অধ্যায় 2 স্থিৰবৈদ্যুতিক বিভৱ আৰু ধাৰকত্ব

উত্তৰ

দুটা আধান আছে,

$q_{1}=5 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

$q_{2}=-3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

দুয়োটা আধানৰ মাজৰ দূৰত্ব, $d=16 \mathrm{~cm}=0.16 \mathrm{~m}$

দুয়োটা আধানক সংযোগ কৰা ৰেখাডালত এটা বিন্দু $\mathrm{P}$ বিবেচনা কৰা হৈছে, দিয়া চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে।

$r=$ আধান $q_{1}$ ৰ পৰা বিন্দু $\mathrm{P}$ ৰ দূৰত্ব

বিন্দু $\mathrm{P}$ ত বৈদ্যুতিক বিভৱ $(V)$ শূন্য হ’ব বুলি ধৰা হ’ল।

বিন্দু $\mathrm{P}$ ত বিভৱ হৈছে আধান $q_{1}$ আৰু $q_{2}$ ৰ কাৰণে হোৱা বিভৱৰ সমষ্টি।

$\therefore V=\frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)}$

য’ত,

$\in_{0}=$ মুক্ত স্থানৰ পাৰমিটিভিটি

$V=0$ ৰ বাবে, সমীকৰণ (i) ৰপৰা পোৱা যায়

$$ \begin{aligned} & \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)} \\ & \frac{q_{1}}{r}=\frac{-q_{2}}{d-r} \\ & \frac{5 \times 10^{-8}}{r}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(0.16-r)} \\ & \frac{0.16}{r}-1=\frac{3}{5} \\ & \frac{0.16}{r}=\frac{8}{5} \\ & \therefore r=0.1 \mathrm{~m}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

সেয়েহে, ধনাত্মক আধানৰ পৰা আধানবোৰৰ মাজত $10 \mathrm{~cm}$ দূৰত্বত বিভৱ শূন্য হ’ব।

ধৰা হওক বিন্দু $\mathrm{P}$ ঋণাত্মক আধানৰ পৰা $s$ দূৰত্বত দুটা আধানৰ ব্যৱস্থাৰ বাহিৰত অৱস্থিত, য’ত বিভৱ শূন্য, তলৰ চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে।

এই বিন্যাসৰ বাবে, বিভৱ দিয়া হয়,

$$ \begin{equation*} V=\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} s}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} \tag{ii} \end{equation*} $$

$V=0$ ৰ বাবে, সমীকৰণ (ii) ৰপৰা পোৱা যায়

$$ \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} s}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} $$

$\frac{q_{1}}{s}=\frac{-q_{2}}{s-d}$

$\frac{5 \times 10^{-8}}{s}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(s-0.16)}$

$1-\frac{0.16}{s}=\frac{3}{5}$

$\frac{0.16}{s}=\frac{2}{5}$

$\therefore s=0.4 \mathrm{~m}=40 \mathrm{~cm}$

সেয়েহে, ধনাত্মক আধানৰ পৰা আধানবোৰৰ ব্যৱস্থাৰ বাহিৰত $40 \mathrm{~cm}$ দূৰত্বত বিভৱ শূন্য হ’ব।

উত্তৰ

দিয়া চিত্ৰটোত এটা সুষম ষড়ভুজৰ শীৰ্ষবিন্দুত সমান পৰিমাণৰ ছয়টা আধান, $q$, দেখুওৱা হৈছে।

য’ত,

আধান, $q=5 \mu \mathrm{C}=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

ষড়ভুজৰ বাহু, $l=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FA}=10 \mathrm{~cm}$

কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}, d=10 \mathrm{~cm}$ ৰ পৰা প্ৰতিটো শীৰ্ষবিন্দুৰ দূৰত্ব

বিন্দু $\mathrm{O}$ ত বৈদ্যুতিক বিভৱ,

$$ V=\frac{6 \times q}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

য’ত,

$$ \in_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & \therefore V=\frac{6 \times 9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \\ & \quad=2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V} \end{aligned} $$

