10.1 تعارف

کیا آپ جانتے ہیں؟

زمین کا اندازہ 5,970,000,000,000, 000, 000, 000, $000 kg$ ہے۔ پہلے سے ہی ہم نے پچھلے فصل میں سیکھا تھا کہ اس طرح بڑے اعداد کو رائیکل استعمال کرکے زیادہ آسانی سے لکھا جا سکتا ہے، جیسے، $5.97 \times 10^{24} kg$۔

ہم $10^{24}$ کو 10 کی 24 قوت کے طور پر پڑھتے ہیں۔

ہم جانتے ہیں $\quad$ $\quad$ $ 2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $

اور $\quad$ $\quad$ $ 2^{m}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \times 2 \ldots(m \text{ times }) $

اب پھر ہم کیا $2^{-2}$ کا مساواة پائیں؟

10.2 نفیی رائیکل کے ساتھ قوتیں

آپ جانتے ہیں کہ،

$ \begin{aligned} & 10^{1}=10=\frac{100}{10} \\ & 10^1= 10 = \frac{100}{10} \\ & 10^{0}=1=\frac{10}{10} \\ & 10^{-1}=? \end{aligned} $

رائیکل 1 سے کم ہوتے ہوئے، قدر پچھلی قدر کا دسواں حصہ بن جاتا ہے۔

اوپر دیا گیا نمونہ جاری رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں $10^{-1}=\frac{1}{10}$

ویسے: $ \begin{aligned} & 10^{-2}=\frac{1}{10} \div 10=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}} \\ & 10^{-3}=\frac{1}{100} \div 10=\frac{1}{100} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3}} \end{aligned} $

$10^{-10}$ کا مساواة کیا ہے؟

اب درج ذیل کو سوچیں۔

چاہے اوپر دیا گیا نمونہ دیکھ کر، ہم کہتے ہیں

$ \begin{aligned} & 3^{-1}=1 \div 3=\frac{1}{3} \\ & 3^{-2}=\frac{1}{3} \div 3=\frac{1}{3 \times 3}=\frac{1}{3^{2}} \\ & 3^{-3}=\frac{1}{3^{2}} \div 3=\frac{1}{3^{2}} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3^{3}} \end{aligned} $

آپ اب $2^{-2}$ کی قدر کا ذاتی طریقے سے پاؤ سکتے ہیں۔

ہمارے پاس ہے،

$ \begin{matrix} 10^{-2} & =\frac{1}{10^{2}} & \text{ یا } & 10^{2} & =\frac{1}{10^{-2}} \\ 10^{-3} & =\frac{1}{10^{3}} & \text{ یا } & 10^{3} & =\frac{1}{10^{-3}} \\ 3^{-2} & =\frac{1}{3^{2}} & \text{ یا } & 3^{2} & =\frac{1}{3^{-2}} & \text{ او غیر۔ } \end{matrix} $

عام طور پر، ہم کہ سکتے ہیں کہ کسی بھی غیر صفر عدد $a, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ کے لیے، جہاں $m$ ایک موجب عدد ہے۔ $a^{-m}$ $a^{m}$ کا ترکیبی عکاس ہے۔

کوشش کریں

درج ذیل کا ترکیبی عکاس پایا جائے۔

(i) $2^{-4}$ $\quad$ (ii) $10^{-5}$ $\quad$ (iii) $7^{-2}$ $\quad$ (iv) $5^{-3}$ $\quad$ (v) $10^{-100}$

ہم نے 1425 طرح کے اعداد کو رائیکل استعمال کرکے تفصیلی شکل میں لکھنے کا سبق حاصل کیا تھا جیسے $1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10^{1}+5 \times 10^{\circ}$۔

اب 1425.36 کو اسی طرح تفصیلی شکل میں بیان کرنے کی کوشش کریں۔

ہمارے پاس ہے $1425.36=1 \times 1000+4 \times 100+2 \times 10+5 \times 1+\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$

$ =1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10+5 \times 1+3 \times 10^{-1}+6 \times 10^{-2} $

$ 10^{-1} =\frac{1}{10}, 10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100} $

