৮.১ পৰিচয় [১৬৭-১৬৮]#

অধ্যায় ৬ত, আমি দেহাবোৰৰ ঘূৰ্ণন অধ্যয়ন কৰিছিলো আৰু তাৰ পিছত উপলব্ধি কৰিছিলো যে এটা দেহাৰ গতি দেহাটোৰ ভিতৰত ভৰ কেনেকৈ বিতৰণ কৰা হৈছে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। আমি কঠোৰ দেহাৰ সহজ পৰিস্থিতিলৈ নিজকে সীমাবদ্ধ ৰাখিছিলো। কঠোৰ দেহাৰ অৰ্থ সাধাৰণতে এটা টান কঠিন বস্তু যিৰ এটা নিৰ্দিষ্ট আকৃতি আৰু আকাৰ আছে। কিন্তু বাস্তৱত, দেহাবোৰ টানি, সংকোচিত আৰু বেঁকা কৰিব পাৰি। যথেষ্ট কঠোৰ লোৰ দণ্ডটোও যেতিয়া ইয়াৰ ওপৰত যথেষ্ট ডাঙৰ বাহ্যিক বল প্ৰয়োগ কৰা হয় তেতিয়া বিকৃত হ’ব পাৰে। ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল যে কঠিন দেহাবোৰ সম্পূৰ্ণৰূপে কঠোৰ নহয়।

এটা কঠিন পদাৰ্থৰ নিৰ্দিষ্ট আকৃতি আৰু আকাৰ থাকে। দেহাৰ আকৃতি বা আকাৰ সলনি কৰিবলৈ (বা বিকৃত কৰিবলৈ) বলৰ প্ৰয়োজন হয়। যদি আপুনি হেলিকেল স্প্ৰিঙটো ইয়াৰ মূৰ দুটা কোমলকৈ টানি দীঘল কৰে, স্প্ৰিঙটোৰ দৈৰ্ঘ্য অলপ বাঢ়ে। যেতিয়া আপুনি স্প্ৰিঙটোৰ মূৰ এৰি দিয়ে, ই ইয়াৰ মূল আকাৰ আৰু আকাৰ ঘূৰাই পায়। দেহাৰ সেই ধৰ্ম, যাৰ বাবে প্ৰয়োগ কৰা বল আঁতৰোৱাৰ পিছত ই ইয়াৰ মূল আকাৰ আৰু আকাৰ ঘূৰাই পাবলৈ চেষ্টা কৰে, তাক স্থিতিস্থাপকতা বুলি জনা যায় আৰু সৃষ্টি হোৱা বিকৃতিক স্থিতিস্থাপক বিকৃতি বুলি কোৱা হয়। অৱশ্যে, যদি আপুনি পুট্টি বা বোকাৰ এটা ডোখৰত বল প্ৰয়োগ কৰে, তেতিয়া ইহঁতৰ পূৰ্বৰ আকাৰ ঘূৰাই পোৱাৰ কোনো স্পষ্ট প্ৰৱণতা নাথাকে, আৰু ইহঁত স্থায়ীভাৱে বিকৃত হয়। এনে পদাৰ্থবোৰক প্লাষ্টিক বুলি কোৱা হয় আৰু এই ধৰ্মটোক প্লাষ্টিকতা বুলি কোৱা হয়। পুট্টি আৰু বোকা আদৰ্শ প্লাষ্টিকৰ ওচৰত।

পদাৰ্থবোৰৰ স্থিতিস্থাপক আচৰণে অভিযান্ত্ৰিক নক্সাত এক গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা পালন কৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, এটা অট্টালিকা নক্সা কৰোঁতে, ইটা, কংক্ৰিট আদি পদাৰ্থৰ স্থিতিস্থাপক ধৰ্মৰ জ্ঞান অতি প্ৰয়োজনীয়। পুল, মটৰগাড়ী, ৰপৱে আদিৰ নক্সাতো একেই কথা। এজনে ইয়াকো সুধিব পাৰে: আমি এটা বিমান নক্সা কৰিব পাৰোনে যি অতি পাতল কিন্তু যথেষ্ট শক্তিশালী? আমি এটা কৃত্ৰিম অংগ নক্সা কৰিব পাৰোনে যি পাতল কিন্তু শক্তিশালী? ৰেলৱে ট্ৰেকৰ I ৰ দৰে এটা বিশেষ আকৃতি কিয় থাকে? কাঁচ কিয় ভঙ্গুৰ কিন্তু পিতল নহয়? এনে প্ৰশ্নৰ উত্তৰ আৰম্ভ হয় তুলনামূলকভাৱে সহজ প্ৰকাৰৰ ভাৰ বা বলবোৰে কেনেদৰে বিভিন্ন কঠিন দেহাবোৰ বিকৃত কৰিবলৈ কাম কৰে তাৰ অধ্যয়নৰ পৰা। এই অধ্যায়ত, আমি কঠিন পদাৰ্থবোৰৰ স্থিতিস্থাপক আচৰণ আৰু যান্ত্ৰিক ধৰ্ম অধ্যয়ন কৰিম যিয়ে এনে বহুতো প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিব।

