11.1 Areas of Sector and Segment of a Circle

تم اپنی پہلی کلاسوں میں تمہارے پاس گھیرے کے قطاع اور حصے کے مصطلحات کا ذکر کیا گیا ہے۔ یاد رہے کہ دائرے کے دائرہ کار کے دونوں شعاعوں اور متناظر قوس سے محاطے کا حصہ گھیرے کا قطاع کہلاتا ہے اور دائرے کے دائرہ کار کے دونوں چوکور اور متناظر قوس کے درمیان محاطے کا حصہ گھیرے کا حصہ کہلاتا ہے۔ یوں، شکل 11.1 میں، سایہ کردہ علاقہ OAPB گھیرے کا قطاع ہے جس کا مرکز $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ ہے اور اس کو قطاع کا زاویہ کہلاتے ہیں۔ اس شکل میں، بی سایہ کردہ علاقہ OAQB بھی گھیرے کا قطاع ہے۔ واضح دلائل سے، OAPB کو چھوٹا قطاع کہلاتے ہیں اور $\mathrm{OAQB}$ کو بڑا قطاع کہلاتے ہیں۔ تم بھی دیکھ سکتے ہیں کہ بڑے قطاع کا زاویہ $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ ہے۔

شکل 11.1

اب، شکل 11.2 میں دیکھیں جس میں AB گھیرے کا قطر ہے جس کا مرکز $\mathrm{O}$ ہے۔ تو، سایہ کردہ علاقہ APB گھیرے کا حصہ ہے۔ تم بھی دریافت کر سکتے ہیں کہ بی سایہ کردہ علاقہ $\mathrm{AQB}$ چوکور AB کے ذریعے تشکیلے گئے گھیرے کا دوسرا حصہ ہے۔ واضح دلائل سے، APB کو چھوٹا حصہ کہلاتے ہیں اور AQB کو بڑا حصہ کہلاتے ہیں۔

شکل 11.2

تبصرہ : جب ہم ‘حصہ’ اور ‘قطاع’ لکھتے ہیں تو ہم یعنی ‘چھوٹا حصہ’ اور ‘چھوٹا قطاع’ کو مطلوب کر لیتے ہیں، مگر صرف اس صورت میں جب کسی اور طریقے سے بتایا جائے۔

اب اس علم کے ساتھ، ہم ان کے حجم کا حساب کرنے کے لیے کچھ تعلقات (یا صیغے) حاصل کرنے کی کوشش کریں گے۔

OAPB گھیرے کا قطاع ہے جس کا مرکز $\mathrm{O}$ اور نصف قطر $r$ ہے (شکل 11.3 دیکھیں)۔ $\angle \mathrm{AOB}$ کا ڈگری میٹر $\theta$ ہے۔

شکل 11.3

تم جانتے ہیں کہ گھیرے کا حجم (فی الحال دائرہ کار کے علاقے یا ڈسک کے) $\pi r^{2}$ ہے۔

ایسے طریقے سے، ہم اس دائرہ کار کے علاقے کو مرکز O پر $360^{\circ}$ (یعنی، ڈگری میٹر 360) کے زاویے کے قطاع کے طور پر سمجھ سکتے ہیں۔ اب، یونٹری میٹھود کے اطلاق کے ذریعے، ہم زیر ذکر چھوٹے قطاع OAPB کا حجم حاصل کر سکتے ہیں:

جب مرکز پر زاویہ کا ڈگری میٹر 360 ہو، تو قطاع کا حجم $=\pi r^{2}$

چونکہ، جب مرکز پر زاویہ کا ڈگری میٹر 1 ہو، تو قطاع کا حجم $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$۔

چونکہ، جب مرکز پر زاویہ کا ڈگری میٹر $\theta$ ہو، تو قطاع کا حجم $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$۔

اس طرح، ہم گھیرے کے قطاع کے حجم کے لیے درج ذیل تعلق (یا صیغہ) حاصل کرتے ہیں:

