પાછલા વર્ષનો NEET પ્રશ્ન - અવકલનસમીકરણો

NEET 2019: અવકલનસમીકરણ $\dfrac{dy}{dx} + y = \cos x$ નું સમાધાન કરો.

ઉકેલ:

આપેલ અવકલનસમીકરણ ફોર્મ $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ ની રીતે છે, જ્યાં $P = 1$ અને $Q = \cos x$. સમાકલનકરણ કારક $\mu(x) = e^{\int P dx} = e^x$ છે.

અવકલનસમીકરણની બધી બાજુએ $\mu(x)$ સાથે ગુણાકાર કરીને, તેમાં મેળ આવે છે

$$ e^x \dfrac{dy}{dx} + e^x y = e^x \cos x $$

અથવા, $\dfrac{d}{dx}(e^x y) = e^x \cos x$

બધી બાજુઓ સમાકલિત કરીને, તેમાં મેળ આવે છે

$$ e^x y = \int e^x \cos x dx + C $$

$$ e^x y = e^x \sin x + C $$

બધી બાજુઓ $e^x$ દ્વારા ભાગ કરીને, તેમાં મેળ આવે છે

$$ y = \sin x + C e^{-x}