અધ્યાય 11 પ્રકાશનાં અને દ્રણની દ્વિરૂપતા

જવાબ

ઇલેક્ટ્રોનની પ્રાકૃતિકતા, $V=30 \mathrm{kV}=3 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

તેથી, ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા, $E=3 \times 10^{4} \mathrm{eV}$

જ્યાં,

$e=$ ઇલેક્ટ્રોન પર ચાર્જ $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

(ક) દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા $\mathrm{X}$-તરંગોની અધિકતમ આવૃત્તિ $=v$

ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા વિશેષણને તારણે આપેલ સંબંધમાં આપવામાં આવે છે:

$E=h v$

જ્યાં,

$h=$ પ્લેન્કની સ્થિરતા $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$\therefore v=\frac{E}{h}$

$$ =\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{4}}{6.626 \times 10^{-34}}=7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz} $$

તેથી, ઉત્પન્ન થયેલા X-રેસની અધિકતમ આવૃત્તિ $7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz}$ છે.

(ખ) ઉત્પન્ન થયેલા X-રેસની ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{7.24 \times 10^{18}}=4.14 \times 10^{-11} \mathrm{~m}=0.0414 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

તેથી, ઉત્પન્ન થયેલા X-રેસની ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $0.0414 \mathrm{~nm}$ છે.

જવાબ

સીઝિયમ ધાતુની કાર્યક્ષમતા, $\phi_{0}=2.14 \mathrm{eV}$

આવૃત્તિ, $v=6.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

(ક) ફોટોઇલેક્ટ્રિક પરિણામની રીતે અધિકતમ કિનેટિક ઊર્જા આપવામાં આવે છે:

$$ K=h v-\phi_{0} $$

જ્યાં,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \therefore K=\frac{6.626 \times 10^{34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}-2.14 \\ & \quad=2.485-2.140=0.345 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

તેથી, નિકાસ કરેલા ઇલેક્ટ્રોનોની અધિકતમ કિનેટિક ઊર્જા $0.345 \mathrm{eV}$ છે.

(ખ) સ્ટોપિંગ પોટેન્શલ $V_{0}$ માટે, આપી કિનેટિક ઊર્જા માટે સમીકરણ લખીએ છીએ:

$$ \begin{aligned} & K=e V_{0} \\ & \therefore V_{0}=\frac{K}{e} \\ & \quad=\frac{0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=0.345 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

તેથી, દ્રણની સ્ટોપિંગ પોટેન્શલ $0.345 \mathrm{~V}$ છે.

(ગ) નિકાસ કરેલા ફોટોઇલેક્ટ્રોનોની અધિકતમ ગતિ $=v$

તેથી, કિનેટિક ઊર્જા માટે સંબંધ તરીકે લખીએ છીએ:

$$ K=\frac{1}{2} m v^{2} $$

જ્યાં,

$$ \begin{aligned} m & =\text { Mass of an electron }=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\ v^{2} & =\frac{2 K}{m} \\ & =\frac{2 \times 0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}=0.1104 \times 10^{12} \\ \therefore v & =3.323 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

તેથી, નિકાસ કરેલા ફોટોઇલેક્ટ્રોનોની અધિકતમ ગતિ $332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ છે.

જવાબ

ફોટોઇલેક્ટ્રિક કટ-ઓફ વોલ્ટેજ, $V_{0}=1.5 \mathrm{~V}$

નિકાસ કરેલા ફોટોઇલેક્ટ્રોનોની અધિકતમ કિનેટિક ઊર્જા તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ K_{e}=e V_{0} $$

જ્યાં,

$e=$ ઇલેક્ટ્રોન પર ચાર્જ $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$$ \begin{aligned} \therefore K_{e} & =1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \\ & =2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

તેથી, આપેલ અભ્યાસમાં નિકાસ કરેલા ફોટોઇલેક્ટ્રોનોની અધિકતમ કિનેટિક ઊર્જા $2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$ છે.

