8.1 الجبری تعبیرات کا جمع اور تفریق

پچھلے کلاسوں میں ہم نے پہلے ہی آگیا تھا کہ الجبری تعبیرات (یعنی صرف تعبیرات) کیا ہیں۔ تعبیرات کے مثال:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ اور غیرہ. } $

پچھلے کلاسوں میں ہم نے پھر بھی سیکھا ہے کہ الجبری تعبیرات کو کیسے جمع کیا جائے اور کیسے تفریق کیا جائے۔ مثال کے طور پر، $7 x^{2}-4 x+5$ اور $9 x-10$ کو جمع کرنے کے لیے ہم کرتے ہیں

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

جمع کرنے کے طریقے کو دیکھیں۔ ہم ہر تعبیر کو جمع کرنے والے کے لیے اپنی اپنی ایک رو کے اندر لکھتے ہیں۔ اس کے دوران ہم یکسان جذور کو ایک دوسرے کے نیچے لکھتے ہیں، اور ان کو جمع کرتے ہیں، جیسے دکھایا گیا ہے۔ اس طرح $5+(-10)=5-10=-5$۔ بہتر ہے $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$۔ ہم کچھ اور مثالیں ذیل میں پیش کرتے ہیں۔

مثال 1 : جمع کریں: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$۔

حل: تین تعبیرات کو اپنی اپنی رو کے اندر لکھتے ہیں، اور یکسان جذور کو ایک دوسرے کے نیچے، ہم کرتے ہیں

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(نوٹ xz اور zx ایک ہی ہے)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

مثال 2 : $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ سے $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ کو تفریق کریں۔

حل:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

نوٹ کریں کہ ایک عدد کا تفریق اس عدد کے متقابل عدد کے جمع کے متعلق ہوتا ہے۔ اس لیے -3 کو تفریق کرنا +3 کے جمع کے متعلق ہے۔ بہتر ہے، $6 y$ کو تفریق کرنا $-6 y$ کے جمع کے متعلق ہے؛ $-4 y^{2}$ کو تفریق کرنا $4 y^{2}$ کے جمع کے متعلق ہے اور غیرہ۔ دوسری رو کے ہر حصے کے نیچے ذیل میں لکھے گئے علامات ہمیں دکھاتے ہیں کہ کون سی عملیات کی ضرورت ہے۔

توازن 8.1

1. ذیل کو جمع کریں۔

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $12 a-9 a b+5 b-3$ سے $4 a-7 a b+3 b+12$ کو تفریق کریں

(b) $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ سے $3 x y+5 y z-7 z x$ کو تفریق کریں

(c) $18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$ سے

$4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ کو تفریق کریں

8.2 الجبری تعبیرات کا ضرب: تعارف

(i) ذیل کے ڈاٹ کے نمائنام کو دیکھیں۔

(ii) کیا آپ اب اسی طرح کے دوسرے مواقع سوچ سکتے ہیں جہاں دو الجبری تعبیرات کو ضرب دینا ضروری ہو؟

امینہ اٹھی۔ وہ کہتی ہے، “ہم دائرے کے رقبے سے بات کر سکتے ہیں۔” دائرے کا رقبہ $l \times b$ ہے، جہاں $l$ طول ہے، اور $b$ تراض ہے۔ اگر دائرے کا طول 5 یونٹس بڑھ جائے، یعنی $(l+5)$ اور

(iii) کیا آپ حجم کے بارے میں سوچ سکتے ہیں؟ (دائری کسی بھی آلہ کا حجم اس کے طول، تراض اور چوڑائی کے حاصل ضرب سے دیا جاتا ہے۔)

(iv) ساریتا کہتی ہے کہ جب ہم جذبات خریدتے ہیں، تو ہم ضرب کرنا پڑتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر

$ \text{ پیتھوں کی قیمت ایک دزن کے لیے }=₹ p $

اور مکمل کے لیے پیتھے $=z$ دزن کی ضرورت ہے،

$ \text{ تو ہم پہنچنے والے ہوں }=₹ p \times z $

کہیں، اگر قیمت ایک دزن کے لیے $₹ 2$ کم تھی اور پیتھے 4 دزن کم تھے۔

تو، $\quad$ پیتھوں کی قیمت ایک دزن کے لیے $=₹(p-2)$

اور $\quad$ پیتھے $=(z-4)$ دزن تھے،

اس لیے ہم $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$ پہنچنے والے ہوں

