ચેપ્ટર 2 સ્થિરાક્ષેત્રનો સ્થિરાક્ષેત્ર અને કેપેસિટન્સ

જવાબ

બે ચાર્જ છે,

$q_{1}=5 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

$q_{2}=-3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

બે ચાર્જ વચ્ચેનું અંતર, $d=16 \mathrm{~cm}=0.16 \mathrm{~m}$

બે ચાર્જ વચ્ચેની લાઇન પર જેમાં દર્શાવેલ છે તેની તરીકે લાઇન પર જગ્યા $\mathrm{P}$ ને વિચારો.

$r=$ જગ્યા $\mathrm{P}$ પરથી ચાર્જ $q_{1}$ નું અંતર

જ્યાં $(V)$ જગ્યા $\mathrm{P}$ પર વીજિટ્રિક સ્થિરાક્ષેત્ર શૂન્ય હોય.

જગ્યા $\mathrm{P}$ પરનો સ્થિરાક્ષેત્ર એ ચાર્જ $q_{1}$ અને $q_{2}$ દ્વારા પ્રભાવિત થતા સ્થિરાક્ષેત્રનો સર્વસમાવેશ કરે છે.

$\therefore V=\frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)}$

જ્યાં,

$\in_{0}=$ મુક્ત અવરણની પરિસ્થિતિ

$V=0$ માટે, સમીકરણ (i) ને સંક્ષિપ્ત કરે છે

$$ \begin{aligned} & \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)} \\ & \frac{q_{1}}{r}=\frac{-q_{2}}{d-r} \\ & \frac{5 \times 10^{-8}}{r}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(0.16-r)} \\ & \frac{0.16}{r}-1=\frac{3}{5} \\ & \frac{0.16}{r}=\frac{8}{5} \\ & \therefore r=0.1 \mathrm{~m}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

તેથી, ચાર્જો વચ્ચે તે જગ્યા પરથી પોઝિટિવ ચાર્જનું સ્થિરાક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

જો તે જગ્યા બે ચાર્જોના સિસ્ટમની બહાર હોય, તો તે જગ્યા નેગેટિવ ચાર્જનું સ્થિરાક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે, જેમાં નીચેના ચિત્રમાં દર્શાવેલ છે.

આ રચના માટે, સ્થિરાક્ષેત્ર નો વ્યાખ્યા આ રીતે આપે છે,

$$ \begin{equation*} V=\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} s}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} \tag{ii} \end{equation*} $$

$V=0$ માટે, સમીકરણ (ii) ને સંક્ષિપ્ત કરે છે

$$ \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} s}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} $$

$\frac{q_{1}}{s}=\frac{-q_{2}}{s-d}$

$\frac{5 \times 10^{-8}}{s}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(s-0.16)}$

$1-\frac{0.16}{s}=\frac{3}{5}$

$\frac{0.16}{s}=\frac{2}{5}$

$\therefore s=0.4 \mathrm{~m}=40 \mathrm{~cm}$

તેથી, ચાર્જોના સિસ્ટમની બહાર તે જગ્યા પરથી પોઝિટિવ ચાર્જનું સ્થિરાક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

જવાબ

આપેલ ચિત્ર ષટ્કોણના તળિયા પર ચાર્જ $q$ રાખેલ છે.

જ્યાં,

ચાર્જ, $q=5 \mu \mathrm{C}=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

ષટ્કોણની સાઇડ, $l=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FA}=10 \mathrm{~cm}$

તળિયાથી કેન્દ્રનું અંતર $\mathrm{O}, d=10 \mathrm{~cm}$

કેન્દ્રમાં વીજિટ્રિક સ્થિરાક્ષેત્ર $\mathrm{O}$,

$$ V=\frac{6 \times q}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

જ્યાં,

$$ \in_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & \therefore V=\frac{6 \times 9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \\ & \quad=2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V} \end{aligned} $$

તેથી, ષટ્કોણના કેન્દ્રમાં સ્થિરાક્ષેત્ર $2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V}$.

જવાબ

આપેલ ચિત્રમાં રજૂ કરેલ પરિસ્થિતિ છે.

સમાન સ્થિરાક્ષેત્ર એ પ્લેન છે જ્યાં સર્વ સ્થિરાક્ષેત્ર સર્વત્ર શૂન્ય હોય. આ પ્લેન લાઇન $\mathrm{AB}$ ને સમાનાંતર છે. ચાર્જોની માત્રા એકસરખી હોવાથી આ પ્લેન લાઇન $\mathrm{AB}$ ના મધ્યમાં રહે છે.

આ પ્લેન પર કેન્દ્રમાં વીજિટ્રિક ક્ષેત્રની દિશા પ્લેનને સમાનાંતર છે $\mathrm{AB}$.

