11.1 تعارف

مون کوہ اپنے لیے اور اپنی بہن کے لیے چائے تیار کرتا ہے۔ وہ $300 mL$ پانی استعمال کرتا ہے، 2 چمچ سکر، 1 چمچ چائے کے برگ اور $50 mL$ خیرہ۔ اگر وہ پانچ شخصیوں کے لیے چائے بنانے کی ضرورت ہو تو ہر عنصر کی مقدار کیا ہوگی؟

اگر دو طلاب اسمبلی کے لیے چیئرز ترتیب دینے میں 20 منٹ لگیں تو پانچ طلاب اسی کام کو کتنی مدت میں کریں گے؟

ہم روزمرہ کی زندگی میں کئی ایسی صورتحالوں کا خود سامنا کرتے ہیں جہاں ایک مقدار کی تغیر دوسری مقدار کی تغیر لازمی طور پر پیدا کرتی ہے۔

مثال کے طور پر:

(ء) اگر خریداری کردہ اشیاء کی تعداد بڑھتی ہے تو کل قیمت بھی بڑھتی ہے۔

(ء) بینک میں زیادہ مال جمع کروانے پر زیادہ دریافت ہوتی ہے۔

(ء) جتنی رفتار بڑھتی ہے اتنی ہی پوری ہونے والی مسافت کو پورا کرنے میں لمبی مدت کم ہوتی ہے۔

(ء) ایک معین کام کے لیے زیادہ کام کرنے والے، کام کو مکمل کرنے میں لمبی مدت کم ہوتی ہے۔

دیکھیں کہ ایک مقدار کی تغیر دوسری مقدار کی تغیر لازمی طور پر پیدا کرتی ہے۔

ایسی ایک مقدار کی تغیر دوسری مقدار کی تغیر لازمی طور پر پیدا کرتی ہے۔

مون کو ہر عنصر کی مقدار کیسے معلوم کریں؟ یا پانچ طلاب کے لیے کام مکمل کرنے میں لمبی مدت کیسے ہوگی؟

ایسے سوالات کا جواب دینے کے لیے، ہم اب کئی تغیر کے مفاہم پر عمل کرتے ہیں۔

11.2 برائے تناسب

اگر $1 kg$ کے سکر کی قیمت ₹ 36 ہے تو $3 kg$ کے سکر کی قیمت کیا ہوگی؟ یہ ₹ 108 ہے۔

بسیاری طریقے سے ہم $5 kg$ یا $8 kg$ کے سکر کی قیمت بھی معلوم کر سکتے ہیں۔ درج ذیل جدول کا مطالعہ کریں۔

دیکھیں کہ جتنا سکر کا وزن بڑھتا ہے اتنی ہی قیمت بھی اسی طرح بڑھتی ہے کہ ان کا تناسب ثابت رہتا ہے۔

ایک اور مثال لیتے ہیں۔ اگر کوئی گاڑی $60 km$ کی مسافت چلانے کے لیے 4 لیٹر پٹرول استعمال کرتی ہے۔ تو 12 لیٹر استعمال کرتے ہوئے وہ کتنی مسافت چلے گی؟ جواب $180 km$ ہے۔ ہم نے یہ کیسے حساب کیا؟ کیونکہ دوسری صورت میں استعمال کردہ پٹرول 12 لیٹر ہے، یعنی 4 لیٹر کے تین گنا، اتنی ہی مسافت بھی تین گنا ہو گی۔ دیکھیں کہ جتنی پٹرول کی مقدار بڑھتی ہے اتنی ہی مسافت بھی بڑھتی ہے۔ جس طرح ان کا تناسب ثابت رہتا ہے۔

اگر پٹرول کی مقدار $x$ لیٹر ہے اور متناسب مسافت $y km$ ہے تو درج ذیل جدول کو مکمل کریں:

ہم دیکھتے ہیں کہ $x$ کی قیمت بڑھتی ہے اتنی ہی $y$ کی قیمت بھی اسی طرح بڑھتی ہے کہ $\frac{x}{y}$ ثابت رہتا ہے (یعنی $k$)۔ اس مثال میں $\frac{1}{15}$ ہے (چیک کریں!)۔

ہم کہتے ہیں کہ $x$ اور $y$ ایسی صورت میں برائے تناسب ہوتے ہیں جب $\frac{x}{y}=k$ یا $x=k y$۔

