પ્રકરણ 12 પરમાણુઓ

જવાબ

(a) થોમસનના મોડેલ અને રધરફર્ડના મોડેલમાં લેવાયેલા પરમાણુઓના કદનો ક્રમ સમાન છે.

(b) થોમસનના મોડેલની આધાર સ્થિતિમાં, ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સંતુલનમાં હોય છે. જો કે, રધરફર્ડના મોડેલમાં, ઇલેક્ટ્રોન હંમેશા નીપજ બળ અનુભવે છે.

(c) રધરફર્ડના મોડેલ પર આધારિત એક શાસ્ત્રીય પરમાણુ નાશ પામવા નિર્ધારિત છે.

(d) પરમાણુનું દળ વિતરણ થોમસનના મોડેલમાં લગભગ સતત હોય છે, પરંતુ રધરફર્ડના મોડેલમાં અત્યંત અસમાન હોય છે.

(e) પરમાણુના ધન વિદ્યુતભારિત ભાગમાં મોટા ભાગનું દળ બંને મોડેલમાં હોય છે.

જવાબ

આલ્ફા-કણ વિખેરવાના પ્રયોગમાં, જો સોનાની પતરીની જગ્યાએ ઘન હાઇડ્રોજનની પાતળી શીટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો વિખેરણ કોણ પૂરતો મોટો નહીં હોય. આ એટલા માટે કે હાઇડ્રોજન $\left(1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$ નું દળ આપાત $\alpha$-કણોના દળ (6.64 $\left.\times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$) કરતાં ઓછું છે. આમ, વિખેરતા કણનું દળ લક્ષ્ય ન્યુક્લિયસ (હાઇડ્રોજન) કરતાં વધારે છે. પરિણામે, $\alpha$-કણો પાછા ફરશે નહીં જો ઘન હાઇડ્રોજનનો ઉપયોગ $\alpha$-કણ વિખેરવાના પ્રયોગમાં કરવામાં આવે.

જવાબ

પરમાણુમાં બે ઊર્જા સ્તરોનું અલગીકરણ,

$E=2.3 \mathrm{eV}$

$=2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}$

$=3.68 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

ધારો કે $v$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે જ્યારે પરમાણુ ઉપરના સ્તરથી નીચલા સ્તરમાં સંક્રાંતિ કરે છે.

આપણી પાસે ઊર્જા માટે સંબંધ છે:

$$ E=h v $$

જ્યાં,

$$ \begin{aligned} & h= \\ & \begin{aligned} \therefore v & =\frac{E}{h} \\ & =\frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.62 \times 10^{-32}}=5.55 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} \end{aligned} $$

આથી, વિકિરણની આવૃત્તિ $5.6 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ છે.

જવાબ

હાઇડ્રોજન પરમાણુની આધાર સ્થિતિ ઊર્જા, $E=-13.6 \mathrm{eV}$

આ હાઇડ્રોજન પરમાણુની કુલ ઊર્જા છે. ગતિ ઊર્જા કુલ ઊર્જાના ઋણ સમાન છે.

ગતિ ઊર્જા $=-E=-(-13.6)=13.6 \mathrm{eV}$

સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જાના બે ગણા ઋણ સમાન છે.

સ્થિતિ ઊર્જા $=-2 \times(13.6)=-27.2 \mathrm{eV}$

જવાબ

આધાર સ્તર માટે, $n_{1}=1$

ધારો કે $E_{1}$ આ સ્તરની ઊર્જા છે. તે જાણીતું છે કે $E_{1}$ એ $n_{1}$ સાથે સંબંધિત છે:

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{1^{2}}=-13.6 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

પરમાણુ ઉચ્ચ સ્તર $n_{2}=4$ પર ઉત્તેજિત થાય છે.

ધારો કે $E_{2}$ આ સ્તરની ઊર્જા છે.

$$ \begin{aligned} \therefore E_{2} & =\frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{4^{2}}=-\frac{13.6}{16} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ફોટોન દ્વારા શોષાયેલી ઊર્જાની માત્રા આ રીતે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} E & =E_{2}-E_{1} \\ & =\frac{-13.6}{16}-\left(-\frac{13.6}{1}\right) \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \mathrm{eV} \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \times 1.6 \times 10^{-19}=2.04 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના ફોટોન માટે, ઊર્જાની અભિવ્યક્તિ આ રીતે લખવામાં આવે છે:

$$ E=\frac{h c}{\lambda} $$

જ્યાં,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & c=\text { Speed of light }=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ & \therefore \lambda=\frac{h c}{E} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \\ & =9.7 \times 10^{-8} \mathrm{~m}=97 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

અને, ફોટોનની આવૃત્તિ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,

$$ \begin{aligned} v & =\frac{c}{\lambda} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{9.7 \times 10^{-8}} \approx 3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

આથી, ફોટોનની તરંગલંબાઈ $97 \mathrm{~nm}$ છે જ્યારે આવૃત્તિ $3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ છે.

