शॉर्टकट विधियाँ

NEET

एक कर्व और x-अक्ष द्वारा सीमित क्षेत्रफल का ज्ञात करना:
- सूत्र का उपयोग करें, Area = ∫[a,b] f(x) dx, जहाँ a और b समाकलन की सीमाएँ हैं और f(x) कर्व का प्रतिनिधित्व करने वाली फलन है।
- क्षेत्रफल को सरल क्षेत्रों में विभाजित करें और प्रत्येक क्षेत्र का अलग-अलग समाकलन करें।
एक ठोस घूर्णन का आयतन ज्ञात करना:
- सूत्र का उपयोग करें, Volume = ∫[a,b] πf(x)^2 dx, जहाँ a और b समाकलन की सीमाएँ हैं, f(x) घूर्णित करने वाले कर्व का प्रतिनिधित्व करने वाली फलन है, और π फि (pi) का एक स्थिरांक (लगभग 3.14) है।
- वैकल्पिक रूप से, आप आयतन ज्ञात करने के लिए Disk Method या Shell Method का उपयोग कर सकते हैं।
अपूर्ण समाकलनों का मूल्यांकन करना:

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1. एक समतुल्य धातु का अल्पांतरण L और द्रव्यमान M के साथ एक एक छोर पर जोड़ा गया है और ऊपरी ज़मीन पर आधार पर बिना किसी बाधा के घूर्णन कर सकता है। धातु का अल्पांतरण एक समतळ स्थिति से छोड़ा गया है। धातु का अल्पांतरण ऊपरी स्थिति पर पहुँचने से पहले धातु पर कार्य करने वाले टोरक्स की परिमाण क्या है?

हल:

$$At\space position \theta, $$ $$\tau_{net}=-mgsin\theta L/2$$ $$\alpha=-\dfrac{3g}{2L}sin\theta$$

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शॉर्टकट विधियाँ

1. आवृत्ति का आवर्त $$f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

याद रखें:

आवर्त आवृत्ति भूरे आवर्त आवृत्ति के बराबर होती है।
L और C के मानों के वर्गमूल के विपरीत होती है।
L और C के मान ज्यादा होने पर, आवर्त आवृत्ति कम होती है।

2. समय अवधि $$ \tau = RC$$

याद रखें:

समय अवधि केवल प्रतिरोध और धारिता के गुणन है।
प्रतिरोध ज्यादा होने पर, समय अवधि ज्यादा होती है।
धारिता ज्यादा होने पर, समय अवधि ज्यादा होती है।

3. प्रारंभिक धारा $$ I_{initial} = \frac{V_0}{R} $$

याद रखें:

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शॉर्टकट विधियाँ

CBSE बोर्ड परीक्षाएँ:

1. विद्युत द्विपोल और उसके द्विपोल केंद्र को परिभाषित करें।

विद्युत द्विपोल: विद्युत द्विपोल एक बराबर और विपरीत आवेश का एक जोड़ है जो एक छोटी दूरी में अलग है।
द्विपोल केंद्र: द्विपोल केंद्र (\vec{p}) को एक आवेश (q) के पैमाने और अलगाव दूरी (2a) के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। $$ \vec{p} = q (2\vec{a}) = 2q\vec{a}$$ जहाँ (\vec{a}) एक वेक्टर है जो नकारात्मक आवेश से सकारात्मक आवेश की ओर इशारा करता है।

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शॉर्टकट विधियाँ

1. एक 10 किलोग्राम की दर्जन का ब्लॉक क्षैतिज सतह पर ठहरा हुआ है। इस ब्लॉक पर 20 न्यूटन का क्षैतिज बल लागू किया गया है। ब्लॉक और सतह के बीच स्थिर घर्षण का गुणांक 0.5 है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले घर्षण का अधिकतम मान क्या है?

शॉर्टकट विधि:

ब्लॉक पर कार्य करने वाले अधिकतम घर्षण बल द्वारा दिया जाता है:

$$F_{max} = μ_s mg$$

जहाँ,

(F_{max}) घर्षण का अधिकतम बल है
(\mu_s) स्थिर घर्षण का गुणांक है
(m) ब्लॉक की दर्जन है
(g) गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

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शॉर्टकट विधियाँ

संख्यात्मक - 1: एक द्रव्यमान 10 किलोग्राम का एक ब्लॉक समतल सतह पर रखा गया है। ब्लॉक पर 30° की अवलम्बन से ऊपर की ओर 20 न्यूटन की बल लागू की गई है। ब्लॉक और सतह के बीच गतिज घर्षण का गुणांक 0.2 है। ब्लॉक की त्वरण ज्ञात कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

बल F को अपने क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें।
ब्लॉक पर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशा में लगने वाले कुल बल की गणना करें।
ब्लॉक की त्वरण ज्ञात करने के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम (F = ma) का उपयोग करें।

संख्यात्मक - 2: एक द्रव्यमान 1200 किलोग्राम की कार 54 किमी/घंटा की गति से समतल सड़क पर चल रही है। टायर और सड़क के बीच स्थिर घर्षण का गुणांक 0.7 है। कार को स्किड करने के बिना लागू किया जा सकने वाला अधिकतम ब्रेकिंग बल क्या है?

