અધ્યાય 13 ન્યૂક્લિય

જવાબ

નાઇટ્રોજનની એટોમિક માસ $({ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}), m=14.00307 \mathrm{u}$

નાઇટ્રોજન ${ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}$ ન્યૂક્લિય 7 પ્રોટોનો અને 7 ન્યૂટ્રોનો ધરાવે છે.

તેથી, આ ન્યૂક્લિયનો માસ ઘટાડો, $\Delta m=7 m_{H}+7 m_{n}-m$

જ્યાં,

પ્રોટોનનો માસ, $m_{H}=1.007825 \mathrm{u}$

ન્યૂટ્રોનનો માસ, $m_{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=7 \times 1.007825+7 \times 1.008665-14.00307$
$=7.054775+7.06055-14.00307$

$=0.11236 \mathrm{u}$

પણ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.11236 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

તેથી, ન્યૂક્લિયનો બાંધક ઊર્જા આ રીતે આપેલ છે:

$E_{b}=\Delta m c ^{2}$

જ્યાં,

$c=$ આલ્ફા પાર્ટિકલની વિદ્યુત ચાલકતા

$\therefore E_{b}=0.11236 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=104.66334 \mathrm{MeV}$

તેથી, નાઇટ્રોજન ન્યૂક્લિયનો બાંધક ઊર્જા $104.66334 \mathrm{MeV}$ છે.

જવાબ

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}, m _{1}=55.934939 \mathrm{u}$ ની એટોમિક માસ

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ ન્યૂક્લિય 26 પ્રોટોનો અને $(56-26)=30$ ન્યૂટ્રોનો ધરાવે છે

તેથી, ન્યૂક્લિયનો માસ ઘટાડો, $\Delta m=26 \times m _{H}+30 \times m _{n}-m _{1}$

જ્યાં,

પ્રોટોનનો માસ, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

ન્યૂટ્રોનનો માસ, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=26 \times 1.007825+30 \times 1.008665-55.934939$

$=26.20345+30.25995-55.934939$

$=0.528461 \mathrm{u}$

પણ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.528461 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

આ ન્યૂક્લિયનો બાંધક ઊર્જા આ રીતે આપેલ છે:

$E _{b 1}=\Delta m c ^{2}$

જ્યાં,

$c=$ આલ્ફા પાર્ટિકલની વિદ્યુત ચાલકતા

$\therefore E _{b 1}=0.528461 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=492.26 \mathrm{MeV}$

સરેરાશ ન્યૂક્લિય દૈર્ઘ્યમાં પ્રતિ ન્યૂક્લિય $=\frac{492.26}{56}=8.79 \mathrm{MeV}$

${ } ^{\frac{209}{83} \mathrm{Bi}}, m _{2}=208.980388 \mathrm{u}$ ની એટોમિક માસ

${ } _{83} ^{2099} \mathrm{Bi}$ ન્યૂક્લિય 83 પ્રોટોનો અને $(209-83) 126$ ન્યૂટ્રોનો ધરાવે છે.

તેથી, આ ન્યૂક્લિયનો માસ ઘટાડો આ રીતે આપેલ છે:

$\Delta m ^{\prime}=83 \times m _{H}+126 \times m _{n}-m _{2}$

જ્યાં,

પ્રોટોનનો માસ, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

ન્યૂટ્રોનનો માસ, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=83 \times 1.007825+126 \times 1.008665-208.980388$

$=83.649475+127.091790-208.980388$
$=1.760877 \mathrm{u}$

પણ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=1.760877 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

તેથી, આ ન્યૂક્લિયનો બાંધક ઊર્જા આ રીતે આપેલ છે:

$E _{b 2}=\Delta m ^{\prime} c ^{2}$

$=1.760877 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1640.26 \mathrm{MeV}$

સરેરાશ ન્યૂક્લિય દૈર્ઘ્યમાં પ્રતિ ન્યૂક્લિય $=\frac{1640.26}{209}=7.848 \mathrm{MeV}$

જવાબ

ચિપનો માસ, $m ^{\prime}=3 \mathrm{~g}$

${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ એટોમનો એટોમિક માસ, $m=62.92960 \mathrm{u}$

ચિપમાં ${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ એટોમ્સની કુલ સંખ્યા, $N=\frac{N _{\mathrm{A}} \times m ^{\prime}}{\text { Mass number }}$

