10.1 تعارف

آپ نے درس تاسیس 9 میں سیکھا ہے کہ دائرہ ایک ساتھ ہے جس میں ایک مستقل نقطے (مرکز) سے ایک مساوی فاصلے (نصف قطر) کی طرف سے ایک پلان میں موجود تمام نقاط کا مجموعہ ہے۔ آپ نے دائرے کے ساتھ مربوط مختلف اصطلاحات بھی سیکھے ہیں جیسے چونڈ، حصہ، سیکٹر، ایرک وغیرہ۔ اب دوسرے موقف کو دیکھتے ہیں جو ایک پلان میں ایک دائرے اور ایک خط کے درمیان پیش آ سکتا ہے۔

تو، ہم ایک دائرے اور ایک خط PQ کو جائزہ لیتے ہیں۔ نیچے دیکھیں کہ نیچے دیئے گئے شکل 10.1 میں سے ہیں:

شکل 10.1

شکل 10.1 (i) میں، خط PQ اور دائرہ کا کوئی مشترکہ نقطہ نہیں ہے۔ اس صورت میں PQ کو دائرے کے نسبتے بغیر ملنے والے خط کہا جاتا ہے۔ شکل 10.1 (ii) میں، خط $\mathrm{PQ}$ اور دائرہ کے دو مشترکہ نقاط $\mathrm{A}$ اور $\mathrm{B}$ ہیں۔ اس صورت میں، ہم خط PQ کو دائرے کا ایک سیکنٹ کہتے ہیں۔ شکل 10.1 (iii) میں، خط PQ اور دائرے کا ایک ہی نقطہ A ہے۔ اس صورت میں، خط کو دائرے کا ایک مماس کہا جاتا ہے۔

آپ نے وال پالن کے ساتھ ایک پالن پر ایک پالن جو پانی کے باہر نکالنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، کا مشاہدہ کیا ہو گا۔ شکل 10.2 کو دیکھیں۔ یہاں پالن کے دونوں اطراف پر چند، اگر ایک رے کے طور پر سمجھا جائے، تو یہ پالن کے جوڑے کی طرف سے دائرے کا مماس جیسا ہو۔

شکل 10.2

کیا خط کا دائرے کے نسبتے کوئی دوسری حالت ہے جو نیچے دیئے گئے اقسام سے مختلف ہے؟ آپ دیکھ سکتے ہیں کہ دائرے کے نسبتے خط کی کوئی دوسری قسم ممکن نہیں ہے۔ اس فصل میں، ہم دائرے کے مماس کی موجودگی پر تحقیق کریں گے اور اس کی بعض خصوصیات کو بھی دیکھیں گے۔

10.2 دائرے کا مماس

سابقہ سیکشن میں آپ نے دیکھا ہے کہ دائرے کا مماس ایک خط ہے جو دائرے پر ایک ہی نقطے پر ہی تقریباً ہوتا ہے۔

دائرے کے ایک نقطے پر مماس کی موجودگی کو سمجھنے کے لیے، ہم درج ذیل فعالیتیں کریں:

فعالیت 1 : ایک دائری چھوٹی تھیل اور دائری تھیل پر ایک سیدھا تھیل $A B$ کو ایک نقطہ $P$ پر منسلک کریں تاکہ یہ ایک پلان میں نقطہ $\mathrm{P}$ کے حوالے سے گھوم سکے۔ سسٹم کو ایک میز پر ڈالیں اور تھوڑی سی زور سے تھیل $\mathrm{AB}$ کو نقطہ $\mathrm{P}$ کے حوالے سے گھوما کر سیدھا تھیل کے مختلف مواقع کو حاصل کریں [شکل 10.3(i) میں دیکھیں]۔

