অধ্যায় ৫ কাৰ্য্য, শক্তি আৰু ক্ষমতা

৫.১ পৰিচয় [71]#

‘কাম’, ‘শক্তি’ আৰু ‘ক্ষমতা’ শব্দকেইটা দৈনন্দিন জীৱনত সঘনাই ব্যৱহাৰ কৰা হয়। এজন খেতিয়কে পথাৰ নাঙল কৰা, এজন নিৰ্মাণকৰ্মীয়ে ইটা কঢ়িয়াই নিয়া, এজন ছাত্ৰই প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাৰ বাবে পঢ়া-শুনা কৰা, এজন শিল্পীয়ে এখন ধুনীয়া প্ৰাকৃতিক দৃশ্য অংকন কৰা, এই সকলোবোৰকে কাম কৰা বুলি কোৱা হয়। কিন্তু পদাৰ্থবিজ্ঞানত ‘কাম’ শব্দটোৰ এটা সুনিৰ্দিষ্ট আৰু স্পষ্ট অৰ্থ আছে। যিজন ব্যক্তিয়ে দিনটোৰ ১৪-১৬ ঘণ্টা কাম কৰাৰ সামৰ্থ্য আছে তেওঁক ডাঙৰ স্টেমিনা বা শক্তি থকা বুলি কোৱা হয়। আমি এজনী দীৰ্ঘদূৰত্বৰ দৌৰবিদক তেওঁৰ স্টেমিনা বা শক্তিৰ বাবে প্ৰশংসা কৰোঁ। গতিকে শক্তি হৈছে আমাৰ কাম কৰাৰ সামৰ্থ্য। পদাৰ্থবিজ্ঞানতো ‘শক্তি’ শব্দটো এই অৰ্থত কামৰ সৈতে জড়িত, কিন্তু ওপৰত কোৱাৰ দৰে ‘কাম’ শব্দটোৱেই বহুতো স্পষ্টভাৱে সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে। ‘ক্ষমতা’ শব্দটো দৈনন্দিন জীৱনত বিভিন্ন ছাঁ-অৰ্থত ব্যৱহাৰ কৰা হয়। কাৰাটে বা বক্সিঙত আমি ‘শক্তিশালী’ ঘুষিৰ কথা কওঁ। এইবোৰ ডাঙৰ বেগত প্ৰদান কৰা হয়। এই ছাঁ-অৰ্থটো পদাৰ্থবিজ্ঞানত ব্যৱহাৰ কৰা ‘ক্ষমতা’ শব্দটোৰ অৰ্থৰ ওচৰত। আমি দেখিম যে এই পদবোৰে আমাৰ মনত সৃষ্টি কৰা শাৰীৰিক সংজ্ঞা আৰু শাৰীৰবৃত্তীয় চিত্ৰসমূহৰ মাজত বেছি ভালেও এটা ঢিলা সম্পৰ্কহে আছে। এই অধ্যায়টোৰ লক্ষ্য হৈছে এই তিনিটা ভৌতিক ৰাশিৰ বুজাবুজি বিকশিত কৰা। এই কামটো আৰম্ভ কৰাৰ আগতে, আমাক এটা গাণিতিক পূৰ্ব-আবশ্যকতা বিকশিত কৰাৰ প্ৰয়োজন, অৰ্থাৎ দুটা ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ গুণফল।

৫.১.১ স্কেলাৰ গুণফল [71-72]#

আমি ভেক্টৰ আৰু তৃতীয় অধ্যায়ত সেইবোৰৰ ব্যৱহাৰৰ বিষয়ে শিকিছো। সৰণ, বেগ, ত্বৰণ, বল আদি ভৌতিক ৰাশিবোৰ ভেক্টৰ। আমি ভেক্টৰ কেনেকৈ যোগ বা বিয়োগ কৰা হয় তাকো শিকিছো। এতিয়া আমাক ভেক্টৰ কেনেকৈ পূৰণ কৰা হয় জানিব লাগিব। ভেক্টৰ পূৰণ কৰাৰ দুটা উপায় আছে যি আমি লগ পাম : এটা উপায়ক স্কেলাৰ গুণফল বোলা হয় যিয়ে দুটা ভেক্টৰৰ পৰা এটা স্কেলাৰ দিয়ে আৰু আনটোক ভেক্টৰ গুণফল বোলা হয় যিয়ে দুটা ভেক্টৰৰ পৰা এটা নতুন ভেক্টৰ উৎপন্ন কৰে। আমি ষষ্ঠ অধ্যায়ত ভেক্টৰ গুণফল চাম। ইয়াত আমি দুটা ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ গুণফল লওঁ। যিকোনো দুটা ভেক্টৰ A আৰু B ৰ স্কেলাৰ গুণফল বা ডট গুণফল, A•B হিচাপে চিহ্নিত কৰা হয় (পঢ়ক $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