کوشش کریں

درج ذیل اعداد کو رائیکل استعمال کرکے تفصیلی شکل میں لکھیں۔

(i) 1025.63 $\quad$ (ii) 1256.249

10.3 رائیکل کے قواعد

ہم نے سیکھا ہے کہ کسی بھی غیر صفر عدد $a, a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$ کے لیے، جہاں $m$ اور $n$ طبیعی اعداد ہیں۔ یہ قاعدہ صرف رائیکل منفی ہونے پر بھی قائم ہے؟ ہم دیکھتے ہیں۔

(i)

اس لیے، $2^{-3} \times 2^{-2}=\frac{1}{2^{3}} \times \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{3} \times 2^{2}}=\frac{1}{2^{3+2}}=2^{-}$

(ii) $(-3)^{-4} \times(-3)^{-3}$ لیں

$ \begin{aligned} (-3)^{-4} \times(-3)^{-3} & =\frac{1}{(-3)^{4}} \times \frac{1}{(-3)^{3}} \\ & =\frac{1}{(-3)^{4} \times(-3)^{3}}=\frac{1}{(-3)^{4+3}}=(-3)^{-7} \end{aligned} $

(iii) اب $5^{-2} \times 5^{4}$ سوچیں

$ 5^{-2} \times 5^{4}=\frac{1}{5^{2}} \times 5^{4}=\frac{5^{4}}{5^{2}}=5^{4-2}=5^{(2)}{(-2)+4=2} $

کلاس VII میں، آپ نے سیکھا تھا کہ کسی بھی غیر صفر عدد $a, \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ کے لیے،

(iv) اب $(-5)^{-4} \times(-5)^{2}$ $m$ اور $n$ طبیعی اعداد ہیں اور $m>n$۔

$ \begin{aligned} (-5)^{-4} \times(-5)^{2} & =\frac{1}{(-5)^{4}} \times(-5)^{2}=\frac{(-5)^{2}}{(-5)^{4}}=\frac{1}{(-5)^{4} \times(-5)^{-2}} \\ & =\frac{1}{(-5)^{4-2}}=(-5)^{-(2)} \longrightarrow{\underbrace{(-4)+2=-2}} \end{aligned} $

عام طور پر، ہم کہ سکتے ہیں کہ کسی بھی غیر صفر عدد $a$ کے لیے، $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$، جہاں $m$ اور $n$ عدد ہیں۔

کوشش کریں

ظاہر کریں اور رائیکل شکل میں لکھیں۔

(i) $(-2)^{-3} \times(-2)^{-4}$ $\quad$ (ii) $p^{3} \times p^{-10}$ $\quad$ (iii) $3^{2} \times 3^{-5} \times 3^{6}$

اسی طرح آپ درج ذیل رائیکل کے قواعد کی تصدیق بھی کر سکتے ہیں، جہاں $a$ اور $b$ غیر صفر عدد ہیں اور $m, n$ کسی بھی عدد ہے۔

(i) $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ $\quad$ (ii) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$ $\quad$ (iii) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(iv) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$ $\quad$ (v) $a^{0}=1$

اب ہم درج ذیل مثالوں کو رائیکل کے قواعد استعمال کرکے حل کرتے ہیں۔

مثال 1 : قدر کا تلاش کریں (i) $2^{-3}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}$

حل:

(i) $2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}=3^{2}=3 \times 3=9$

مثال 2 : ظاہر کریں

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}$ (ii) $2^{5} \div 2^{-6}$ $\quad$

حل:

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}=(-4)^{(5-10)}=(-4)^{-5}=\frac{1}{(-4)^{5}} \quad(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}})$

(ii) $2^{5} \div 2^{-6}=2^{5-(-6)}=2^{11} \quad(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n})$

مثال 3 : $4^{-3}$ کو 2 کے بنائیں کے ساتھ قوت بنائیں۔

حل: ہمارے پاس ہے، $4=2 \times 2=2^{2}$

اس لیے، $(4)^{-3}=(2 \times 2)^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{2 \times(-3)}=2^{-6} \quad[(a^{m})^{n}=a^{m n}]$

مثال 4 : ظاہر کریں اور جواب کو رائیکل شکل میں لکھیں۔

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}$

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}$ (ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

حل:

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{5-8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{-3})^{5} \times 2^{-5}=2^{-15-5}=2^{-20}=\frac{1}{2^{20}}$

(ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}=[(-4) \times 5 \times(-5)]^{-3}=[100]^{-3}=\frac{1}{100^{3}}$

[قاعدہ استعمال کرتے ہوئے $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ ]