اس مثال میں $\frac{4}{60}=\frac{12}{180}$، جہاں 4 اور 12 پٹرول کی مقدار (لیٹر) $(x)$ ہیں اور 60 اور 180 مسافت (کلومیٹر) $(y)$ ہیں۔ آپ یاد رکھیں کہ جب $x$ اور $y$ برائے تناسب ہوتے ہیں تو $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$۔ $[y_1, y_2.$ $y$ کی متناسب قیمتوں $x_1$، $x_2$ کے لیے $x$ کی قیمتوں ہیں۔

ایک گاڑی کی پٹرول کی مقدار اور مسافت چلانے کا برائے تناسب کا مثال ہے۔ بسیاری طریقے سے کل خرچ اور خریداری کردہ اشیاء کی تعداد بھی برائے تناسب کا مثال ہے۔

برائے تناسب کے کچھ اور مثالیں سوچیں۔ چیک کریں کہ مون [اولین مثال میں] پانچ شخصیوں کے لیے چائے بنانے کے لیے $750 mL$ پانی، 5 چمچ سکر، $2 \frac{1}{2}$ چمچ چائے کے برگ اور $125 mL$ خیرہ کی ضرورت ہوگی؟ ہم برائے تناسب کے مفہوم کو بہتر سمجھنے کی کوشش کریں۔

کیا یہ کریں

(ء)

• ایک گھنٹہ لے کر اس کے منٹ کے ہاتھ کو 12 پر ثابت کریں۔

• منٹ کے ہاتھ کی اصل حالت سے گزری زاویے اور گزری مدت کو درج ذیل جدول میں ریکارڈ کریں:

$T$ اور $A$ کے بارے میں کیا آپ دیکھتے ہیں؟ کیا یہ ایک دوسرے کے ساتھ بھی بڑھتے ہیں؟ $\frac{T}{A}$ ہر بار ایک جیسا ہے؟

منٹ کے ہاتھ کی گزری زاویہ گزری مدت کے ساتھ برائے تناسب ہے؟ جی ہاں!

اوپر دی گئی جدول سے آپ بھی دیکھ سکتے ہیں

$ \begin{aligned} & T_1: T_2=A_1: A_2, \text{ کیونکہ } \\ & T_1: T_2=15: 30=1: 2 \\ & A_1: A_2=90: 180=1: 2 \\ & T_2: T_3=A_2: A_3 \text{ اور } T_3: T_4=A_3: A_4 \end{aligned} $

چیک کریں کہ

آپ اپنی منتخب مدت کے ساتھ یہ فعل دہرا سکتے ہیں۔

(ء) اپنے دوست کو درج ذیل جدول پُر کرنے کا دعوے کریں اور اس کی عمر کی متناسب عمر کے ساتھ تناسب حساب کریں۔

آپ کیا دیکھتے ہیں؟

کیا F اور $M$ ایک دوسرے کے ساتھ بڑھتے (یا گرتے) ہیں؟ $\frac{F}{M}$ ہر بار ایک جیسا ہے؟ نہیں!

آپ یہ فعل دوسرے دوستوں کے ساتھ دہرا سکتے ہیں اور اپنے مشاہدات کو ریکارڈ کر سکتے ہیں۔

اس طرح، ایک دوسرے کے ساتھ بڑھتی (یا گرتی) متغیریں ہر وقت برائے تناسب نہیں ہوتے۔ مثال کے طور پر:

(ء) انسانوں میں جسمانی تبدیلیاں وقت کے ساتھ ہوتی ہیں لیکن ضروری طور پر ایک مقدوم تناسب میں نہیں۔

(ء) انفرادیوں کے درمیان وزن اور چھت کے تبدیلیاں کسی معلوم تناسب میں نہیں ہوتی اور

(ء) درخت کی چھت اور اس کے شاخوں پر پھولوں کی تعداد کے درمیان کوئی برائے تناسب نہیں ہے۔ کچھ اور ایسی مثالیں سوچیں۔

یہ کوشش کریں

1. درج ذیل جدولوں کا مطالعہ کریں اور چیک کریں کہ $x$ اور $y$ برائے تناسب ہیں یا نہیں۔

(ء)

