অধ্যায় ৭ মহাকৰ্ষণ

৭.১ পৰিচয় [১২৭-১২৮]#

আমাৰ জীৱনৰ আৰম্ভণিতে, আমি সকলো বস্তুৰ পৃথিৱীৰ ফালে আকৰ্ষিত হোৱাৰ প্ৰৱণতাৰ বিষয়ে সচেতন হওঁ। ওপৰলৈ দলিওৱা যিকোনো বস্তু পৃথিৱীৰ ফালে তললৈ পৰে, ওপৰলৈ যোৱাটো তললৈ যোৱাতকৈ বহুত বেছি ভাগৰুৱা, ওপৰৰ ডাৱৰৰ পৰা বৰষুণৰ টোপালবোৰ পৃথিৱীৰ ফালে পৰে আৰু আন বহুতো এনে ঘটনা আছে। ঐতিহাসিকভাৱে ইটালীয় পদাৰ্থবিজ্ঞানী গেলিলিঅ’ (১৫৬৪-১৬৪২) আছিল যিয়ে এই সত্য চিনাক্ত কৰিছিল যে সকলো বস্তু, তেওঁলোকৰ ভৰৰ পৰা স্বত্বেও, পৃথিৱীৰ ফালে এক ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ সৈতে ত্বৰিত হয়। বুলি কোৱা হয় যে তেওঁ এই সত্যৰ এক ৰাজহুৱা প্ৰদৰ্শন কৰিছিল। সত্য বিচাৰিবলৈ, তেওঁ নিশ্চিতভাৱে ঢালু সমতলত গড়ি পৰা বস্তুৰ সৈতে পৰীক্ষা কৰিছিল আৰু মহাকৰ্ষণৰ বাবে ত্বৰণৰ এক মান পালে যি পিছত পোৱা অধিক সঠিক মানৰ ওচৰত আছিল।

এটা আপাতদৃষ্টিত অসংলগ্ন ঘটনা, তৰা, গ্ৰহ আৰু তেওঁলোকৰ গতিৰ পৰ্যবেক্ষণ আটাইতকৈ প্ৰাচীন কালৰ পৰা বহু দেশত মনোযোগৰ বিষয় হৈ আহিছে। প্ৰাচীন কালৰ পৰা পৰ্যবেক্ষণে তৰাবোৰ চিনাক্ত কৰিছিল যিবোৰ আকাশত বছৰ বছৰ ধৰি অৱস্থান অপরিবৰ্তিত হৈ আছিল। অধিক মনোযোগযোগ্য বস্তুবোৰ হৈছে গ্ৰহবোৰ যিবোৰ তৰাৰ পটভূমিত নিয়মিত গতি থকা যেন লাগে। প্ৰায় ২০০০ বছৰ আগতে টলেমীয়ে আগবঢ়োৱা গ্ৰহীয় গতিৰ আটাইতকৈ প্ৰাচীন লিপিবদ্ধ মডেল আছিল এক ‘ভূ-কেন্দ্ৰিক’ মডেল য’ত সকলো মহাজাগতিক বস্তু, তৰা, সূৰ্য আৰু গ্ৰহবোৰ, সকলোৱে পৃথিৱীৰ চাৰিওফালে ঘূৰিছিল। মহাজাগতিক বস্তুবোৰৰ বাবে সম্ভৱ বুলি ভবা একমাত্ৰ গতি আছিল বৃত্তত গতি। গ্ৰহবোৰৰ পৰ্যবেক্ষণ কৰা গতি বৰ্ণনা কৰিবলৈ টলেমীয়ে গতিৰ জটিল পৰিকল্পনা আগবঢ়াইছিল। গ্ৰহবোৰক বৃত্তত ঘূৰি থকা হিচাপে বৰ্ণনা কৰা হৈছিল য’ত বৃত্তবোৰৰ কেন্দ্ৰবোৰ নিজেই ডাঙৰ বৃত্তত ঘূৰি আছিল। প্ৰায় ৪০০ বছৰ পিছত ভাৰতীয় জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানীসকলেও একেধৰণৰ তত্ত্ব আগবঢ়াইছিল। অৱশ্যে এক অধিক মাৰ্জিত মডেল য’ত সূৰ্য আছিল কেন্দ্ৰ যাৰ চাৰিওফালে গ্ৰহবোৰে ঘূৰিছিল - ‘সূৰ্য-কেন্দ্ৰিক’ মডেল - ইতিমধ্যে আৰ্যভট্টই ( $5^{\text {th }}$ শতিকাত খ্ৰীষ্টাব্দ) তেওঁৰ গ্ৰন্থত উল্লেখ কৰিছিল। হাজাৰ বছৰ পিছত, নিকোলাছ কপাৰনিকাছ (১৪৭৩-১৫৪৩) নামৰ এজন পোলেণ্ডৰ সন্ন্যাসীয়ে এক সুনিৰ্দিষ্ট মডেল আগবঢ়াইছিল য’ত গ্ৰহবোৰে এক স্থিৰ কেন্দ্ৰীয় সূৰ্যৰ চাৰিওফালে বৃত্তত ঘূৰিছিল। তেওঁৰ তত্ত্ব গিৰ্জাৰ দ্বাৰা অগ্ৰাহ্য কৰা হৈছিল, কিন্তু ইয়াৰ সমৰ্থকসকলৰ মাজত উল্লেখযোগ্য আছিল গেলিলিঅ’ যাক তেওঁৰ বিশ্বাসৰ বাবে ৰাষ্ট্ৰৰ পৰা মোকৰ্দমাৰ সন্মুখীন হ’বলগীয়া হৈছিল।

