আগের বছরের নিট প্রশ্ন- অপটিক্স L-6

প্রশ্ন: যদি ভেক্টর $\vec{A}=\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j}$ এবং $\vec{B}=\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}$ সময়ের অপেক্ষক হয়, তাহলে $t$ এর যে মানের জন্য তারা পরস্পরের সাথে লম্ব হবে তা হল#

A) $t=\frac{\pi}{\omega}$

B) $t=0$

C) $t=\frac{\pi}{4 \omega}$

D) $t=\frac{\pi}{2 \omega}$

উত্তর: $t=\frac{\pi}{\omega}$#

সমাধান:#

দুটি ভেক্টর $\bar{A}$ এবং $\bar{B}$ পরস্পরের সাথে লম্ব হবে, যদি তাদের স্কেলার গুণফল শূন্য হয় অর্থাৎ $\bar{A}$। $\bar{B}=0$।

এখানে, $\bar{A}=\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j}$ এবং $\bar{B}=\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}$ $$ \begin{aligned} \therefore & \bar{A} \cdot \bar{B}=(\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j})\left(\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}\right) \ = & \cos \omega t \cos \frac{\omega t}{2}+\sin \omega t \sin \frac{\omega t}{2} \ & (\because \hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=1 \text { and } \hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{i}=0) \ = & \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right) \ & (\because \cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B) \end{aligned} $$

কিন্তু $\bar{A} \cdot \bar{B}=0$ (যেহেতু $\bar{A}$ এবং $\bar{B}$ পরস্পরের সাথে লম্ব) $$ \begin{aligned} & \therefore \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right)=0 \ & \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right)=\cos \frac{\pi}{2} \text { or } \omega t-\frac{\omega t}{2}=\frac{\pi}{2} \ & \frac{\omega t}{2}=\frac{\pi}{2} \text { or } t=\frac{\pi}{\omega} \end{aligned} $$