જવાબ

એકવરણ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ, $\lambda=632.8 \mathrm{~nm}=632.8 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

લેસર દ્વારા ઉત્પાદન કરવામાં આવેલી શક્તિ, $P=9.42 \mathrm{~mW}=9.42 \times 10^{-3} \mathrm{~W}$

પ્લેન્કની સ્થિરતા, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

આગની ગતિ, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

હાઇડ્રોજન એટલે એક દ્રણની તૂટ, $m=1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$

(ક) દરેક ફોટોનની ઊર્જા તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{632.8 \times 10^{-9}}=3.141 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

દરેક ફોટોનની દબાણ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} P & =\frac{h}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34}}{632.8}=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(ખ) પ્રવાહ દ્વારા રેખાંતર કરવામાં આવેલ લક્ષ પર પ્રતિસાગ થતા ફોટોનો સંખ્યા, $=n$

લક્ષ પર નીચેની સમાન ક્રોસ-સેક્શન ધરાવતી પ્રવાહની ધારણા કરો.

તેથી, શક્તિ માટે સમીકરણ તરીકે લખીએ છીએ:

$$ \begin{aligned} P & =n E \\ \therefore n & =\frac{P}{E} \\ & =\frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.141 \times 10^{-19}} \approx 3 \times 10^{16} \text { photon } / \mathrm{s} \end{aligned} $$

(ગ) હાઇડ્રોજન એટલે એક દ્રણની તૂટની તેજી ફોટોનની તેજી જેટલી છે, $p=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

દબાણ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$p=m v$

જ્યાં,

$v=$ હાઇડ્રોજન એટલે એક દ્રણની તૂટની ગતિ

$$ \begin{aligned} \therefore v & =\frac{p}{m} \\ & =\frac{1.047 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}}=0.621 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

જવાબ

કટ-ઓફ વોલ્ટેજ $(V)$ અને આવૃત્તિ $(v)$ પ્રતિ સ્લોપની ચોરસાકારીકરણ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$\frac{V}{v}=4.12 \times 10^{-15} \mathrm{Vs}$

$V$ આવૃત્તિ સાથે સંબંધિત છે તરીકે આપવામાં આવે છે:

$h v=e V$

જ્યાં,

$e=$ ઇલેક્ટ્રોન પર ચાર્જ $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$h=$ પ્લેન્કની સ્થિરતા

$\therefore h=e \times \frac{V}{v}$

$=1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15}=6.592 \times 10^{-34} \mathrm{JS}$

તેથી, પ્લેન્કની સ્થિરતાનું મૂલ્ય $6.592 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$ છે.

જવાબ

ધાતુની સ્થાનિક આવૃત્તિ, $v_{0}=3.3 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

ધાતુ પર આવૃત્તિ છુપાવવામાં આવેલ આવૃત્તિ, $v=8.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

ઇલેક્ટ્રોન પર ચાર્જ, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

પ્લેન્કની સ્થિરતા, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ધાતુના પરિણામે ફોટોઇલેક્ટ્રિક નિકાસ માટે કટ-ઓફ વોલ્ટેજ, $=V_{0}$

કટ-ઓફ ઊર્જા માટે સમીકરણ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} e V_{0} & =h\left(v-v_{0}\right) \\ V_{0} & =\frac{h\left(v-v_{0}\right)}{e} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times\left(8.2 \times 10^{14}-3.3 \times 10^{14}\right)}{1.6 \times 10^{-19}}=2.0292 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

તેથી, ફોટોઇલેક્ટ્રિક નિકાસ માટે કટ-ઓફ વોલ્ટેજ $2.0292 \mathrm{~V}$ છે.

જવાબ

ધાતુની કાર્યક્ષમતા, $\phi_{0}=4.2 \mathrm{eV}$

ઇલેક્ટ્રોન પર ચાર્જ, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

પ્લેન્કની સ્થિરતા, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

આવૃત્તિ છુપાવવામાં આવેલ આવૃત્તિની તરંગલંબાઇ, $\lambda=330 \mathrm{~nm}=330 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

આગની ગતિ, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

આવૃત્તિ છુપાવવામાં આવેલ ફોટોનની ઊર્જા તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{330 \times 10^{-9}}=6.0 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & =\frac{6.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=3.76 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

આવૃત્તિ છુપાવવામાં આવેલ આવૃત્તિની ઊર્જા ધાતુની કાર્યક્ષમતાથી ઓછી છે તે જોખમ કરી શકાય છે. તેથી, ફોટોઇલેક્ટ્રિક નિકાસ થતું નહીં.