৮.২ পীড়ন আৰু বিকৃতি [১৬৮-১৬৯]#

যেতিয়া দেহা এটাৰ ওপৰত বল এনেদৰে প্ৰয়োগ কৰা হয় যে দেহাটো স্থিতি সাম্যতাত থাকে, দেহাটোৰ পদাৰ্থৰ প্ৰকৃতি আৰু বিকৃতিকাৰী বলৰ পৰিমাণৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি সৰু বা ডাঙৰ পৰিমাণে বিকৃত হয়। বহুতো পদাৰ্থত দৃশ্যমানভাৱে বিকৃতি লক্ষ্য কৰিব নোৱাৰিব পাৰি কিন্তু ই থাকে। যেতিয়া দেহা এটা বিকৃতিকাৰী বলৰ সন্মুখীন হয়, দেহাটোত এটা পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলৰ সৃষ্টি হয়। এই পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বল প্ৰয়োগ কৰা বলৰ সমান পৰিমাণৰ কিন্তু বিপৰীত দিশত। একক ক্ষেত্ৰফলত পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলক পীড়ন বুলি জনা যায়। যদি $F$ হৈছে ক্ৰছ-ছেকচনলৈ লম্বভাৱে প্ৰয়োগ কৰা বল আৰু $A$ হৈছে দেহাটোৰ ক্ৰছ-ছেকচনৰ ক্ষেত্ৰফল

$$ \text{Magnitude of the stress} =F / A \tag{8.1}$$

পীড়নৰ SI একক হৈছে $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ বা পাস্কেল $(\mathrm{Pa})$ আৰু ইয়াৰ মাত্ৰিক সূত্ৰ হৈছে $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$।

যেতিয়া বাহ্যিক বল এটা দেহা এটাৰ ওপৰত কাম কৰে, তেতিয়া কঠিন পদাৰ্থ এটাই ইয়াৰ মাত্ৰা সলনি কৰাৰ তিনিটা উপায় আছে। এইবোৰ চিত্ৰ ৮.১ত দেখুওৱা হৈছে। চিত্ৰ ৮.১(ক)ত, চিলিণ্ডাৰ এটাক ইয়াৰ ক্ৰছ-ছেকচন ক্ষেত্ৰফললৈ লম্বভাৱে প্ৰয়োগ কৰা দুটা সমান বলৰ দ্বাৰা টানি দীঘল কৰা হৈছে। এই ক্ষেত্ৰত একক ক্ষেত্ৰফলত পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলক টেনছাইল পীড়ন বুলি কোৱা হয়। যদি চিলিণ্ডাৰটো প্ৰয়োগ কৰা বলৰ ক্ৰিয়াৰ অধীনত সংকোচিত হয়, তেতিয়া একক ক্ষেত্ৰফলত পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলক কম্প্ৰেছিভ পীড়ন বুলি জনা যায়। টেনছাইল বা কম্প্ৰেছিভ পীড়নক দীঘলীয়া পীড়ন বুলিও কোৱা হয়।

উভয় ক্ষেত্ৰতে, চিলিণ্ডাৰটোৰ দৈৰ্ঘ্যত পৰিৱৰ্তন হয়। দেহাটোৰ (এই ক্ষেত্ৰত চিলিণ্ডাৰ) মূল দৈৰ্ঘ্য $L$ৰ সৈতে দৈৰ্ঘ্যৰ পৰিৱৰ্তন $\Delta L$ৰ অনুপাতক দীঘলীয়া বিকৃতি বুলি জনা যায়।

$$ \begin{equation*} \text { Longitudinal strain }=\frac{\Delta L}{L} \tag{8.2} \end{equation*} $$

অৱশ্যে, যদি দুটা সমান আৰু বিপৰীত বিকৃতিকাৰী বল চিলিণ্ডাৰটোৰ ক্ৰছ-ছেকচন ক্ষেত্ৰফলৰ সমান্তৰালভাৱে প্ৰয়োগ কৰা হয়, যেনেকৈ চিত্ৰ ৮.১(খ)ত দেখুওৱা হৈছে, চিলিণ্ডাৰটোৰ বিপৰীত মুখৰ মাজত আপেক্ষিক সৰণ ঘটে। প্ৰয়োগ কৰা স্পৰ্শক বলৰ বাবে সৃষ্টি হোৱা একক ক্ষেত্ৰফলত পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলক স্পৰ্শক বা শিয়েৰিং পীড়ন বুলি জনা যায়। প্ৰয়োগ কৰা স্পৰ্শক বলৰ ফলত, চিত্ৰ ৮.১(খ)ত দেখুওৱাৰ দৰে চিলিণ্ডাৰটোৰ বিপৰীত মুখৰ মাজত আপেক্ষিক সৰণ $\Delta x$ ঘটে। এনেদৰে উৎপন্ন হোৱা বিকৃতিক শিয়েৰিং বিকৃতি বুলি জনা যায় আৰু ইয়াক মুখবোৰৰ আপেক্ষিক সৰণ $\Delta x$ৰ চিলিণ্ডাৰটোৰ দৈৰ্ঘ্য $L$ৰ সৈতে অনুপাত হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়।

$$ \begin{equation*} \text { Shearing strain }=\frac{\Delta x}{L}=\tan \theta \tag{8.3} \end{equation*} $$