গেলিলিঅ’ৰ সময়ৰ ওচৰতে, টাইক’ ব্ৰাহে (১৫৪৬-১৬০১) নামৰ ডেনমাৰ্কৰ এজন অভিজাত ব্যক্তিয়ে তেওঁৰ জীৱনকাল চকুৰেৰে গ্ৰহবোৰৰ পৰ্যবেক্ষণ লিপিবদ্ধ কৰি কটাইছিল। তেওঁৰ সংকলিত তথ্য পিছত তেওঁৰ সহায়ক জোহানেছ কেপলাৰে (১৫৭১-১৬৪০) বিশ্লেষণ কৰিছিল। তেওঁ তথ্যৰ পৰা তিনিটা মাৰ্জিত সূত্ৰ উলিয়াব পাৰিছিল যিবোৰ এতিয়া কেপলাৰৰ সূত্ৰ নামেৰে জনাজাত। এই সূত্ৰবোৰ নিউটনৰ জনা আছিল আৰু তেওঁক তেওঁৰ বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰ আগবঢ়োৱাত এক ডাঙৰ বৈজ্ঞানিক লাফ মাৰিবলৈ সক্ষম কৰাইছিল।

৭.২ কেপলাৰৰ সূত্ৰ [১২৮-১২৯]#

কেপলাৰৰ তিনিটা সূত্ৰ তলত দিয়া ধৰণে উল্লেখ কৰিব পাৰি:

১. কক্ষপথৰ সূত্ৰ : সকলো গ্ৰহ উপবৃত্তাকাৰ কক্ষপথত গতি কৰে য’ত সূৰ্য উপবৃত্তটোৰ (চিত্ৰ ৭.১ক) এটা নাভিত (চিত্ৰ ৭.১ক) অৱস্থিত। এই সূত্ৰ আছিল কপাৰনিকান মডেলৰ পৰা এক বিচ্যুতি যিয়ে কেৱল বৃত্তাকাৰ কক্ষপথহে অনুমোদন কৰিছিল। উপবৃত্ত, য’ত বৃত্তটো এক বিশেষ ক্ষেত্ৰ, হৈছে এক আবদ্ধ বক্ৰ যাক তলত দিয়া ধৰণেৰে অতি সহজে অংকন কৰিব পাৰি।

চিত্ৰ ৭.১(ক) সূৰ্যৰ চাৰিওফালে এটা গ্ৰহে অংকন কৰা এক উপবৃত্ত। আটাইতকৈ ওচৰৰ বিন্দুটো P আৰু আটাইতকৈ দূৰৰ বিন্দুটো A, P ক পেৰিহেলিয়ন আৰু A ক এফেলিয়ন বোলা হয়। অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষ হৈছে AP দূৰত্বৰ আধা

চিত্ৰ ৭.১(খ) এক উপবৃত্ত অংকন কৰা। এডাল দঁতালিৰ মূৰ দুটা F1 আৰু F2 ত স্থিৰ কৰা হৈছে। এটা পেঞ্চিলৰ আগটোৱে দঁতালিডাল টানকৈ ধৰি থাকে আৰু চাৰিওফালে ঘূৰি থাকে