જવાબ

ગોળાકાર કન્ડક્ટરનો રેડિયસ, $r=12 \mathrm{~cm}=0.12 \mathrm{~m}$

ચાર્જ કન્ડક્ટરની પરિધાન પર એકસરખો રાખેલ છે, $q=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{C}$

ગોળાકાર કન્ડક્ટરની અંદર વીજિટ્રિક ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. આમ થાય છે કે કન્ડક્ટરની અંદર ક્ષેત્ર હોય તો ચાર્જો તેને નિરાકાર કરવા માટે ચલે છે.

કન્ડક્ટરની તુટકી પર વીજિટ્રિક ક્ષેત્ર $E$ આ રીતે આપે છે,

$$ E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} $$

જ્યાં,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{C}^{-2}$

$\therefore E=\frac{1.6 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^{-9}}{(0.12)^{2}}$

$=10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$

તેથી, ગોળાકારની તુટકી પર વીજિટ્રિક ક્ષેત્ર $10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$.

ગોળાકારના કેન્દ્રથી જગ્યા $18 \mathrm{~m}$ અંતરથી વીજિટ્રિક ક્ષેત્ર $=E_{1}$

કેન્દ્રથી જગ્યાનું અંતર, $d=18 \mathrm{~cm}=0.18 \mathrm{~m}$

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{q}{4 \pi \in_{0} d^{2}} \\ & =\frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{\left(18 \times 10^{-2}\right)^{2}} \\ & =4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{aligned} $$

તેથી, ગોળાકારના કેન્દ્રથી જગ્યા $18 \mathrm{~cm}$ અંતરથી વીજિટ્રિક ક્ષેત્ર $4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

પેરાલેલ પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ, $\mathrm{C}=8 \mathrm{pF}$

પ્રારંભિક રીતે, પેરાલેલ પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર $d$ હતું અને તેને એર ભરી દીધી હતી. એરનો ડાયલેક્ટ્રિક કંટાળાત્મક, $k=1$

કેપેસિટન્સ, $C$, આ સૂત્રનું ઉપયોગ કરીને આપે છે,

$$ \begin{align*} C & =\frac{k \in_{0} A}{d} \\ & =\frac{\in_{0} A}{d} \tag{i} \end{align*} $$

જ્યાં,

$A=$ દરેક પ્લેટની વિસ્તાર

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

જો પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર અડધા કરી દીધું હોય તો નવું અંતર, $d=\frac{d}{2}$

પ્લેટ વચ્ચે ભરેલ સામગ્રીનો ડાયલેક્ટ્રિક કંટાળાત્મક, $k^{\prime}=6$

તેથી, કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ આ રીતે બની જાય છે

$$ \begin{equation*} C^{\prime}=\frac{k^{\prime} \in_{0} A}{d^{\prime}}=\frac{6 \in_{0} A}{\frac{d}{2}} \tag{ii} \end{equation*} $$

સમીકરણ (i) અને (ii) ની ગુણાંકો લો તો મેળવી શકાય છે

$$ \begin{aligned} C^{\prime} & =2 \times 6 C \\ & =12 C \\ & =12 \times 8=96 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

તેથી, પ્લેટ વચ્ચેની કેપેસિટન્સ $96 \mathrm{pF}$.

જવાબ

ત્રણ કેપેસિટરોની કેપેસિટન્સ, $C=9 \mathrm{pF}$

કેપેસિટરોની જોડાણની સમાન કેપેસિટન્સ $\left(C^{\prime}\right)$ આ રીતે આપે છે,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{C^{\prime}} & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & =\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$\therefore C^{\prime}=3 \mu \mathrm{F}$

તેથી, જોડાણની કેપેસિટન્સ $3 \mu \mathrm{F}$.

સપ્લાય વોલ્ટેજ, $V=100 \mathrm{~V}$

દરેક કેપેસિટર પર સ્થિરાક્ષેત્ર સપ્લાય વોલ્ટેજનું એક ત્રણમાં એક છે.

$$ \therefore V^{\prime}=\frac{V}{3}=\frac{120}{3}=40 \mathrm{~V} $$

તેથી, દરેક કેપેસિટર પર સ્થિરાક્ષેત્ર $40 \mathrm{~V}$.

જવાબ

આપેલ કેપેસિટરોની કેપેસિટન્સ છે

$$ \begin{aligned} & C_{1}=2 \mathrm{pF} \\ & C_{2}=3 \mathrm{pF} \\ & C_{3}=4 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

કેપેસિટરોની સરખામણીમાં જોડાણની સમાન કેપેસિટન્સ $C^{\prime}$ આ રીતે આપે છે,

$$ C^{\prime}=2+3+4=9 \mathrm{pF} $$

તેથી, જોડાણની કેપેસિટન્સ $9 \mathrm{pF}$.

