अनुपात और समानुपात - सभी सूत्र और शॉर्टकट

सभी अनुपात और समानुपात सूत्रों के लिए त्वरित संदर्भ गाइड त्वरित हल करने की तकनीकों के साथ

📘 मूलभूत परिभाषाएँ

1. अनुपात

परिभाषा:

अनुपात = समान प्रकार की दो मात्राओं की तुलना
लिखा जाता है: a:b या a/b

महत्वपूर्ण:

• दोनों मात्राएँ समान इकाइयों में होनी चाहिए
• a:b को “a से b” के रूप में पढ़ा जाता है
• पहला पद (a) = पूर्वपद
• दूसरा पद (b) = उत्तरपद

2. अनुपात के प्रकार

द्विगुणित अनुपात:

यदि अनुपात = a:b
द्विगुणित अनुपात = a²:b²

त्रिगुणित अनुपात:

यदि अनुपात = a:b
त्रिगुणित अनुपात = a³:b³

अर्ध-द्विगुणित अनुपात:

यदि अनुपात = a:b
अर्ध-द्विगुणित अनुपात = √a:√b

अर्ध-त्रिगुणित अनुपात:

यदि अनुपात = a:b
अर्ध-त्रिगुणित अनुपात = ∛a:∛b

विलोम/परस्पर अनुपात:

यदि अनुपात = a:b
विलोम अनुपात = b:a = 1/a:1/b

3. समानुपात

परिभाषा:

जब दो अनुपात बराबर हों
a:b = c:d या a/b = c/d
पढ़ा जाता है: “a से b जैसे c से d”

गुणधर्म:

a:b = c:d
⟹ ad = bc (क्रॉस गुणा)
⟹ a/c = b/d (अल्टरनेंडो)
⟹ (a+b)/b = (c+d)/d (कॉम्पोनेंडो)
⟹ (a-b)/b = (c-d)/d (डिविडेंडो)

पद:

• a, d = चरम पद
• b, c = मध्य पद
• चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल

🎯 प्रमुख सूत्र

4. चतुर्थ समानुपातिक

यदि a:b = c:d, तो d चतुर्थ समानुपातिक है

d = bc/a

उदाहरण: यदि 3:4 = 6:x

x = (4 × 6)/3 = 8

5. तृतीय समानुपातिक

यदि a:b = b:c, तो c तृतीय समानुपातिक है

c = b²/a

उदाहरण: यदि 4:6 = 6:x

x = 6²/4 = 36/4 = 9

6. मध्यानुपाती

यदि a:b = b:c, तो b मध्यानुपाती है

b = √(ac)

उदाहरण: 4 और 9 के बीच मध्यानुपाती

b = √(4 × 9) = √36 = 6

⚡ कॉम्पोनेन्डो और डिविडेन्डो

7. कॉम्पोनेन्डो नियम

यदि a/b = c/d, तो:

(a + b)/b = (c + d)/d

उपयोग: जब अंश में योग ज्ञात करना हो

8. डिविडेन्डो नियम

यदि a/b = c/d, तो:

(a - b)/b = (c - d)/d

उपयोग: जब अंश में अंतर ज्ञात करना हो

9. कॉम्पोनेन्डो-डिविडेन्डो (सबसे महत्वपूर्ण!)

यदि a/b = c/d, तो:

(a + b)/(a - b) = (c + d)/(c - d)

यह अनुपात समस्याओं के लिए सबसे शक्तिशाली उपकरण है!