য’ত $\theta$ হৈছে উলম্বৰ পৰা চিলিণ্ডাৰটোৰ কৌণিক সৰণ (চিলিণ্ডাৰটোৰ মূল অৱস্থান)। সাধাৰণতে $\theta$ অতি সৰু, $\tan \theta$ প্ৰায় কোণ $\theta$ৰ সমান, (যদি $\theta=10^{\circ}$, উদাহৰণস্বৰূপে, $\theta$ আৰু $\tan \theta$ৰ মাজত মাত্ৰ $1 \%$ৰ পাৰ্থক্য থাকে )। ইয়াক চকুৰে দেখিবও পাৰি, যেতিয়া কিতাপ এখন হাতেৰে হেঁচা মাৰি আৰু অনুভূমিকভাৱে ঠেলা মাৰা হয়, যেনেকৈ চিত্ৰ ৮.২ (গ)ত দেখুওৱা হৈছে।

$$\text{Thus, shearing strain } =\tan \theta \approx \theta \tag{8.4}$$

চিত্ৰ ৮.১ (ঘ)ত, উচ্চ চাপত থকা তৰলত ৰখা এটা কঠিন গোলক সকলো ফালে সমানে সংকোচিত হয়। তৰলৰ দ্বাৰা প্ৰয়োগ কৰা বল পৃষ্ঠৰ প্ৰতিটো বিন্দুত লম্ব দিশত কাম কৰে আৰু দেহাটো হাইড্ৰলিক কম্প্ৰেছনৰ অধীনত বুলি কোৱা হয়। ইয়াৰ ফলত ইয়াৰ জ্যামিতিক আকাৰৰ কোনো পৰিৱৰ্তন নোহোৱাকৈ ইয়াৰ আয়তন হ্ৰাস পায়।

চিত্ৰ ৮.১ (ক) টেনছাইল পীড়নৰ অধীনত এটা চিলিণ্ডাৰীয় দেহা ∆L দ্বাৰা দীঘল হয় (খ) চিলিণ্ডাৰ এটাৰ ওপৰত শিয়েৰিং পীড়নে ইয়াক θ কোণেৰে বিকৃত কৰে (গ) শিয়েৰিং পীড়নৰ সন্মুখীন হোৱা দেহা এটা (ঘ) প্ৰতিটো বিন্দুত পৃষ্ঠলৈ লম্ব পীড়নৰ অধীনত থকা কঠিন দেহা এটা (হাইড্ৰলিক পীড়ন)। আয়তনিক বিকৃতি হৈছে ∆V/V, কিন্তু আকাৰত কোনো পৰিৱৰ্তন নহয়।

দেহাটোৱে অভ্যন্তৰীণ পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলৰ সৃষ্টি কৰে যিবোৰ তৰলৰ দ্বাৰা প্ৰয়োগ কৰা বলৰ সমান আৰু বিপৰীত (দেহাটোৱে তৰলৰ পৰা উলিয়াই অনাৰ পিছত ইয়াৰ মূল আকাৰ আৰু আকাৰ ঘূৰাই পায়)। এই ক্ষেত্ৰত অভ্যন্তৰীণ পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বল প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলক হাইড্ৰলিক পীড়ন বুলি জনা যায় আৰু পৰিমাণত ই হাইড্ৰলিক চাপৰ সমান (প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলত প্ৰয়োগ কৰা বল)।

হাইড্ৰলিক চাপৰ দ্বাৰা উৎপন্ন হোৱা বিকৃতিক আয়তন বিকৃতি বুলি কোৱা হয় আৰু ইয়াক আয়তনৰ পৰিৱৰ্তন $(\Delta V)$ৰ মূল আয়তন $(V)$ৰ সৈতে অনুপাত হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়।

$$ \begin{equation*} \text { Volume Strain }=\frac{\Delta V}{V} \tag{8.5} \end{equation*} $$

বিকৃতি হৈছে মাত্ৰাৰ পৰিৱৰ্তনৰ মূল মাত্ৰাৰ সৈতে অনুপাত, গতিকে ইয়াৰ কোনো একক বা মাত্ৰিক সূত্ৰ নাই।

৮.৩ হুকৰ সূত্ৰ [১৬৯]#

চিত্ৰ (৮.১)ত চিত্ৰিত পৰিস্থিতিবোৰত পীড়ন আৰু বিকৃতিৰ বিভিন্ন ৰূপ থাকে। সৰু বিকৃতিবোৰৰ বাবে পীড়ন আৰু বিকৃতি ইটোৱে সিটোৰ সমানুপাতিক। ইয়াক হুকৰ সূত্ৰ বুলি জনা যায়।