(ء)

(ء)

2. بنیاد $=₹ 1000$، سالانہ سود کی شرح $=8 %$۔ درج ذیل جدول کو پُر کریں اور چیک کریں کہ سود کی قیمت (سادہ یا مرکب) مدت کے ساتھ برائے تناسب ہے یا نہیں۔

$\Large\frac{P\times r \times t}{100}$

$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{مدت} & 1 \text{ سال} & 2 \text{ سال} & 3 \text{ سال} \\ \hline \text{سادہ سود (₹ میں)} & & \\ \hline \text{مرکب سود (₹ میں)} & & \\ \hline \end{array} $

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

اگر ہم مدت اور سود کی شرح ثابت رکھتے ہیں تو سادہ سود بنیاد کے ساتھ برائے تناسب ہوتی ہے۔ کیا مرکب سود کے لیے بھی ایک ایسی تعلقات ہوگی؟ کیونکہ؟

ہم برائے تناسب کے مفہوم کا استعمال کرتے ہوئے کچھ حل کردیے گئے مثالیں دیکھیں۔

مثال 1 : 5 میٹر کے ایک مخصوص کیفیت کی کمیٹی کی قیمت ₹ 210 ہے۔ 2، 4، 10 اور 13 میٹر کی کمیٹی کی قیمت کا جدول بنائیں۔

حل: اگر کمیٹی کی لمبائی $x$ میٹر ہے اور اس کی قیمت ₹ میں $y$ ہے۔

کمیٹی کی لمبائی بڑھتی ہے اتنی ہی کمیٹی کی قیمت بھی اسی تناسب میں بڑھتی ہے۔ یہ برائے تناسب کا مثال ہے۔

ہم $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ جیسے علاقے کا استعمال کرتے ہیں۔

(ء) یہاں $x_1=5, y_1=210$ اور $x_2=2$

اس لیے، $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ دے گا $\frac{5}{210}=\frac{2}{y_2}$ یا $5 y_2=2 \times 210$ یا $y_2=\frac{2 \times 210}{5}=84$

(ء) اگر $x_3=4$، تو $\frac{5}{210}=\frac{4}{y_3}$ یا $5 y_3=4 \times 210$ یا $y_3=\frac{4 \times 210}{5}=168$

[یہاں $\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$ استعمال کر سکتے ہیں؟ کوشش کریں!]

(ء) اگر $x_4=10$، تو $\frac{5}{210}=\frac{10}{y_4}$ یا $y_4=\frac{10 \times 210}{5}=420$

(ء) اگر $x_5=13$، تو $\frac{5}{210}=\frac{13}{y_5}$ یا $y_5=\frac{13 \times 210}{5}=546$

$[.$ نوٹ کریں کہ یہاں $\frac{2}{84}$ یا $\frac{4}{168}$ یا $\frac{10}{420}$ کی جگہ $.\frac{5}{210}]$ استعمال کر سکتے ہیں۔

مثال 2 : ایک برقی پول، جس کی چھت 14 میٹر ہے، اس کی سایہ 10 میٹر لمبی ہے۔ ایک درخت کی چھت کو ایک ایسی صورت میں 15 میٹر لمبی سایہ کے ساتھ معلوم کریں۔

حل: درخت کی چھت $x$ میٹر ہے۔ ہم درج ذیل جدول بناتے ہیں:

نوٹ کریں کہ شوہر کی چھت زیادہ ہوتی ہے اتنی ہی اس کی سایہ بھی لمبی ہوتی ہے۔

اس لیے یہ برائے تناسب کا مثال ہے۔ یعنی $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

ہم $\quad \frac{14}{10}=\frac{x}{15}$ حاصل کرتے ہیں (کیونکہ؟)

یا $\quad \frac{14}{10} \times 15=x$

یا $\quad \frac{14 \times 3}{2}=x$

تو: $ 21=x $

اس طرح، درخت کی چھت 21 میٹر ہے۔

بدلے میں، ہم $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ کو $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔

تو $x_1:x_2=y_1:y_2$

یا $14:x=10:15$

اس لیے $10 \times x= 15 \times 14$

$ \text{ یا } \quad x=\frac{15 \times 14}{10}=21 $

مثال 3 : اگر 12 صفحوں کے سمک پریٹ کا وزن 40 گرام ہے، تو $2 \frac{1}{2}$ کلو گرام وزن کے چند صفحوں کے سمک پریٹ ہوں گے؟