দুটা বিন্দু $\mathrm{F}_1$ আৰু $\mathrm{F}_2$ বাছনি কৰক। দঁতালিৰ দৈৰ্ঘ্য এটা লওক আৰু ইয়াৰ মূৰ দুটা $F_1$ আৰু $F_2$ ত পিনেৰে স্থিৰ কৰক। পেঞ্চিলৰ আগটোৰে দঁতালিডাল টানকৈ টানি লওক আৰু তাৰ পিছত পেঞ্চিলটো চলাই দঁতালিডাল সম্পূৰ্ণ টানকৈ ৰাখি এক বক্ৰ অংকন কৰক (চিত্ৰ ৭.১(খ))। আপুনি পোৱা আবদ্ধ বক্ৰটোক উপবৃত্ত বোলা হয়। স্পষ্টভাৱে উপবৃত্তৰ যিকোনো বিন্দু $\mathrm{T}$ ৰ বাবে, $\mathrm{F}_1$ আৰু $\mathrm{F}_2$ ৰ পৰা দূৰত্বৰ যোগফল এক ধ্ৰুৱক। $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ ক নাভি বোলা হয়। বিন্দু $\mathrm{F}_1$ আৰু $\mathrm{F}_2$ সংযোগ কৰক আৰু ৰেখাডাল সম্প্ৰসাৰিত কৰি চিত্ৰ ৭.১(খ) ত দেখুওৱাৰ দৰে বিন্দু $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{A}$ ত উপবৃত্তটোক ছেদ কৰক। PA ৰেখাডালৰ মধ্যবিন্দুটো হৈছে উপবৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ আৰু দৈৰ্ঘ্য $\mathrm{PO}=$ AO ক উপবৃত্তটোৰ অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষ বোলা হয়। বৃত্তৰ বাবে, দুয়োটা নাভি একত্ৰিত হয় আৰু অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষটো বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ হৈ পৰে।

২. ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰ : যিকোনো গ্ৰহক সূৰ্যৰ লগত সংযোগ কৰা ৰেখাডালে সমান সময়ৰ অন্তৰালত সমান ক্ষেত্ৰফল পৰিস্কাৰ কৰে (চিত্ৰ ৭.২)। এই সূত্ৰটো পৰ্যবেক্ষণৰ পৰা আহিছে যে গ্ৰহবোৰ সূৰ্যৰ পৰা দূৰত থাকোতে ওচৰত থকাতকৈ লাহে লাহে গতি কৰা যেন লাগে।

চিত্ৰ ৭.২ গ্ৰহ P এ সূৰ্যৰ চাৰিওফালে উপবৃত্তাকাৰ কক্ষপথত গতি কৰে। ছাঁ দিয়া ক্ষেত্ৰফলটো হৈছে সৰু সময়ৰ অন্তৰাল ∆t ত পৰিস্কাৰ কৰা ক্ষেত্ৰফল ∆A।

৩. পৰ্যায়কালৰ সূত্ৰ : গ্ৰহ এটাৰ পৰিক্ৰমণৰ সময় পৰ্যায়ৰ বৰ্গ গ্ৰহটোৱে অংকন কৰা উপবৃত্তটোৰ অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষৰ ঘনৰ সমানুপাতিক।

তালিকা ৭.১ ত সূৰ্যৰ চাৰিওফালে আঠটা* গ্ৰহৰ পৰিক্ৰমণৰ প্ৰায় সময় পৰ্যায় তেওঁলোকৰ অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষৰ মানৰ সৈতে দিয়া হৈছে।

তালিকা ৭.১

তলত দিয়া গ্ৰহীয় গতিৰ জোখৰ তথ্যই কেপলাৰৰ পৰ্যায়কালৰ সূত্ৰ নিশ্চিত কৰে

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{Semi-major axis in units of } 10^{10} \mathrm{~m}. \\ & T \equiv \text{Time period of revolution of the planet in years }(y). \\ & Q \equiv \text{The quotient } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{in units of } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

গ্ৰহ	$\mathbf{a}$	$\mathbf{T}$	$\mathbf{Q}$
বুধ	৫.৭৯	০.২৪	২.৯৫
শুক্ৰ	১০.৮	০.৬১৫	৩.০০
পৃথিৱী	১৫.০	১	২.৯৬
মঙ্গল	২২.৮	১.৮৮	২.৯৮
বৃহস্পতি	৭৭.৮	১১.৯	৩.০১
শনি	১৪৩	২৯.৫	২.৯৮
ইউৰেনাছ	২৮৭	৮৪	২.৯৮
নেপচুন	৪৫০	১৬৫	২.৯৯

ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰটোক কৌণিক ভৰবেগৰ সংৰক্ষণৰ এক ফলাফল হিচাপে বুজিব পাৰি যি যিকোনো কেন্দ্ৰীয় বলৰ বাবে বৈধ। কেন্দ্ৰীয় বল এনেধৰণৰ যে গ্ৰহটোৰ ওপৰত বলটো সূৰ্য আৰু গ্ৰহটোক সংযোগ কৰা ভেক্টৰৰ বৰাবৰ। সূৰ্যক মূলবিন্দু হিচাপে ধৰি লওক আৰু গ্ৰহটোৰ অৱস্থান আৰু ভৰবেগক ক্ৰমে $\mathbf{r}$ আৰু $\mathbf{p}$ ৰ দ্বাৰা সূচিত কৰক। তেতিয়া $\mathrm{m}$ ভৰৰ গ্ৰহটোৱে $\Delta t$ সময়ৰ অন্তৰালত পৰিস্কাৰ কৰা ক্ষেত্ৰফলটো (চিত্ৰ ৭.২) $\Delta \mathbf{A}$ দ্বাৰা দিয়া হয়

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

সেয়েহে

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { since } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

য’ত $\mathbf{v}$ হৈছে বেগ, $\mathbf{L}$ হৈছে কৌণিক ভৰবেগ $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ ৰ সমান। কেন্দ্ৰীয় বলৰ বাবে, যি $\mathbf{r}, \mathbf{L}$ বৰাবৰ নিদেশিত, গ্ৰহটোৱে ঘূৰি ফুৰোতে এক ধ্ৰুৱক। সেয়েহে, শেষ সমীকৰণ অনুসৰি $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ এক ধ্ৰুৱক। এইটোৱেই ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰ। মহাকৰ্ষণ হৈছে এক কেন্দ্ৰীয় বল আৰু সেয়েহে ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰটো অনুসৰণ কৰে।

উদাহৰণ ৭.১ চিত্ৰ ৭.১(ক) ৰ পেৰিহেলিয়ন $P$ ত গ্ৰহটোৰ বেগ $V_P$ আৰু সূৰ্য-গ্ৰহ দূৰত্ব SP ক $r_P$ হ’বলৈ দিয়ক। $\{r_P, V_P\}$ ক এফেলিয়ন $\{r_A, V_A\}$ ৰ সংশ্লিষ্ট ৰাশিসমূহৰ সৈতে সম্পৰ্কিত কৰক। গ্ৰহটোৱে $B A C$ আৰু $C P B$ অতিক্ৰম কৰিবলৈ সমান সময় ল’বনে?

উত্তৰ $P$ ত কৌণিক ভৰবেগৰ পৰিমাণ হৈছে $L_p=m_p r_p V_p$, কিয়নো পৰিদৰ্শনে আমাক কয় যে $\mathbf{r}_p$ আৰু $\mathbf{v}_p$ পৰস্পৰ লম্ব। একেদৰে, $L_A=m_p r_A V_A$। কৌণিক ভৰবেগ সংৰক্ষণৰ পৰা

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

বা $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

কিয়নো $r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$।

উপবৃত্তটো আৰু ব্যাসাৰ্ধ ভেক্টৰ $S B$ আৰু $S C$ ৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্ৰফল $S B A C$ হৈছে চিত্ৰ ৭.১ ৰ $\mathrm{SBPC}$ তকৈ ডাঙৰ। কেপলাৰৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ পৰা, সমান সময়ত সমান ক্ষেত্ৰফল পৰিস্কাৰ কৰা হয়। সেয়েহে গ্ৰহটোৱে $B A C$ অতিক্ৰম কৰিবলৈ $C P B$ তকৈ অধিক সময় ল’ব।

৭.৩ বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰ [১২৯-১৩১]#

কথিত আছে যে গছৰ পৰা এটা আপেল পৰি থকা দেখি, নিউটনে বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰলৈ আহিবলৈ প্ৰেৰণা পাইছিল যিয়ে ভূ-মহাকৰ্ষণৰ লগতে কেপলাৰৰ সূত্ৰবোৰৰ ব্যাখ্যাও দিছিল। নিউটনৰ যুক্তি আছিল যে $R_{m}$ ব্যাসাৰ্ধৰ কক্ষপথত ঘূৰি থকা জোনটো পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণৰ বাবে কেন্দ্ৰাভিমুখী ত্বৰণৰ সন্মুখীন হৈছিল যি পৰিমাণ