مختلف مواقع میں، تھیل دائری تھیل پر $\mathrm{P}$ اور دوسرے نقطہ $\mathrm{Q_1}$ یا $\mathrm{Q_2}$ یا $\mathrm{Q_3}$ وغیرہ پر ملتا ہے۔ ایک موقع میں، آپ دیکھیں گے کہ یہ دائرے پر ایک ہی نقطہ $\mathrm{P}$ پر ملے گا (شکل 10.3(i) میں دیکھیں $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ کا موقع $\mathrm{AB}$ )۔ اس سے دکھایا جاتا ہے کہ دائرے کے نقطہ $\mathrm{P}$ پر ایک مماس موجود ہے۔ اب گھومنا جاری رکھیں، تو آپ دیکھ سکتے ہیں کہ $\mathrm{AB}$ کے دیگر تمام مواقع میں، یہ دائرے پر $\mathrm{P}$ اور دوسرے نقطہ، یعنی $\mathrm{R_1}$ یا $\mathrm{R_2}$ یا $\mathrm{R_3}$ وغیرہ پر ملے گا۔ تو، آپ دیکھ سکتے ہیں کہ دائرے کے ایک نقطے پر ایک ہی مماس ہوتا ہے۔

شکل 10.3 (i)

مذکور فعالیت کے دوران، آپ نے یقینی طور پر دیکھا ہو گا کہ جیسے جیسے موقع $A B$ موقع $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ کی طرف چھوٹا جاتا ہے، تیسے تیسے خط $\mathrm{AB}$ اور دائرے کا مشترکہ نقطہ، یعنی $\mathrm{Q_1}$، دائرے کے مشترکہ نقطہ $\mathrm{P}$ کی طرف چھوٹا جاتا ہے۔ آخر میں، یہ موقع $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ میں $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ کے موقع میں نقطہ $\mathrm{P}$ کے ساتھ ہم آہنگ ہو جاتا ہے۔ اب دوبارہ دیکھیں، اگر ’ $\mathrm{AB}$ ’ کو $\mathrm{P}$ کے حوالے سے دائیں جانب گھوما جائے؟ تو مشترکہ نقطہ $\mathrm{R_3}$ تیسے تیسے P کی طرف چھوٹا جاتا ہے اور آخر میں P کے ساتھ ہم آہنگ ہو جاتا ہے۔ تو ہم دیکھتے ہیں:

دائرے کا مماس ایک سیکنٹ کی ایک خاص صورت ہے، جب اس کے مطابق چونڈ کے دونوں کونے ہم آہنگ ہو جاتے ہیں۔

فعالیت 2 : ایک ورق پر ایک دائرہ اور اس دائرے کا ایک سیکنٹ PQ ڈرا کر دیں۔ اس سیکنٹ کے دونوں اطراف پر مختلف خطوط کھینچیں ڈرا کر دیں۔ آپ دیکھیں گے کہ کچھ اقدامات کے بعد، خط کے ذریعے ڈھانپی گئی چونڈ کی لمبائی تیسے تیسے کم ہو جائے گی، یعنی خط اور دائرے کے دونوں ملنے والے نقاط تیسے تیسے قریب ہو جاتے ہیں [شکل 10.3(ii) میں دیکھیں]۔ ایک صورت میں، اس سیکنٹ کے ایک اطراف پر یہ صفر ہو جاتا ہے اور دوسری صورت میں، اس کے دوسرے اطراف پر یہ صفر ہو جاتا ہے۔ شکل 10.3 (ii) میں سیکنٹ کے مواقع $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ اور $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ کو دیکھیں۔ یہ چھوٹے سیکنٹ PQ کے ساتھ ہم آہنگ دائرے کے مماس ہیں۔ اس سے بھی آپ دیکھ سکتے ہیں کہ ایک معین سیکنٹ کے ساتھ زیادہ از زیادہ دو مماس ہو سکتے ہیں۔

شکل 10.3 (ii)

اس فعالیت نے بھی یقینی طور پر آپ کو دیکھایا ہے، جو آپ نے فعالیت 1 کے دوران دیکھا ہو گا، یعنی مماس ایک سیکنٹ ہے جب اس کے مطابق چونڈ کے دونوں کونے ہم آہنگ ہو جاتے ہیں۔

مماس اور دائرے کا مشترکہ نقطہ کو مشترکہ نقطہ کہا جاتا ہے [شکل 10.1 (iii) میں نقطہ A] اور مماس کو اس مشترکہ نقطے پر دائرے کو لگنا کہا جاتا ہے۔