حل:

$2 \frac{1}{2} kg$ کے وزن کے صفحوں کی تعداد $x$ ہے۔ ہم درج ذیل جدول کی شکل میں اوپر دی گئی معلومات ریکارڈ کرتے ہیں:

$2\frac{1}{2} kilogram = 2500 grams$

صفحوں کی تعداد زیادہ ہوتی ہے اتنا ہی ان کا وزن بھی زیادہ ہوتا ہے۔ اس لیے، صفحوں کی تعداد اور وزن دونوں کے درمیان برائے تناسب ہے۔

تو، $\frac{12}{40}=\frac{x}{2500}$

یا $\frac{12 \times 2500}{40}=x$

یا $750=x$

اس طرح، مطلوبہ صفحوں کی تعداد $=750$۔

بدلے طریقے:

برائے تناسب میں تغیر کرنے والی دو مقدار $x$ اور $y$ کا علاقہ $x=k y$ یا $\frac{x}{y}=k$ ہوتا ہے۔

یہاں،

$ k=\frac{\text{ صفحوں کی تعداد }}{\text{ صفحوں کا وزن گرام میں }}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} $

اب $x$ $2 \frac{1}{2} kg[2500 g]$ وزن کے صفحوں کی تعداد ہے۔

علاقے کے استعمال سے $x=k y, x=\frac{3}{10} \times 2500=750$

اس طرح، 750 صفحوں کے سمک پریٹ کا وزن $2 \frac{1}{2} kg$ ہوگا۔

مثال 4 : ایک گاڑی $75 km / hour$ کی منظم رفتار سے چلتی ہے۔

(ء) اس نے 20 منٹ میں کتنی مسافت چلی؟

(ء) $250 km$ کی مسافت پوری کرنے کے لیے کتنی مدت لگی؟

حل: 20 منٹ میں چلی گئی مسافت ($km$ میں) $x$ ہے اور $250 km$ کی مسافت پوری کرنے کے لیے مدت (منٹ میں) $y$ ہے۔

1 گھنٹہ = 60 منٹ

کیونکہ رفتار منظم ہے، اس لیے چلی گئی مسافت مدت کے ساتھ برائے تناسب ہوگی۔

(ء) ہم $\frac{75}{60}=\frac{x}{20}$ حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} & \text{ یا } \quad \frac{75}{60} \times 20=x \\ & \text{ یا } \quad x=25 \end{aligned} $

اس لیے، گاڑی 20 منٹ میں $25 km$ کی مسافت چلے گی۔

(ء) بھی، $\frac{75}{60}=\frac{250}{y}$

یا $\quad y=\frac{250 \times 60}{75}=200$ منٹ یا 3 گھنٹے 20 منٹ۔

اس لیے، 250 کلومیٹر کی مسافت چلانے کے لیے 3 گھنٹے 20 منٹ لگیں گی۔

بدلے طریقے، جب $x$ معلوم ہو تو $y$ کو علاقہ $\frac{x}{20}=\frac{250}{y}$ سے معلوم کیا جا سکتا ہے۔

آپ جانتے ہیں کہ نقشہ ایک بہت بڑے علاقے کا ایک چھوٹا تصویر ہے۔ نقشے کے آخر میں عام طور پر ایک مقیاس دیا جاتا ہے۔ مقیاس نقشے کے دو نقطوں کے درمیان حقیقی مسافت اور نقشے پر تصویر کے دو نقطوں کے درمیان مسافت کے درمیان تعلقات دکھاتا ہے۔ نقشے کا مقیاس اس طرح ہے کہ نقشے پر دو نقطوں کے درمیان مسافت اور بڑے علاقے پر دو نقطوں کے درمیان حقیقی مسافت کا تناسب۔

مثال کے طور پر، اگر نقشے پر $1 cm$ حقیقی مسافت کی متناسب $8 km$ دکھاتا ہے [یعنی مقیاس $1 cm: 8 km$ یا $1: 800,000]$ ہے تو $2 cm$ اسی نقشے پر $16 km$ کی متناسب مسافت دکھاتا ہے۔ اس لیے ہم کہتے ہیں کہ نقشے کا مقیاس برائے تناسب کے مفہوم پر قائم ہے۔