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

য’ত $V$ হৈছে জোনটোৰ বেগ যি সময় পৰ্যায় $T$ ৰ সৈতে $V=2 \pi R_{m} / T$ সম্বন্ধৰ দ্বাৰা সম্পৰ্কিত। সময় পৰ্যায় $T$ প্ৰায় ২৭.৩ দিন আৰু $R_{m}$ ইতিমধ্যে তেতিয়া প্ৰায় $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ বুলি জনা গৈছিল। যদি আমি এই সংখ্যাবোৰ সমীকৰণ (৭.৩) ত বহুৱাও, আমি $a_{m}$ ৰ এক মান পাওঁ যি পৃথিৱীৰ পৃষ্ঠত মহাকৰ্ষণৰ বাবে ত্বৰণ $g$ ৰ মানতকৈ বহুত সৰু, যি পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণীয় আকৰ্ষণৰ বাবেও হয়। এইটোৱে স্পষ্টভাৱে দেখুৱায় যে পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণৰ বাবে বল দূৰত্বৰ সৈতে হ্ৰাস পায়। যদি ধৰি লোৱা হয় যে পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণৰ বাবে বল পৃথিৱীৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা দূৰত্বৰ ব্যস্তানুপাতিক হ্ৰাস পায়, আমি $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ পাম আৰু আমি পাওঁ

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ ৰ মান আৰু সমীকৰণ (৭.৩) ৰ পৰা $a_{\mathrm{m}}$ ৰ মানৰ সৈতে মিল খাই। এই পৰ্যবেক্ষণবোৰে নিউটনক তলত দিয়া বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰ আগবঢ়াবলৈ প্ৰেৰণা দিছিল:

বিশ্বৰ প্ৰতিটো বস্তুৱে আন প্ৰতিটো বস্তুক এনে বলৰ সৈতে আকৰ্ষণ কৰে যি তেওঁলোকৰ ভৰৰ গুণফলৰ সৈতে প্ৰত্যক্ষভাৱে সমানুপাতিক আৰু তেওঁলোকৰ মাজৰ দূৰত্বৰ বৰ্গৰ সৈতে ব্যস্তানুপাতিক।

উদ্ধৃতিটো মূলতঃ নিউটনৰ বিখ্যাত গ্ৰন্থ ‘গাণিতিক প্ৰাকৃতিক দৰ্শনৰ নীতি’ (চমুকৈ প্ৰিন্সিপিয়া)ৰ পৰা আহিছে।

গাণিতিকভাৱে কোৱা হ’লে, নিউটনৰ মহাকৰ্ষণ সূত্ৰটো পঢ়ে: $m_{2}$ বিন্দু ভৰৰ ওপৰত $m_{1}$ আন এটা বিন্দু ভৰৰ বাবে বল $\mathbf{F}$ ৰ পৰিমাণ

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (৭.৫) ভেক্টৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

য’ত $\mathrm{G}$ হৈছে বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণীয় ধ্ৰুৱক, $\hat{\mathbf{r}}$ হৈছে $m_1$ ৰ পৰা $m_2$ লৈ একক ভেক্টৰ আৰু $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ চিত্ৰ ৭.৩ ত দেখুওৱাৰ দৰে।

চিত্ৰ ৭.৩ m1 ৰ ওপৰত m2 ৰ বাবে মহাকৰ্ষণীয় বল r বৰাবৰ য’ত ভেক্টৰ r হৈছে $(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)$

$m_2$ ৰ বাবে $m_1$ ৰ ওপৰত মহাকৰ্ষণীয় বল $\mathbf{r}$ বৰাবৰ য’ত ভেক্টৰ $\mathbf{r}$ হৈছে ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$)। মহাকৰ্ষণীয় বলটো আকৰ্ষণীয়, অৰ্থাৎ, বল $\mathbf{F}$ হৈছে $-\mathbf{r}$ বৰাবৰ। $m_2$ ৰ বাবে বিন্দু ভৰ $m_1$ ৰ ওপৰত বল নিশ্চিতভাৱে নিউটনৰ তৃতীয় সূত্ৰৰ দ্বাৰা $-\mathbf{F}$। সেয়েহে, বস্তু ১ ৰ ওপৰত ২ ৰ বাবে মহাকৰ্ষণীয় বল F₁₂ আৰু বস্তু ২ ৰ ওপৰত ১ ৰ বাবে F₂₁ সম্পৰ্কিত

F₁₂=-F₂₁.

আমি সমীকৰণ (৭.৫) বিবেচনাধীন বস্তুবোৰলৈ প্ৰয়োগ কৰাৰ আগতে, আমি সাৱধান হ’ব লাগিব কিয়নো সূত্ৰটোৱে বিন্দু ভৰক সূচায় যেতিয়া আমি বিস্তৃত বস্তুৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰোঁ যিবোৰৰ সসীম আকাৰ আছে। যদি আমি বিন্দু ভৰৰ এক সংগ্ৰহ আছে, তেতিয়া ইয়াৰ যিকোনো এটাৰ ওপৰত বল হৈছে আন বিন্দু ভৰবোৰে প্ৰয়োগ কৰা মহাকৰ্ষণীয় বলবোৰৰ ভেক্টৰ যোগফল যেনেকৈ চিত্ৰ ৭.৪ ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ৭.৪ বিন্দু ভৰ m1 ৰ ওপৰত মহাকৰ্ষণীয় বল হৈছে m2, m3 আৰু m4 ৰ দ্বাৰা প্ৰয়োগ কৰা মহাকৰ্ষণীয় বলবোৰৰ ভেক্টৰ যোগফল।

