1. পরিচিতি

আগের অধ্যায়গুলিতে আপনি জানতে পেরেছেন কীভাবে একটি তথ্যের মধ্যে থেকে সারাংশ গঠন করা হয় এবং একই ধরনের চলকগুলির মধ্যে পরিবর্তনগুলি করা হয়। এখন আপনি দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্কটি যাচাই করতে শিখবেন। গ্রীষ্মের তাপমাত্রা বাড়লে, পাহাড়ি স্টেশনগুলি আরও বেশি দর্শক দিয়ে ভরা হয়। আইসক্রিমের বিক্রয় আরও তেমতে বাড়ে। এভাবে, তাপমাত্রা দর্শকের সংখ্যা এবং আইসক্রিমের বিক্রয়ের সাথে সম্পর্কিত। একইভাবে, যখন আপনার স্থানীয় মান্দিতে টমেটোর সরবরাহ বাড়ে, তখন এর দাম নিম্নলিখিত হয়। যখন স্থানীয় ফসল বাজারে পৌঁছায়, টমেটোর দাম কেজি প্রতি ৪০ রুপি থেকে কেজি প্রতি ৪ রুপি বা তার কম হয়। এভাবে সরবরাহ দামের সাথে সম্পর্কিত। সম্পর্ক বিশ্লেষণ এমন সম্পর্কগুলিকে সিস্টেমেটিকভাবে যাচাই করার একটি উপায়। এটি নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি নিয়ে কাজ করে:

• দুটি চলকের মধ্যে কোন ধরনের সম্পর্ক আছে?

• যদি একটি চলকের মান একটি দিকে পরিবর্তিত হয়, তবে অন্যটির মানও পরিবর্তিত হয়?

• উভয় চলকই একই দিকে চলে?

• সম্পর্ক কতটা শক্তিশালী?

2. সম্পর্কের ধরন

আমরা সম্পর্কের বিভিন্ন ধরন দেখি। পণ্যের প্রয়োজনের পরিমাণ এবং পণ্যের দামের মধ্যে পরিবর্তন পণ্যের প্রয়োজনের তারিখের তত্ত্বের অংশ হয়, যা আপনি ক্লাস বিএসএস এ অধ্যয়ন করবেন। কম কৃষি উৎপাদনশীলতা কম বৃষ্টির সাথে সম্পর্কিত। এই ধরনের সম্পর্কের উদাহরণগুলি কারণ এবং প্রভাবের ব্যাখ্যা দেওয়া যেতে পারে। অন্যান্য উদাহরণগুলি শুধু একটি ঘটনার ফলাফল হতে পারে। প্রাণী বনে উড়াল পাখিদের আগমন এবং স্থানীয় এলাকার জন্ম হারের মধ্যে কোন ধরনের কারণ এবং প্রভাবের ব্যাখ্যা দেওয়া যায় না। এই ধরনের সম্পর্কগুলি শুধু একটি ঘটনার ফলাফল হতে পারে। জুতোর আকার আপনার বাঁশিতে থাকা টাকার সাথে একটি অন্য উদাহরণ। ভবিষ্যতে সম্পর্ক থাকলেও এটি ব্যাখ্যা করা কঠিন।

আরেকটি উদাহরণে একটি তৃতীয় চলকের দুটি চলকের উপর প্রভাব দেওয়া দুটি চলকের মধ্যে একটি সম্পর্ক তৈরি করতে পারে। আইসক্রিমের তেমতে বিক্রয় বাড়তে পারে যা ডুগ কারণে মৃত্যুর সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। ঘটনাটি আইসক্রিম খাওয়ার কারণে নয়। তাপমাত্রা বাড়তে পারে যা আইসক্রিমের তেমতে বিক্রয় বাড়তে সাহায্য করতে পারে। এছাড়াও, বেশি মানুষ তাপ থেকে মুক্তি পেতে সাঁতার দোকানে যায়। এটি ডুগ কারণে মৃত্যুর সংখ্যা বাড়তে সাহায্য করতে পারে। এভাবে, তাপমাত্রা আইসক্রিমের বিক্রয় এবং ডুগ কারণে মৃত্যুর মধ্যে উচ্চ সম্পর্কের পিছনে ছিল।

সম্পর্ক কী পরিমাপ করে?