જ્યાં,

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ આવોગાડ્રોની સંખ્યા $=6.023 \times 10 ^{23}$ એટોમ્સ $/ \mathrm{g}$

માસ નંબર $=63 \mathrm{~g}$
$\therefore N=\frac{6.023 \times 10 ^{23} \times 3}{63}=2.868 \times 10 ^{22}$ એટોમ્સ

${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ ન્યૂક્લિય 29 પ્રોટોનો અને $(63-29) 34$ ન્યૂટ્રોનો ધરાવે છે

$\therefore$ આ ન્યૂક્લિયનો માસ ઘટાડો, $\Delta m ^{\prime}=29 \times m _{H}+34 \times m _{n}-m$

જ્યાં,

પ્રોટોનનો માસ, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

ન્યૂટ્રોનનો માસ, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=29 \times 1.007825+34 \times 1.008665-62.9296$

$=0.591935 \mathrm{u}$

ચિપમાં હશેલ એટોમ્સનો કુલ માસ ઘટાડો, $\Delta m=0.591935 \times 2.868 \times 10 ^{22}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \mathrm{u}$

પણ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

તેથી, ચિપના ન્યૂક્લિયનો બાંધક ઊર્જા આ રીતે આપેલ છે:

$E _{b}=\Delta m c ^{2}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1.581 \times 10 ^{25} \mathrm{MeV}$

પણ $1 \mathrm{MeV}=1.6 \times 10 ^{-13} \mathrm{~J}$

$E _{b}=1.581 \times 10 ^{25} \times 1.6 \times 10 ^{-13}$

$=2.5296 \times 10 ^{12} \mathrm{~J}$

આ જ ઊર્જા આપેલ ચિપમાંથી બધા ન્યૂટ્રોનો અને પ્રોટોનો અલગ કરવા માટે જરૂરી છે.

જવાબ

સોનાનો આઇસોટોપનો ન્યૂક્લિય ત્રાસ ${ } _{79} \mathrm{Au} ^{197}=R _{\mathrm{Au}}$

ચાંદીનો આઇસોટોપનો ન્યૂક્લિય ત્રાસ ${ } _{47} \mathrm{Ag} ^{107}=R _{\mathrm{Ag}}$

સોનાનો માસ નંબર, $A _{\mathrm{Au}}=197$

ચાંદીનો માસ નંબર, $A _{\mathrm{Ag}}=107$

બે ન્યૂક્લિયના ત્રાસનું અનુપાત તેમના માસ નંબરો સાથે સંબંધિત છે:

$$ \begin{aligned} \frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}} & =(\frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}}) ^{\frac{1}{3}} \ & =(\frac{197}{107}) ^{\frac{1}{3}}=1.2256 \end{aligned} $$

તેથી, સોના અને ચાંદીના આઇસોટોપોના ન્યૂક્લિય ત્રાસનો અનુપાત આસપાસ 1.23 છે.

જવાબ

${ } ^{226} \mathrm{Ra}$ ની આલ્ફા પાર્ટિકલ ડીકાય આઉટ આલ્ફા હીલિયમ ન્યૂક્લિયનો પ્રકાશ આઉટ કરે છે. આઉટકમાં, તેનો માસ નંબર $(226-4) 222$ થાય છે અને તેનો એટોમિક નંબર $(88-2) 86$ થાય છે. આ નીચેના ન્યૂક્લિય પ્રતિક્રિયા દ્વારા દર્શાવ્યું છે.

${ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra} \longrightarrow{ } _{86} ^{222} \mathrm{Ra}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

$Q$-કિંમત

પ્રકાશિત $\alpha$-પાર્ટિકલની કિંમત $=($ પ્રારંભિક માસનો સરવરસ - અંતિમ માસનો સરવરસ $) c ^{2}$

જ્યાં,

$c=$ આલ્ફા પાર્ટિકલની વિદ્યુત ચાલકતા

આપેલ છે:

$m({ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra})=226.02540 \mathrm{u}$