সেয়েহে,

পীড়ন $\propto$ বিকৃতি

$$ \begin{equation*} \text { stress }=k \times \text { strain } \tag{8.6} \end{equation*} $$

য’ত $k$ হৈছে সমানুপাতিকতা ধ্ৰুৱক আৰু ইয়াক স্থিতিস্থাপকতা গুণাঙ্ক বুলি জনা যায়।

হুকৰ সূত্ৰ হৈছে এটা প্ৰায়োগিক সূত্ৰ আৰু বেছিভাগ পদাৰ্থৰ বাবে ই বৈধ বুলি পোৱা যায়। অৱশ্যে, কিছুমান পদাৰ্থ আছে যিবোৰে এই ৰৈখিক সম্পৰ্ক প্ৰদৰ্শন নকৰে।

৮.৪ পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰ [১৬৯-১৭০]#

টেনছাইল পীড়নৰ অধীনত দিয়া পদাৰ্থ এটাৰ বাবে পীড়ন আৰু বিকৃতিৰ মাজৰ সম্পৰ্ক প্ৰায়োগিকভাৱে পোৱা যাব পাৰি। টেনছাইল ধৰ্মৰ এটা প্ৰমাণিত পৰীক্ষাত, পৰীক্ষাৰ চিলিণ্ডাৰ বা তাঁৰ এডাল প্ৰয়োগ কৰা বলৰ দ্বাৰা টানি দীঘল কৰা হয়। দৈৰ্ঘ্যৰ ভগ্নাংশ পৰিৱৰ্তন (বিকৃতি) আৰু বিকৃতি সৃষ্টি কৰিবলৈ প্ৰয়োজনীয় প্ৰয়োগ কৰা বল ৰেকৰ্ড কৰা হয়। প্ৰয়োগ কৰা বল ক্ৰমে বৃদ্ধি কৰা হয় আৰু দৈৰ্ঘ্যৰ পৰিৱৰ্তন লক্ষ্য কৰা হয়। পীড়ন (যি প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলত প্ৰয়োগ কৰা বলৰ সমান পৰিমাণৰ) আৰু উৎপন্ন হোৱা বিকৃতিৰ মাজত এটা লেখ প্ৰস্তুত কৰা হয়। ধাতু এটাৰ বাবে এটা সাধাৰণ লেখ চিত্ৰ ৮.২ত দেখুওৱা হৈছে। কম্প্ৰেছন আৰু শিয়েৰ পীড়নৰ বাবে একে ধৰণৰ লেখো পোৱা যাব পাৰে। পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰবোৰ পদাৰ্থৰ পৰা পদাৰ্থলৈ ভিন্ন হয়। এই বক্ৰবোৰে আমাক বুজাবলৈ সহায় কৰে যে কেনেদৰে দিয়া পদাৰ্থ এটা বৃদ্ধি পোৱা ভাৰৰ সৈতে বিকৃত হয়। লেখৰ পৰা, আমি দেখিব পাৰো যে $\mathrm{O}$ৰ পৰা $\mathrm{A}$লৈ অঞ্চলত, বক্ৰ ৰৈখিক। এই অঞ্চলত, হুকৰ সূত্ৰ মানি চলে। প্ৰয়োগ কৰা বল আঁতৰোৱাৰ পিছত দেহাটোৱে ইয়াৰ মূল মাত্ৰা ঘূৰাই পায়। এই অঞ্চলত, কঠিন পদাৰ্থই স্থিতিস্থাপক দেহাৰ দৰে আচৰণ কৰে।

চিত্ৰ ৮.২ ধাতু এটাৰ বাবে এটা সাধাৰণ পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰ।

$A$ৰ পৰা $B$লৈ অঞ্চলত, পীড়ন আৰু বিকৃতি সমানুপাতিক নহয়। তথাপিও, ভাৰ আঁতৰোৱাৰ পিছত দেহাটোৱে ইয়াৰ মূল মাত্ৰালৈ ঘূৰি আহে। বক্ৰৰ B বিন্দুটোক য়িল্ড পইণ্ট (ইলাষ্টিক লিমিট বুলিও জনা যায়) বুলি জনা যায় আৰু সংশ্লিষ্ট পীড়নক পদাৰ্থটোৰ য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথ ($\sigma_y$) বুলি জনা যায়।

