পিওয়াইকিউ নিট- একটি সমতলে গতি-৪

প্রশ্ন: একটি কণা $R$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে সমবেগে ঘুরতে ঘুরতে একবার পরিক্রমা সম্পন্ন করতে $T$ সময় নেয়। যদি এই কণাটিকে একই বেগে অনুভূমিকের সাথে $\theta$ কোণে প্রক্ষিপ্ত করা হয়, তবে এটি দ্বারা অর্জিত সর্বোচ্চ উচ্চতা $4 R$ এর সমান হয়। তাহলে প্রক্ষেপণ কোণ $\theta$ নিম্নলিখিতভাবে দেওয়া হয়#

A) $\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$

B) $\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{\pi^2 R}{g T^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

C) $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{\pi^2 R}{g T^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

D) $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$

উত্তর: $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$#

সমাধান:#

প্রদত্ত, বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ $=R$

কণাটি দ্বারা একবার পরিক্রমা সম্পন্ন করতে গৃহীত সময় $=T$

যখন কণাটিকে একই বেগে (যে বেগে এটি বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘুরছে) অনুভূমিকের সাথে $\theta$ কোণে প্রক্ষিপ্ত করা হয়, তখন এটি দ্বারা অর্জিত সর্বোচ্চ উচ্চতা নিম্নরূপে দেওয়া হয়

$$ \begin{aligned} & H_{\max }=\frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g} \ & H_{\max }=4 R \end{aligned} $$ (প্রদত্ত) এছাড়াও, আমরা জানি যে, বৃত্তাকার পথে কণাটির বেগ, $$ u=\frac{2 \pi R}{T} $$

সমীকরণ (i) এ মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই $$ \begin{aligned} & 4 R & =\frac{\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 \sin ^2 \theta}{2 g} \ \Rightarrow \quad & \sin \theta & =\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{1 / 2} \ \Rightarrow \quad & \theta & =\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{1 / 2} \end{aligned} $$