$m({ } _{86} ^{222} \mathrm{Rn})=222.01750 \mathrm{u}$

$m({ } _{2} ^{4} \mathrm{He})=4.002603 \mathrm{u}$

$Q$-કિંમત $=[226.02540-(222.01750+4.002603)] \mathrm{u} c ^{2}$

$=0.005297 \mathrm{u} c ^{2}$

પણ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=0.005297 \times 931.5 \approx 4.94 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-પાર્ટિકલની કિંમત કિંમત $=(\frac{\text { Mass number after decay }}{\text { Mass number before decay }}) \times Q$

$=\frac{222}{226} \times 4.94=4.85 \mathrm{MeV}$

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})$ ની આલ્ફા પાર્ટિકલ ડીકાય આઉટ ની ન્યૂક્લિય પ્રતિક્રિયા નીચેની રીતે દર્શાવી છે.

${ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn} \longrightarrow{ } _{84} ^{216} \mathrm{Po}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

આપેલ છે:

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})=220.01137 \mathrm{u}$ નો માસ

$({ } ^{24}{ } ^{216} \mathrm{Po})=216.00189 \mathrm{u}$ નો માસ

$\therefore Q$-કિંમત $=[220.01137-(216.00189+4.00260)] \times 931.5$

$\approx 641 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-પાર્ટિકલની કિંમત કિંમત $=(\frac{220-4}{220}) \times 6.41$

$=6.29 \mathrm{MeV}$

જવાબ

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ ની ફાયલીઝ આ રીતે આપી શકાય છે:

$$ { } _{13} ^{56} \mathrm{Fe} \longrightarrow 2{ } _{13} ^{28} \mathrm{Al} $$

આપેલ છે:

$m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})=55.93494 \mathrm{u}$ નો એટોમિક માસ

$m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})=27.98191 \mathrm{u}$ નો એટોમિક માસ

આ ન્યૂક્લિય પ્રતિક્રિયાની $Q$-કિંમત આ રીતે આપી શકાય છે:

$$ \begin{aligned} Q & =\left[m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})-2 m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})\right] c ^{2} \ & =[55.93494-2 \times 27.98191] c ^{2} \ & =(-0.02888 c ^{2}) \mathrm{u} \end{aligned} $$

પણ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=-0.02888 \times 931.5=-26.902 \mathrm{MeV}$

ફાયલીઝની $Q$-કિંમત નકારાત્મક છે. તેથી, ઊર્જાત્મક રીતે ફાયલીઝ થઈ શકતી નથી. ઊર્જાત્મક રીતે શક્ય ફાયલીઝ પ્રતિક્રિયા માટે, $Q$-કિંમત ધન હોવો જોઈએ.

જવાબ

${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}, E _{a v}=180 \mathrm{MeV}$ ની પ્રતિ ફાયલીઝ માટે સરેરાશ ઊર્જ પ્રકાશ આઉટ

${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}, m=1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}$ પ્રકાશ આઉટ

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ આવોગાડ્રોની સંખ્યા $=6.023 \times 10 ^{23}$

${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}=239 \mathrm{~g}$ નો માસ નંબર

${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ મોલ માં $\mathrm{N} _{\mathrm{A}}$ એટોમ્સ હોય છે.

$\therefore m$ g માં ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ એટોમ્સ હોય છે

$(\frac{\mathrm{N} _{\mathrm{A}}}{\text { Mass number }} \times m)$ એટોમ્સ

$=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{239} \times 1000=2.52 \times 10 ^{24}$ એટોમ્સ

$\therefore$ $1 \mathrm{~kg}$ માં ${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}$ ની ફાયલીઝ દ્વારા પ્રકાશ આઉટ થયેલું કુલ ઊર્જ ગણાય છે:

$$ \begin{aligned} E & =E _{\alpha v} \times 2.52 \times 10 ^{24} \ & =180 \times 2.52 \times 10 ^{24}=4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \end{aligned} $$

તેથી, $4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV}$ પ્રકાશ આઉટ થશે જો $1 \mathrm{~kg}$ માં ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ પ્રકાશ આઉટ બધા એટોમ્સ ફાયલીઝ થાય.

જવાબ

આપેલ ફ્યુઝન પ્રતિક્રિયા છે:

${ } _{1} ^{2} \mathrm{H}+{ } _{1} ^{2} \mathrm{H} \longrightarrow{ } _{2} ^{3} \mathrm{He}+\mathrm{n}+3.27 \mathrm{MeV}$

ડીયુટેરિયમનું પ્રમાણ, $m=2 \mathrm{~kg}$

1 મોલ, એટલે $2 \mathrm{~g}$ ડીયુટેરિયમ માં $6.023 \times 10 ^{23}$ એટોમ્સ હોય છે.