उदाहरण: यदि (x+y)/(x-y) = 5/3, तो x/y ज्ञात करें

हल:

कॉम्पोनेन्डो-डिविडेन्डो से: [(x+y) + (x-y)] / [(x+y) - (x-y)] = (5+3)/(5-3) 2x / 2y = 8/2 x/y = 4/1 = 4:1

💡 अनुपात शॉर्टकट

10. अनुपातों की तुलना

a:b की c:d से तुलना करने के लिए:

विधि 1: क्रॉस गुणा

यदि ad > bc, तो a:b > c:d यदि ad < bc, तो a:b < c:d यदि ad = bc, तो a:b = c:d

विधि 2: दशमलव में बदलें

a:b = a/b (दशमलव) c:d = c/d (दशमलव) दशमलव की तुलना करें

उदाहरण: 3:4 और 5:7 की तुलना करें

3/4 = 0.75 5/7 = 0.714 इसलिए, 3:4 > 5:7

11. संयुक्त अनुपात

गुणनफल का अनुपात:

(a:b) को (c:d) के साथ संयुक्त = ac:bd

उदाहरण:

(2:3) को (4:5) के साथ संयुक्त = (2×4):(3×5) = 8:15

तीन अनुपातों के लिए:

(a:b), (c:d), (e:f) = ace:bdf

12. अनुपातों को जोड़ना/घटाना

महत्वपूर्ण: आप अनुपातों को सीधे जोड़/घटा नहीं सकते!

यदि a:b और c:d को मिलाना हो:

चरण 1: दूसरा पद समान बनाएं (b और d का लघुत्तम समापवर्त्य)

a:b = am:bm (जहाँ m = LCM/b) c:d = cn:dn (जहाँ n = LCM/d)

चरण 2: फिर पहले पदों को जोड़ें/घटाएं

उदाहरण: 2:3 और 4:5 को जोड़ें

LCM(3,5) = 15 2:3 = 10:15 4:5 = 12:15 योग = 22:15 (लेकिन यह असामान्य है - ज्यादातर मिश्रण समस्याओं में प्रयुक्त)

🔥 अनुपातों में वितरण

13. दिए गए अनुपात में राशि विभाजित करना

राशि A को अनुपात a:b में विभाजित करें:

पहला भाग = A × a/(a+b) दूसरा भाग = A × b/(a+b)

उदाहरण: 500 को अनुपात 2:3 में विभाजित करें

पहला भाग = 500 × 2/5 = 200 दूसरा भाग = 500 × 3/5 = 300

तीन भागों के लिए (a:b:c):

पहला = A × a/(a+b+c) दूसरा = A × b/(a+b+c) तीसरा = A × c/(a+b+c)

14. हिस्सों से अनुपात ज्ञात करना

यदि A को x मिलता है, B को y मिलता है कुल से:

अनुपात A:B = x:y

महत्तम समापवर्त्य से विभाजित करके सरल करें

उदाहरण: A को 200 मिलता है, B को 300 मिलता है

अनुपात = 200:300 = 2:3 (HCF 100 से विभाजित करके)

🎓 उन्नत तकनीकें

15. जब अनुपात बदलते हैं

प्रारंभिक a:b, बन जाता है c:d:

वास्तविक मान ज्ञात करना:

• माना प्रारंभिक ax और bx हैं
• अंतिम cx और dx बन जाते हैं
• दी गई शर्त का उपयोग कर x ज्ञात करें

उदाहरण: प्रारंभिक अनुपात 3:4, प्रत्येक में 10 जोड़ने पर, अनुपात 5:6 हो जाता है

(3x + 10):(4x + 10) = 5:6 6(3x + 10) = 5(4x + 10) 18x + 60 = 20x + 50 2x = 10 x = 5 प्रारंभिक संख्याएं: 15 और 20

16. अनुपातों का अनुपात

यदि a:b = 3:4 और b:c = 5:6:

a:b:c ज्ञात करें:

विधि: दोनों में b को समान बनाएं

a:b = 3:4 = 15:20 (5 से गुणा)
b:c = 5:6 = 20:24 (4 से गुणा)
इसलिए, a:b:c = 15:20:24

17. व्युत्क्रम अनुपात (अप्रत्यक्ष अनुपात)

यदि a, b के व्युत्क्रमानुपाती है:

a × b = नियतांक (k)
a₁/a₂ = b₂/b₁

उदाहरण: यदि 5 श्रमिक 10 दिनों में पूरा करते हैं, तो 8 श्रमिकों को कितने दिन लगेंगे?