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शॉर्टकट विधियाँ

1. एक 1 किलोग्राम का ब्लॉक एक स्प्रिंग से संलग्न है, जिसकी स्प्रिंग फॉर्म्युला 100 न्यूटन/मीटर है। ब्लॉक को अपनी संतुलन स्थिति से दूर लाया गया है और छोड़ दिया गया है। स्प्रिंग के अधिकतम अवशोषण को ज्ञात करें।

शॉर्टकट विधि:

स्प्रिंग के अधिकतम अवशोषण द्वारा दिया गया है: $$\Delta x=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{(1 \text{ kg})(9.81 \text{ m/s}^2)}{100 \text{ N/m}}}$$ $$\Delta x=0.316 \text{ m}$$

2. एक 2 किलोग्राम का शरीर एक हल्की स्प्रिंग से संलग्न है, जिसकी स्प्रिंग फॉर्म्युला 200 न्यूटन/मीटर है। शरीर को अपनी संतुलन स्थिति से 10 सेंटीमीटर दूर लाया गया है और छोड़ दिया गया है। शरीर की अधिकतम वेग को ज्ञात करें।

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शॉर्टकट विधियाँ

1.
सामान्य बल = ब्लॉक का वजन - सतह की ओर लंबवत लागू बल

$$N = mg - F\sin\theta$$

$$N = (1\text{ kg})(9.81\text{ m/s}^2) - (10\text{ N})(\sin 30\degree)$$

$$N = \boxed{8.54\text{ N}}$$

2.
प्रक्षेपित वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई:

$$h=\frac{v_i^2\sin^2\theta}{2g}$$

जहाँ:

(h) प्राप्त अधिकतम ऊँचाई (मीटर में)
(v_i) प्रारंभिक वेग (मीटर/सेकंड में)
(\theta) प्रक्षेपण कोण (डिग्री में)
(g) गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (9.81 मीटर/सेकंड²)

दिए गए मानों का प्रतिस्थापन करने पर:

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1. एक 10 किलोग्राम का ब्लॉक समतल सuperficie पर ठहरा हुआ है। ब्लॉक पर 20 न्यूटन का समतल बल लागू किया गया है। ब्लॉक और सuperficie के बीच स्थिर घर्षण का गुणांक 0.5 है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले घर्षण का अधिकतम मान क्या है?

शॉर्टकट विधि:

ब्लॉक पर कार्य करने वाले अधिकतम घर्षण द्वारा दिया गया है:

$$F_{max} = μ_s mg$$

जहाँ,

(F_{max}) घर्षण का अधिकतम बल है
(\mu_s) स्थिर घर्षण का गुणांक है
(m) ब्लॉक की द्रव्यमान है
(g) गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

January 1, 0001 read

शॉर्टकट विधियाँ

संख्यात्मक - 1: एक द्रव्यमान 10 किलोग्राम वाला एक ब्लॉक क्षैतिज सतह पर रखा गया है। ब्लॉक पर क्षैतिज से 30° की ऊपरी दिशा में 20 न्यूटन की बल लगाया गया है। ब्लॉक और सतह के बीच गतिज घर्षण का गुणांक 0.2 है। ब्लॉक की त्वरण ज्ञात कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

बल F को इसके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें।
ब्लॉक पर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशा में लगने वाले सक्रिय बलों का अभेद्य बल गणना करें।
ब्लॉक की त्वरण ज्ञात करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम (F = ma) का उपयोग करें।

संख्यात्मक - 2: एक द्रव्यमान 1200 किलोग्राम वाली एक कार क्षैतिज सड़क पर 54 किमी/घंटा की गति से चल रही है। टायर और सड़क के बीच स्थिर घर्षण का गुणांक 0.7 है। कार को स्लाइड करने के बिना लागू किए जा सकने वाले अधिकतम ब्रेकिंग बल क्या है?