সেয়েহে, ষড়ভুজটোৰ কেন্দ্ৰত বিভৱ হ’ব $2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V}$।

উত্তৰ

পৰিস্থিতিটো দিয়া চিত্ৰত দেখুওৱা হৈছে।

সমবিভৱ পৃষ্ঠ হৈছে সেই তল য’ত মুঠ বিভৱ সকলো ঠাইতে শূন্য। এই তলখন ৰেখা $\mathrm{AB}$ ৰ লম্ব। তলখন ৰেখা $\mathrm{AB}$ ৰ মধ্যবিন্দুত অৱস্থিত কাৰণ আধানৰ মান একে।

এই পৃষ্ঠৰ প্ৰতিটো বিন্দুত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ দিশ হৈছে তলখনৰ লম্বভাৱে $\mathrm{AB}$ ৰ দিশত।

উত্তৰ

গোলাকাৰ পৰিবাহীটোৰ ব্যাসাৰ্ধ, $r=12 \mathrm{~cm}=0.12 \mathrm{~m}$

আধান পৰিবাহীটোৰ ওপৰত সমভাৱে বিতৰণ কৰা হৈছে, $q=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{C}$

গোলাকাৰ পৰিবাহী এটাৰ ভিতৰত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ শূন্য। কাৰণ যদি পৰিবাহীৰ ভিতৰত ক্ষেত্ৰ থাকে, তেন্তে আধানবোৰ ইয়াক নিষ্ক্ৰিয় কৰিবলৈ গতি কৰিব।

পৰিবাহীটোৰ ঠিক বাহিৰত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ $E$ তলৰ সম্বন্ধৰ দ্বাৰা দিয়া হয়,

$$ E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} $$

য’ত,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{C}^{-2}$

$\therefore E=\frac{1.6 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^{-9}}{(0.12)^{2}}$

$=10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$

সেয়েহে, গোলকটোৰ ঠিক বাহিৰত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ হ’ব $10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$।

গোলকটোৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা $18 \mathrm{~m}$ দূৰত্বত অৱস্থিত বিন্দু এটাত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ $=E_{1}$

কেন্দ্ৰৰ পৰা বিন্দুটোৰ দূৰত্ব, $d=18 \mathrm{~cm}=0.18 \mathrm{~m}$

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{q}{4 \pi \in_{0} d^{2}} \\ & =\frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{\left(18 \times 10^{-2}\right)^{2}} \\ & =4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{aligned} $$

সেয়েহে, গোলকটোৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা $18 \mathrm{~cm}$ দূৰত্বত অৱস্থিত বিন্দু এটাত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ হ’ব

$4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

ধাৰকটোৰ সমান্তৰাল পাত দুখনৰ মাজৰ ধাৰকত্ব, $\mathrm{C}=8 \mathrm{pF}$

আদিতে, সমান্তৰাল পাত দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব আছিল $d$ আৰু ই বায়ুৰে পূৰ্ণ আছিল। বায়ুৰ ডাইলেক্ট্ৰিক ধ্ৰুৱক, $k=1$

ধাৰকত্ব, $C$, সূত্ৰটোৰ দ্বাৰা দিয়া হয়,

$$ \begin{align*} C & =\frac{k \in_{0} A}{d} \\ & =\frac{\in_{0} A}{d} \tag{i} \end{align*} $$

য’ত,

$A=$ প্ৰতিখন পাতৰ কালি

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

যদি পাত দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব আধালৈ হ্ৰাস কৰা হয়, তেন্তে নতুন দূৰত্ব, $d=\frac{d}{2}$