श्रमिक × दिन = नियतांक
5 × 10 = 8 × x
x = 50/8 = 6.25 दिन

💎 विशेष अनुपात

18. गोल्डन अनुपात

φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618

19. याद रखने योग्य सामान्य अनुपात

अनुपात	दशमलव	प्रतिशत
1:1	1.0	50%-50%
1:2	0.5	33%-67%
1:3	0.333	25%-75%
1:4	0.25	20%-80%
2:3	0.667	40%-60%
3:4	0.75	43%-57%
3:5	0.6	38%-62%
4:5	0.8	44%-56%

📊 परीक्षा पैटर्न

पैटर्न 1: आयु अनुपात में

वर्तमान आयु अनुपात a:b है, n वर्षों बाद अनुपात c:d है:

स्थापित करें: (ax + n)/(bx + n) = c/d
x के लिए हल करें

पैटर्न 2: आय-व्यय

आय अनुपात a:b में, व्यय अनुपात c:d में:

यदि बचत समान हो: a × आय - c × व्यय = b × आय - d × व्यय

पैटर्न 3: मिश्रण समस्याएं

दो मात्राओं को a:b अनुपात में मिलाएं:

मात्रा 1 = कुल × a/(a+b)
मात्रा 2 = कुल × b/(a+b)

पैटर्न 4: साझेदारी

निवेश अनुपात = लाभ अनुपात (यदि समय समान हो)

A:B = निवेश_A:निवेश_B

🎯 मानसिक गणना ट्रिक्स

ट्रिक 1: अनुपात में तेज विभाजन

1000 को 3:2 अनुपात में विभाजित करें:

कुल भाग = 3 + 2 = 5
प्रत्येक भाग = 1000/5 = 200
पहला = 3 × 200 = 600
दूसरा = 2 × 200 = 400

ट्रिक 2: प्रतिशत को अनुपात में

30% : 70% = ?

% हटाएँ और सरल करें
30:70 = 3:7

ट्रिक 3: दशमलव को अनुपात में

0.6 : 0.4 = ?

10 से गुणा करें: 6:4 = 3:2

ट्रिक 4: मिश्रित संख्या अनुपात

2½ : 3⅓ = ?

अनुचित भिन्न में बदलें: 5/2 : 10/3
LCM(2,3) = 6 से गुणा करें
(5/2 × 6) : (10/3 × 6) = 15:20 = 3:4

🔍 त्वरित संदर्भ

अनुपात गुणधर्म

✅ a:b = ka:kb (दोनों को समान संख्या से गुणा करें)
✅ a:b = a/k : b/k (दोनों को समान संख्या से विभाजित करें)
✅ a:b:c को HCF से विभाजित करके सरल किया जा सकता है
✅ यदि a:b = c:d, तो a+b:b = c+d:d (कॉम्पोनेंडो)
✅ यदि a:b = c:d, तो a-b:b = c-d:d (डिविडेंडो)

सामान्य गलतियाँ

❌ अनुपातों को सीधे जोड़ना: 2:3 + 1:2 ≠ 3:5
❌ सरलीकरण भूलना: 10:15 को 2:3 होना चाहिए
❌ इकाइयाँ मिलाना: 2kg:500g को 2000g:500g = 4:1 होना चाहिए
✅ अनुपात बनाने से पहले हमेशा इकाइयाँ समान करें
✅ हमेशा HCF से विभाजित करके सरल करें

🔗 संबंधित संसाधन

अभ्यास प्रश्न:

• Ratio & Proportion Practice Questions

सिद्धांत:

• Ratio & Proportion Theory & Concepts

संबंधित विषय:

• Percentage
• Partnership
• Time & Work

अध्ययन संसाधन:

• All-in-One Formula Sheet

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