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}=\frac{1}{2^{3}} \times(3)^{-3}=2^{-3} \times 3^{-3}=(2 \times 3)^{-3}=6^{-3}=\frac{1}{6^{3}}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}=(-1 \times 3)^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}=(-1)^{4} \times 3^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}$

$ =(-1)^{4} \times 5^{4}=5^{4} \quad[(-1)^{4}=1] $

مثال 5 : $m$ کا تلاش کریں تاکہ $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

حل: $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

$ \begin{aligned} (-3)^{m+1+5} & =(-3)^{7} \\ (-3)^{m+6} & =(-3)^{7} \end{aligned} $

دونوں طرفوں پر قوت ایک ہی بنائیں ہے، جو 1 اور -1 سے مختلف ہے، لہذا ان کے رائیکل برابر ہونگے۔

اس لیے، $ m+6=7 $

یا: $ m=7-6=1 $

مثال 6 : $(\frac{2}{3})^{-2}$ کی قدر کا تلاش کریں۔

$a^{n}=1$ صرف صحیح ہونے پر $n=0$۔ یہ کسی بھی $a$ کے لیے کام کرے گا۔ $a=1,1^{1}=1^{2}=1^{3}=1^{-2}=\ldots=1$ یا $(1)^{n}=$ کے لیے $n$ کے لاہودے قدر 1 ہوگی۔

$a=-1$ کے لیے،

$(-1)^{0}=(-1)^{2}=(-1)^{4}=(-1)^{-2}=\ldots=1$ یا $(-1)^{p}=1$ کسی بھی جوتے عدد $p$ کے لیے۔

حل: $(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}=\frac{3^{2}}{2^{2}}=\frac{9}{4}$

مثال 7 : ظاہر کریں (i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}$

حل:

(i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}={\frac{1^{-2}}{3^{-2}}-\frac{1^{-3}}{2^{-3}}} \div \frac{1^{-2}}{4^{-2}}$

$ ={\frac{3^{2}}{1^{2}}-\frac{2^{3}}{1^{3}}} \div \frac{4^{2}}{1^{2}}={9-8} \div 16=\frac{1}{16} $

(ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-5}=\frac{5^{-7}}{8^{-7}} \times \frac{8^{-5}}{5^{-5}}=\frac{5^{-7}}{5^{-5}} \times \frac{8^{-5}}{8^{-7}}=5^{(-7)-(-5)} \times 8^{(-5)-(-7)}$

$ =5^{-2} \times 8^{2}=\frac{8^{2}}{5^{2}}=\frac{64}{25} $

توازن 10.1

1. ارزاق کریں۔

(i) $3^{-2}$

(ii) $(-4)^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-5}$

2. ظاہر کریں اور نتیجہ موجب رائیکل کے ساتھ قوت شکل میں لکھیں۔

(i) $(-4)^{5} \div(-4)^{8}$

(ii) $(\frac{1}{2^{3}})^{2}$

(iii) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

(iv) $(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5}$

(v) $2^{-3} \times(-7)^{-3}$

3. قدر کا تلاش کریں

(i) $(3^{\circ}+4^{-1}) \times 2^{2}$

(ii) $(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-2}+(\frac{1}{3})^{-2}+(\frac{1}{4})^{-2}$

(iv) $(3^{-1}+4^{-1}+5^{-1})^{0}$

4. ارزاق کریں (i) $\frac{8^{-1} \times 5^{3}}{2^{-4}}$

5. $m$ کی قدر کا تلاش کریں جس کے لیے $5^{m} \div 5^{-3}=5^{5}$۔

6. ارزاق کریں (i) ${(\frac{1}{3})^{-1}-(\frac{1}{4})^{-1}}^{-1}$ (ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-4}$

7. ظاہر کریں۔ (i) $\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}}(t \neq 0)$ (ii) $\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}$