সম্পর্ক বিশ্লেষণ চলকগুলির মধ্যে সম্পর্কের দিক এবং তীব্রতা পরিমাপ করে। সম্পর্ক কারণ এবং প্রভাব নয়, এটি পরিবর্তনের সাথে সম্পর্ক পরিমাপ করে। সম্পর্ক কারণ এবং প্রভাবের সম্পর্ক বোঝার মাধ্যমে কখনো ব্যাখ্যা করা উচিত নয়। দুটি চলক $\mathrm{X}$ এবং Y এর মধ্যে সম্পর্কের উপস্থিতি শুধু একটি চলকের মান একটি দিকে পরিবর্তিত হলে অন্যটির মানও পরিবর্তিত হয় এমন একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতিতে বোঝায় যা একই দিকে (অর্থাৎ ধনাত্মক পরিবর্তন) বা বিপরীত দিকে (অর্থাৎ ঋণাত্মক পরিবর্তন) হয়। সহজতর কাজের জন্য আমরা এখানে ধারণা করি যে যদি সম্পর্ক থাকে, তবে এটি সরলরেখার মতো হবে, অর্থাৎ দুটি চলকের আপেক্ষিক পরিবর্তনগুলি গ্রাফ কাগজে একটি সরলরেখা আঁকে দেখানো যাবে।

সম্পর্কের ধরন

সম্পর্ক সাধারণত ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক সম্পর্কে বিভাজিত হয়। যখন চলকগুলি একই দিকে চলে, তখন সম্পর্কটি ধনাত্মক বলে বলা হয়। যখন আয় বাড়ে, ব্যয়ও বাড়ে। যখন আয় হ্রাস পায়, ব্যয়ও হ্রাস পায়। আইসক্রিমের বিক্রয় এবং তাপমাত্রা একই দিকে চলে। যখন এগুলি বিপরীত দিকে চলে, তখন সম্পর্কটি ঋণাত্মক বলে বলা হয়। যখন আপপের দাম হ্রাস পায় তখন এর প্রয়োজন বাড়ে। যখন দাম বাড়ে তখন প্রয়োজন হ্রাস পায়। যখন আপনি পড়াশোনায় আরও বেশি সময় নেন, তখন আপনার পাস করার সম্ভাবনা কমে। যখন আপনি পড়াশোনায় কম সময় নেন, তখন নিম্ন গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা বাড়ে। এগুলি ঋণাত্মক সম্পর্কের উদাহরণ। চলকগুলি বিপরীত দিকে চলে।

3. সম্পর্ক পরিমাপের পদ্ধতি

সম্পর্ক বিশ্লেষণ করতে তিনটি গুরুত্বপূর্ণ সরঞ্জাম ব্যবহার করা হয়: স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম, কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক সত্যা এবং স্পিয়ারম্যানের র্যাঙ্ক সম্পর্ক সত্যা। স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম কোন নির্দিষ্ট সংখ্যাগত মান দেওয়া ছাড়াই সম্পর্কের ধরন দর্শনীয়ভাবে উপস্থাপন করে। দুটি চলকের মধ্যে সরলরেখাগত সম্পর্কের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাগত মান কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক সত্যা দেয়। একটি সম্পর্ক সরলরেখার মতো হলে তা সরলরেখাগত বলে বলা হয়। স্পিয়ারম্যানের সম্পর্ক সত্যা দুটি চলকের মধ্যে সরলরেখাগত সম্পর্ক পরিমাপ করে যা তাদের বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে প্রতিটি আইটেমের র্যাঙ্ক বর্ণনা করে। বৈশিষ্ট্যগুলি হল চলকগুলি যা সংখ্যাগতভাবে পরিমাপ করা যায় না যেমন মানসিকতা, শারীরিক দৃশ্যমানতা, নিষ্ঠা ইত্যাদি।