য’ত $\theta$ হৈছে চিত্ৰ ৫.১(ক) ত দেখুওৱাৰ দৰে দুয়োটা ভেক্টৰৰ মাজৰ কোণ। যিহেতু $A, B$ আৰু $\cos \theta$ স্কেলাৰ, $\mathbf{A}$ আৰু $\mathbf{B}$ ৰ ডট গুণফল এটা স্কেলাৰ ৰাশি। প্ৰতিটো ভেক্টৰ, $\mathbf{A}$ আৰু $\mathbf{B}$, ৰ এটা দিশ আছে কিন্তু তেওঁলোকৰ স্কেলাৰ গুণফলৰ দিশ নাই।

সমীকৰণ (৫.১ক) ৰ পৰা, আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

জ্যামিতিকভাৱে, $B \cos \theta$ হৈছে চিত্ৰ ৫.১(খ) ত $\mathbf{B}$ ৰ $\mathbf{A}$ ওপৰত প্ৰক্ষেপণ আৰু $A \cos \theta$ হৈছে চিত্ৰ ৫.১(গ) ত $\mathbf{A}$ ৰ $\mathbf{B}$ ওপৰত প্ৰক্ষেপণ। গতিকে, $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ হৈছে $\mathbf{A}$ ৰ মান আৰু $\mathbf{B}$ ৰ A ৰ বৰাবৰ উপাংশৰ গুণফল। আনহাতে, ই $\mathbf{B}$ ৰ মান আৰু $\mathbf{A}$ ৰ $\mathbf{B}$ ৰ বৰাবৰ উপাংশৰ গুণফল।

সমীকৰণ (৫.১ক) ৰ পৰা দেখুৱাইছে যে স্কেলাৰ গুণফলে পৰিবৰ্তনশীল নিয়ম মানি চলে :

$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A} $$

স্কেলাৰ গুণফলে বিতৰণ নিয়ম মানি চলে:

$$ \mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} $$

আৰু, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

য’ত $\lambda$ হৈছে এটা বাস্তৱ সংখ্যা।

ওপৰৰ সমীকৰণবোৰৰ প্ৰমাণ আপোনাৰ বাবে অনুশীলন হিচাপে এৰি দিয়া হৈছে।

একক ভেক্টৰ $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ ৰ বাবে আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

দুটা ভেক্টৰ দিয়া আছে

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}+A_z \hat{\mathbf{k}} \ & \mathbf{B}=B_x \hat{\mathbf{i}}+B_y \hat{\mathbf{j}}+B_z \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

তেওঁলোকৰ স্কেলাৰ গুণফল হৈছে

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}+A_z \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_x \hat{\mathbf{i}}+B_y \hat{\mathbf{j}}+B_z \hat{\mathbf{k}}\right) \ & =A_x B_x+A_y B_y+A_z B_z \tag{5.1b} \end{aligned} $$

স্কেলাৰ গুণফলৰ সংজ্ঞা আৰু (সমীকৰণ ৫.১ খ) ৰ পৰা আমি পাইছো :

(i) A. $\mathbf{A}=A_x A_x+A_y A_y+A_z A_z$

বা, $\quad A^2=A_x^2+A_y^2+A_z^2$

কাৰণ $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^2$. (ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, যদি $\mathbf{A}$ আৰু $\mathbf{B}$ পৰস্পৰ লম্ব হয়।

উদাহৰণ ৫. বল $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ একক আৰু সৰণ $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ এককৰ মাজৰ কোণ নিৰ্ণয় কৰা। লগতে $\mathbf{F}$ ৰ $\mathbf{d}$ ওপৰত প্ৰক্ষেপণো নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰ $$ \begin{aligned}

\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} & =F_x d_x+F_y d_y+F_z d_z \ & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \ & =16 \text { unit } \ \text { Hence } \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} & =F d \cos \theta=16 \text { unit } \ \text { Now } \mathbf{F} \cdot \mathbf{F} & =F^2=F_x^2+F_y^2+F_z^2 \ & =9+16+25 \ & =50 \text { unit } \ \text { and } \mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad & =d^2=d_x^2+d_y^2+d_z^2 \ & =25+16+9 \ & =50 \text { unit } \ \therefore \cos \theta & =\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32 \ & \theta=\cos ^{-1} 0.32 \end{aligned} $$

চিত্ৰ ৫.১ (ক) দুটা ভেক্টৰ A আৰু B ৰ স্কেলাৰ গুণফল এটা স্কেলাৰ : A.B = A B cos θ. (খ) B cos θ হৈছে B ৰ A ওপৰত প্ৰক্ষেপণ। (গ) A cos θ হৈছে A ৰ B ওপৰত প্ৰক্ষেপণ।