જવાબ

ધારો કે $v_{1}$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં આધાર સ્થિતિ સ્તર $n_{1}$ $=1$ માં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ઝડપ છે. ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર ($e$) માટે, $v_{1}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

$$ v_{1}=\frac{e^{2}}{n_{1} 4 \pi \epsilon_{0}(h / 2 \pi)}=\frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} $$

જ્યાં,

$$ \begin{aligned} & e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\ & \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space }=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & h=\text { Planck’s constant }=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \begin{aligned} \therefore v_{1} & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =0.0218 \times 10^{8}=2.18 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} \end{aligned} $$

સ્તર $n_{2}=2$ માટે, આપણે અનુરૂપ કક્ષીય ઝડપ માટે સંબંધ આ રીતે લખી શકીએ:

$$ \begin{aligned} v_{2} & =\frac{e^{2}}{n_{2} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

અને, $n_{3}=3$ માટે, આપણે અનુરૂપ કક્ષીય ઝડપ માટે સંબંધ આ રીતે લખી શકીએ:

$$ \begin{aligned} v_{3} & =\frac{e^{2}}{n_{3} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{3 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

આથી, હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $n=1, \mathrm{n}=2$, અને $\mathrm{n}=3$ માં અનુક્રમે $2.18 \times 10^{6}$ $\mathrm{m} / \mathrm{s}, 1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ છે.

ધારો કે $T_{1}$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય આવર્તકાળ છે જ્યારે તે સ્તર $n_{1}=1$ માં હોય છે.

કક્ષીય આવર્તકાળ કક્ષીય ઝડપ સાથે આ રીતે સંબંધિત છે:

$T_{1}=\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}}$

જ્યાં,

$r_{1}=$ કક્ષાની ત્રિજ્યા

$=\frac{n_{1}^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$

$h=$ પ્લાન્કનો અચળાંક $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$e=$ ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતભાર $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$\epsilon_{0}=$ મુક્ત આકાશની પરાવૃત્તિ $=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2}$

$m=$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{1} & =\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \\ & =\frac{2 \pi \times(1)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{2.18 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =15.27 \times 10^{-17}=1.527 \times 10^{-16} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

સ્તર $n_{2}=2$ માટે, આપણે આવર્તકાળ આ રીતે લખી શકીએ:

$T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}}$

જ્યાં,

$r_{2}=$ $n_{2}=2$ માં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા

$$ \begin{aligned} & =\frac{\left(n_{2}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \\ & \therefore T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}} \\ & \quad=\frac{2 \pi \times(2)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{1.09 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & \quad=1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

અને, સ્તર $n_{3}=3$ માટે, આપણે આવર્તકાળ આ રીતે લખી શકીએ:

$$ T_{3}=\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} $$

જ્યાં,

$r_{3}=$ $n_{3}=3$ માં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા

$$ =\frac{\left(n_{3}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} $$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{3} & =\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} \\ & =\frac{2 \pi \times(3)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{7.27 \times 10^{5} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =4.12 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

આથી, આ દરેક સ્તરોમાં કક્ષીય આવર્તકાળ અનુક્રમે $1.52 \times 10^{-16} \mathrm{~s}, 1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s}$, અને 4.12 $\times 10^{-15}$ s છે.

જવાબ

હાઇડ્રોજન પરમાણુની સૌથી અંદરની કક્ષાની ત્રિજ્યા, $r_{1}=5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$.

ધારો કે $r_{2}$ એ $n=2$ પરની કક્ષાની ત્રિજ્યા છે. તે સૌથી અંદરની કક્ષાની ત્રિજ્યા સાથે આ રીતે સંબંધિત છે:

$$ \begin{aligned} r_{2} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =4 \times 5.3 \times 10^{-11}=2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$n=3$ માટે, આપણે અનુરૂપ ઇલેક્ટ્રોન ત્રિજ્યા આ રીતે લખી શકીએ:

$$ \begin{aligned} r_{3} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =9 \times 5.3 \times 10^{-11}=4.77 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

આથી, $n=2$ અને $n=3$ કક્ષાઓ માટે ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$ અને $4.77 \times$ $10^{-10} \mathrm{~m}$ છે.