স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম

স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম একটি উপায় হিসাবে ব্যবহার করা হয় যাতে কোন সংখ্যাগত মান গণনা করার বিনিময়ে সম্পর্কের ধরন দর্শনীয়ভাবে যাচাই করা যায়। এই পদ্ধতিতে, দুটি চলকের মানগুলি গ্রাফ কাগজে বিন্যাস করা হয়। একটি স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম থেকে আপনি সম্পর্কের ধরন সম্পর্কে একটি ভাল ধারণা পাবেন। একটি স্ক্যাটার ডায়াগ্রামে স্ক্যাটার পয়েন্টগুলির কাছাকাছি থাকার পরিমাণ এবং তাদের সামগ্রিক দিক আমাদের সম্পর্ক যাচাই করতে সাহায্য করে। যদি সব পয়েন্ট একটি লাইনে থাকে, তবে সম্পর্কটি পরিপূর্ণ এবং এটি একক হিসাবে বলা হয়। যদি স্ক্যাটার পয়েন্টগুলি লাইনের চারপাশে বহুলভাবে ছড়িয়ে থাকে, তবে সম্পর্কটি কম হয়। যদি স্ক্যাটার পয়েন্টগুলি একটি লাইনের কাছাকাছি বা লাইনে থাকে, তবে সম্পর্কটি সরলরেখাগত বলে বলা হয়।

ফিগার 6.1 থেকে ফিগার 6.5 পর্যন্ত স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্কের ধরন দেখায়। ফিগার 6.1 একটি উপরের দিকে উঠছে এমন লাইনের চারপাশে স্ক্যাটার দেখায় যা চলকগুলি একই দিকে চলছে বলে নির্দেশ করে। যখন $\mathrm{X}$ বাড়ে $\mathrm{Y}$ ও বাড়বে। এটি ধনাত্মক সম্পর্ক। ফিগার 6.2 একটি নিম্নলিখিত লাইনের চারপাশে পয়েন্টগুলি ছড়িয়ে পড়ে যা চলকগুলি বিপরীত দিকে চলছে বলে নির্দেশ করে। যখন $\mathrm{X}$ বাড়ে $\mathrm{Y}$ হ্রাস পায় এবং উল্টাপাল্টা। এটি ঋণাত্মক সম্পর্ক। ফিগার 6.3 একটি উপরের দিকে উঠছে বা নিম্নলিখিত লাইনের চারপাশে পয়েন্টগুলি ছড়িয়ে পড়ে না। এটি কোন সম্পর্কের উদাহরণ নয়। ফিগার 6.4 এবং ফিগার 6.5 এখন পয়েন্টগুলি উপরের দিকে উঠছে বা নিম্নলিখিত লাইনে নয়। পয়েন্টগুলি স্বয়ং লাইনে থাকে। এটি পরিপূর্ণ ধনাত্মক সম্পর্ক এবং পরিপূর্ণ ঋণাত্মক সম্পর্ক হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

কার্যক্রম

• আপনার শ্রেণির ছাত্রদের উচ্চতা, ওজন এবং ক্লাস $X$ এ দুটি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর সম্পর্কে তথ্য সংগ্রহ করুন। এই চলকগুলির স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম আঁকুন যেখানে দুটি সমান্তরালভাবে নেওয়া হয়। আপনি কী ধরনের সম্পর্ক পাচ্ছেন?

স্ক্যাটার ডায়াগ্রামের সাবধানে তখন সম্পর্কের ধরন এবং তীব্রতা সম্পর্কে একটি ধারণা পাওয়া যায়।

কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক সত্যা

এটি পণ্ট মুহূর্ত সম্পর্ক সত্যা বা সরল সম্পর্ক সত্যা হিসাবেও পরিচিত। এটি দুটি চলক $\mathrm{X}$ এবং $Y$ এর মধ্যে সম্পর্কের পরিমাণের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাগত মান দেয়।

কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক সত্যাটি শুধুমাত্র তখন ব্যবহার করা উচিত যখন চলকগুলির মধ্যে একটি সরলরেখাগত সম্পর্ক আছে। $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর মধ্যে কোন সরলরেখাগত সম্পর্ক না থাকলে কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক সত্যা গণনা করা ভুল ফলাফল দিতে পারে। তাই, যদি সত্যিকারের সম্পর্ক সরলরেখার ধরনের হয় যা ফিগার 6.1, $6.2,6.4$ এবং 6.5 এ স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম দেখায়, তবে কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক সত্যা গণনা করা উচিত এবং এটি চলকগুলির মধ্যে সম্পর্কের দিক এবং তীব্রতা বলে দেবে। কিন্তু যদি সত্যিকারের সম্পর্ক ফিগার 6.6 বা 6.7 এ দেখানো স্ক্যাটার ডায়াগ্রামের ধরনের হয়, তবে এটি মানে হল $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর মধ্যে কোন সরলরেখাগত সম্পর্ক নেই এবং আমাদের কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক সত্যা ব্যবহার করার চেষ্টা করা উচিত নয়।