যদি ভাৰ আৰু বৃদ্ধি কৰা হয়, তেতিয়া বিকশিত হোৱা পীড়নে য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথক অতিক্ৰম কৰে আৰু পীড়নৰ সৰু পৰিৱৰ্তনৰ বাবেও বিকৃতি দ্ৰুতগতিত বৃদ্ধি পায়। B আৰু Dৰ মাজৰ বক্ৰৰ অংশটোৱে ইয়াক দেখুৱায়। যেতিয়া ভাৰ আঁতৰোৱা হয়, ধৰি লওক B আৰু Dৰ মাজৰ C বিন্দুত, দেহাটোৱে ইয়াৰ মূল মাত্ৰা ঘূৰাই নাপায়। এই ক্ষেত্ৰত, পীড়ন শূন্য হ’লেও বিকৃতি শূন্য নহয়। পদাৰ্থটোৰ স্থায়ী সংস্থাপন আছে বুলি কোৱা হয়। বিকৃতিক প্লাষ্টিক বিকৃতি বুলি কোৱা হয়। লেখৰ D বিন্দুটো হৈছে পদাৰ্থটোৰ আল্টিমেট টেনছাইল ষ্ট্ৰেংথ ($\sigma_u$)। এই বিন্দুৰ পিছত, হ্ৰাস পোৱা প্ৰয়োগ কৰা বলৰ দ্বাৰাও অতিৰিক্ত বিকৃতি উৎপন্ন হয় আৰু E বিন্দুত ভংগ হয়। যদি আল্টিমেট ষ্ট্ৰেংথ আৰু ভংগ বিন্দু D আৰু E ওচৰত থাকে, তেতিয়া পদাৰ্থটোক ভঙ্গুৰ বুলি কোৱা হয়। যদি ইহঁত বহু দূৰত থাকে, তেতিয়া পদাৰ্থটোক নমনীয় বুলি কোৱা হয়।

চিত্ৰ ৮.৩ হৃদয়ৰ পৰা তেজ কঢ়িওৱা ডাঙৰ নলী (ৰক্তনলী) অৰ্টাৰ স্থিতিস্থাপক কলাৰ বাবে পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰ।

আগতে উল্লেখ কৰাৰ দৰে, পীড়ন-বিকৃতি আচৰণ পদাৰ্থৰ পৰা পদাৰ্থলৈ ভিন্ন হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ৰবৰক ইয়াৰ মূল দৈৰ্ঘ্যৰ কেইবাগুণো টানি দীঘল কৰিব পাৰি আৰু তথাপিও ইয়াৰ মূল আকাৰলৈ ঘূৰি আহে। চিত্ৰ ৮.৩ত হৃদয়ত থকা অৰ্টাৰ স্থিতিস্থাপক কলাৰ বাবে পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰ দেখুওৱা হৈছে। লক্ষ্য কৰক যে যদিও স্থিতিস্থাপক অঞ্চল অতি ডাঙৰ, বেছিভাগ অঞ্চলত পদাৰ্থটোৱে হুকৰ সূত্ৰ মানি নচলে। দ্বিতীয়তে, কোনো স্পষ্টভাৱে সংজ্ঞায়িত প্লাষ্টিক অঞ্চল নাই। অৰ্টাৰ কলা, ৰবৰ আদি পদাৰ্থবোৰক ইলাষ্টোমাৰ বুলি কোৱা হয় যিবোৰ ডাঙৰ বিকৃতি সৃষ্টি কৰিবলৈ টানি দীঘল কৰিব পাৰি।

৮.৫ স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক [১৭০]#

পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰৰ স্থিতিস্থাপক সীমাৰ ভিতৰৰ সমানুপাতিক অঞ্চলটো (চিত্ৰ ৮.২ত OA অঞ্চল) গাঁথনি আৰু উৎপাদন অভিযান্ত্ৰিক নক্সাৰ বাবে অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ। পীড়ন আৰু বিকৃতিৰ অনুপাত, যাক স্থিতিস্থাপকতা গুণাঙ্ক বুলি কোৱা হয়, পদাৰ্থটোৰ বৈশিষ্ট্য হিচাপে পোৱা যায়।

৮.৫.১ ইয়ংৰ গুণাঙ্ক [১৭০-১৭২]#

প্ৰায়োগিক নিৰীক্ষণে দেখুৱায় যে দিয়া পদাৰ্থ এটাৰ বাবে, পীড়ন টেনছাইল নে কম্প্ৰেছিভ নহওক কিয়, উৎপন্ন হোৱা বিকৃতিৰ পৰিমাণ একে। টেনছাইল (বা কম্প্ৰেছিভ) পীড়ন $(\sigma)$ৰ দীঘলীয়া বিকৃতি $(\varepsilon)$ৰ সৈতে অনুপাতক ইয়ংৰ গুণাঙ্ক বুলি সংজ্ঞায়িত কৰা হয় আৰু ইয়াক $Y$ চিহ্নৰে সূচোৱা হয়।

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\sigma}{\varepsilon} \tag{8.7} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (৮.১) আৰু (৮.২)ৰ পৰা, আমি পাইছো

$$ \begin{align*} Y & =(F / A) /(\Delta L / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta L) \tag{8.8} \end{align*} $$

বিকৃতি হৈছে মাত্ৰাহীন ৰাশি হোৱা হেতুকে, ইয়ংৰ গুণাঙ্কৰ একক পীড়নৰ এককৰ দৰে একেই অৰ্থাৎ $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ বা পাস্কেল (Pa)। তালিকা ৮.১ত কিছুমান পদাৰ্থৰ ইয়ংৰ গুণাঙ্ক আৰু য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথৰ মান দিয়া হৈছে।