જવાબ

આપવામાં આવ્યું છે કે ઓરડાના તાપમાને વાયુરૂપ હાઇડ્રોજન પર બોમ્બાર્ડ કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઊર્જા $12.5 \mathrm{eV}$ છે. ઉપરાંત, ઓરડાના તાપમાને તેની આધાર સ્થિતિમાં વાયુરૂપ હાઇડ્રોજનની ઊર્જા $-13.6 \mathrm{eV}$ છે.

જ્યારે વાયુરૂપ હાઇડ્રોજન પર ઇલેક્ટ્રોન બીમથી બોમ્બાર્ડ કરવામાં આવે છે, ત્યારે વાયુરૂપ હાઇડ્રોજનની ઊર્જા $-13.6+12.5 \mathrm{eV}$ એટલે કે $-1.1 \mathrm{eV}$ બને છે.

કક્ષીય ઊર્જા કક્ષા સ્તર ($n$) સાથે આ રીતે સંબંધિત છે:

$E=\frac{-13.6}{(n)^{2}} \mathrm{eV}$

$n=3, \quad E=\frac{-13.6}{9}=-1.5 \mathrm{eV}$ માટે

આ ઊર્જા વાયુરૂપ હાઇડ્રોજનની ઊર્જા લગભગ સમાન છે. એવું તારણ કાઢી શકાય કે ઇલેક્ટ્રોન $n=1$ થી $n=3$ સ્તર પર કૂદ્યું છે.

તેના વિઉત્તેજન દરમિયાન, ઇલેક્ટ્રોન સીધા જ $n=3$ થી $n=1$ પર કૂદી શકે છે, જે હાઇડ્રોજન સ્પેક્ટ્રમની લાયમન શ્રેણીની રેખા બનાવે છે.

લાયમન શ્રેણી માટે તરંગ સંખ્યા માટે આપણી પાસે સંબંધ છે:

$\frac{1}{\lambda}=R_{y}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$

જ્યાં,

$R_{\mathrm{y}}=$ રીડબર્ગ અચળાંક $=1.097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}$

$\lambda=$ ઇલેક્ટ્રોનની સંક્રાંતિ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ

$n=3$ માટે, આપણે $\lambda$ મેળવી શકીએ:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{8}{9} \\ \lambda & =\frac{9}{8 \times 1.097 \times 10^{7}}=102.55 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

જો ઇલેક્ટ્રોન $n=2$ થી $n=1$ પર કૂદે છે, તો વિકિરણની તરંગલંબાઈ આ રીતે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{4}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{3}{4} \\ \lambda & =\frac{4}{1.097 \times 10^{7} \times 3}=121.54 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

જો સંક્રાંતિ $n=3$ થી $n=2$ પર થાય છે, તો વિકિરણની તરંગલંબાઈ આ રીતે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{5}{36} \\ \lambda & =\frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{7}}=656.33 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

આ વિકિરણ હાઇડ્રોજન સ્પેક્ટ્રમની બામર શ્રેણીને અનુરૂપ છે.

આથી, લાયમન શ્રેણીમાં, બે તરંગલંબાઈઓ એટલે કે $102.5 \mathrm{~nm}$ અને $121.5 \mathrm{~nm}$ ઉત્સર્જિત થાય છે. અને બામર શ્રેણીમાં, એક તરંગલંબાઈ એટલે કે $656.33 \mathrm{~nm}$ ઉત્સર્જિત થાય છે.

જવાબ

સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીની કક્ષાની ત્રિજ્યા, $r=1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$

પૃથ્વીની કક્ષીય ઝડપ, $v=3 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

પૃથ્વીનું દળ, $m=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

બોહ્રના મોડેલ અનુસાર, કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઇઝ્ડ છે અને આ રીતે આપવામાં આવે છે:

$$ m v r=\frac{n h}{2 \pi} $$

જ્યાં,

$h=$ પ્લાન્કનો અચળાંક $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$n=$ ક્વોન્ટમ સંખ્યા

$$ \begin{aligned} \therefore n & =\frac{m v r 2 \pi}{h} \\ & =\frac{2 \pi \times 6 \times 10^{24} \times 3 \times 10^{4} \times 1.5 \times 10^{11}}{6.62 \times 10^{-34}} \\ & =25.61 \times 10^{73}=2.6 \times 10^{74} \end{aligned} $$

આથી, પૃથ્વીની પરિક્રમણને લાક્ષણિકતા આપતી ક્વોન્ટા સંખ્યા $2.6 \times 10^{74}$ છે.