তাই, কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক সত্যা গণনার আগে চলকগুলির মধ্যে সম্পর্কের স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম পর্যালোচনা করা উচিত।

$X _{1}, X _{2},\ldots, X _{N}$ হল $N$ এর $X$ এবং $\mathrm{Y} _{1},\mathrm{Y} _{2},\ldots,\mathrm{Y} _{\mathrm{N}}$ হল Y এর সংশ্লিষ্ট মান। পরবর্তী উপস্থাপনায়, সহজতর কাজের জন্য ইউনিট নির্দেশক উপসর্গগুলি উপেক্ষা করা হয়। $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর অপারিশ্রমিক গড় নির্দেশিত হয়

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum\mathrm{X}}{\mathrm{N}};\quad\overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum\mathrm{Y}}{\mathrm{N}} $$

এবং তাদের প্রচলন নিম্নরূপ

$$ \sigma^{2} x=\frac{\sum(X-\bar{X})^{2}}{N}=\frac{\sum X^{2}}{N}-\bar{X}^{2} $$

এবং $$\quad\sigma^{2}\mathrm{y}=\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}=\frac{\sum\mathrm{Y}^{2}}{\mathrm{~N}}-\overline{\mathrm{Y}}^{2}$$

$\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর প্রস্তর হল তাদের প্রচলনের ধনাত্মক বর্গমূল। $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর সহযোগিতা নির্দেশিত হয়

$\operatorname{Cov}(\mathrm{X},\mathrm{Y})=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\mathrm{N}}=\frac{\sum\mathrm{xy}}{\mathrm{N}}$

যেখানে $\mathrm{x}=\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}}$ এবং $\mathrm{y}=\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}}$ হল $i^{\text {th }}$ এর $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর মানের প্রতিটি মানের গড় থেকে বিচ্যুতি।

$\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর মধ্যে সহযোগিতার চিহ্ন সম্পর্ক সত্যা এর চিহ্ন নির্ধারণ করে। প্রস্তরগুলি সর্বদা ধনাত্মক। যদি সহযোগিতা শূন্য হয়, তবে সম্পর্ক সত্যা সর্বদা শূন্য হবে। পণ্ট মুহূর্ত সম্পর্ক বা কার্ল পিয়রনের সম্পর্ক পরিমাপ নিম্নরূপ

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}={ }^{\Sigma\mathrm{xy}} / N\sigma _{\mathrm{x}}\sigma _{\mathrm{y}}\tag{1} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}}\sqrt{\Sigma(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}}\tag{2} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} r=\frac{\frac{\sum X Y-\left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}}\sqrt{\sum Y^{2}-\frac{\left(\sum Y\right)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

বা

$$ \begin{equation*} r=\frac{N\sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N\sum X^2-(\sum X)^2}\cdot\sqrt{N\sum Y^2-(\sum Y)^2}}\tag{4} \end{equation*} $$

সম্পর্ক সত্যার বৈশিষ্ট্য

এখন আমরা সম্পর্ক সত্যার বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করি

• $r$ এর একক নেই। এটি একটি শুদ্ধ সংখ্যা। অর্থাৎ পরিমাপের একক $r$ এর অংশ নয়। উদাহরণস্বরূপ, ফুটে উচ্চতা এবং কেজিতে ওজনের মধ্যে একটি সম্পর্ক হতে পারে 0.7।
• $r$ এর ঋণাত্মক মান একটি উল্টাপাল্টা সম্পর্ক নির্দেশ করে। একটি চলকের পরিবর্তন অন্য চলকের পরিবর্তনের সাথে সম্প্রচারিত হয়। যখন একটি পণ্যের দাম বাড়ে, তখন এর প্রয়োজন হ্রাস পায়। যখন সুদের হার বাড়ে তখন তহবিলের প্রয়োজনও হ্রাস পায়। কারণ এখন তহবিল আরও দামী হয়ে গেছে।
• $r$ ধনাত্মক হলে দুটি চলক একই দিকে চলে। যখন কফির দাম, চায়ের একটি প্রতিস্থাপন বাড়ে তখন চায়ের প্রয়োজনও বাড়ে। সুবিধাজনক সিঁদুহার সুবিধা উচ্চ ফলাফলের সাথে সম্পর্কিত। যখন তাপমাত্রা বাড়ে তখন আইসক্রিমের বিক্রয় তেমতে বাড়ে।