তালিকা ৮.১ত দিয়া তথ্যৰ পৰা, দেখা যায় যে ধাতুবোৰৰ বাবে ইয়ংৰ গুণাঙ্কবোৰ ডাঙৰ।

তালিকা ৮.১ কিছুমান পদাৰ্থৰ ইয়ংৰ গুণাঙ্ক আৰু য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথ

পদাৰ্থ	ঘনত্ব $\rho$ $\left(\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3}\right)$	ইয়ংৰ গুণাঙ্ক $\mathrm{Y}\left(10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$	আল্টিমেট ষ্ট্ৰেংথ, $\sigma_{\mathrm{u}}\left(10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$	য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথ $\sigma_{\mathrm{y}}\left(10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$
এলুমিনিয়াম	2710	70	110	95
তাম	8890	110	400	200
লো (ফলিত)	7800-7900	190	330	170
ইটা	7860	200	400	250
কাঁচ	2190	65	50	-
কংক্ৰিট	2320	30	40	-
কাঠ	525	13	50	-
হাড়	1900	9.4	170	-
পলিষ্টাইৰিন	1050	3	48	-

কম্প্ৰেছনৰ অধীনত পৰীক্ষা কৰা পদাৰ্থ#

সেয়েহে, এই পদাৰ্থবোৰে দৈৰ্ঘ্যত সৰু পৰিৱৰ্তন সৃষ্টি কৰিবলৈ ডাঙৰ বলৰ প্ৰয়োজন হয়। $0.1 \mathrm{~cm}^{2}$ ক্ৰছ-ছেকচন ক্ষেত্ৰফলৰ পাতল ইটাৰ তাঁৰ এডালৰ দৈৰ্ঘ্য $0.1 \%$ বৃদ্ধি কৰিবলৈ, $2000 \mathrm{~N}$ বলৰ প্ৰয়োজন হয়। একে ক্ৰছ-ছেকচন ক্ষেত্ৰফলৰ এলুমিনিয়াম, পিতল আৰু তামৰ তাঁৰত একে বিকৃতি সৃষ্টি কৰিবলৈ প্ৰয়োজনীয় বল ক্ৰমে $690 \mathrm{~N}$, $900 \mathrm{~N}$ আৰু $1100 \mathrm{~N}$। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে ইটা তাম, পিতল আৰু এলুমিনিয়ামতকৈ বেছি স্থিতিস্থাপক। এই কাৰণতে ডাঙৰ মেচিন আৰু গাঁথনি নক্সাত ইটা পছন্দ কৰা হয়। কাঠ, হাড়, কংক্ৰিট আৰু কাঁচৰ ইয়ংৰ গুণাঙ্ক বৰ সৰু।

উদাহৰণ ৮.১ গাঁথনি ইটাৰ দণ্ড এটাৰ ব্যাসাৰ্ধ $10 \mathrm{~mm}$ আৰু দৈৰ্ঘ্য $1.0 \mathrm{~m}$। $100 \mathrm{kN}$ বল এটাই ইয়াক ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যৰ বাবে টানি দীঘল কৰে। গণনা কৰক (ক) পীড়ন, (খ) দীঘলীকৰণ, আৰু (গ) দণ্ডটোৰ বিকৃতি। গাঁথনি ইটাৰ ইয়ংৰ গুণাঙ্ক হৈছে $2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$।

উত্তৰ আমি ধৰি লওঁ যে দণ্ডটো এটা মূৰত ক্লেম্পৰ দ্বাৰা ধৰি ৰখা হৈছে, আৰু বল $F$ আনটো মূৰত, দণ্ডটোৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সমান্তৰালভাৱে প্ৰয়োগ কৰা হৈছে। তেতিয়া দণ্ডটোৰ পীড়ন দিয়া হয়

$$ \begin{aligned} \text { Stress } & =\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi r^2} \ & =\frac{100 \times 10^3 \mathrm{~N}}{3.14 \times\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)^2} \ & =3.18 \times 10^8 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \end{aligned} $$

দীঘলীকৰণ,

$$ \begin{aligned} \Delta L & =\frac{(F / A) L}{Y} \ & =\frac{\left(3.18 \times 10^8 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)(1 \mathrm{~m})}{2 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}} \ & =1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \ & =1.59 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

বিকৃতি দিয়া হয়

$$ \begin{aligned} \text { Strain } & =\Delta L / L \ & =\left(1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right) /(1 \mathrm{~m}) \ & =1.59 \times 10^{-3} \ & =0.16 % \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৮.২ দৈৰ্ঘ্য $2.2 \mathrm{~m}$ৰ তামৰ তাঁৰ এডাল আৰু দৈৰ্ঘ্য $1.6 \mathrm{~m}$ৰ ইটাৰ তাঁৰ এডাল, দুয়োটাৰে ব্যাস $3.0 \mathrm{~mm}$, মূৰৰ পৰা মূৰলৈ সংযোগ কৰা হৈছে। ভাৰ এটাৰ দ্বাৰা টানি দীঘল কৰোঁতে, মুঠ দীঘলীকৰণ $0.70 \mathrm{~mm}$ বুলি পোৱা যায়। প্ৰয়োগ কৰা ভাৰটো উলিয়াওক।