$\therefore 2.0 \mathrm{~kg}$ ડીયુટેરિયમ માં $=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{2} \times 2000=6.023 \times 10 ^{26}$ એટોમ્સ હોય છે

આપેલ પ્રતિક્રિયામાંથી ધ્યાન લો કે જ્યારે ડીયુટેરિયમના બે એટોમ્સ ફ્યુઝ થાય, 3.27 $\mathrm{MeV}$ ઊર્જ પ્રકાશ આઉટ થાય છે.

$\therefore$ ફ્યુઝન પ્રતિક્રિયામાં પ્રતિ ન્યૂક્લિયમાં પ્રકાશ આઉટ થયેલું કુલ ઊર્જ:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \ & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \times 1.6 \times 10 ^{-19} \times 10 ^{6} \ & =1.576 \times 10 ^{14} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

વિદ્યુત લેમ્પની પાવર, $P=100 \mathrm{~W}=100 \mathrm{~J} / \mathrm{s}$

તેથી, લેમ્પ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ખર્ચાયેલું ઊર્જ $=100 \mathrm{~J}$

વિદ્યુત લેમ્પ જે સમય સુધી જોઈ શકશે તે ગણાય છે:

$$ \begin{aligned} & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100} \mathrm{~s} \ & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100 \times 60 \times 60 \times 24 \times 365} \approx 4.9 \times 10 ^{4} \text { years } \end{aligned} $$

જવાબ

જ્યારે બે ડીયુટેરિયમ સીધી મુકાબલા ક્ષેત્રમાં મુકાબલો કરે છે, ત્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર, $d$ આ રીતે આપેલ છે:

ડીયુટેરિયમ ન્યૂક્લિયનો ત્રાસ + ડીયુટેરિયમ ન્યૂક્લિયનો ત્રાસ

ડીયુટેરિયમ ન્યૂક્લિયનો ત્રાસ $=2 \mathrm{fm}=2 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

$\therefore d=2 \times 10 ^{-15}+2 \times 10 ^{-15}=4 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

ડીયુટેરિયમ ન્યૂક્લિયનો ચાર્જ $=$ ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ $=e=1.6 \times 10 ^{-19} \mathrm{C}$

બે-ડીયુટેરિયમ સિસ્ટમની સ્થાનિક ઊર્જા:

$$ V=\frac{e ^{2}}{4 \pi \epsilon _{0} d} $$

જ્યાં,

$$ \epsilon _{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \frac{1}{4 \pi \epsilon _{0}}=9 \times 10 ^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m} ^{2} \mathrm{C} ^{-2} $$

$\therefore V=\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15}} \mathrm{~J}$

$$ =\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15} \times(1.6 \times 10 ^{-19})} \mathrm{eV} $$

$$ =360 \mathrm{keV} $$

તેથી, બે-ડીયુટેરિયમ સિસ્ટમની સ્થાનિક અસ્તરણ પ્રતિબંધની ઊંચાઈ છે

$360 \mathrm{keV}$.

જવાબ

આપેલ ન્યૂક્લિય ત્રાસ માટે આપણે પ્રસ્તાવના સંગ્રહ છે:

$R=R _{0} A ^{1} \beta ^{3}$

જ્યાં,

$R _{0}=$ સંખ્યા.

$A=$ ન્યૂક્લિયનો માસ નંબર

ન્યૂક્લિય દૈર્ઘ્ય, $\rho=\frac{\text { Mass of the nucleus }}{\text { Volume of the nucleus }}$

ધ્યાનમાં લો કે $m$ એ ન્યૂક્લિયનો સરેરાશ માસ છે.

તેથી, ન્યૂક્લિયનો માસ $=m A$

$\therefore \rho=\frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi(R _{0} A ^{\frac{1}{3}}) ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi R _{0} ^{3} A}=\frac{3 m}{4 \pi R _{0} ^{3}}$

તેથી, ન્યૂક્લિય દૈર્ઘ્ય એ $A$ ને નિર્ભર નથી. તે લગભગ સતત છે.