مثال 5 : ایک نقشے کا مقیاس 1:30000000 دیا گیا ہے۔ نقشے پر دو شہر $4 cm$ ہوتے ہیں۔ ان دونوں شہروں کے درمیان حقیقی مسافت کیا ہے؟

حل: نقشے کی مسافت $x cm$ ہے اور حقیقی مسافت $y cm$ ہے، تو

$ \begin{aligned} & 1: 30000000=x: y \\ & \text { یا } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{x}{y} \\ & \text { کیونکہ } x=4 \text{ ہے، اس لیے } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{4}{y} \\ & \text { یا } \quad y=4 \times 3 \times 10^7=12 \times 10^7 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~km} \text {. } \\ & \end{aligned} $

اس طرح، نقشے پر $4 cm$ ہونے والے دو شہر دونوں کے درمیان حقیقی طور پر $1200 km$ دور ہیں۔

کیا یہ کریں

اپنے ریاست کا ایک نقشہ لے کر اس میں استعمال کردہ مقیاس کو نوٹ کریں۔ ایک مسدس کے ساتھ، کسی دو شہر کے درمیان “نقشے کی مسافت” کو پیمائی کریں۔ ان دونوں شہروں کے درمیان حقیقی مسافت کو حساب کریں۔

تمرین 11.1

1. ذیل میں دی گئی گاڑیوں کی پارکنگ کی اجرت ریلوے سٹیشن کے قریب دی گئی ہیں زیریں دیکھیں

چیک کریں کہ پارکنگ کی اجرت پارکنگ کی مدت کے ساتھ برائے تناسب ہے یا نہیں۔

2. ایک رنگ کا خلاصہ 1 حصہ قرمز پیگمنٹ کے ساتھ 8 حصوں کے بیس کے ساتھ تیار کیا جاتا ہے۔ درج ذیل جدول میں، ضرورت ہونے والی بیس کی حصوں کو معلوم کریں۔

3. اوپر دی گئی سوال 2 میں، اگر 1 حصہ قرمز پیگمنٹ کے لیے $75 mL$ بیس کی ضرورت ہو تو $1800 mL$ بیس کے ساتھ کتنا قرمز پیگمنٹ خلیج کیا جائے گا؟

4. ایک مشروب فرنیشری میں ایک مشین 6 گھنٹوں میں 840 بوبلز پُر کرتی ہے۔ اس نے 5 گھنٹوں میں کتنے بوبلز پُر کریں گی؟

5. ایک بیکٹیریا کی تصویر جس کو 50,000 گنا بڑھایا جاتا ہے اس کی لمبائی $5 cm$ ہے جو دریافت میں دکھائی دی گئی ہے۔ بیکٹیریا کی حقیقی لمبائی کیا ہے؟ اگر تصویر صرف 20,000 گنا بڑھایا جائے تو اس کی بڑھی ہوئی لمبائی کیا ہوگی؟

6. ایک چلنے والے کی ماڈل میں پوسٹ $9 cm$ چھت ہے، درحالہ وہ ایک اصل کی پوسٹ $12 mhigh$ چھت ہے۔ اگر کی کی لمبائی $28 m$ ہے، تو ماڈل کی کی لمبائی کیا ہے؟

7. اگر $2 kg$ سکر میں $9 \times 10^{6}$ کرسٹل ہیں۔

(ء) $5 kg$ سکر میں کتنے سکر کرسٹل ہیں؟ (ء) $1.2 kg$ سکر میں کتنے سکر کرسٹل ہیں؟

8. رشمی ایک روڈ میپ لے رہی ہے جس میں ایک مقیاس $1 cm$ رکھا گیا ہے جو $18 km$ کو دکھاتا ہے۔ وہ ایک روڈ پر $72 km$ چلتی ہے۔ اس کے نقشے میں وہ کتنی مسافت چلی گئی ہے؟

9. $5 m 60 cm$ چھت پر ایک عمودی پول $3 m 20 cm$ لمبی سایہ کو پیچھے چھوڑتا ہے۔ ایک ایسی وقت پر (ء) دوسرے پول کی سایہ کی لمبائی جس کی چھت $10 m 50 cm$ ہے (ء) ایک پول کی چھت جو $5 m$ لمبی سایہ کو پیچھے چھوڑتی ہے۔