উত্তৰ তাম আৰু ইটাৰ তাঁৰবোৰ টেনছাইল পীড়নৰ অধীনত কাৰণ ইহঁতৰ একে টান (ভাৰ $W$ৰ সমান) আৰু একে ক্ৰছ-ছেকচন ক্ষেত্ৰফল $A$ আছে।

সমীকৰণ (৮.৭)ৰ পৰা আমি পাইছো পীড়ন $=$ বিকৃতি $\times$ ইয়ংৰ গুণাঙ্ক। সেয়েহে

$$ W / A=Y_c \times\left(\Delta L_c / L_c\right)=Y_s \times\left(\Delta L_s / L_s\right) $$

য’ত সাবস্ক্ৰিপ্টবোৰ $c$ আৰু $s$ ক্ৰমে তাম আৰু ষ্টেইনলেছ ইটাৰ সৈতে জড়িত।

বা,

$$ \Delta L_c / \Delta L_s=\left(Y_s / Y\right) \times\left(L_c / L_s\right) $$

দিয়া আছে

$L_c=2.2 \mathrm{~m}, L_s=1.6 \mathrm{~m}$,

তালিকা ৯.১ৰ পৰা $Y_c=1.1 \times 10^{11} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{-2}$, আৰু

$$ Y_s^c=2.0 \times 10^{11}{\mathrm{~N} . \mathrm{m}^{-2}} $$

$\Delta L_c / \Delta L_s=\left(2.0 \times 10^{11} / 1.1 \times 10^{11}\right) \times(2.2 / 1.6)=2.5$। মুঠ দীঘলীকৰণ দিয়া আছে

$$ \Delta L_c+\Delta L_s=7.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

ওপৰৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰি,

$$ \Delta L_c=5.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m}, \text { and } \Delta L_s=2.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

সেয়েহে

$$ \begin{aligned} W & =\left(A \times Y_c \times \Delta L\right) / L_c \ & =\pi\left(1.5 \times 10^{-3}\right)^2 \times\left[\left(5.0 \times 10^{-4} \times 1.1 \times 10^{11}\right) / 2.2\right] \ = & 1.8 \times 10^2 \mathrm{~N} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৮.৩ চাৰ্কাছৰ মানুহৰ পিৰামিড এটাত, সমতল গোটটোৰ মুঠ ওজন এজন অভিনেতাৰ ভৰিৰ দ্বাৰা সমৰ্থিত হয় যি ইয়াৰ পিঠিৰ ওপৰত শুই আছে (চিত্ৰ ৮.৪ত দেখুওৱাৰ দৰে)। অভিনয় কৰা সকলো ব্যক্তি, টেবুল, ফলক আদিৰ মুঠ ভৰ হৈছে $280 \mathrm{~kg}$। পিৰামিডৰ তলত ইয়াৰ পিঠিৰ ওপৰত শুই থকা অভিনেতাজনৰ ভৰ হৈছে $60 \mathrm{~kg}$। এই অভিনেতাজনৰ প্ৰতিটো উৰুৰ হাড়ৰ (ফেমাৰ) দৈৰ্ঘ্য $50 \mathrm{~cm}$ আৰু প্ৰভাৱশালী ব্যাসাৰ্ধ $2.0 \mathrm{~cm}$। অতিৰিক্ত ভাৰৰ অধীনত প্ৰতিটো উৰুৰ হাড় কিমান পৰিমাণে সংকোচিত হয় নিৰ্ধাৰণ কৰক।

চিত্ৰ ৮.৪ চাৰ্কাছৰ মানুহৰ পিৰামিড।

উত্তৰ সকলো অভিনেতা, টেবুল, ফলক আদিৰ মুঠ ভৰ $=280 \mathrm{~kg}$

অভিনেতাজনৰ ভৰ $=60 \mathrm{~kg}$ পিৰামিডৰ তলত থকা অভিনেতাজনৰ ভৰিয়ে সমৰ্থন কৰা ভৰ

$$ =280-60=220 \mathrm{~kg} $$

এই সমৰ্থিত ভৰৰ ওজন

$$ =220 \mathrm{~kg} w \mathrm{t} .=220 \times 9.8 \mathrm{~N}=2156 \mathrm{~N} $$

অভিনেতাজনৰ প্ৰতিটো উৰুৰ হাড়ৰ দ্বাৰা সমৰ্থিত ওজন $=1 / 2(2156) \mathrm{N}=1078 \mathrm{~N}$।