زاویہ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ کا قطاع کا حجم

جہاں $r$ گھیرے کا نصف قطر اور $\theta$ قطاع کا زاویہ ڈگری میٹر میں ہے۔

اب، ایک طبیعی سوال پیش آتا ہے: ہم اس قطاع کے متناظر قوس APB کی لمبائی حاصل کر سکتے ہیں؟ ہاں۔ ایک بار دیگر، یونٹری میٹھود کے اطلاق کے ذریعے اور گھیرے کے پورے طول (زاویہ $360^{\circ}$ ) کو $2 \pi r$ لیتے ہوئے، ہم مطلوبہ قوس APB کی لمبائی کو $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ حاصل کر سکتے ہیں۔

چونکہ، زاویہ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ کے قطاع کا قوس کی لمبائی۔

شکل 11.4

اب، گھیرے کے حصہ APB کے حجم کا حال دراست کریں جس کا مرکز $\mathrm{O}$ اور نصف قطر $r$ ہے (شکل 11.4 دیکھیں)۔ تم دیکھ سکتے ہیں کہ:

حصہ کا حجم $\mathrm{APB}=$ قطاع کا حجم $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$ کا حجم

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

نوٹ: شکل 11.3 اور شکل 11.4 سے علائقے میں، تم دریافت کر سکتے ہیں کہ:

بڑے قطاع کا حجم $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ چھوٹے قطاع کا حجم $\mathrm{OAPB}$

اور: بڑے حصہ کا حجم $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - چھوٹے حصہ APB کا حجم

اب، ان مفاہمت (یا نتائج) کو سمجھنے کے لیے کچھ مثالیں لیتے ہیں۔

مثال 1 : گھیرے کے قطاع کا حجم جس کا نصف قطر $4 \mathrm{~cm}$ اور زاویہ $30^{\circ}$ ہے، حاصل کریں۔ ایک طرف، اس کے متناظر بڑے قطاع کا حجم بھی حاصل کریں ($\pi=3.14$ کا استعمال کریں)۔

حل : دیا گیا قطاع OAPB ہے (شکل 11.5 دیکھیں)۔

شکل 11.5

قطاع کا حجم $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

متناظر بڑے قطاع کا حجم

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

دوسری طریقے سے، بڑے قطاع کا حجم $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

مثال 2 : گھیرے کے حصہ AYB کا حجم جو شکل 11.6 میں دکھایا گیا ہے، حاصل کریں، اگر گھیرے کا نصف قطر $21 \mathrm{~cm}$ اور $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ ہے۔ ($\pi=\dfrac{22}{7}$ کا استعمال کریں)

شکل 11.6

حل : حصہ AYB کا حجم

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ کا حجم حاصل کرنے کے لیے، شکل 11.7 میں دکھائی گئی طریقے سے $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ دکھائیں۔

شکل 11.7

نوٹ کریں کہ $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$۔ اس لیے، RHS کے مطابقت کے ذریعے، $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$۔

چونکہ، $\mathrm{M}$ $\mathrm{AB}$ کا درمیانی جگہ اور $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$ ہے۔

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

چونکہ، $\Delta$ OMA سے، $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

چونکہ، $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

چونکہ، حصہ AYB کا حجم $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[مندرجہ ذیل میں سے (1)، (2) اور (3)]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 جمع

اس فصل میں، تم نے درج ذیل جھوٹ پڑھے ہیں:

1. نصف قطر $r$ اور ڈگری میٹر $\theta$ کے زاویہ کے گھیرے کے قطاع کے قوس کی لمبائی $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ہے۔

2. نصف قطر $r$ اور ڈگری میٹر $\theta$ کے زاویہ کے گھیرے کا حجم $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ ہے۔

3. گھیرے کے حصہ کا حجم $=$ اپنے متناظر قطاع کا حجم - اپنے متناظر مثلث کا حجم۔