ચેપ્ટર 8 ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક તરંગો

જવાબ

દરેક ગોળાકાર પ્લેટનું ત્રિજ્યા, $r=12 \mathrm{~cm}=12 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

પ્લેટ વચ્ચેનું અવતરણ, $d=5 \mathrm{~cm}=5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

ચાર્જ કરતા પ્રવાહ, $I=0.15 \mathrm{~A}$

મુક્ત જગ્યાનો પેરિમિટ્ટિવિટી, $\varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} C^{2} N^{-1} m^{-2}$

(અ) બે પ્લેટ વચ્ચેનું કેપેસિટન્સ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,

$A=$ દરેક પ્લેટની વિસ્તાર $=\pi r^{2}$

$C=\frac{\varepsilon_{0} \pi r^{2}}{d}$

$=\frac{8.85 \times 10^{-12} \times 3.14 \times\left(12 \times 10^{-2}\right)^{2}}{5 \times 10^{-2}}$

$C=8.0032 \times 10^{-12} F=8 p F$

દરેક પ્લેટ પર ચાર્જ, $q=C V$

જ્યાં,

$\mathrm{V}=$ પ્લેટ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ

સમય $(t)$ ના સાથે બંને બાજુની વિભાજના કરવી પડે:

$\frac{d q}{d t}=C \frac{d V}{d t}$

પરંતુ, $\frac{d q}{d t}=$ પ્રવાહ $(I)$

$\therefore \frac{d V}{d t}=\frac{I}{C}$

$\Rightarrow \frac{0.15}{80.032 \times 10^{-12}}=1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$

તેથી, પ્લેટ વચ્ચેના વોલ્ટેજનો પરિવર્તન $1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$ છે.

(બ) પ્લેટ પરનો અવતરણ પ્રવાહ પ્રવાહના સમાન છે. તેથી, અવતરણ પ્રવાહ, id $0.15 \mathrm{~A}$ છે.

(ક) હા

કીર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ કેપેસિટરના દરેક પ્લેટ પર માન્ય છે કારણ કે અવતરણ પ્રવાહ પ્રવાહના સમાન છે.

જવાબ દરેક ગોળાકાર પ્લેટનું ત્રિજ્યા, $R=6.0 \mathrm{~cm}=0.06 \mathrm{~m}$

સમકક્ષ પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ, $C=100 \mathrm{pF}=100 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

સપ્લાય વોલ્ટેજ, $V=230 \mathrm{~V}$

કોણી આવૃત્તિ, $\omega=300 \mathrm{rad}_{s^{-1}}$

(અ) પ્રવાહની રાસપ્રમાણક કિંમત, $I_{r m s}=\frac{V_{r m s}}{X_{c}}$

જ્યાં,

$X_{C}=$ કેપેસિટિવ રિયાક્ટન્સ

$=\frac{1}{\omega C}$

$\therefore I=V_{r m s} \times \omega C$

$=230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12}$

$=6.9 \times 10^{-6} \mathrm{~A}$

$=6.9 \mu \mathrm{A}$

તેથી, પ્રવાહની રાસપ્રમાણક કિંમત $6.9 \mu \mathrm{A}$ છે.

(બ) હા, પ્રવાહ અવતરણ પ્રવાહની સમાન છે.

(ક) આધાર પ્રવાહ નીચે આપવામાં આવે છે:

$B=\frac{\mu_{o} r}{2 \pi R^{2}} I_{o}$

જ્યાં,

$\mu_{0}=$ મુક્ત જગ્યાનો પેરિમિટ્ટિવિટી $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{NA}^{-2}$

$I 0=$ પ્રવાહની મહત્તમ કિંમત $=\sqrt{2} l$ $r=$ અક્ષ તરફથી પ્લેટ વચ્ચેનું અવતરણ $=3.0 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$

$B=\frac{\mu_{0} I_{0} r}{2 \pi R^{2}}=\frac{\mu_{0} I_{r m s} \sqrt{2} r}{2 \pi R^{2}}$

$\therefore B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.03 \times \sqrt{2} \times 6.9 \times 10^{-6}}{2 \pi \times(0.06)^{2}}$

$=1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$ તેથી, તે બિંદુ પર આધાર પ્રવાહ $1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$ છે.

જવાબ

ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક તરંગ મુક્ત જગ્યાએ ઝી-દિશામાં પ્રવાહ કરે છે. વીજ $(E)$ અને આધાર પ્રવાહ $(H)$ $x-y$ પ્લેનમાં છે. તેમને એકબીજા સાથે આપોઆપ લંબચોરસ છે.

તરંગનો આવૃત્તિ, $v=30 \mathrm{MHz}=30 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}$

મુક્ત જગ્યાએ પ્રવાહની ગતિ, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

તરંગનું ત્રાસ નીચેના રીતે આપવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{30 \times 10^{6}}=10 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

જવાબ

ઓસિલેટર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક તરંગનો આવૃત્તિ ચાર્જ કરેલ કણ તેના મધ્ય સ્થાન પર આવૃત્તિ કરતા આવૃત્તિની સમાન છે એટલે $10^{9} \mathrm{~Hz}$.