৫.২ কাৰ্য্য আৰু গতিশক্তিৰ ধাৰণা: কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্য [73]#

তৃতীয় অধ্যায়ত সৰলৰৈখিক গতিৰ বাবে স্থিৰ ত্বৰণ $a$ ৰ তলত তলৰ সম্পৰ্কটোৰ সৈতে পৰিচয় হৈছিল,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

য’ত $u$ আৰু $v$ হৈছে আৰম্ভণি আৰু অন্তিম দ্ৰুতি আৰু $s$ হৈছে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব। দুয়োপাশক $m / 2$ ৰে পূৰণ কৰি, আমি পাইছো

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

য’ত শেষৰ পদটো নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ পৰা আহিছে। আমি ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণ (৫.২) ক তিনিমাত্ৰালৈ সাধাৰণীকৰণ কৰিব পাৰো

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

ইয়াত $\mathbf{a}$ আৰু $\mathbf{d}$ হৈছে ক্ৰমে বস্তুটোৰ ত্বৰণ আৰু সৰণ ভেক্টৰ। আকৌ দুয়োপাশক $\mathrm{m} / 2$ ৰে পূৰণ কৰি, আমি পাইছো

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

ওপৰৰ সমীকৰণটোৱে কাৰ্য্য আৰু গতিশক্তিৰ সংজ্ঞাৰ বাবে এটা উদ্দীপনা যোগায়। সমীকৰণটোৰ বাওঁপাশটো হৈছে ‘ভৰৰ আধা গুণ দ্ৰুতিৰ বৰ্গ’ ৰাশিটোৰ আৰম্ভণি মানৰ পৰা অন্তিম মানলৈ পাৰ্থক্য। আমি এই ৰাশিবোৰৰ প্ৰতিটোক ‘গতিশক্তি’ বুলি কওঁ, $K$ ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। সোঁপাশটো হৈছে সৰণ আৰু সৰণৰ বৰাবৰ বলৰ উপাংশৰ গুণফল। এই ৰাশিটোক ‘কাৰ্য্য’ বুলি কোৱা হয় আৰু W ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। সমীকৰণ (৫.২খ) তেন্তে হৈছে

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

য’ত $K_{i}$ আৰু $K_{f}$ হৈছে ক্ৰমে বস্তুটোৰ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম গতিশক্তি। কাৰ্য্যই বল আৰু যি সৰণৰ ওপৰত ই ক্ৰিয়া কৰে তাক সূচায়। বল এটাই বস্তু এটাৰ ওপৰত এক নিৰ্দিষ্ট সৰণৰ ওপৰত কাৰ্য্য সম্পাদন কৰে।

সমীকৰণ (৫.২) ও কাৰ্য্য-শক্তি (WE) উপপাদ্যৰ এটা বিশেষ ক্ষেত্ৰ : এটা কণাৰ গতিশক্তিৰ পৰিৱৰ্তন হৈছে পৰিষ্কাৰ বলৰ দ্বাৰা ইয়াৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্যৰ সমান। আমি পৰৱৰ্তী অংশত এটা পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে ওপৰৰ আহৰণটো সাধাৰণীকৰণ কৰিম।

উদাহৰণ ৫.২ জনাজাত যে এটা বৰষুণৰ টোপাল তললৈ মাধ্যাকৰ্ষণ বল আৰু বিৰোধী ৰোধক বলৰ প্ৰভাৱত পৰে। শেষৰটো টোপালটোৰ দ্ৰুতিৰ সমানুপাতিক বুলি জনা যায় কিন্তু আনফালে অনিৰ্ধাৰিত। $1.00 \mathrm{~g}$ ভৰৰ এটা টোপাল $1.00 \mathrm{~km}$ উচ্চতাৰ পৰা পৰা বিবেচনা কৰা। ই ভূমিৰ সৈতে $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ দ্ৰুতিৰে খুন্দা খায়। (ক) মাধ্যাকৰ্ষণ বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য কি? অজ্ঞাত ৰোধক বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য কি?

