=a b+a c$ $a(b-c)=a b-a c$

سوال کریں

توزیعیت کا استعمال کرتے ہوئے پتہ لگائیں۔ (i) ${\frac{7}{5} \times(\frac{-3}{12})}+{\frac{7}{5} \times \frac{5}{12}}$

(ii) ${\frac{9}{16} \times \frac{4}{12}}+{\frac{9}{16} \times \frac{-3}{9}}$

مثال 3 : $\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}$ کا پتہ لگائیں

حل: $\quad \frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}=\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14}$ (تبدیلی کے ذریعے)

$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}+(\frac{-3}{7}) \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14} \\ & =\frac{-3}{7}(\frac{2}{5}+\frac{3}{5})-\frac{1}{14} \quad \text{ (توزیعیت کے ذریعے) } \\ & =\frac{-3}{7} \times 1-\frac{1}{14}=\frac{-6-1}{14}=\frac{-1}{2} \end{aligned} $

سوال 1.1

1. درج ذیل میں ضرب کے تحت کون سی خصوصیت کا استعمال کیا گیا ہے۔ (i) $\frac{-4}{5} \times 1=1 \times \frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$ (ii) $-\frac{13}{17} \times \frac{-2}{7}=\frac{-2}{7} \times \frac{-13}{17}$ (iii) $\frac{-19}{29} \times \frac{29}{-19}=1$

2. کیا آپ کہ سکتے ہیں کہ $\frac{1}{3} \times(6 \times \frac{4}{3})$ کو $(\frac{1}{3} \times 6) \times \frac{4}{3}$ طریقے سے حساب کرنے کی اجازت دینے والی خصوصیت کیا ہے۔

3. دو منطقی اعداد کا حاصل ضرب ہمیشہ ایک

ہم نے کیا دیکھا؟

1. منطقی اعداد جمع، ترکیب اور ضرب کی عملیات کے تحت بنیادی ہیں۔

2. جمع اور ضرب کی عملیات

(i) منطقی اعداد کے لیے تبدیلی ہیں۔

(ii) منطقی اعداد کے لیے تعاونی ہیں۔

3. منطقی عدد 0 منطقی اعداد کے لیے جمع کے لیے شناختی عدد ہے۔

4. منطقی عدد 1 منطقی اعداد کے لیے ضرب کے لیے شناختی عدد ہے۔

5. منطقی اعداد کی توزیعیت: ہر منطقی عدد $a, b$ اور $c$ کے لیے $a(b+c)=a b+a c$ اور $a(b-c)=a b-a c$

6. دو منطقی اعداد کے درمیان ہر دو منطقی اعداد کے درمیان ہزاروں منطقی اعداد ہوتے ہیں۔ دو منطقی اعداد کے درمیان منطقی اعداد حاصل کرنے میں وسطیت کی خیالیں ہماری مدد کرتی ہیں۔