اب اپنے ارد گرد دیکھیں۔ کیا آپ ایک دوڑنے والی بائیسائیکل یا ایک کارٹ دیکھتے ہیں؟ اس کے گھنٹیوں کو دیکھیں۔ گھنٹیوں کے تمام چھلکے اس کے نصف قطروں کے ساتھ ہیں۔ اب گھنٹی کی ہوا کی حالت کو اس کی زمین پر حرکت کے نسبتے سمجھیں۔ کیا آپ کے پاس کوئی مماس دیکھا ہے؟ (شکل 10.4 میں دیکھیں)۔ درحقیقت میں، گھنٹی ایک خط کے ساتھ گھمتی ہے جو گھنٹی کی طرف سے دائرے کا مماس ہے۔ اسی طرح، دیکھیں کہ تمام مواقع میں، زمین کے ساتھ مشترکہ نقطے کے ذریعے نصف قطر مماس کے ساتھ درحقیقت میں ایک قائمہ زاویے پر ہوتا ہے (شکل 10.4 میں دیکھیں)۔ اب ہم اس مماس کی خصوصیت کو ثابت کریں گے۔

شکل 10.4

مسئلہ 10.1 : دائرے کے کسی بھی نقطے پر مماس نقطے کے ساتھ مشترکہ نصف قطر کے ساتھ ایک قائمہ زاویے پر ہوتا ہے۔

ثبوت : ہم کوئی دائرہ پائے گی جس کا مرکز $\mathrm{O}$ ہے اور اس دائرے پر ایک مماس $\mathrm{XY}$ ہے جو ایک نقطہ $\mathrm{P}$ پر ہے۔ ہم کہنا چاہتے ہیں کہ $\mathrm{OP}$ $\mathrm{XY}$ کے ساتھ ایک قائمہ زاویے پر ہے۔

ایک نقطہ $\mathrm{Q}$ کو $\mathrm{XY}$ پر $\mathrm{P}$ کے علاوہ چنیں اور $\mathrm{OQ}$ کو موصول کریں (شکل 10.5 میں دیکھیں)۔

نقطہ $\mathrm{Q}$ دائرے کے باہر ہونا چاہیے۔ (کیا؟ نوٹ کریں کہ اگر Q دائرے کے اندر ہوتا تو XY دائرے کے سیکنٹ ہوتا اور مماس نہیں ہوتا)۔ اس لیے OQ دائرے کے نصف قطر $\mathrm{OP}$ سے زیادہ ہوتا ہے۔ یعنی،

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

اس طرح ایسا ہر نقطہ کے لیے ہوتا ہے جو خط $\mathrm{XY}$ پر ہے جو نقطہ $\mathrm{P}$ کے علاوہ ہے، $\mathrm{OP}$ $\mathrm{O}$ کے نقطہ سے خط XY کے نقاط کے تمام فاصلوں میں سب سے چھوٹا ہوتا ہے۔ اس لیے OP XY کے ساتھ قائمہ زاویے پر ہے۔ (مسئلہ A1.7 میں دیکھیں)۔

شکل 10.5

تبصرے

1. مذکورہ بالا مسئلے کے ذریعے، ہم اس بات کو بھی ثابت کر سکتے ہیں کہ دائرے پر ہر نقطے پر ایک ہی مماس ہوتا ہے۔

2. مشترکہ نقطے کے ذریعے نصف قطر کو مربوط کرنے والی خط کو بعض اوقات دائرے کے نقطے پر ‘ناٹرل’ کہا جاتا ہے۔

10.3 دائرے پر ایک نقطے سے مماس کی تعداد

دائرے پر ایک نقطے سے مماس کی تعداد کو سمجھنے کے لیے، ہم درج ذیل فعالیت کریں:

فعالیت 3 : ایک ورق پر ایک دائرہ ڈرا کر دیں۔ اس دائرے کے اندر ایک نقطہ $P$ چنیں۔ کیا آپ اس نقطے کے ذریعے دائرے پر ایک مماس ڈرا سکتے ہیں؟ آپ دیکھیں گے کہ اس نقطے کے ذریعے تمام خطوط دائرے پر دو نقاط پر ملتی ہیں۔ اس لیے اس دائرے کے اندر موجود کسی بھی نقطے کے ذریعے دائرے پر کوئی مماس ڈرایا جا نہیں سکتا [شکل 10.6 (i) میں دیکھیں]۔