$m_1$ ৰ ওপৰত মুঠ বল

$ \mathbf{F}1=\frac{G m_2 m_1}{r{21}^2} \hat{\mathbf{r}}{21}+\frac{G m_3 m_1}{r{31}^2} \hat{\mathbf{r}}{31}+\frac{G m_4 m_1}{r{41}^2} \hat{\mathbf{r}}_{41}$

উদাহৰণ ৭.২ প্ৰতিটো $m \mathrm{~kg}$ ভৰৰ তিনিটা সমান ভৰ সমবাহু ত্ৰিভুজ $\mathrm{ABC}$ ৰ শীৰ্ষবিন্দুত স্থিৰ কৰা হৈছে।

(ক) কেন্দ্ৰবিন্দু $\mathrm{G}$ ত স্থাপন কৰা $2 m$ ভৰৰ ওপৰত ক্ৰিয়া কৰা বল কি?

(খ) যদি শীৰ্ষবিন্দু $\mathrm{A}$ ত ভৰটো দুগুণ কৰা হয় তেন্তে বল কি?

$\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ লওক (চিত্ৰ ৭.৫ চাওক)

উত্তৰ (ক) GC আৰু ধনাত্মক $x$-অক্ষৰ মাজৰ কোণটো হৈছে $30^{\circ}$ আৰু GB আৰু ঋণাত্মক $x$-অক্ষৰ মাজৰ কোণটোও একে। ভেক্টৰ চিহ্নত পৃথক বলবোৰ হৈছে

চিত্ৰ ৭.৫ ∆ ABC ৰ তিনিটা শীৰ্ষবিন্দুত তিনিটা সমান ভৰ স্থাপন কৰা হৈছে। কেন্দ্ৰবিন্দু G ত 2m ভৰ এটা স্থাপন কৰা হৈছে।

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F}{\mathrm{GA}}=\frac{G m(2 m)}{1} \hat{\mathbf{j}} \ & \mathbf{F}{\mathrm{GB}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \ & \mathbf{F}_{\mathrm{GC}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(+\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \end{aligned} $$

অধিস্থাপনৰ নীতি আৰু ভেক্টৰ যোগৰ সূত্ৰৰ পৰা, ($2 m$) ৰ ওপৰত ফলিত মহাকৰ্ষণীয় বল $F_R$ হৈছে

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F}{\mathrm{R}}= \mathbf{F}{\mathrm{GA}}+\mathbf{F}{\mathrm{GB}}+\mathbf{F}{\mathrm{GC}} \ & \mathbf{F}_{\mathrm{R}}=2 G m^2 \hat{\mathbf{j}}+2 G m^2\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \ &+2 G m^2\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right)=0 \end{aligned} $$

ইতৰ পন্থাত, সমমিতিৰ ভিত্তিত আশা কৰা হয় যে ফলিত বল শূন্য হোৱা উচিত।

(খ) এতিয়া যদি শীৰ্ষবিন্দু A ত ভৰটো দুগুণ কৰা হয় তেন্তে

$$ \begin{aligned} & \mathrm{F}{G A}^{\prime}=\frac{\mathrm{G} 2 m \cdot 2 m}{1} \hat{\mathrm{j}}=4 \mathrm{Gm}^2 \hat{\mathrm{j}} \ & \mathrm{~F}{G B}^{\prime}=\mathrm{F}{G B} \text { and } \mathrm{F}{G C}^{\prime}=\mathrm{F}{G C} \ & \mathrm{~F}R^{\prime}=\mathrm{F}{G A}^{\prime}+\mathrm{F}{G B}^{\prime}+\mathrm{F}{G C}^{\prime} \ & \mathrm{F}{\mathrm{R}}^{\prime}=2 G m^2 \hat{\mathrm{j}} \end{aligned} $$