তালিকা ৯.১ৰ পৰা, হাড়ৰ বাবে ইয়ংৰ গুণাঙ্ক দিয়া হয়

$$ Y=9.4 \times 10^9 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} $$

প্ৰতিটো উৰুৰ হাড়ৰ দৈৰ্ঘ্য $L=0.5 \mathrm{~m}$ উৰুৰ হাড়ৰ ব্যাসাৰ্ধ $=2.0 \mathrm{~cm}$ সেয়েহে উৰুৰ হাড়ৰ ক্ৰছ-ছেকচন ক্ষেত্ৰফল

$$ A=\pi \times\left(2 \times 10^{-2}\right)^2 \mathrm{~m}^2=1.26 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^2 $$

সমীকৰণ (৯.৮) ব্যৱহাৰ কৰি, প্ৰতিটো উৰুৰ হাড়ৰ সংকোচন ($\Delta L$) গণনা কৰিব পাৰি

$$ \begin{aligned} \Delta L & =[(F \times L) /(Y \times A)] \ & =\left[(1078 \times 0.5) /\left(9.4 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-3}\right)\right] \ & =4.55 \times 10^{-5} \mathrm{~m} \text { or } 4.55 \times 10^{-3} \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

এইটো অতি সৰু পৰিৱৰ্তন! উৰুৰ হাড়ত ভগ্নাংশ হ্ৰাস হৈছে $\Delta L / L=0.000091$ বা 0.0091%।

৮.৫.২ শিয়েৰ গুণাঙ্ক [১৭২]#

শিয়েৰিং পীড়নৰ সংশ্লিষ্ট শিয়েৰিং বিকৃতিৰ অনুপাতক পদাৰ্থটোৰ শিয়েৰ গুণাঙ্ক বুলি কোৱা হয় আৰু ইয়াক $G$ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। ইয়াক কঠিনতা গুণাঙ্ক বুলিও কোৱা হয়।

$$ \begin{align*} G & =\text { shearing stress }\left(\sigma_{\mathrm{s}}\right) / \text { shearing strain } \\ G & =(F / A) /(\Delta x / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta x) \tag{8.10} \end{align*} $$

একেদৰে, সমীকৰণ (৯.৪)ৰ পৰা

$$ \begin{align*} G & =(F / A) / \theta \\ & =F /(A \times \theta) \tag{8.11} \end{align*} $$

শিয়েৰিং পীড়ন $\sigma_{\mathrm{s}}$ক এনেদৰেও প্ৰকাশ কৰিব পাৰি

$$ \begin{equation*} \sigma_{\mathrm{s}}=G \times \theta \tag{8.12} \end{equation*} $$

শিয়েৰ গুণাঙ্কৰ SI একক হৈছে $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ বা $\mathrm{Pa}$। কিছুমান সাধাৰণ পদাৰ্থৰ শিয়েৰ গুণাঙ্ক তালিকা ৯.২ত দিয়া হৈছে। দেখা যাব পাৰে যে শিয়েৰ গুণাঙ্ক (বা কঠিনতা গুণাঙ্ক) সাধাৰণতে ইয়ংৰ গুণাঙ্কতকৈ কম (তালিকা ৯.১ৰ পৰা)। বেছিভাগ পদাৰ্থৰ বাবে $G \approx Y / 3$।

তালিকা ৮.২ কিছুমান সাধাৰণ পদাৰ্থৰ শিয়েৰ গুণাঙ্ক (G)

পদাৰ্থ	G $(10^{9} \mathbf{N m}^{-2}$ বা $\mathbf{~ G P a})$
এলুমিনিয়াম	25
পিতল	36
তাম	42
কাঁচ	23
লো	70
সীহ	5.6
নিকেল	77
ইটা	84
টাংষ্টেন	150
কাঠ	10

উদাহৰণ ৮.৪ বাহু 50 $\mathrm{cm}$ আৰু ডাঠ $10 \mathrm{~cm}$ৰ বৰ্গাকাৰ সীহৰ স্লেব এটা শিয়েৰিং বলৰ (ইয়াৰ সংকীৰ্ণ মুখত) সন্মুখীন হয় $9.0 \times$ $10^{4} \mathrm{~N}$। তলৰ কাষটো মজিয়ালৈ ৰিভেট কৰা হৈছে। ওপৰৰ কাষটো কিমান সৰণ হ’ব?

উত্তৰ সীহৰ স্লেবটো স্থিৰ কৰা হৈছে আৰু বলটো সংকীৰ্ণ মুখলৈ সমান্তৰালভাৱে প্ৰয়োগ কৰা হয় যেনেকৈ চিত্ৰ ৮.৬ত দেখুওৱা হৈছে। যি মুখলৈ এই বল প্ৰয়োগ কৰা হয় তাৰ সমান্তৰাল মুখৰ ক্ষেত্ৰফল

$$ \begin{aligned} A & =50 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm} \\ & =0.5 \mathrm{~m} \times 0.1 \mathrm{~m} \\ & =0.05 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

সেয়েহ