کوشش کریں

کیا آپ دوسرے دو مواقع سوچ سکتے ہیں، جہاں ہم کسی الجبری تعبیر کے ضرب کی ضرورت ہو سکتی ہے؟

[اشارہ: $\bullet$ سرعت اور وقت سوچیں؛

• سادہ سود کی قیمت، بنیادی رقم اور سادہ سود کی سیکھ سوچیں؛ غیرہ۔]

سب سے اوپر ذکر کردہ تمام مثالوں میں، ہم کے دو یا ایک سے زیادہ مقداروں کا ضرب کرنا پڑا تھا۔ اگر مقدار الجبری تعبیر سے دی گئی ہو، تو ہم ان کا حاصل ضرب حاصل کرنا چاہتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہم اس حاصل ضرب کو کیسے حاصل کریں، اسے جاننا چاہیے۔ ہم اسے منسلک طریقے سے کریں گے۔ شروع کرتے ہیں، ہم دو مونوملز کے ضرب کا مطالعہ کریں گے۔

8.3 ایک مونومل کا ایک مونومل سے ضرب

ایک حصے سے صرف ایک حصہ والا تعبیر مونومل کہلاتا ہے۔

8.3.1 دو مونوملز کا ضرب

ہم شروع کرتے ہیں

بہتر ہے $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

اب، ذیل کے حاصل ضرب کو دیکھیں۔

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

کچھ اور مفید مثالیں درج ذیل ہیں۔

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

ہم ایسے الجبری حصوں کے دو مونوملز کے ذریعے ہم ان کے ہر متغیر کے قوت کو کیسے جمع کرتے ہیں، اسے دیکھیں۔ اس کے دوران، ہم قوت اور قوت کے قواعد استعمال کرتے ہیں۔

نوٹ کریں $5 \times 4=20$

یعنی حاصل ضرب کا مساحت $=$ پہلے مونومل کا مساحت $\times$ دوسرے مونومل کا مساحت؛

اور $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

یعنی حاصل ضرب کا الجبری حصہ $=$ پہلے مونومل کا الجبری حصہ $\times$ دوسرے مونومل کا الجبری حصہ۔

8.3.2 سے سے ایک سے زیادہ مونوملز کا ضرب

ذیل کے مثالوں کو دیکھیں۔

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

واضح ہے کہ ہم پہلے دو مونوملز کا ضرب کرتے ہیں اور پھر نتیجہ والا مونومل کو تیسرے مونومل سے ضرب دیتے ہیں۔ اس طریقے کو کسی بھی تعداد کے مونوملز کے ضرب میں توسیع کیا جا سکتا ہے۔

کوشش کریں

$4 x \times 5 y \times 7 z$ حاصل کریں

پہلے $4 x \times 5 y$ حاصل کریں اور اسے $7 z$ سے ضرب دیں؛ یا پہلے $5 y \times 7 z$ حاصل کریں اور اسے $4 x$ سے ضرب دیں۔ نتیجہ ایک ہی ہے؟ آپ کیا دیکھتے ہیں؟

آپ کوئی ضرورت نہیں ہے کہ آپ ضرب کرنے کے طریقے کا ترتیب کیا ہو؟

مثال 3 : دیے گئے طول اور تراض کے ساتھ دائرے کا رقبہ کا جدول مکمل کریں۔

حل:

مثال 4 : دیے گئے طول، تراض اور چوڑائی کے ساتھ ہر دائری بکس کا حجم حاصل کریں۔

حل: حجم $=$ طول $\times$ تراض $\times$ چوڑائی

اس لیے،

(i) حجم $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

اس کے لیے: (ii) حجم $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

اس کے لیے: (iii) حجم $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

توازن 8.2

1. ذیل کے مونوملز کے حاصل ضرب کو حاصل کریں۔

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. طول اور تراض کے ذریعے دائرے کے رقبے کو حاصل کریں۔