বিস্তৃত বস্তু (যেনে পৃথিৱী) আৰু বিন্দু ভৰৰ মাজৰ মহাকৰ্ষণীয় বলৰ বাবে, সমীকৰণ (৭.৫) প্ৰত্যক্ষভাৱে প্ৰযোজ্য নহয়। বিস্তৃত বস্তুটোৰ প্ৰতিটো বিন্দু ভৰে দিয়া বিন্দু ভৰটোৰ ওপৰত বল প্ৰয়োগ কৰিব আৰু এই বলবোৰ সকলো একে দিশত নহ’ব। মুঠ বল পাবলৈ আমাক বিস্তৃত বস্তুটোৰ সকলো বিন্দু ভৰৰ বাবে ভেক্টৰীয়ভাৱে এই বলবোৰ যোগ কৰিব লাগিব। কেলকুলাছ ব্যৱহাৰ কৰি এইটো সহজে কৰিব পাৰি। দুটা বিশেষ ক্ষেত্ৰত, আপুনি তাক কৰোতে এক সহজ সূত্ৰ ফলাফল দিয়ে:

(১) এক সমান ঘনত্বৰ ফোপোলা গোলাকাৰ খোলা আৰু বাহিৰত অৱস্থিত বিন্দু ভৰৰ মাজৰ আকৰ্ষণ বল ঠিক তেনেকুৱা হয় যেনেদৰে খোলাটোৰ সমগ্ৰ ভৰ খোলাটোৰ কেন্দ্ৰত কেন্দ্ৰীভূত হৈছে।

গুণগতভাৱে এইটো তলত দিয়া ধৰণেৰে বুজিব পাৰি: খোলাটোৰ বিভিন্ন অঞ্চলৰ দ্বাৰা সৃষ্ট মহাকৰ্ষণীয় বলবোৰৰ বিন্দু ভৰটোক কেন্দ্ৰৰ লগত সংযোগ কৰা ৰেখাৰ বৰাবৰ উপাদানৰ লগতে এই ৰেখালৈ লম্ব দিশত উপাদান থাকে। খোলাটোৰ সকলো অঞ্চলৰ ওপৰত যোগ কৰোতে এই ৰেখালৈ লম্ব উপাদানবোৰ বাতিল হয় আৰু কেৱল বিন্দুটোক কেন্দ্ৰৰ লগত সংযোগ কৰা ৰেখাৰ বৰাবৰ এক ফলিত বল এৰি থয়। এই বলৰ পৰিমাণ ওপৰত উল্লেখ কৰাৰ দৰে কাম কৰে।

(২) সমান ঘনত্বৰ ফোপোলা গোলাকাৰ খোলাৰ বাবে আকৰ্ষণ বল, ইয়াৰ ভিতৰত অৱস্থিত বিন্দু ভৰৰ ওপৰত শূন্য।

গুণগতভাৱে, আমি আকৌ এই ফলাফল বুজিব পাৰোঁ। গোলাকাৰ খোলাটোৰ বিভিন্ন অঞ্চলে ইয়াৰ ভিতৰত থকা বিন্দু ভৰটোক বিভিন্ন দিশত আকৰ্ষণ কৰে। এই বলবোৰে সম্পূৰ্ণৰূপে ইটো সিটোক বাতিল কৰে।

৭.৪ মহাকৰ্ষণীয় ধ্ৰুৱক [১৩১-১৩২]#

বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰত সোমোৱা মহাকৰ্ষণীয় ধ্ৰুৱক $G$ ৰ মান পৰীক্ষামূলকভাৱে নিৰ্ধাৰণ কৰিব পাৰি আৰু এইটো প্ৰথমবাৰৰ বাবে ইংৰাজ বিজ্ঞানী হেনৰি কেভেণ্ডিছে ১৭৯৮ চনত কৰিছিল। তেওঁ ব্যৱহাৰ কৰা সঁজুলিটো চিত্ৰ ৭.৬ ত পৰিকল্পনামূলকভাৱে দেখুওৱা হৈছে

চিত্ৰ ৭.৬ কেভেণ্ডিছৰ পৰীক্ষাৰ পৰিকল্পনামূলক অংকন। S1 আৰু S2 হৈছে ডাঙৰ গোলক যিবোৰ A আৰু B ত ভৰবোৰৰ দুয়োটা ফালে ৰখা হৈছে (ছাঁ দিয়া দেখুওৱা হৈছে)। যেতিয়া ডাঙৰ গোলকবোৰ ভৰবোৰৰ আন ফাললৈ নিয়া হয় (বিন্দুযুক্ত বৃত্তৰ দ্বাৰা দেখুওৱা), দণ্ড AB অলপ ঘূৰে কিয়নো টৰ্ক দিশ উল্টায়। ঘূৰণৰ কোণটো পৰীক্ষামূলকভাৱে জোখিব পাৰি।