સપ્લાય વોલ્ટેજ, $V=100 \mathrm{~V}$

ત્રણ કેપેસિટર પર વોલ્ટેજ એકસરખો છે $=V=100 \mathrm{~V}$

કેપેસિટન્સ $C$ અને સ્થિરાક્ષેત્ર $V$ પર ચાર્જ આ રીતે આપે છે,

$q=V C \ldots$ (i)

$\mathrm{C}=2 \mathrm{pF}$ માટે,

ચાર્જ $=V C=100 \times 2=200 \mathrm{pC}=2 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=3 \mathrm{pF}$ માટે,

ચાર્જ $=V C=100 \times 3=300 \mathrm{pC}=3 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=4 \mathrm{pF}$ માટે,

ચાર્જ $=V C=100 \times 4=200 \mathrm{pC}=4 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

જવાબ

પેરાલેલ પ્લેટ કેપેસિટરના દરેક પ્લેટનું વિસ્તાર, $A=6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર, $d=3 \mathrm{~mm}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

સપ્લાય વોલ્ટેજ, $V=100 \mathrm{~V}$

પેરાલેલ પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C$ આ રીતે આપે છે,

$C=\frac{\in_{0} A}{d}$

જ્યાં,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{C}^{-2}$

$$ \begin{aligned} \therefore C & =\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \\ & =17.71 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \\ & =17.71 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

સ્થિરાક્ષેત્ર $V$ ચાર્જ $q$ અને કેપેસિટન્સ $C$ સાથે આ રીતે સંબંધિત છે

$$ \begin{aligned} & V=\frac{q}{C} \\ & \therefore q=V C \\ & =100 \times 17.71 \times 10^{-12} \\ & =1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C} \end{aligned} $$

તેથી, કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $17.71 \mathrm{pF}$ અને દરેક પ્લેટ પર ચાર્જ $1.771 \times$ $10^{-9} \mathrm{C}$.

જવાબ

માઇકા શીટનો ડાયલેક્ટ્રિક કંટાળાત્મક, $k=6$

પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

નવી કેપેસિટન્સ, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

સપ્લાય વોલ્ટેજ, $V=100 \mathrm{~V}$

નવો ચાર્જ, $q^{\prime}=C^{\prime} V=6 \times 1.771 \times 10^{-9}=1.06 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

પ્લેટ વચ્ચેનો સ્થિરાક્ષેત્ર જાળવી રાખવામાં આવે છે $100 \mathrm{~V}$.

ડાયલેક્ટ્રિક કંટાળાત્મક, $k=6$

પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

નવી કેપેસિટન્સ, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

જો સપ્લાય વોલ્ટેજ તૂટી ગયો હોય તો પ્લેટ પર ચાર્જનું પ્રમાણ કોઈ અસર કરતું નથી.

ચાર્જ $=1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C}$

પ્લેટ વચ્ચેનો સ્થિરાક્ષેત્ર આ રીતે આપે છે,

$$ \begin{aligned} \therefore V^{\prime} & =\frac{q}{C^{\prime}} \\ & =\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}} \\ & =16.7 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

જવાબ

કેપેસિટન્સ ની કેપેસિટન્સ, $C=12 \mathrm{pF}=12 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

સ્થિરાક્ષેત્ર, $V=50 \mathrm{~V}$

કેપેસિટરમાં રાખવામાં આવેલ સ્થિરાક્ષેત્ર ઊર્જા આ રીતે આપે છે,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times(50)^{2} \\ & =1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

તેથી, કેપેસિટરમાં રાખવામાં આવેલ સ્થિરાક્ષેત્ર ઊર્જા $1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J}$.

જવાબ

કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ, $C=600 \mathrm{pF}$

સ્થિરાક્ષેત્ર, $V=200 \mathrm{~V}$

કેપેસિટરમાં રાખવામાં આવેલ સ્થિરાક્ષેત્ર ઊર્જા આ રીતે આપે છે,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(600 \times 10^{-12}\right) \times(200)^{2} \\ & =1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

જો સપ્લાય કેપેસિટરથી અલગ કરી દીધો અને તેને કેપેસિટન્સ $C=600$ $\mathrm{pF}$ ની અન્ય કેપેસિટર સાથે જોડી દીધો હોય તો જોડાણની સમાન કેપેસિટન્સ $(C)$ આ રીતે આપે છે,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{C^{\prime}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & \quad=\frac{1}{600}+\frac{1}{600}=\frac{2}{600}=\frac{1}{300} \\ & \therefore C^{\prime}=300 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

નવી સ્થિરાક્ષેત્ર ઊર્જા આ રીતે ગણી શકાય છે

$$ \begin{aligned} E^{\prime} & =\frac{1}{2} \times C^{\prime} \times V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 300 \times(200)^{2} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

સ્થિરાક્ષેત્ર ઊર્જાનો ખાતરો $=E-E^{\prime}$

$$ \begin{aligned} & =1.2 \times 10^{-5}-0.6 \times 10^{-5} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \\ & =6 \times 10^{-6} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

તેથી, પ્રક્રિયમાં ખાતરી થતી હોય તે સ્થિરાક્ષેત્ર ઊર્જા $6 \times 10^{-6} \mathrm{~J}$.