• সম্পর্ক সত্যা এর মান একক থেকে এককের মধ্যে অবস্থিত, $-1 \leq r\leq 1$। যদি কোন কাজে $r$ এর মান এই সীমার বাইরে থাকে তবে এটি গণনার ভুল নির্দেশ করে।
• $r$ এর পরিমাণ উৎস এবং স্কেলের পরিবর্তন থেকে অস্পর্শীয়। দুটি চলক $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ ধরা যাক। আমরা দুটি নতুন চলক নির্দেশ করি।

$\mathrm{U}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{B}};\mathrm{V}=\frac{\mathrm{Y}-\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$

যেখানে $A$ এবং $C$ হল $\mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}$ এর গড় ধারণা করা হয়েছে। $\mathrm{B}$ এবং $\mathrm{D}$ হল সাধারণ কারণ এবং একই চিহ্ন রাখে। তবে

$r _{x y}=r _{u v}$

এই বৈশিষ্ট্যটি গণনার পদ্ধতিতে সম্পর্ক সত্যা গণনা করতে ব্যবহৃত হয়, যেমন ধাপ বিচ্যুতি পদ্ধতিতে।

• $r=0$ হলে দুটি চলক সম্পর্কহীন। তাদের মধ্যে কোন সরলরেখাগত সম্পর্ক নেই। তবে অন্যান্য ধরনের সম্পর্ক থাকতে পারে।
• $r=1$ বা $r=-1$ হলে সম্পর্কটি পরিপূর্ণ এবং একটি নির্দিষ্ট সরলরেখাগত সম্পর্ক আছে।
• $r$ এর উচ্চ মান দুটি চলকের মধ্যে শক্তিশালী সরলরেখাগত সম্পর্ক নির্দেশ করে। এর মান +1 বা -1 এর কাছাকাছি থাকলে এটি উচ্চ বলা হয়।
• $r$ এর নিম্ন মান (শূন্যের কাছাকাছি) দুটি চলকের মধ্যে দুর্বল সরলরেখাগত সম্পর্ক নির্দেশ করে। তবে একটি সরলরেখাগত সম্পর্ক থাকতে পারে।

আপনি অধ্যায় 1 এ পড়েছেন যে পরিসংখ্যানের পদ্ধতি সাধারণ মনোবিজ্ঞানের প্রতিস্থাপন নয়। এখানে আরেকটি উদাহরণ আছে যা সম্পর্ক গণনা এবং ব্যাখ্যা করার আগে তথ্যগুলি সঠিকভাবে বোঝার প্রয়োজন তোলে। কোন গ্রামগুলিতে একটি পরিকল্পনা ছড়ায় এবং সরকার আগ্রহী গ্রামগুলিতে একটি ডাক্তারদের দল পাঠায়। গ্রামগুলিতে পাঠানো ডাক্তারদের সংখ্যা এবং মৃত্যুর সংখ্যা এর মধ্যে একটি ধনাত্মক সম্পর্ক পাওয়া যায়। সাধারণত, ডাক্তারদের দ্বারা প্রদত্ত স্বাস্থ্যসেবা সুবিধাগুলি মৃত্যুর সংখ্যা হ্রাস করতে দেখায় যা একটি ঋণাত্মক সম্পর্ক নির্দেশ করে। এটি অন্য কারণে ঘটেছে। তথ্যগুলি একটি নির্দিষ্ট সময়কালের সাথে সম্পর্কিত। রিপোর্ট করা মৃত্যুগুলি অনেক ক্ষেত্রে শেষ পর্যন্ত ক্ষেত্রে হতে পারে যেখানে ডাক্তারগণ কিছু করতে পারেনি। এছাড়াও, ডাক্তারদের উপস্থিতির সুবিধা কেবল কিছু সময় পরে দেখা যায়। রিপোর্ট করা মৃত্যুগুলি পরিকল্পনার কারণে নয় এমনও সম্ভব। একটি সুনামহীন সুনাম অবিলম্বে এলাকায় আঘাত করে এবং মৃত্যুর সংখ্যা বাড়ে।