উত্তৰ (ক) টোপালটোৰ গতিশক্তিৰ পৰিৱৰ্তন হৈছে

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

য’ত আমি ধৰি লৈছো যে টোপালটো আৰম্ভণিত স্থিৰ অৱস্থাত আছিল। ধৰি লওক যে $g$ হৈছে এটা ধ্ৰুৱক যিৰ মান $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$, মাধ্যাকৰ্ষণ বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য হৈছে,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(খ) কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্যৰ পৰা

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

য’ত $W_{r}$ হৈছে ৰোধক বলৰ দ্বাৰা বৰষুণৰ টোপালটোৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্য। গতিকে

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ঋণাত্মক।

৫.৩ কাৰ্য্য [73-74]#

আগতে দেখা হৈছিল, কাৰ্য্য বল আৰু যি সৰণৰ ওপৰত ই ক্ৰিয়া কৰে তাৰ সৈতে জড়িত। $\mathbf{F}$ ধ্ৰুৱক বল এটাই $m$ ভৰৰ বস্তু এটাত ক্ৰিয়া কৰা বিবেচনা কৰা। বস্তুটোৱে চিত্ৰ ৫.২ ত দেখুওৱাৰ দৰে ধনাত্মক $x$-দিশত $\mathbf{d}$ সৰণ ঘটায়।

চিত্ৰ ৫.২ বল F ৰ প্ৰভাৱত বস্তু এটাই d সৰণ ঘটায়।

বলটোৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্যক সংজ্ঞায়িত কৰা হয় সৰণৰ দিশত বলৰ উপাংশ আৰু এই সৰণৰ মানৰ গুণফল হিচাপে। গতিকে

$$ W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} $$

আমি দেখো যে যদি সৰণ নাথাকে, বল ডাঙৰ হ’লেও কোনো কাৰ্য্য কৰা নহয়। গতিকে, যেতিয়া আপুনি এটা কঠিন ইটাৰ দেৱালত জোৰেৰে হেঁচা মাৰে, আপুনি দেৱালত প্ৰয়োগ কৰা বলটোৱে কোনো কাৰ্য্য নকৰে। তথাপি আপোনাৰ পেশীবোৰ বিকল্পভাৱে সংকোচন আৰু শিথিল হৈ আছে আৰু আভ্যন্তৰীণ শক্তি ব্যৱহাৰ হৈ আছে আৰু আপুনি ভাগৰুৱা হয়। গতিকে, পদাৰ্থবিজ্ঞানত কাৰ্য্যৰ অৰ্থ দৈনন্দিন ভাষাৰ ব্যৱহাৰৰ পৰা পৃথক।

কাৰ্য্য কৰা নহ’ব যদি :

(i) সৰণ শূন্য হয় ওপৰৰ উদাহৰণটোত দেখা হৈছিল। এজন ভাৰোত্তোলকে ১৫০ কেজি ভৰ ৩০ ছেকেণ্ডৰ বাবে স্থিৰভাৱে কান্ধত ধৰি ৰখা সময়ত ভাৰটোৰ ওপৰত কোনো কাৰ্য্য নকৰে।

(ii) বল শূন্য হয়। এটা মসৃণ অনুভূমিক টেবুলত গতি কৰা ব্লক এটাক অনুভূমিক বলৰ দ্বাৰা ক্ৰিয়া কৰা নহয় (কাৰণ ঘৰ্ষণ নাই), কিন্তু ডাঙৰ সৰণ ঘটাব পাৰে।

(iii) বল আৰু সৰণ পৰস্পৰ লম্ব হয়। ইয়াক এনেদৰে হয়, কাৰণ, $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$. মসৃণ অনুভূমিক টেবুলত গতি কৰা ব্লকটোৰ বাবে, গুৰুত্ব বল $m g$ য়ে কোনো কাৰ্য্য নকৰে কাৰণ ই সৰণৰ সৈতে সমকোণত ক্ৰিয়া কৰে। যদি আমি ধৰি লওঁ যে চন্দ্ৰৰ পৃথিৱীৰ চাৰিওফালে কক্ষপথ সম্পূৰ্ণ বৃত্তাকাৰ তেন্তে পৃথিৱীৰ মাধ্যাকৰ্ষণ বলৰ দ্বাৰা কোনো কাৰ্য্য নহয়। চন্দ্ৰৰ তাৎক্ষণিক সৰণ স্পৰ্শকীয় হোৱাৰ লগে লগে পৃথিৱীৰ বল কেন্দ্ৰমুখীভাৱে ভিতৰলৈ আৰু $\theta=\pi / 2$.

কাৰ্য্য ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক দুয়োটাই হ’ব পাৰে। যদি $\theta$ $0^{\circ}$ আৰু $90^{\circ}, \cos \theta$ ৰ মাজত হয় সমীকৰণ (৫.৪) ত ধনাত্মক। যদি $\theta$ $90^{\circ}$ আৰু $180^{\circ}, \cos \theta$ ৰ মাজত হয় ঋণাত্মক। বহুতো উদাহৰণত ঘৰ্ষণ বলই সৰণৰ বিৰোধিতা কৰে আৰু $\theta=180^{\circ}$. তেন্তে ঘৰ্ষণৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য ঋণাত্মক $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$.