10. ایک لوڈڈ ٹرک 25 منٹ میں $14 km$ چلتا ہے۔ اگر رفتار ایک جیسی رہے تو اس نے 5 گھنٹوں میں کتنی مسافت چلی گا؟

کیا یہ کریں

1. ایک سکواڈڈ کے ورڈ پر 5 مختلف سائیڈ کے مربعات ڈرا کریں۔ درج ذیل معلومات کو ایک جدول کی شکل میں لکھیں۔

چیک کریں کہ سائیڈ کی لمبائی مربع کے محیط کے ساتھ (ء) رقبہ کے ساتھ (ب) برائے تناسب ہے یا نہیں۔

2. 5 شخصیوں کے لیے ہالو تیار کرنے کے لیے درج ذیل مواد ضروری ہیں:

سوجی/راوا $=250 g$، سکر $=300 g$،

گہوا $=200 g$، پانی $=500 mL$۔

تناسب کے مفہوم کا استعمال کرتے ہوئے، اپنے کلاس کے لیے ہالو تیار کرنے کے لیے مواد کی مقدار میں تبدیلی کا تخمینہ کریں۔

3. ایک مقیاس منتخب کریں اور اپنے کلاس کا نقشہ بنائیں جس میں دروازے، انڈیکس بورڈ اور دیگر جگہیں دکھائیں۔ (ایک مثال یہیں دی گئی ہے)۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

ابدیلہ 11.2 میں مناقشہ کی گئی کچھ مسائل لے کر اس کے ‘برائے تغیر’ کے تحت مناقشہ کی گئی مسائل لے کر چیک کریں کہ کیا انہیں ‘یونٹری میثڈ’ کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے؟

11.3 عکس العمل کی تناسبات

دو مقدار ایسی صورت میں بھی تغیر کر سکتے ہیں کہ اگر ایک مقدار بڑھتی ہے تو دوسری مقدار کم ہوتی ہے اور برعکس۔ مثال کے طور پر، کام کرنے والے کی تعداد بڑھتی ہے اتنی ہی کام مکمل کرنے کی مدت کم ہوتی ہے۔ بسیاری طریقے سے، اگر ہم رفتار بڑھاتے ہیں تو ایک معین مسافت پوری کرنے میں لگتی مدت کم ہوتی ہے۔

اس کو سمجھنے کے لیے، ہم درج ذیل صورتحال کا مطالعہ کریں۔

زہیدا اپنی مکتب کو چار مختلف طریقوں سے پہنچ سکتی ہے۔ وہ چل سکتی ہے، چل سکتی ہے، سائیکل چل سکتی ہے یا کار سے پہنچ سکتی ہے۔ درج ذیل جدول کا مطالعہ کریں۔

دیکھیں کہ جتنی رفتار بڑھتی ہے اتنی ہی پوری ہونے والی مسافت کو پورا کرنے میں لگتی مدت کم ہوتی ہے۔

جب زہیدا چل کر اپنی رفتار دو گنا بڑھاتی ہے تو وقت نصف ہو جاتی ہے۔ جب وہ سائیکل چل کر اپنی رفتار تین گنا بڑھاتی ہے تو وقت تینویں حصہ ہو جاتی ہے۔ بسیاری طریقے سے، جب وہ اپنی رفتار 15 گنا بڑھاتی ہے تو وقت پانچ عشرویں حصہ ہو جاتی ہے۔ (یا دوسری طرف سے، وقت کے کم ہونے کا تناسب رفتار بڑھنے کے تناسب کے عکس ہوتا ہے)۔ کیا ہم کہ سکتے ہیں کہ رفتار اور وقت عکس العمل کے تناسب میں تغیر کرتے ہیں؟

ایک عدد کا ضربی عکس العمل اس کا مقلوب ہوتا ہے۔ اس طرح، $\frac{1}{2}$ کے عکس العمل 2 ہے اور برعکس۔ (نوٹ کریں کہ $2 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times 2=1$)۔