আমরা $r$ এর গণনা দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্ক পর্যালোচনা করে তুলে ধরি: কৃষকদের শিক্ষার বছর এবং প্রতি একরে বার্ষিক উৎপাদন।

**উদাহরণ 1 **

সূত্র 1 এ $\sum\mathrm{Xy},\sigma _{\mathrm{x}},\sigma _{\mathrm{y}}$ এর মান প্রয়োজন

টেবিল 6.1 থেকে আমরা পাই,

$$ \begin{aligned} &\sum\mathrm{xy}=42,\\ &\sigma _{\mathrm{x}}=\sqrt{\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}}{\mathrm{~N}}}=\sqrt{\frac{112}{7}},\\ &\sigma _{\mathrm{y}}=\sqrt{\frac{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}{\mathrm{~N}}}=\sqrt{\frac{38}{7}} \end{aligned} $$

এই মানগুলি সূত্র (1) এ বসালে

$$ \mathrm{r}=\frac{42}{7 \sqrt{\frac{112}{7}}\sqrt{\frac{38}{7}}}=0.644 $$

একই মান সূত্র (2) থেকেও পাওয়া যায়।

$$ \begin{gather*} \mathrm{r}=\frac{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})}{\sqrt{\sum(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^{2}}\sqrt{\sum(\mathrm{Y}-\overline{\mathrm{Y}})^{2}}}\tag{2}\\ \mathrm{r}=\frac{42}{\sqrt{112}\sqrt{38}}=0.644 \end{gather*} $$

এভাবে, কৃষকদের শিক্ষার বছর এবং প্রতি একরে বার্ষিক উৎপাদন ধনাত্মকভাবে সম্পর্কিত। $r$ এর মানও বড়। এটি বোঝায় যে কৃষক শিক্ষায় কয়েক বছর বিনিয়োগ করলে প্রতি একরে উৎপাদন বাড়বে। এটি কৃষকদের শিক্ষার গুরুত্ব তুলে ধরে।

সূত্র (3) ব্যবহার করতে

টেবিল 6.1 কৃষকদের শিক্ষার বছর এবং বার্ষিক উৎপাদনের মধ্যে r এর গণনা

$$ \begin{equation*} r=\frac{\sum X Y-\frac{(\Sigma X)\left(\sum Y\right)}{N}}{\sqrt{\Sigma X^{2}-\frac{(\Sigma X)^{2}}{N}}\sqrt{\Sigma\mathrm{Y}^{2}-\frac{(\Sigma Y)^{2}}{N}}}\tag{3} \end{equation*} $$

এই প্রকাশগুলির মান গণনা করতে হবে অর্থাৎ

$\Sigma\mathrm{XY},\Sigma\mathrm{X}^{2},\Sigma\mathrm{Y}^{2}$.

এখন সূত্র (3) ব্যবহার করে $r$ এর মান পাওয়া যাবে।

আমরা $r$ এর বিভিন্ন মানের ব্যাখ্যা জানি। ইংরেজি এবং পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যে সম্পর্ক সত্যা, ধরা যাক, 0.1। এটি বোঝায় যে দুটি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরগুলি ধনাত্মকভাবে সম্পর্কিত হলেও সম্পর্কের তীব্রতা দুর্বল। ইংরেজিতে উচ্চ নম্বর পাওয়া এমন ছাত্রগণ পরিসংখ্যানে আসলে নিম্ন নম্বর পায়। $r$ এর মান ধরা যাক, 0.9, তবে ইংরেজিতে উচ্চ নম্বর পাওয়া এমন ছাত্রগণ অবশ্যই পরিসংখ্যানে উচ্চ নম্বর পাবে।

ঋণাত্মক সম্পর্কের উদাহরণ হল স্থানীয় মান্দিতে সবজিদের আগমন এবং সবজির দামের মধ্যে সম্পর্ক। $r$ হল -0.9, স্থানীয় মান্দিতে সবজির সরবরাহ সবজির দাম হ্রাস করবে। $r$ হল -0.1, বড় সবজির সরবরাহ সবজির দাম হ্রাস করবে, যা �