اب ایک نقطہ $\mathrm{P}$ کو دائرے پر چنیں اور اس نقطے کے ذریعے مماس ڈرا کر دیں۔ آپ نے پہلے ہی دیکھا ہو گا کہ اس طرح دائرے پر ایک ہی مماس ہوتا ہے [شکل 10.6 (ii) میں دیکھیں]۔

آخر میں، ایک نقطہ $P$ کو دائرے کے باہر چنیں اور اس نقطے سے دائرے پر مماس ڈرانے کی کوشش کریں۔ آپ کیا دیکھیں گے؟ آپ دیکھیں گے کہ آپ اس نقطے کے ذریعے دائرے پر درست ہی دو مماس ڈرا سکتے ہیں [شکل 10.6 (iii) میں دیکھیں]۔

شکل 10.6

ہم یہ حقائق جمع کر سکتے ہیں:

صورت 1 : دائرے پر ایک نقطہ پر ایک نقطہ کے ذریعے کوئی مماس نہیں ہوتا۔

صورت 2 : دائرے پر ایک نقطہ پر ایک ہی مماس ہوتا ہے۔

صورت 3 : دائرے کے باہر موجود ایک نقطہ سے دائرے پر درست ہی دو مماس ہوتے ہیں۔

شکل 10.6 (iii) میں، $\mathrm{T_1}$ اور $\mathrm{T_2}$ مماس $\mathrm{PT_1}$ اور $\mathrm{PT_2}$ کے مشترکہ نقاط ہیں۔

خارجی نقطہ $P$ سے دائرے کے ساتھ مشترکہ نقطہ تک مماس کا حصہ کو اس نقطہ $\mathrm{P}$ سے دائرے کے مماس کی لمبائی کہا جاتا ہے۔

نوٹ کریں کہ شکل 10.6 (iii) میں، $\mathrm{PT_1}$ اور $\mathrm{PT_2}$ $\mathrm{P}$ سے دائرے کے مماس کی لمبائی ہیں۔ لمبائیوں $\mathrm{PT_1}$ اور $\mathrm{PT_2}$ کا ایک مشترکہ خواص ہے۔ کیا آپ اس کو پائے؟ $\mathrm{PT_1}$ اور $\mathrm{PT_2}$ کو پیمایش کریں۔ یہ مساوی ہیں؟ درحقیقت یہ ہمیشہ ہوتا ہے۔ اس بات کو درج ذیل مسئلے میں ثبوت دیں گے۔

مسئلہ 10.2: ایک خارجی نقطے سے ایک دائرے کے مماس کی لمبائی مساوی ہوتی ہیں۔

ثبوت: ہم کوئی دائرہ پائے گی جس کا مرکز $\mathrm{O}$ ہے، ایک نقطہ $\mathrm{P}$ جو دائرے کے باہر ہے اور $\mathrm{P}$ سے دائرے پر دو مماس PQ، PR (شکل 10.7 میں دیکھیں)۔ ہم کہنا چاہتے ہیں کہ $P Q=P R$۔

شکل 10.7

اس کے لیے، ہم OP، OQ اور OR کو موصول کرتے ہیں۔ اس طرح $\angle \mathrm{OQP}$ اور $\angle \mathrm{ORP}$ قائمہ زاویے ہیں، کیونکہ یہ نصف قطروں اور مماسوں کے درمیان زاویے ہیں اور مسئلہ 10.1 کے مطابق یہ قائمہ زاویے ہیں۔ اب قائمہ مثلث OQP اور ORP میں،

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $(ایک ہی دائرے کے نصف قطر)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (مشترکہ)

اس لیے، $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

اس سے $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$

تبصرے

1. مسئلہ کو درج ذیل طریقے سے پاہیٹاس کے مسئلے کے ذریعے بھی ثبوت دیا جا سکتا ہے:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{کیونکہ} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

جو $P Q=P R$ دیتا ہے۔

2. نوٹ کریں کہ $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$۔ اس لیے $\mathrm{OP}$ زاویہ کا تیسرا حصہ ہے، یعنی مرکز زاویہ کے دونوں مماسوں کے درمیان کے زاویے کے تیسرے حصے پر ہے۔

کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 1 : دو متواز دائریں کے درمیان، زیادہ بڑی دائرے کا چونڈ جو چھوٹی دائرے کو لگاتا ہے، اس کے مشترکہ نقطے پر تیسرے حصے ہوتا ہے۔