જવાબ

મુક્ત જગ્યાએ ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક તરંગના આધાર પ્રવાહનો પ્રમાણ,

$B 0=510 \mathrm{nT}=510 \times 10^{-9} \mathrm{~T}$

મુક્ત જગ્યાએ પ્રવાહની ગતિ, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક તરંગના વીજનેટ ભાગનો પ્રમાણ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,

$c=\frac{E_{0}}{B_{0}}$

$E_{0}=c B_{0}$

$=3 \times 10^{8} \times 510 \times 10^{-9}=153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

તેથી, તરંગના વીજનેટ ભાગ $153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$ છે.

જવાબ

વીજનેટ પ્રમાણ, $E_{0}=120 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

સ્રોતનો આવૃત્તિ, $v=50.0 \mathrm{MHz}=50 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}$

પ્રવાહની ગતિ, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(અ) આધાર પ્રવાહની તણાવની કિંમત નીચે આપવામાં આવે છે:

$B_{0}=\frac{E_{0}}{c}$

$=\frac{120}{3 \times 10^{8}}$

$=4 \times 10^{-7} \mathrm{~T}=400 \mathrm{nT}$

સ્રોતનો કોણી આવૃત્તિ નીચે આપવામાં આવે છે:

$\omega=2 n v=2 \pi \times 50 \times 10^{6}$

$=3.14 \times 10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$

પ્રસારણ સ્થિતિ નીચે આપવામાં આવે છે: $k=\frac{2 \pi \nu}{c}=\frac{\omega}{c}$

$=\frac{3.14 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}}=1.05 \mathrm{rad} / \mathrm{m}$

તરંગનું ત્રાસ નીચે આપવામાં આવે છે:

$\lambda=\frac{c}{v}$

$=\frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}}=6.0 \mathrm{~m}$

(બ) ધરાવો કે તરંગ સકારાત્મક $x$ દિશામાં પ્રસારણ થઈ રહ્યો છે. ત્યારે, વીજનેટ સર્વર સકારાત્મક $y$ દિશામાં હશે અને આધાર પ્રવાહનો સર્વર સકારાત્મક $z$ દિશામાં હશે. એટલું કે ત્રણ સર્વરો એકબીજા સાથે લંબચોરસ છે.

વીજનેટ સર્વરની સૂચના નીચે આપવામાં આવે છે:

$E=E_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{j}$

$\vec{E}=120 \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{j} N / C$

અને, આધાર પ્રવાહનો સર્વર નીચે આપવામાં આવે છે:

$B=B_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{k}$

$\vec{B}=\left(4 \times 10^{-7}\right) \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{k}$ ટેસા

જવાબ

ફોટોનની ઊર્જા નીચે આપવામાં આવે છે: $E=h v=\frac{h c}{\lambda}$

જ્યાં,

$h=$ પ્લેંકનો સ્થિર $=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$c=$ પ્રવાહની ગતિ $=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

$\lambda=$ તરંગનું ત્રાસ

$\therefore E=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\lambda}=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda}$

$=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda \times 1.6 \times 10^{-19}}=\frac{12.375 \times 10^{-7}}{\lambda} \mathrm{eV}$

આપેલ કોષ્ટક ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક સ્પેક્ટ્રમના વિવિધ ભાગો માટે વિવિધ $\lambda$ માટે ફોટોનની ઊર્જાની યાદી કરે છે.

સ્રોતના ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક સ્પેક્ટ્રમના વિવિધ ભાગો માટેની ફોટોન ઊર્જા સ્રોતના સંબંધિત ઊર્જા સ્તરોની વચ્ચેનો અવતરણ દર્શાવે છે.

જવાબ

ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક તરંગનો આવૃત્તિ, $v=$ $$ 2 \times 10^{10} \mathrm{~Hz} $$

વીજનેટ પ્રમાણ, $$ E_0=48 \mathrm{Vm}^{-1} $$

પ્રવાહની ગતિ, $c=$ $$ 3 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $$

(અ) તરંગનું ત્રાસ નીચે આપવામાં આવે છે: $$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \ & = \ & \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{10}}=0.015 \mathrm{~m} \end{aligned} $$ (બ) આધાર પ્રવાહની તણાવ નીચે આપવામાં આવે છે: $$ \begin{aligned} & B_0=\frac{E_0}{c} \ & = \ & \frac{48}{3 \times 10^8}=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{~T} \end{aligned} $$ (ક) વીજનેટ ક્ષેત્રની ઊર્જાની ઘનતા નીચે આપવામાં આવે છે: $$ U_E=\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 $$

અને આધાર પ્રવાહની ઊર્જાની ઘનતા નીચે આપવામાં આવે છે: $$ U_B=\frac{1}{2 \mu_0} B^2 $$

જ્યાં, $\epsilon_0$ $=$ મુક્ત જગ્યાનો પેરિમિટ્ટિવિટી

$\mu_0$ $=$ મુક્ત જગ્યાનો પેરિમિટ્ટિવિટી $$ \mathrm{E}=\mathrm{CB} $$

જ્યાં, $$ c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \quad \quad (….2)$$

સમીકરણ (2) ને સમીકરણ (1) માં મૂકવાથી મેળવીને $$ E=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} B $$

બંને બાજુએ વીંચવાથી મેળવીને $$ \begin{aligned} & E^2=\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} B^2 \ & \epsilon_0 E^2=\frac{B^2}{\mu_0} \ & \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2=\frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \ & => \ & U_E=U_B \end{aligned} $$