পাত দুখনৰ মাজত ভৰোৱা বস্তুটোৰ ডাইলেক্ট্ৰিক ধ্ৰুৱক, $k^{\prime}=6$

সেয়েহে, ধাৰকটোৰ ধাৰকত্ব হৈ যায়

$$ \begin{equation*} C^{\prime}=\frac{k^{\prime} \in_{0} A}{d^{\prime}}=\frac{6 \in_{0} A}{\frac{d}{2}} \tag{ii} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (i) আৰু (ii) ৰ অনুপাত লৈ, আমি পাওঁ

$$ \begin{aligned} C^{\prime} & =2 \times 6 C \\ & =12 C \\ & =12 \times 8=96 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

সেয়েহে, পাত দুখনৰ মাজৰ ধাৰকত্ব হ’ব $96 \mathrm{pF}$।

উত্তৰ

তিনিওটা ধাৰকৰ প্ৰতিটোৰ ধাৰকত্ব, $C=9 \mathrm{pF}$

ধাৰকবোৰৰ সংযোগৰ সমতুল্য ধাৰকত্ব $\left(C^{\prime}\right)$ তলৰ সম্বন্ধৰ দ্বাৰা দিয়া হয়,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{C^{\prime}} & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & =\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$\therefore C^{\prime}=3 \mu \mathrm{F}$

সেয়েহে, সংযোগটোৰ মুঠ ধাৰকত্ব হ’ব $3 \mu \mathrm{F}$।

যোগান বিভৱ, $V=100 \mathrm{~V}$

প্ৰতিটো ধাৰকৰ বিভৱ পাৰ্থক্য $\left(V^{\prime}\right)$ যোগান বিভৱৰ এক তৃতীয়াংশৰ সমান হ’ব।

$$ \therefore V^{\prime}=\frac{V}{3}=\frac{120}{3}=40 \mathrm{~V} $$

সেয়েহে, প্ৰতিটো ধাৰকৰ বিভৱ পাৰ্থক্য হ’ব $40 \mathrm{~V}$।

উত্তৰ

দিয়া ধাৰকবোৰৰ ধাৰকত্ব

$$ \begin{aligned} & C_{1}=2 \mathrm{pF} \\ & C_{2}=3 \mathrm{pF} \\ & C_{3}=4 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

ধাৰকবোৰৰ সমান্তৰাল সংযোগৰ বাবে, সমতুল্য ধাৰক $C^{\prime}$ বীজগণিতীয় যোগফলৰ দ্বাৰা দিয়া হয়,

$$ C^{\prime}=2+3+4=9 \mathrm{pF} $$

সেয়েহে, সংযোগটোৰ মুঠ ধাৰকত্ব হ’ব $9 \mathrm{pF}$।

যোগান বিভৱ, $V=100 \mathrm{~V}$

তিনিওটা ধাৰকৰ মাজেৰে বিভৱ একে $=V=100 \mathrm{~V}$

ধাৰকত্ব $C$ আৰু বিভৱ পাৰ্থক্য $V$ থকা ধাৰক এটাত আধান তলৰ সম্বন্ধৰ দ্বাৰা দিয়া হয়,

$q=V C \ldots$ (i)

$\mathrm{C}=2 \mathrm{pF}$ ৰ বাবে,

আধান $=V C=100 \times 2=200 \mathrm{pC}=2 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=3 \mathrm{pF}$ ৰ বাবে,

আধান $=V C=100 \times 3=300 \mathrm{pC}=3 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=4 \mathrm{pF}$ ৰ বাবে,

আধান $=V C=100 \times 4=200 \mathrm{pC}=4 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

উত্তৰ

সমান্তৰাল পাত ধাৰকটোৰ প্ৰতিখন পাতৰ কালি, $A=6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

পাত দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব, $d=3 \mathrm{~mm}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

যোগান বিভৱ, $V=100 \mathrm{~V}$

সমান্তৰাল পাত ধাৰক এটাৰ ধাৰকত্ব $C$ তলৰদৰে দিয়া হয়,

$C=\frac{\in_{0} A}{d}$

য’ত,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{C}^{-2}$

$$ \begin{aligned} \therefore C & =\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \\ & =17.71 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \\ & =17.71 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