ایک اور مثال دیتے ہیں۔ ایک مکتب ₹ 6000 کو مثلثی کتابوں کے لیے خرچ کرنا چاہتا ہے۔ ₹ 40 ہر کتاب پر کتنی کتابیں خریدی جا سکتی ہیں؟ واضح طور پر 150 کتابیں خریدی جا سکتی ہیں۔ اگر کتاب کی قیمت ₹ 40 سے زیادہ ہو تو ایسی ایک قدر مال کے ساتھ خریداری کردہ کتابیں 150 سے کم ہوں گی۔ درج ذیل جدول کا مطالعہ کریں۔

آپ کیا دیکھتے ہیں؟ آپ یہ سمجھیں گے کہ جتنی کتابوں کی قیمت بڑھتی ہے، اتنی ہی خریداری کردہ کتابیں ایک ثابت فنڈ کے ساتھ کم ہوں گی۔

کتابوں کی قیمت کے 40 سے 50 کے درمیان بڑھنے کا تناسب $4: 5$ ہے، اور متناسب کتابیں کی تعداد کے 150 سے 120 کے درمیان کم ہونے کا تناسب $5: 4$ ہے۔ یہی وجہ ہے کہ دونوں تناسب عکس العمل کے ہیں۔

نوٹ کریں کہ دونوں مقدار کے متناسب قیمتوں کا ضرب ثابت ہے؛ یعنی $40 \times 150=50 \times 120=6000$۔

اگر ہم ایک کتاب کی قیمت کو $x$ اور خریداری کردہ کتابیں کو $y$ کے طور پر ظاہر کریں تو جب $x$ بڑھتی ہے $y$ کم ہوتی ہے اور برعکس۔ یہ ایک اہم نکات ہے کہ ضرب $x y$ ثابت رہتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ $x$ $y$ کے عکس العمل میں تغیر کرتا ہے اور $y$ $x$ کے عکس العمل میں تغیر کرتا ہے۔ اس طرح، دو مقدار $x$ اور $y$ کو عکس العمل میں تناسب کے طور پر کہا جاتا ہے، اگر ان کے درمیان $x y=k$ جیسا علاقہ موجود ہو، جہاں $k$ ایک ثابت ہے۔ اگر $y_1, y_2$ $y$ کی متناسب قیمتوں $x_1, x_2$ کے لیے $x$ کی قیمتوں $x_1 y_1=x_2 y_2(=k)$ ہیں، تو $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$۔ ہم کہتے ہیں کہ $x$ اور $y$ عکس العمل میں تناسب ہیں۔

اس لیے، اس مثال میں ایک معین قدر کے ساتھ خریداری کردہ کتابوں کی قیمت اور تعداد عکس العمل میں تناسب ہے۔ بسیاری طریقے سے، ایک گاڑی کی رفتار اور ایک معین مسافت پوری کرنے میں لگتی مدت عکس العمل میں تغیر کرتی ہے۔

عکس العمل میں تناسب کے دو مقدار کے زیادہ زیادہ جوڑوں کے زیادہ زیادہ مثالیں سوچیں۔ آپ اب فرنیشر - ترتیب کے مسئلے کو دوبارہ دیکھ سکتے ہیں جو اس فصل کے تعارفی حصے میں دی گئی تھی۔

عکس العمل کے مفہوم کو بہتر سمجھنے کے لیے ایک فعل دیتے ہیں۔

کیا یہ کریں

ایک سکواڈڈ ورڈ لے کر اس پر 48 کاؤنٹرز کو مختلف تعداد کی ریدوں میں ترتیب دیں جیسے نیچے دکھایا گیا ہے۔

4 رید، 12 کالم

6 رید، 8 کالم

آپ کیا دیکھتے ہیں؟ جتنی $R$ بڑھتی ہے اتنی ہی $C$ کم ہوتی ہے۔

(ء) $R_1: R_2=C_2: C_1$ ہے؟

(ء) $R_3: R_4=C_4: C_3$ ہے؟

(ء) $R$ اور $C$ کو عکس العمل میں تناسب کے طور پر کہا جاتا ہے؟

یہ فعل 36 کاؤنٹرز کے ساتھ دہرا سکتے ہیں۔

یہ کوشش کریں

درج ذیل جدولوں کا مطالعہ کریں اور چیک کریں کہ کون سے متغیروں کے جوڑے (یہاں $x$ اور $y$) عکس العمل میں تناسب ہیں۔

(ء)

(ء)