2.1 تعارف

پچھلے کلاسوں میں آپ نے کچھ جبری تعبیرات اور مساوات سے آنے والے ہیں۔

ہم نے اب تک کام کرنے والے تعبیرات کے کچھ مثالیں ہیں:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

مساوات کے کچھ مثالیں ہیں: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

آپ یاد رکھیں گے کہ مساوات میں برابری (=) علامت استعمال کرتی ہے؛ یہ تعبیرات میں غائب ہے۔

دیے گئے تعبیرات میں سے بہت سے ایک سے زیادہ متغیرات کے ہیں۔ مثال کے طور پر، $2 x y+5$ میں دو متغیرات ہیں۔ تاہم، جب ہم مساوات بناتے ہیں تو ہم تعبیرات میں صرف ایک متغیر کی پابندی لگاتے ہیں۔ اس کے علاوہ، ہمارے استعمال کرنے والے مساوات بنانے کے لیے تعبیرات لائنئر ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ تعبیر میں ظاہر ہونے والے متغیر کی طاقت جو بڑی ہے وہ 1 ہے۔

یہ لائنئر تعبیرات ہیں:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

یہ لائنئر تعبیرات نہیں ہیں:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ کیونکہ متغیر کی طاقت جو بڑی ہے }>1) $

یہاں ہم صرف ایک متغیر کے لائنئر تعبیرات والی مساوات پر غور کریں گے۔ ایسی مساوات کو ایک متغیر کی لائنئر مساوات کہا جاتا ہے۔ پچھلے کلاسوں میں آپ نے سادہ مساوات سیکھیں تھیں، اور یہ تمام اس طرح کی تھیں۔

ہم چند لمحات میں اپنی جانچ پزیری کریں:

(أ) جبری مساوات متغیرات کے شامل ایک برابری ہے۔ اس میں ایک برابری علامت ہوتی ہے۔ برابری علامت کے بائیں طرف واپسی کا تعبیر بائیں ہاتھ کا طرف (LHS) ہے۔ برابری علامت کے دائیں طرف واپسی کا تعبیر دائیں ہاتھ کا طرف (RHS) ہے۔

(ب) ایک مساوات میں بائیں ہاتھ کے تعبیر کے قیم اور دائیں ہاتھ کے تعبیر کے قیم برابر ہوتے ہیں۔ اس برابری کا یہی صرف کچھ متغیر کے قیموں کے لیے سچ ہوتی ہے۔ یہ قیم مساوات کے حل ہیں۔

(ج) ایک مساوات کا حل کیسے حاصل کیا جاتا ہے؟

ہم گواہی دیتے ہیں کہ مساوات کے دونوں ہاتھ منسوب ہوتے ہیں۔ ہم مساوات کے دونوں ہاتھ پر ایک ہی جبری عمل کاری کرتے ہیں تاکہ منسوبیت ختم نہ ہو۔ ایسی کچھ اقدامات مساوات کا حل دیتے ہیں۔ $x=5$ مساوات کا حل ہے

$2 x-3=7$۔ $x=5$ کے لیے،

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

ایسے طور پر $x=10$ مساوات کا حل نہیں ہے۔ $x=10$ کے لیے، LHS $=2 \times 10-3=17$۔ یہ RHS کے برابر نہیں ہے

2.2 متغیر کے دونوں سوالات پر مشتمل مساوات کا حل

ایک مساوات دونوں تعبیرات کے قیم کے برابری ہے۔ مساوات $2 x-3=7$ میں دو تعبیرات $2 x-3$ اور 7 ہیں۔ جو کچھ ہم نے اب تک آنے والے مثالوں میں آنے والے ہیں، اس میں RHS صرف ایک عدد ہوتی ہے۔ لیکن یہ ہمیشہ ہمیشہ ہونے کی ضرورت نہیں ہے؛ دونوں ہاتھ میں متغیرات کے ساتھ تعبیرات بھی ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مساوات $2 x-3=x+2$ میں دونوں ہاتھ متغیر کے ساتھ تعبیرات ہیں؛ بائیں ہاتھ کا تعبیر $(2 x-3)$ ہے اور دائیں ہاتھ کا تعبیر $(x+2)$ ہے۔

• اب ہم دونوں ہاتھ میں متغیر کے ساتھ تعبیرات والی ایسی مساوات کا حل کرنے کا مذکرہ کرتے ہیں جو $2 x-3=x+2$