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. حاصل ضرب کا جدول مکمل کریں۔

4. طول، تراض اور چوڑائی کے ذریعے دائری بکس کے حجم کو حاصل کریں۔

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. حاصل ضرب کو حاصل کریں

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 ایک مونومل کا ایک پولی نومل سے ضرب

ایک حصے سے دو حصوں والا تعبیر بائنومل کہلاتا ہے۔ ایک حصے سے سات حصوں والا تعبیر ترائنومل کہلاتا ہے اور غیرہ۔ مختلف طور پر، ایک حصے سے ایک یا زیادہ حصوں والا تعبیر جو غیر صفر مساحت (اور جو متغیرات کے لیے غیر منفی عددی قوتوں کے ساتھ مرتب ہوتا ہے) کے ساتھ مرتب ہوتا ہے، پولی نومل کہلاتا ہے۔

8.4.1 ایک مونومل کا ایک بائنومل سے ضرب

ہم ایک مونومل $3 x$ کو ایک بائنومل $5 y+2$ سے ضرب دیتے ہیں، یعنی $3 x \times(5 y+2)=$؟

یاد رکھیں $3 x$ اور $(5 y+2)$ عددوں کی جگہ ہیں۔ اس لیے، توزیعی قاعدے کا استعمال کرتے ہیں،

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

ہمارے حسابات میں ہم روزانہ توزیعی قاعدہ استعمال کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

بہتر ہے، $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

اور: $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$۔

ایک بائنومل $\times$ مونومل کی صورت میں کیا ہوگا؟ مثال کے طور پر، $(5 y+2) \times 3 x=$؟

ہم تبادلی قاعدہ استعمال کر سکتے ہیں: $7 \times 3=3 \times 7$؛ یا مختلف طور پر $a \times b=b \times a$

بہتر ہے، $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ پہلے طریقے سے۔

کوشش کریں

حاصل ضرب حاصل کریں

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 ایک مونومل کا ایک ترائنومل سے ضرب

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ سوچیں۔ پہلے صورت میں طریقے کے مطابق، ہم توزیعی قاعدہ استعمال کرتے ہیں؛

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

ترائنومل کے ہر حصے کو مونومل سے ضرب دیں اور حاصل ضربوں کو جمع کریں۔

دیکھیں، توزیعی قاعدہ استعمال کرتے ہوئے، ہم حصہ بغصہ ضرب کر سکتے ہیں۔

کوشش کریں

حاصل ضرب حاصل کریں:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

مثال 5 : تعبیرات کو ظاہر کریں اور دلیل دیے گئے طور پر ان کا ارتکاز کریں: (i) $x(x-3)+2$ کے لیے $x=1$، (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ کے لیے $y=-2$

حل:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ کے لیے } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

کے لیے $y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

مثال 6 : جمع کریں

(i) $5 m(3-m)$ اور $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ اور $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

حل:

(i) پہلا تعبیر $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

اب اس میں دوسرا تعبیر جمع کرتے ہیں، $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) پہلا تعبیر $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

دوسرا تعبیر $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

دونوں تعبیرات کو جمع کرتے ہیں،

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

مثال 7 : $3 p q(p-q)$ سے $2 p q(p+q)$ کو تفریق کریں۔

حل: ہم کرتے ہیں $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ اور

تفریق کرتے ہیں،

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

توازن 8.3

1. ہر ایک کے ذریعے ضرب کریں۔ (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. جدول کو مکمل کریں۔

3. حاصل ضرب حاصل کریں۔

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (a) ظاہر کریں $3 x(4 x-5)+3$ اور اس کے ارتکاز کو حاصل کریں (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$۔

(b) ظاہر کریں $a(a^{2}+a+1)+5$ اور اس کے ارتکاز کو حاصل کریں (i) $a=0$، (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$۔

5. (a) جمع کریں: $p(p-q), q(q-r)$ اور $r(r-p)$

(b) جمع کریں: $2 x(z-x-y)$ اور $2 y(z-y-x)$

(c) تفریق کریں: $3 l(l-4 m+5 n)$ سے $4 l(10 n-3 m+2 l)$

(d) تفریق کریں: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ سے $4 c(-a+b+c)$