حل : ہم کوئی دو متواز دائریں $\mathrm{C_1}$ اور $\mathrm{C_2}$ پائے گی جس کا مرکز $\mathrm{O}$ ہے اور چھوٹی دائرہ $\mathrm{C_2}$ کو $\mathrm{P}$ پر لگنے والا بڑی دائرہ $\mathrm{C_1}$ کا چونڈ $\mathrm{AB}$ (شکل 10.8 میں دیکھیں)۔ ہم کہنا چاہتے ہیں کہ $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$۔

شکل 10.8

لیکن $A B$ کو موصول کریں۔ اس طرح، $A B$ $C_{2}$ کے مشترکہ نقطہ $P$ پر ایک مماس ہے اور $\mathrm{OP}$ اس کا نصف قطر ہے۔ اس لیے مسئلہ 10.1 کے مطابق،

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

اب $\mathrm{AB}$ $\mathrm{C}_{1}$ کا چونڈ ہے اور $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$ ہے۔ اس لیے $\mathrm{OP}$ چونڈ $A B$ کا تیسرا حصہ ہے، کیونکہ مرکز سے موصول کرنے والا قائمہ خط چونڈ کو تیسرے حصے کرتا ہے،

یعنی، $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

مثال 2 : دو مماس $\mathrm{TP}$ اور $\mathrm{TQ}$ مرکز $\mathrm{O}$ والی ایک دائرے کے خارجی نقطہ $\mathrm{T}$ سے ڈرائیڈ گئے ہیں۔ $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$ ثبوت دیں۔

حل : ہم کوئی دائرہ پائے گی جس کا مرکز $\mathrm{O}$ ہے، ایک خارجی نقطہ $\mathrm{T}$ اور دائرے کے مماس $\mathrm{TP}$ اور $\mathrm{TQ}$، جہاں $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ مشترکہ نقاط ہیں (شکل 10.9 میں دیکھیں)۔ ہم کہنا چاہتے ہیں کہ

شکل 10.9

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

لیکن: $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

اب، مسئلہ 10.2 کے ذریعے، TP = TQ۔ اس لیے TPQ ایک متساوی سمتی مثلث ہے۔

اس لیے، $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

اسی طرح، مسئلہ 10.1 کے ذریعے، $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

اس لیے، $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

اس سے $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

مثال 3 : PQ ایک دائرے کا چونڈ ہے جس کی لمبائی $8 \mathrm{~cm}$ ہے اور دائرے کا نصف قطر $5 \mathrm{~cm}$ ہے۔ مماس $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{Q}$ پر ایک نقطہ $T$ پر ملتے ہیں (شکل 10.10 میں دیکھیں)۔ TP کی لمبائی حاصل کریں۔

حل : OT کو موصول کریں۔ اسے PQ پر نقطہ $\mathrm{R}$ پر ملتا ہے۔ اس طرح $\triangle$ TPQ ایک متساوی مثلث ہے اور TO زاویہ کا تیسرا حصہ ہے $\angle \mathrm{PTQ}$۔ اس لیے، $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ اور اس لیے OT $\mathrm{PQ}$ کو تیسرے حصے کرتا ہے جس سے $\mathrm{PR}=\mathrm{RQ}=4 \mathrm{~cm}$۔

شکل 10.10

اسی طرح، $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$۔

اب، $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (کیا؟)

اس لیے، $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

اس لیے، قائمہ مثلث TRP قائمہ مثلث PRO کے ساتھ AA تقابل کے ذریعے تقابلی ہے۔

اس سے

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {، یعنی } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { یا } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm} \text {۔ } $

نوٹ : TP کو درج ذیل طریقے سے پاہیٹاس کے مسئلے کے ذریعے بھی حاصل کیا جا سکتا ہے:

لیکن: $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1) سے (2) کو منقطع کر کے،

اس لیے، $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

10.4 جمع کروائی

اس فصل میں، آپ نے درج ذیل نکات سیکھے:

1. دائرے کے مماس کا مطلب۔

2. دائرے کا مماس مشترکہ نقطے کے ذریعے نصف قطر کے ساتھ قائمہ زاویے پر ہوتا ہے۔

3. ایک خارجی نقطے سے ایک دائرے کے دو مماس کی لمبائی مساوی ہوتی ہیں۔