حل: ہم نے مساوات کے دونوں ہاتھ سے شدہ کیا، ایک عدد (ثابت) نہیں، بلکہ متغیر سے متعلقہ ایک حصہ۔ ہم اس کو کر سکتے ہیں کیونکہ متغیر بھی ایک عدد ہے۔ اس کے علاوہ، $x$ کو دونوں ہاتھ سے شدہ کرنے کا مطلب $x$ کو بائیں ہاتھ لے جانا ہے۔

مثال 2 : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ کا حل کریں

حل: مساوات کے دونوں ہاتھ کو 2 سے ضرب دیں۔ ہم حاصل کرتے ہیں

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

یا:

$ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

یا:

$ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x کو بائیں ہاتھ لے جانا) } $

یا:

$ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{یا }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{یا }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

یا $\quad x=\frac{-35}{7}$

یا $\quad x=-5 $

تمرین 2.1

مندرجہ ذیل مساوات کو حل کریں اور اپنے نتائج کی جانچ کریں۔

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 مساوات کو آسان شکل میں کم کرنا

مثال 16 : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ کا حل کریں

حل: مساوات کے دونوں ہاتھ کو 6 سے ضرب دیں،

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ یا

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{یا } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{یا } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (گول کرنا) } \\ \text{یا } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{یا } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{یا } & 11 x+8 = -3 \\ \text{یا } & 11 x = -3-8 \\ \text{یا } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (مطلوبہ حل) } \end{gathered} $

جانچ: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (مطلوبہ طور پر) } \end{aligned} $

مثال 17 : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ کا حل کریں

حل: گول کرنے کی طرف دعوت دیں،

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ مساوات } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ یا } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ یا } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{ \frac{3}{2} کو لے جانا})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

لہٰذا، مطلوبہ حل $x=\frac{5}{2}$ ہے۔

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{کیا آپ نے دیکھا کہ ہم نے دیے گئے مساوات کی شکل کیسے آسان بنایا؟ یہاں، ہمے دونوں ہاتھ کو مساوات کے لیے تعبیروں میں حصوں کے مختلف ممالک کا LCM سے ضرب دینا پڑا} \\ \hline \end{array}$

جانچ $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (مطلوبہ طور پر) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{نوٹ، اس مثال میں ہم نے مساوات کو آسان بنانے کے لیے گول کرنے اور مساوات کے دونوں ہاتھ میں ایک جیسے حصوں کو جوڑنے سے کیا} \\ \hline \end{array}$

تمرین 2.2

مندرجہ ذیل لائنئر مساوات کو حل کریں۔

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

مساوات کو آسان بنائیں اور مندرجہ ذیل لائنئر مساوات کو حل کریں۔

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

ہم نے کیا کہا؟

1. جبری مساوات متغیرات کے شامل ایک برابری ہے۔ اس میں برابری علامت کے ایک ہاتھ کے تعبیر کی قیم برابر برابری علامت کے دوسرے ہاتھ کے تعبیر کی قیم کے برابر ہوتی ہے۔

2. ہمارے درس VI، VII اور VIII میں سیکھے گئے مساوات ایک متغیر کی لائنئر مساوات تھیں۔ ایسی مساوات میں، مساوات بنانے والے تعبیرات میں صرف ایک متغیر ہوتا ہے۔ اس کے علاوہ، مساوات لائنئر ہوتی ہے، یعنی مساوات میں ظاہر ہونے والے متغیر کی طاقت جو بڑی ہے وہ 1 ہے۔

3. ایک مساوات میں دونوں ہاتھ میں لائنئر تعبیرات بھی ہو سکتے ہیں۔ ہمارے درس VI اور VII میں سیکھے گئے مساوات میں مساوات کے ایک ہاتھ میں صرف ایک عدد تھا۔

4. جیسے ہم عددوں کو مساوات کے ایک ہاتھ سے دوسرے ہاتھ لے جاتے ہیں، اسی طرح متغیر بھی مساوات کے ایک ہاتھ سے دوسرے ہاتھ لے جاسکتے ہیں۔

5. کب کب مساوات بنانے والے تعبیرات کو عام طریقے سے حل کرنے سے پہلے آسان بنانے کی ضرورت ہوتی ہے۔ کچھ مساوات اولیہ تجویز لائنئر نہیں ہو سکتی، بلکہ ایک مناسب تعبیر سے دونوں ہاتھ کو ضرب دینے سے انہیں لائنئر شکل میں لایا جا سکتا ہے۔

6. لائنئر مساوات کی کارکردگی ان کے مختلف استعمالات میں ہے؛ تعدادوں، عمر، مقام، کرنس نوٹس کا ترکیب، اور اس طرح کے دیگر مسائل کو لائنئر مساوات استعمال کرتے ہوئے حل کیے جا سکتے ہیں۔