বিভৱ $V$ আধান $q$ আৰু ধাৰকত্ব $C$ ৰ সৈতে সম্বন্ধিত

$$ \begin{aligned} & V=\frac{q}{C} \\ & \therefore q=V C \\ & =100 \times 17.71 \times 10^{-12} \\ & =1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C} \end{aligned} $$

সেয়েহে, ধাৰকটোৰ ধাৰকত্ব হ’ব $17.71 \mathrm{pF}$ আৰু প্ৰতিখন পাতত থকা আধান হ’ব $1.771 \times$ $10^{-9} \mathrm{C}$।

উত্তৰ

মাইকাৰ পাতটোৰ ডাইলেক্ট্ৰিক ধ্ৰুৱক, $k=6$

আদি ধাৰকত্ব, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

নতুন ধাৰকত্ব, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

যোগান বিভৱ, $V=100 \mathrm{~V}$

নতুন আধান, $q^{\prime}=C^{\prime} V=6 \times 1.771 \times 10^{-9}=1.06 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

পাত দুখনৰ মাজৰ বিভৱ $100 \mathrm{~V}$ হৈয়ে থাকে।

ডাইলেক্ট্ৰিক ধ্ৰুৱক, $k=6$

আদি ধাৰকত্ব, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

নতুন ধাৰকত্ব, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

যদি যোগান বিভৱ আঁতৰোৱা হয়, তেন্তে পাতবোৰত থকা আধানৰ পৰিমাণৰ ওপৰত কোনো প্ৰভাৱ নপৰে।

আধান $=1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C}$

পাত দুখনৰ মাজৰ বিভৱ দিয়া হয়,

$$ \begin{aligned} \therefore V^{\prime} & =\frac{q}{C^{\prime}} \\ & =\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}} \\ & =16.7 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

উত্তৰ

ধাৰকটোৰ ধাৰকত্ব, $C=12 \mathrm{pF}=12 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

বিভৱ পাৰ্থক্য, $V=50 \mathrm{~V}$

ধাৰকটোত সঞ্চিত স্থিৰবৈদ্যুতিক শক্তি তলৰ সম্বন্ধৰ দ্বাৰা দিয়া হয়,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times(50)^{2} \\ & =1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

সেয়েহে, ধাৰকটোত সঞ্চিত স্থিৰবৈদ্যুতিক শক্তি হ’ব $1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J}$।

উত্তৰ

ধাৰকটোৰ ধাৰকত্ব, $C=600 \mathrm{pF}$

বিভৱ পাৰ্থক্য, $V=200 \mathrm{~V}$

ধাৰকটোত সঞ্চিত স্থিৰবৈদ্যুতিক শক্তি তলৰদৰে দিয়া হয়,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(600 \times 10^{-12}\right) \times(200)^{2} \\ & =1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

যদি ধাৰকটোৰ পৰা যোগান বিচ্ছিন্ন কৰি ধাৰকত্ব $C=600$ $\mathrm{pF}$ ৰ আন এটা ধাৰকৰ লগত সংযোগ কৰা হয়, তেন্তে সংযোগটোৰ সমতুল্য ধাৰকত্ব $(C)$ তলৰদৰে দিয়া হয়,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{C^{\prime}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & \quad=\frac{1}{600}+\frac{1}{600}=\frac{2}{600}=\frac{1}{300} \\ & \therefore C^{\prime}=300 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

নতুন স্থিৰবৈদ্যুতিক শক্তি গণনা কৰিব পাৰি

$$ \begin{aligned} E^{\prime} & =\frac{1}{2} \times C^{\prime} \times V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 300 \times(200)^{2} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

স্থিৰবৈদ্যুতিক শক্তিৰ ক্ষতি $=E-E^{\prime}$

$$ \begin{aligned} & =1.2 \times 10^{-5}-0.6 \times 10^{-5} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \\ & =6 \times 10^{-6} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

সেয়েহে, প্ৰক্ৰিয়াটোত হেৰুওৱা স্থিৰবৈদ্যুতিক শক্তি হ’ব $6 \times 10^{-6} \mathrm{~J}$।