8.5 ایک پولی نومل کا ایک پولی نومل سے ضرب

8.5.1 ایک بائنومل کا ایک بائنومل سے ضرب

ہم ایک بائنومل $(2 a+3 b)$ کو دوسرے بائنومل، یعنی $(3 a+4 b)$ سے ضرب دیتے ہیں۔ ہم پہلے صورتوں میں طریقے کے مطابق، توزیعی ضرب کے قاعدے کے اصول کے ذریعے اسے مرحلہ بغصہ کرتے ہیں،

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{دیکھیں، ایک بائنومل کے ہر حصے} \\ \text{دوسرے بائنومل کے ہر حصے سے ضرب دیتا ہے۔} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{چونکہ } ba=ab) \end{aligned} $

جب ہم حصہ بغصہ ضرب کرتے ہیں، تو ہم $2 \times 2=4$ حصوں کو انتظار کرتے ہیں۔ لیکن ان میں سے دو حصوں کو یکسان جذور کہا جاتا ہے، جو جمع کیے جاتے ہیں، اور اس لیے ہم 3 حصوں کے حاصل ضرب حاصل کرتے ہیں۔ پولی نوملز کے پولی نوملز کے ضرب میں، ہمیں ہمیشہ یکسان جذور تلاش کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، اگر ہوں، اور ان کو جمع کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔

مثال 8 : ضرب دیں

(i) $(x-4)$ اور $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ اور $(3 x+5 y)$

حل:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (یکسان جذور کو جمع کرتے ہوئے) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{ یکسان جذور کو جمع کرتے ہوئے }) \end{aligned} $

مثال 9 : ضرب دیں

(i) $(a+7)$ اور $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ اور $(5 a-3 b)$

حل:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $

نوٹ کریں کہ اس ضرب میں کوئی یکسان جذور شامل نہیں ہیں۔

(ii) $(a^{2}+2 b^{2}) \times(5 a-3 b)=a^{2}(5 a-3 b)+2 b^{2} \times(5 a-3 b)$

$ =5 a^{3}-3 a^{2} b+10 a b^{2}-6 b^{3} $

8.5.2 ایک بائنومل کا ایک ترائنومل سے ضرب

اس ضرب میں، ہم ترائنومل کے ساتھ ساتھ بائنومل کے دونوں حصوں کے ہر ایک کو ترائنومل کے ساتھ ساتھ دونوں حصوں کے ہر ایک سے ضرب دینا پڑے گا۔ ہم مختلف طور پر $3 \times 2=6$ حصوں کو حاصل کریں گے، جو اگر حصہ بغصہ ضرب کرنے کے نتیجے میں یکسان جذور حاصل ہوں تو 5 یا اس سے کم ہو سکتے ہیں۔ سوچیں

$ \begin{aligned} & \underbrace{(a+7)} _{\text{بائنومل }} \times \underbrace{(a^{2}+3 a+5)} _{\text{ترائنومل }}=a \times(a^{2}+3 a+5)+7 \times(a^{2}+3 a+5) \\ &=a^{3}+3 a^{2}+5 a+7 a^{2}+21 a+35 \\ &=a^{3}+(3 a^{2}+7 a^{2})+(5 a+21 a)+35 \\ &=a^{3}+10 a^{2}+26 a+35 \quad \text{ (کیا اس کے نتیجے میں صرف } 4 \\ & \text{ حصوں ہیں؟) } \end{aligned} $

مثال 10 : ظاہر کریں $(a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c$۔

حل: ہم کرتے ہیں

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c) & =a(2 a-3 b+c)+b(2 a-3 b+c) \\ & =2 a^{2}-3 a b+a c+2 a b-3 b^{2}+b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c \end{aligned} $

(نوٹ، $-3 a b$ اور $2 a b$ یکسان جذور ہیں)

اور $\quad(2 a-3 b) c=2 a c-3 b c$

اس لیے،

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-(2 a c-3 b c) \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-2 a c+3 b c \\ & =2 a^{2}-3 b^{2}-a b+4 b c-a c \end{aligned} $