সমীকৰণ (৫.৪) ৰ পৰা স্পষ্ট যে কাৰ্য্য আৰু শক্তিৰ একে মাত্ৰা আছে, $\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right]$. এইবোৰৰ SI একক হৈছে জুল $(J)$, বিখ্যাত ব্ৰিটিছ পদাৰ্থবিজ্ঞানী জেমছ প্ৰেস্কট জুল (১৮১১-১৮৬৯)ৰ নামেৰে নামকৰণ কৰা হৈছে। যিহেতু কাৰ্য্য আৰু শক্তি ভৌতিক ধাৰণা হিচাপে বহুলভাৱে ব্যৱহাৰ কৰা হয়, বিকল্প একক বহুত আছে আৰু ইয়াৰে কিছুমান তালিকা ৫.১ ত দিয়া হৈছে।

তালিকা ৫.১ $\mathrm{J}$ ত কাৰ্য্য/শক্তিৰ বিকল্প একক

আৰ্গ	$10^{-7} \mathrm{~J}$
ইলেক্ট্ৰন ভল্ট (eV)	$1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$
কেলৰি (cal)	$4.186 \mathrm{~J}$
কিলোৱাট ঘণ্টা (kWh)	$3.6 \times 10^{6} \mathrm{~J}$

উদাহৰণ ৫.৩ এজন চাইকেল চলোঁতাই ১০ মিটাৰত এটা পিছলি ৰৈ যায়। এই প্ৰক্ৰিয়াটোত, ৰাস্তাৰ কাৰণে চাইকেলটোৰ ওপৰত বল ২০০ N আৰু ই গতিৰ প্ৰত্যক্ষ বিৰোধী। (ক) ৰাস্তাই চাইকেলটোৰ ওপৰত কিমান কাৰ্য্য কৰে? (খ) চাইকেলটোৱে ৰাস্তাৰ ওপৰত কিমান কাৰ্য্য কৰে?

উত্তৰ ৰাস্তাৰ দ্বাৰা চাইকেলটোৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্য হৈছে ৰাস্তাৰ কাৰণে চাইকেলটোৰ ওপৰত থকা ৰোধক (ঘৰ্ষণ) বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য।

(ক) ৰোধক বল আৰু সৰণে পৰস্পৰৰ সৈতে $180^{\circ}$ ( $\pi \mathrm{rad}$ ) কোণ কৰে। গতিকে, ৰাস্তাৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য,

$$ \begin{aligned} W_r & =F d \cos \theta \ & =200 \times 10 \times \cos \pi \ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

এই ঋণাত্মক কাৰ্য্যইহে WE উপপাদ্য অনুসৰি চাইকেলটোক ৰখায়।

(খ) নিউটনৰ তৃতীয় সূত্ৰ অনুসৰি চাইকেলৰ কাৰণে ৰাস্তাৰ ওপৰত সমান আৰু বিপৰীত বল ক্ৰিয়া কৰে। ইয়াৰ মান ২০০ N। কিন্তু, ৰাস্তাই কোনো সৰণ ঘটোৱা নাই। গতিকে, চাইকেলৰ দ্বাৰা ৰাস্তাৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্য শূন্য।

উদাহৰণ ৫.৩ ৰ শিক্ষা হৈছে যে যদিও B দেহাই A দেহাৰ ওপৰত প্ৰয়োগ কৰা বল সদায় A ৰ দ্বাৰা B ৰ ওপৰত প্ৰয়োগ কৰা বলৰ সমান আৰু বিপৰীত (নিউটনৰ তৃতীয় সূত্ৰ); B ৰ দ্বাৰা A ৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্য অগত্যা A ৰ দ্বাৰা B ৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্যৰ সমান আৰু বিপৰীত নহয়।

৫.৪ গতিশক্তি [74-75]#

আগতে উল্লেখ কৰাৰ দৰে, যদি m ভৰৰ বস্তু এটাৰ বেগ $v$, , ইয়াৰ গতিশক্তি K হৈছে

$$ K=\frac{1}{2} m v \cdot v=\frac{1}{2} m v^2 $$

তালিকা ৫.২ সাধাৰণ গতিশক্তি (K)

বস্তু	ভৰ (কেজি)	দ্ৰুতি $\left(\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right)$	$\boldsymbol{K}(\mathbf{J})$
গাড়ী	২০০০	২৫	$6.3 \times 10^{5}$
দৌৰা ক্ৰীড়াবিদ	৭০	১০	$3.5 \times 10^{3}$
গুলী	$5 \times 10^{-2}$	২০০	$10^{3}$
$10 \mathrm{~m}$ ৰ পৰা পেলোৱা শিল	১	১৪	$10^{2}$
অন্তিম দ্ৰুতিত বৰষুণৰ টোপাল	$3.5 \times 10^{-5}$	৯	$1.4 \times 10^{-3}$
বায়ু অণু	$\simeq 10^{-26}$	৫০০	$\simeq 10^{-21}$