જવાબ

આવૃત્તિ છુપાવવામાં આવેલ ફોટોનની આવૃત્તિ, $v=488 \mathrm{~nm}=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ઇલેક્ટ્રોનોની અધિકતમ ગતિ, $v=6.0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

પ્લેન્કની સ્થિરતા, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

એક ઇલેક્ટ્રોનની તૂટ, $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

સ્થાનિક આવૃત્તિ $v_{0}$ માટે, કિનેટિક ઊર્જા માટે સંબંધ તરીકે લખીએ છીએ:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}=h\left(v-v_{0}\right) \\ & v_{0}=v-\frac{m v^{2}}{2 h} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-\frac{\left(9.1 \times 10^{-31}\right) \times\left(6 \times 10^{5}\right)^{2}}{2 \times\left(6.626 \times 10^{-34}\right)} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-2.472 \times 10^{14} \\ & \quad=4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

તેથી, ફોટોઇમિશન માટે ઇલેક્ટ્રોનોની સ્થાનિક આવૃત્તિ $4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ છે.

જવાબ

આર્ગોન લેસર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ, $\lambda=488 \mathrm{~nm}$ $=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ફોટોઇલેક્ટ્રોનોનો સ્ટોપિંગ (કટ-ઓફ) પોટેન્શલ, $V_{0}=0.38 \mathrm{~V}$

$$ \begin{aligned} & 1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & \therefore V_{0}=\frac{0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

પ્લેન્કની સ્થિરતા, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ઇલેક્ટ્રોન પર ચાર્જ, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

આગની ગતિ, $c=3 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ઇસ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક પરિણામથી, નિકાસ કરવાના ઉપકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે તે દ્રણની કાર્યક્ષમતા $\Phi_{0}$ સાથે સંબંધિત છે:

$$ \begin{aligned} & e V_{0}=\frac{h c}{\lambda}-\phi_{0} \\ & \phi_{0}=\frac{h c}{\lambda}-e V_{0} \\ & \quad=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}}-\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \\ & \quad=2.54-0.38=2.16 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

તેથી, નિકાસ કરવાના ઉપકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે તે દ્રણની કાર્યક્ષમતા $2.16 \mathrm{eV}$ છે.

જવાબ

(ક) બુલેટની તૂટ, $m=0.040 \mathrm{~kg}$

બુલેટની ગતિ, $v=1.0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}=1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

પ્લેન્કની સ્થિરતા, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

બુલેટની ડે બ્રોલી તરંગલંબાઇ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000}=1.65 \times 10^{-35} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

બૉલની તૂટ, $m=0.060 \mathrm{~kg}$

બૉલની ગતિ, $v=1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

બૉલની ડે બ્રોલી તરંગલંબાઇ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1}=1.1 \times 10^{-32} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(ગ) ધૂળની તૂટ, $m=1 \times 10^{-9} \mathrm{~kg}$

ધૂળની ગતિ, $v=2.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ધૂળની ડે બ્રોલી તરંગલંબાઇ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \lambda=\frac{h}{m v} $$

$=\frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 1 \times 10^{-9}}=3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~m}$

જવાબ

ઊર્જા $(h v)$ ધરાવતા ફોટોનની દબાણ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{align*} & p=\frac{h v}{c}=\frac{h}{\lambda} \\ & \lambda=\frac{h}{p} \tag{i} \end{align*} $$

જ્યાં,

$\lambda=$ તરંગલંબાઇ ધરાવતી પ્રકાશનાં તરંગલંબાઇ

$c=$ આગની ગતિ

$h=$ પ્લેન્કની સ્થિરતા

ફોટોનની ડે બ્રોલી તરંગલંબાઇ તરીકે આપવામાં આવે છે:

$\lambda=\frac{h}{m v}$

પણ $p=m v$

$\therefore \lambda=\frac{h}{p}$

જ્યાં,

$m=$ ફોટોનની તૂટ

$v=$ ફોટોનની ગતિ

તેથી, સમીકરણ (એક) અને (બી) દ્વારા જોખમ કરી શકાય છે કે પ્રકાશનાં તરંગલંબાઇ ફોટોનની ડે બ્રોલી તરંગલંબાઇ જેટલી છે.