10.4 رائیکل کے استعمال کے ذریعے چھوٹے اعداد کو معیاری شکل میں بیان کرنا

درج ذیل حقائق کا مشاہدہ کریں۔

1. زمین سے سورج کی دوری $149,600,000,000 m$۔

2. روشنی کی رفتار $300,000,000 m / sec$۔

3. کلاس VII ریاضی کی کتاب کی سمتی $20 mm$۔

4. ایک اچھلی خون کے ڈایا میٹر کا اوسط $0.000007 mm$۔

5. انسانی ناک کی سمتی رینج $0.005 cm$ سے $0.01 cm$ تک ہے۔

6. ماہ کی زمین سے دوری $384,467,000 m$ (تقریباً)۔

7. ایک پلانٹ سیل کا سائز $0.00001275 m$۔

8. سورج کا اوسط نصف قطر $695000 km$۔

9. فضائی شیٹل کے سولیڈ راکیٹ بوسٹر کے پروپیلنٹ کا اندازہ $503600 kg$۔

10. کاغذ کی ایک شے کی سمتی $0.0016 cm$۔

11. کمپیوٹر چیپ پر ایک وائر کا ڈایا میٹر $0.000003 m$۔

12. ایوسٹ کی چوڑائی $8848 m$۔

دیکھیں کہ چند اعداد ہم $2 cm, 8848 m$، $6,95,000 km$ طریقے سے پڑھ سکتے ہیں۔ چند بڑے اعداد جیسے $150,000,000,000 m$ ہیں اور کچھ بہت چھوٹے اعداد جیسے $0.000007 m$ ہیں۔

اوپر دیے گئے حقائق میں سے بہت بڑے اور بہت چھوٹے اعداد کی شناخت کریں اور انہیں متوازی جدول میں لکھیں:

پچھلے فصل میں ہم نے سیکھا تھا کہ بہت بڑے اعداد کو معیاری شکل میں کیسے بیان کیا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر: $150,000,000,000=1.5 \times 10^{11}$

اب $0.000007 m$ کو معیاری شکل میں بیان کرنے کی کوشش کریں۔

$ \begin{aligned} 0.000007 & =\frac{7}{1000000}=\frac{7}{10^{6}}=7 \times 10^{-6} \\ 0.000007 m & =7 \times 10^{-6} m \end{aligned} $

ویسے، کاغذ کی ایک شے کی سمتی جو $0.0016 cm$ ہے۔

$ \begin{aligned} 0.0016 & =\frac{16}{10000}=\frac{1.6 \times 10}{10^{4}}=1.6 \times 10 \times 10^{-4} \\ & =1.6 \times 10^{-3} \end{aligned} $

اس لیے، ہم کہ سکتے ہیں کہ کاغذ کی سمتی $1.6 \times 10^{-3} cm$ ہے۔

دوبارہ دیکھیں

0.0016 ڈیسیمل 1233 جگہ دائیں آنے پر ہو گیا۔

کوشش کریں

1. درج ذیل اعداد کو معیاری شکل میں لکھیں۔

(i) 0.000000564

(ii) 0.0000021

(iii) 21600000

(iv) 15240000

2. دیے گئے تمام حقائق کو معیاری شکل میں لکھیں۔

10.4.1 بہت بڑے اور بہت چھوٹے اعداد کا موازنہ کرنا

سورج کا ڈایا میٹر $1.4 \times 10^{9} m$ اور زمین کا ڈایا میٹر $1.2756 \times 10^{7} m$ ہے۔

اگر آپ زمین کے ڈایا میٹر کو سورج کے ڈایا میٹر کے ساتھ موازنہ کرنا چاہتے ہیں۔

سورج کا ڈایا میٹر $=1.4 \times 10^{9} m$

زمین کا ڈایا میٹر $=1.2756 \times 10^{7} m$

اس لیے $\frac{1.4 \times 10^{9}}{1.2756 \times 10^{7}}=\frac{1.4 \times 10^{9-7}}{1.2756}=\frac{1.4 \times 100}{1.2756}$ جو تقریباً 100 ہے

اس لیے، سورج کا ڈایا میٹر زمین کے ڈایا میٹر کے تقریباً 100 گنا بڑا ہے۔

لیکن ایک اچھلی خون کے سائز جو $0.000007 m$ ہے کو ایک پلانٹ سیل جو $0.00001275 m$ ہے کے ساتھ موازنہ کریں۔

$ \begin{aligned} & \text{ اچھلی خون کے سائز }=0.000007 m=7 \times 10^{-6} m \\ & \text{ پلانٹ سیل کا سائز }=0.00001275=1.275 \times 10^{-5} m \end{aligned} $