গতিশক্তি এটা স্কেলাৰ ৰাশি। বস্তু এটাৰ গতিশক্তি হৈছে ইয়াৰ গতিৰ গুণেৰে বস্তু এটাই কৰিব পৰা কাৰ্য্যৰ এটা মাপ। এই ধাৰণাটো বহুদিন ধৰি স্বজ্ঞাতভাৱে জনা গৈছে। দ্ৰুতগতিৰ সোঁতৰ গতিশক্তি ধান ভঙাৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে। পালতোলা জাহাজবোৰে বতাহৰ গতিশক্তি ব্যৱহাৰ কৰে। তালিকা ৫.২ ত বিভিন্ন বস্তুৰ গতিশক্তি তালিকাভুক্ত কৰা হৈছে।

উদাহৰণ ৫.৪ বেলিষ্টিক্স প্ৰদৰ্শনত এজন পুলিচ বিষয়াই ৫০.০ গ্ৰাম ভৰৰ গুলী $200 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ দ্ৰুতিত (তালিকা ৫.২ চাওক) ২.০০ চে.মি. ডাঠ কোমল প্লাইউডত মাৰে। গুলীটোৱে ইয়াৰ আৰম্ভণি গতিশক্তিৰ মাত্ৰ $10 %$ লৈ ওলাই আহে। গুলীটোৰ ওলাই অহা দ্ৰুতি কিমান?

উত্তৰ গুলীটোৰ আৰম্ভণি গতিশক্তি হৈছে $m v^2 / 2=1000 \mathrm{~J}$. ইয়াৰ অন্তিম গতিশক্তি $0.1 \times 1000=100 \mathrm{~J}$. যদি $v_f$ হৈছে গুলীটোৰ ওলাই অহা দ্ৰুতি,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_f^2=100 \mathrm{~J} \ & \begin{aligned} v_f & =\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}} \ & =63.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} \end{aligned} $$

দ্ৰুতিটো প্ৰায় $68 %$ (৯০% নহয়) ৰে হ্ৰাস পায়।

৫.৫ পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য [75-76]#

ধ্ৰুৱক বল বিৰল। পৰিৱৰ্তনশীল বলহে বেছি সাধাৰণভাৱে লগ পোৱা যায়। চিত্ৰ ৫.৩ হৈছে এমাত্ৰাত পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ এটা লেখ।

যদি সৰণ $\Delta x$ সৰু হয়, আমি বল $F(x)$ ক প্ৰায় ধ্ৰুৱক বুলি ধৰিব পাৰো আৰু তেতিয়া কৰা কাৰ্য্য হৈছে

$$ \Delta W=F(x) \Delta x $$

ইয়াক চিত্ৰ ৫.৩(ক) ত চিত্ৰিত কৰা হৈছে। চিত্ৰ ৫.৩(ক) ত ক্ৰমিক আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি যোগ কৰি আমি মুঠ কৰা কাৰ্য্য পাইছো

$$ W \equiv \sum_{x_i}^{x_f} F(x) \Delta x \tag{5.6} $$

য’ত যোগফলটো আৰম্ভণি অৱস্থান $x_i$ ৰ পৰা অন্তিম অৱস্থান $x_f$ লৈ

যদি সৰণবোৰ শূন্যলৈ ওচৰ চপাবলৈ দিয়া হয়, তেন্তে যোগফলটোৰ পদৰ সংখ্যা সীমাহীনভাৱে বৃদ্ধি পায়, কিন্তু যোগফলটো চিত্ৰ ৫.৩(খ) ত ৰেখাৰ তলৰ কালিৰ সমান এটা সুনিৰ্দিষ্ট মানলৈ আগবাঢ়ে। তেতিয়া কৰা কাৰ্য্য হৈছে

$$ \begin{aligned} W & =\lim {\Delta x \rightarrow 0} \sum{x_i}^{x_f} F(x) \Delta x \ & =\int_{x_i}^{x_y} F(x) \mathrm{d} x \tag{5.7}\end{aligned} $$

য’ত ’lim’ ৰ অৰ্থ হৈছে যোগফলৰ সীমা যেতিয়া $\Delta x$ শূন্যলৈ আগবাঢ়ে। গতিকে, পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে কৰা কাৰ্য্যক সৰণৰ ওপৰত বলৰ নিৰ্দিষ্ট সমাকলন হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি (এপেণ্ডিক্স ৩.১ ও চাওক)।

$\hspace{34mm}$চিত্ৰ ৫.৩(ক)