توازن 8.4

1. بائنوملز کو ضرب دیں۔

(i) $(2 x+5)$ اور $(4 x-3)$ $\quad$ (ii) $(y-8)$ اور $(3 y-4)$ $\quad$ (iii) $(2.5 l-0.5 m)$ اور $(2.5 l+0.5 m)$ $\quad$ (v) $(2 p q+3 q^{2})$ اور $(3 p q-2 q^{2})$

(iv) $(a+3 b)$ اور $(x+5)$ $\quad$ (vi) $(\frac{3}{4} a^{2}+3 b^{2})$ اور $4(a^{2}-\frac{2}{3} b^{2})$

2. حاصل ضرب حاصل کریں۔

(i) $(5-2 x)(3+x)$ $\quad$ (ii) $(x+7 y)(7 x-y)$ $\quad$ (iii) $(a^{2}+b)(a+b^{2})$ $\quad$ (iv) $(p^{2}-q^{2})(2 p+q)$

3. ظاہر کریں۔

(i) $(x^{2}-5)(x+5)+25$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+5)(b^{3}+3)+5$ $\quad$

(iii) $(t+s^{2})(t^{2}-s)$ $\quad$ (iv) $(a+b)(c-d)+(a-b)(c+d)+2(a c+b d)$

(v) $(x+y)(2 x+y)+(x+2 y)(x-y) \quad$ (vi) $\quad(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$ $\quad$

(vii) $(1.5 x-4 y)(1.5 x+4 y+3)-4.5 x+12 y$ $\quad$ (viii) $(a+b+c)(a+b-c)$

ہم نے کیا بات کی؟

1. تعبیرات متغیرات اور مساحتوں سے بنتے ہیں۔

2. حصوں کو جمع کرتے ہیں تاکہ تعبیرات بنیں۔ حصوں کو خود ہی فیکٹرز کے حاصل ضرب سے بنایا جاتا ہے۔

3. صرف ایک، دو اور سات حصوں والے تعبیرات مونومل، بائنومل اور ترائنومل کہلاتے ہیں علیحدہ طور پر۔ مختلف طور پر، کسی بھی تعبیر جو ایک یا زیادہ حصوں سے مرتب ہوتا ہے جو غیر صفر مساحت (اور جو متغیرات کے لیے غیر منفی عددی قوتوں کے ساتھ مرتب ہوتا ہے) کے ساتھ مرتب ہوتا ہے، پولی نومل کہلاتا ہے۔

4. یکسان جذور اسی متغیرات سے مرتب ہوتے ہیں اور ان متغیرات کی قوت بھی ایک ہوتی ہے۔ یکسان جذور کے مساحتوں کا مساحت بھی ایک ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔

5. پولی نوملز کو جمع (یا تفریق) کرتے ہوئے، پہلے یکسان جذور کو دیکھیں اور ان کو جمع (یا تفریق) کریں؛ پھر غیر یکسان جذور کو ہینڈل کریں۔

6. الجبری تعبیرات کے ضرب کی ضرورت ہونے والے مواقع کچھ ہیں: مثال کے طور پر، دائرے کے رقبے کا تعین کرنے میں، جن کے سروں کو تعبیر سے دیا جاتا ہے۔

7. ایک مونومل کا ایک مونومل سے ضرب ہمیشہ ایک مونومل حاصل کرتا ہے۔

8. ایک پولی نومل کو ایک مونومل سے ضرب کرتے ہوئے، ہم پولی نومل کے ہر حصے کو مونومل سے ضرب دیتے ہیں۔

9. ایک پولی نومل کو ایک بائنومل (یا ترائنومل) سے ضرب کرنے کے دوران، ہم حصہ بغصہ ضرب دیتے ہیں، یعنی پولی نومل کے ہر حصے کو بائنومل (یا ترائنومل) کے ہر حصے سے ضرب دیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس ضرب میں، ہم حاصل ضرب میں یکسان جذور حاصل کر سکتے ہیں اور ان کو جمع کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