اس لیے، $\frac{7 \times 10^{-6}}{1.275 \times 10^{-5}}=\frac{7 \times 10^{-6-(-5)}}{1.275}=\frac{7 \times 10^{-1}}{1.275}=\frac{0.7}{1.275}=\frac{0.7}{1.3}=\frac{1}{2}$ (تقریباً)

اس لیے ایک اچھلی خون کا سائز پلانٹ سیل کے سائز کا نصف ہے۔

زمین کا اندازہ $5.97 \times 10^{24} kg$ اور ماہ کا اندازہ $7.35 \times 10^{22} kg$ ہے۔ کل کا اندازہ کیا ہے؟

$ \begin{aligned} \text{ کل اندازہ } & =5.97 \times 10^{24} kg+7.35 \times 10^{22} kg . \\ & =5.97 \times 100 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =597 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =(597+7.35) \times 10^{22} \\ & =604.35 \times 10^{22} kg . \end{aligned} $

$\boxed{\text{When we have to add numbers i standard form, we convert them into numbers with the same exponents}}$

سورج اور زمین کے درمیان دوری $1.496 \times 10^{11} m$ اور

زمین اور ماہ کے درمیان دوری $3.84 \times 10^{8} m$ ہے۔

روشنی کے ایکسلپس میں ماہ زمین اور سورج کے درمیان آتا ہے۔

اس وقت ماہ اور سورج کے درمیان کی دوری کیا ہے۔

$ \begin{aligned} \text { سورج اور زمین کے درمیان دوری } & =1.496 \times 10^{11} \mathrm{~m} \\ \text { زمین اور ماہ کے درمیان دوری } & =3.84 \times 10^8 \mathrm{~m} \\ \text { سورج اور ماہ کے درمیان دوری } & =1.496 \times 10^{11}-3.84 \times 10^8 \\ & =1.496 \times 1000 \times 10^8-3.84 \times 10^8 \\ & =(1496-3.84) \times 10^8 \mathrm{~m}=1492.16 \times 10^8 \mathrm{~m} \end{aligned} $

مثال 8 : درج ذیل اعداد کو معیاری شکل میں بیان کریں۔ (i) 0.000035 (ii) 4050000 حل: (i) $0.000035=3.5 \times 10^{-5}$ (ii) $4050000=4.05 \times 10^{6}$

مثال 9 : درج ذیل اعداد کو عام شکل میں بیان کریں۔ (i) $3.52 \times 10^{5}$ (ii) $7.54 \times 10^{-4}$ (iii) $3 \times 10^{-5}$

حل:

توازن 10.2

1. درج ذیل اعداد کو معیاری شکل میں بیان کریں۔

(i) 0.0000000000085

(ii) 0.00000000000942

(iii) 6020000000000000

(iv) 0.00000000837

(v) 31860000000

2. درج ذیل اعداد کو عام شکل میں بیان کریں۔ (i) $3.02 \times 10^{-6}$ (ii) $4.5 \times 10^{4}$ (iii) $3 \times 10^{-8}$ (iv) $1.0001 \times 10^{9}$ (v) $5.8 \times 10^{12}$ (vi) $3.61492 \times 10^{6}$

3. درج ذیل ادعاءات میں ظاہر ہونے والے اعداد کو معیاری شکل میں بیان کریں۔

(i) 1 میکرون $\frac{1}{1000000} m$ کے برابر ہے۔

(ii) ایک ایلیکٹران کا چارج $0.000,000,000,000,000,000,16$ کولمب ہے۔

(iii) بیکٹیریا کا سائز $0.0000005 m$

(iv) پلانٹ سیل کا سائز $0.00001275 m$

(v) چوکھٹ کاغذ کی سمتی $0.07 mm$

4. ایک چڑھائی میں 5 کتابیں ہیں جیسے ہیں ہر ایک کی سمتی $20 mm$ اور 5 کاغذ کی شے جیسے ہیں ہر ایک کی سمتی $0.016 mm$۔ چڑھائی کی کل سمتی کیا ہے۔

ہم نے کیا مطالعہ کیا؟

1. نفیی رائیکل والے اعداد درج ذیل رائیکل کے قواعد کی پریشانی کرتے ہیں۔

(a) $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

(b) $a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

(c) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$

(d) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(e) $a^{0}=1$

(f) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$

2. بہت چھوٹے اعداد کو منفی رائیکل استعمال کرکے معیاری شکل میں بیان کیا جا سکتا ہے۔