চিত্ৰ ৫.৩ (ক) ছাঁ দিয়া আয়তক্ষেত্ৰটোৱে সৰু সৰণ ∆x ৰ ওপৰত পৰিৱৰ্তনশীল বল F(x) ৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, ∆W = F(x) ∆x. (খ) সকলো আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি যোগ কৰি আমি দেখো যে ∆x → ০ ৰ বাবে, ৰেখাৰ তলৰ কালি হুবহু F(x) ৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্যৰ সমান।

উদাহৰণ ৫.৫ এগৰাকী মহিলাই ৰেলৱে প্লেটফৰ্মত এটা ট্ৰাঙ্ক ঠেলি আছে যাৰ পৃষ্ঠখন খহটা। তাই $100 \mathrm{~N}$ বল $10 \mathrm{~m}$ দূৰত্বৰ ওপৰত প্ৰয়োগ কৰে। তাৰ পিছত, তাই ক্ৰমাৎ ভাগৰুৱা হয় আৰু তাইৰ প্ৰয়োগ কৰা বল দূৰত্বৰ সৈতে ৰৈখিকভাৱে হ্ৰাস পাই $50 \mathrm{~N}$ লৈ যায়। ট্ৰাঙ্কটো স্থানান্তৰিত কৰা মুঠ দূৰত্ব হৈছে $20 \mathrm{~m}$. মহিলাগৰাকীয়ে প্ৰয়োগ কৰা বল আৰু ঘৰ্ষণ বল, যি $50 \mathrm{~N}$, বনাম সৰণ প্লট কৰা। $20 \mathrm{~m}$ ৰ ওপৰত দুয়োটা বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য গণনা কৰা।

উত্তৰ

চিত্ৰ ৫.৪ মহিলাগৰাকীয়ে প্ৰয়োগ কৰা বল F আৰু বিৰোধী ঘৰ্ষণ বল f বনাম সৰণৰ প্লট।

প্ৰয়োগ কৰা বলৰ প্লট চিত্ৰ ৫.৪ ত দেখুওৱা হৈছে। $x=20 \mathrm{~m}, F=50 \mathrm{~N}(\neq 0)$ ত. আমাক দিয়া হৈছে যে ঘৰ্ষণ বল $f$ হৈছে $|\mathbf{f}|=50 \mathrm{~N}$. ই গতিৰ বিৰোধিতা কৰে আৰু $\mathbf{F}$ ৰ বিপৰীত দিশত ক্ৰিয়া কৰে। গতিকে, ইয়াক বল অক্ষৰ ঋণাত্মক ফালে দেখুওৱা হৈছে।

মহিলাগৰাকীৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য হৈছে

$W_{F} \rightarrow$ আয়তক্ষেত্ৰ $\mathrm{ABCD}+$ ৰ কালি + ট্ৰেপিজিয়াম CEID ৰ কালি

$$ \begin{aligned} & W_{F}=100 \times 10+\frac{1}{2}(100+50) \times 10 \\ & =1000+750 \\ & \quad=1750 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ঘৰ্ষণ বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য হৈছে

$W_{f} \rightarrow$ আয়তক্ষেত্ৰ AGHI ৰ কালি

$$ \begin{aligned} W_{f} & =(-50) \times 20 \\ & =-1000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

বল অক্ষৰ ঋণাত্মক ফালৰ কালিৰ ঋণাত্মক চিহ্ন আছে।

৫.৬ পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্য [76-77]#

আমি এতিয়া পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্য প্ৰমাণ কৰিবলৈ কাৰ্য্য আৰু গতিশক্তিৰ ধাৰণাৰ সৈতে পৰিচিত। আমি নিজকে এমাত্ৰালৈ সীমাবদ্ধ কৰো। গতিশক্তিৰ সময়ৰ হাৰ হৈছে

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{1}{2} m v^2\right) \ & =m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t} v \ & =F v \text { (from Newton’s Second Law) } \ & =F \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t} \end{aligned} $$

গতিকে

$$ \mathrm{d} K=F \mathrm{~d} x $$

আৰম্ভণি অৱস্থান $\left(x_i\right)$ ৰ পৰা অন্তিম অৱস্থান ( $x_f$ ) লৈ সমাকলন কৰি, আমি পাইছো

$$ \int_{K_i}^{K_f} \mathrm{~d} K=\int_{x_i}^{x_C} F \mathrm{~d} x $$

য’ত, $K_i$ আৰু $K_f$ হৈছে $x_i$ আৰু $x_{\mathrm{f}}$ ৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট আৰম্ভণি আৰু অন্তিম গতিশক্তি। বা

$$ K_f-K_i=\int_{x_i}^{x_f} F \mathrm{~d} x \tag{5.8a } $$

সমীকৰণ (৫.৭) ৰ পৰা, ইয়াক অনুসৰণ কৰে

$$ K_f-K_i=W \tag{5.8b } $$

এইদৰে, পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে WE উপপাদ্য প্ৰমাণিত হয়।