দণ্ড $\mathrm{AB}$ ৰ মূৰত দুটা সৰু সীহৰ গোলক সংলগ্ন কৰা হৈছে। দণ্ডটো এডাল সূক্ষ্ম তাঁৰেৰে এটা দৃঢ় আধাৰৰ পৰা ওলোমাই ৰখা হৈছে। দুটা ডাঙৰ সীহৰ গোলক সৰুবোৰৰ ওচৰলৈ আনিছে কিন্তু বিপৰীত ফালে দেখুওৱাৰ দৰে। ডাঙৰ গোলকবোৰে ওচৰৰ সৰুবোৰক সমান আৰু বিপৰীত বলৰে আকৰ্ষণ কৰে। দণ্ডটোৰ ওপৰত কোনো নিট বল নাই কিন্তু কেৱল এটা টৰ্ক যি স্পষ্টভাৱে দণ্ডটোৰ দৈৰ্ঘ্যৰ $\mathrm{F}$ গুণৰ সমান, য’ত $\mathrm{F}$ হৈছে এটা ডাঙৰ গোলক আৰু ইয়াৰ ওচৰৰ সৰু গোলকৰ মাজৰ আকৰ্ষণ বল। এই টৰ্কৰ বাবে, ওলোমাই ৰখা তাঁৰডাল মেৰিয়াই যায় যেতিয়ালৈকে তাঁৰডালৰ পুনৰুদ্ধাৰ টৰ্কটো মহাকৰ্ষণীয় টৰ্কটোৰ সমান নহয়। যদি $\theta$ হৈছে ওলোমাই ৰখা তাঁৰডালৰ মেৰিওৱাৰ কোণ, পুনৰুদ্ধাৰ টৰ্কটো $\theta$ ৰ সমানুপাতিক, $\tau \theta$ ৰ সমান। য’ত $\tau$ হৈছে মেৰিওৱাৰ প্ৰতি একক কোণৰ বাবে পুনৰুদ্ধাৰ যুগ্ম। $\tau$ স্বতন্ত্ৰভাৱে জোখিব পাৰি যেনে, এটা জনা টৰ্ক প্ৰয়োগ কৰি আৰু মেৰিওৱাৰ কোণ জুখি। গোলাকাৰ বলবোৰৰ মাজৰ মহাকৰ্ষণীয় বল একে হয় যেনেদৰে তেওঁলোকৰ ভৰবোৰ তেওঁলোকৰ কেন্দ্ৰত কেন্দ্ৰীভূত হৈছে। সেয়েহে যদি $d$ হৈছে ডাঙৰ আৰু ইয়াৰ ওচৰৰ সৰু বলৰ কেন্দ্ৰবোৰৰ মাজৰ পৃথকীকৰণ, $\mathrm{M}$ আৰু $\mathrm{m}$ তেওঁলোকৰ ভৰ, ডাঙৰ গোলক আৰু ইয়াৰ ওচৰৰ সৰু বলৰ মাজৰ মহাকৰ্ষণীয় বল

$$ \begin{equation*} F=G \frac{M m}{d^{2}} \tag{7.6} \end{equation*} $$

যদি $L$ হৈছে দণ্ড $A B$ ৰ দৈৰ্ঘ্য, তেতিয়া $F$ ৰ পৰা উদ্ভৱ হোৱা টৰ্কটো হৈছে $F$ L ৰে গুণিত। সমতাত, এইটো পুনৰুদ্ধাৰ টৰ্কটোৰ সমান আৰু সেয়েহে

$$ \begin{equation*} G \frac{M m}{d^{2}} L=\tau \theta \tag{7.7} \end{equation*} $$

$\theta$ ৰ পৰ্যবেক্ষণে সেয়েহে এই সমীকৰণৰ পৰা $G$ গণনা কৰিবলৈ সক্ষম কৰায়।

কেভেণ্ডিছৰ পৰীক্ষাৰ পৰা, $G$ ৰ জোখ উন্নত কৰা হৈছে আৰু বৰ্তমান গৃহীত মান হৈছে

$$ \begin{equation*} G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} \tag{7.8} \end{equation*} $$

৭.৫ পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণৰ বাবে ত্বৰণ [১৩২-১৩৩]#

পৃথিৱীক এক ডাঙৰ সংখ্যক কেন্দ্ৰীয় গোলাকাৰ খোলাৰে তৈয়াৰী গোলক হিচাপে কল্পনা কৰিব পাৰি য’ত আটাইতকৈ সৰুটো কেন্দ্ৰত আৰু আটাইতকৈ ডাঙৰটো ইয়াৰ পৃষ্ঠত। পৃথিৱীৰ বাহিৰৰ বিন্দু এটা স্পষ্টভাৱে সকলো খোলাৰ বাহিৰত। সেয়েহে, সকলো খোলাই বাহিৰৰ বিন্দুটোত