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1. एक 1 किलोग्राम की द्रव्यमान वाला एक ब्लॉक एक स्प्रिंग से लटका हुआ है, जिसकी स्प्रिंग फ्रैक्शन 100 N/m है। ब्लॉक को अपनी संतुलन स्थिति से दूर लाया गया है और छोड़ दिया गया है। स्प्रिंग के अधिकतम विस्तार का जानना है।

शॉर्टकट विधि:

स्प्रिंग के अधिकतम विस्तार दिए गए हैं: $$\Delta x=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{(1 \text{ kg})(9.81 \text{ m/s}^2)}{100 \text{ N/m}}}$$ $$\Delta x=0.316 \text{ m}$$

2. एक 2 किलोग्राम की द्रव्यमान वाला एक शरीर एक हल्के स्प्रिंग से जुड़ा है, जिसकी स्प्रिंग फ्रैक्शन 200 N/m है। शरीर को अपनी संतुलन स्थिति से 10 cm दूर लाया गया है और छोड़ दिया गया है। शरीर की अधिकतम गति का जानना है।

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शॉर्टकट विधियाँ

पहला नियम: एक ऑब्जेक्ट को निश्चित स्थिति में है या स्थिर गति से गतिशील है, यह निर्धारित करने के लिए एक संदर्भ बिंदु की पहचान करें। यदि ऑब्जेक्ट की स्थिति संदर्भ बिंदु के सापेक्ष बदल नहीं जाती, तो ऑब्जेक्ट निश्चित स्थिति में है। यदि ऑब्जेक्ट की स्थिति संदर्भ बिंदु के सापेक्ष एक निश्चित दर से बदलती है, तो ऑब्जेक्ट स्थिर गति से गतिशील है।

दूसरा नियम: एक ऑब्जेक्ट की त्वरण की गणना करने के लिए, ऑब्जेक्ट पर कार्यरत पूर्ण शक्ति को उसकी द्रव्यमान से विभाजित करें। त्वरण की दिशा पूर्ण शक्ति की दिशा के समान होगी।

तीसरा नियम: एक ऑब्जेक्ट को स्थिर गति में बनाए रखने के लिए आवश्यक शक्ति की पहचान करने के लिए, ऑब्जेक्ट पर कार्यरत शक्तियों की पहचान करें और पूर्ण शक्ति की गणना करें। ऑब्जेक्ट को गति में बनाए रखने के लिए आवश्यक शक्ति पूर्ण शक्ति के आकार में होगी लेकिन उसके विपरीत दिशा में होगी।

केप्लर के नियम

पहला नियम: एक ऑब्जेक्ट की कक्षा एक अंडाकार है, यह निर्धारित करने के लिए एक अंडाकार के दो फोकस की पहचान करें। यदि फोकसों में से एक सूर्य है, तो ऑब्जेक्ट की कक्षा अंडाकार है।

दूसरा नियम: एक ग्रह को सूर्य से जुड़ी एक रेखा को एक समान क्षेत्रों को एक समान समय में स्क्रीप करने को देखने के लिए, ग्रह को अपनी कक्षा के साथ गति करते हुए और सूर्य को बिंदु करते हुए कल्पना करें। रेखा एक समान समय के अंतराल में समान क्षेत्रों को स्क्रीप करेगी।

तीसरा नियम: एक ग्रह की कक्षीय अवधि और उसकी सूर्य से औसत दूरी के बीच संबंध की गणना करने के लिए, ग्रह की कक्षीय अवधि का वर्ग करें और उसकी सूर्य से औसत दूरी का घन करें। कक्षीय अवधि का वर्ग सूर्य से औसत दूरी के घन के लगभग समानांतर होगा।

केंद्रीय शक्तियाँ

केंद्रीय शक्ति: एक ऑब्जेक्ट को एक वृत्ताकार पथ में गति करते हुए कार्यरत केंद्रीय शक्ति की पहचान करने के लिए, वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर इशारा करने वाली शक्ति की पहचान करें। यह शक्ति केंद्रीय शक्ति है।

केंद्रीय शक्ति की परिमाण: एक ऑब्जेक्ट को एक वृत्ताकार पथ में गति करते हुए कार्यरत केंद्रीय शक्ति की परिमाण की गणना करने के लिए, ऑब्जेक्ट की द्रव्यमान को उसकी गति के वर्ग से गुणा करें और उस परिणाम को वृत्ताकार पथ की त्रिज्या से विभाजित करें।

गुरुत्वाकर्षण

गुरुत्वाकर्षण शक्ति: दो ऑब्जेक्ट्स के बीच गुरुत्वाकर्षण शक्ति की गणना करने के लिए, दोनों ऑब्जेक्ट्स के द्रव्यमान को गुणा करें और उस परिणाम को उनके बीच की दूरी के वर्ग से विभाजित करें। गुरुत्वाकर्षण शक्ति की दिशा दोनों ऑब्जेक्ट्स के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के साथ होगी।

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण: एक ग्रह के पृथ्वी के पास गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण की गणना करने के लिए, ग्रह द्वारा एक ऑब्जेक्ट पर कार्यरत गुरुत्वाकर्षण शक्ति को ऑब्जेक्ट की द्रव्यमान से विभाजित करें।

January 1, 0001 read

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1. आवृत्ति का आवर्त $$f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

2. समय अवधि $$ \tau = RC$$

3. प्रारंभिक धारा $$ I_{initial} = \frac{V_0}{R} $$

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1. विद्युत द्विपोल और उसके द्विपोल केंद्र को परिभाषित करें।

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2. समय अवधि $$ \tau = RC$$

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