যখন WE উপপাদ্য বিভিন্ন সমস্যাত উপযোগী, ই সাধাৰণতে নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ সম্পূৰ্ণ গতিবিদ্যাৰ তথ্য সামৰি নলয়। ই নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ এটা সমাকলন ৰূপ। নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰ হৈছে যিকোনো মুহূৰ্তত ত্বৰণ আৰু বলৰ মাজৰ সম্পৰ্ক। কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্যই সময়ৰ এটা অন্তৰালৰ ওপৰত সমাকলন জড়িত কৰে। এই অৰ্থত, নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ বিৱৰণীত থকা সময়গত (সময়) তথ্য ‘সমাকলিত কৰা হয়’ আৰু স্পষ্টভাৱে উপলব্ধ নহয়। আন এটা লক্ষণীয় কথা হৈছে যে নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰ দুটা বা তিনিটা মাত্ৰাৰ বাবে ভেক্টৰ ৰূপত আছে যেতিয়া কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্য স্কেলাৰ ৰূপত আছে। স্কেলাৰ ৰূপত, নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰত থকা দিশসমূহৰ সৈতে সম্পৰ্কিত তথ্য উপস্থিত নহয়।

উদাহৰণ ৫.৬ $m=1 \mathrm{~kg}$ ভৰৰ ব্লক এটা। $v_j=2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ দ্ৰুতিৰে অনুভূমিক পৃষ্ঠত গতি কৰি $x=0.10 \mathrm{~m}$ ৰ পৰা $x=2.01 \mathrm{~m}$ লৈ বিস্তৃত খহটা ঠাইত প্ৰৱেশ কৰে। এই পৰিসৰত ব্লকটোৰ ওপৰত ৰোধক বল $F_r$ এই পৰিসৰত $x$ ৰ ব্যস্তানুপাতিক,

$$ \begin{aligned} & F_r=\frac{-k}{x} \text { for } 0.1<x<2.01 \mathrm{~m} \ & =0 \text { for } x<0.1 \mathrm{~m} \text { and } x>2.01 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$$ \text { where } k=0.5 \mathrm{~J} \text {. What is the final kinetic } $$ শক্তি আৰু দ্ৰুতি $V_f$ ব্লকটোৰ এই ঠাইখন পাৰ হোৱাৰ সময়ত?

উত্তৰ সমীকৰণ (৫.৮ক) ৰ পৰা

$$ \begin{aligned} & K_f=K_i+\int_{0.1}^{2.01} \frac{(-k)}{x} \mathrm{~d} x \ & =\frac{1}{2} m v_i^2-\left.k \ln (x)\right|_{0.1} ^{2.01} \ & =\frac{1}{2} m v_i^2-k \ln (2.01 / 0.1) \ & =2-0.5 \ln (20.1) \ & =2-1.5=0.5 \mathrm{~J} \ & v_f=\sqrt{2 K_f / m}=1 \mathrm{~ms}^{-1} \end{aligned} $$

ইয়াত, মন কৰক যে $\ln$ হৈছে e ভিত্তিৰ স্বাভাৱিক লগাৰিথমৰ বাবে চিহ্ন আৰু $10\left[\ln X=\log X=2.303 \log _{10} X\right]$ ভিত্তিৰ লগাৰিথম নহয়।

৫.৭ স্থিতি শক্তিৰ ধাৰণা [77-78]#

স্থিতি শব্দটোৱে সম্ভাবনা বা কাৰ্য্যৰ সামৰ্থ্য সূচায়। স্থিতি শক্তি পদটোৱে ‘সঞ্চিত’ শক্তি মনলৈ আনে। এডাল টনা ধনুকীৰ স্থিতি শক্তি থাকে। যেতিয়া ইয়াক মুকলি কৰা হয়, কাঁড়টো ডাঙৰ দ্ৰুতিত উৰি যায়। পৃথিৱীৰ ভূত্বক সমান নহয়, কিন্তু ইয়াৰ বিচ্ছিন্নতা আৰু স্থানচ্যুতি আছে যাক ফল্ট ৰেখা বুলি কোৱা হয়। পৃথিৱীৰ ভূত্বকৰ এই ফল্ট ৰেখাবোৰ ‘সংকুচিত স্প্ৰিং’ৰ দৰে। ইহঁতৰ ডাঙৰ পৰিমাণৰ স্থিতি শক্তি থাকে। ভূমিকম্প এটা হয় যেতিয়া এই