शॉर्टकट विधियाँ

NEET

log10(2018!) - log10(2017!) का मान ज्ञात कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

log10(n!) = log10(1×2×3…n) = log10(1) + log10(2) + log10(3) + … + log10(n) के ध्यान में रखें।
इसलिए, log10(2018!) - log10(2017!) = [log10(1) + log10(2) + log10(3) + … + log10(2018)] - [log10(1) + log10(2) + log10(3) + … + log10(2017)] = log10(2018)।

ट्रिक:

ध्यान दें कि पहले 2017 पूर्णांकों का योग फॉर्मूल द्वारा दिया गया है: 1+2+3+4+…+2017= 2017×(2018)/2 = 2035896।
इसलिए, log10(2018!) - log10(2017!) = log10(2018) - log10(2035896) = log10(2018/2035896) = log10(1/1016) = -3।

समीकरण log2(x+2) + log2(x-2) = 3 को हल कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

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शॉर्टकट विधियाँ

CBSE बोर्ड स्तर:

एक लंबी सीधी तार के कारण आनुवंशिक क्षेत्र:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$$

जहाँ:

B आनुवंशिक क्षेत्र है (टेस्ला में)
I धारा है (अम्पियर में)
d तार से दूरी है (मीटर में)
µ0 शून्य की आनुवंशिकता है (( 4\pi \times 10^{-7}) H/m)

वृत्तीय लूप के केंद्र में आनुवंशिक क्षेत्र:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$$

जहाँ:

B आनुवंशिक क्षेत्र है (टेस्ला में)
I धारा है (अम्पियर में)
R लूप की त्रिज्या है (मीटर में)

सोलेनॉइड के अंदर आनुवंशिक क्षेत्र:

$$B = \mu_0 nI$$

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शॉर्टकट विधियाँ

1. पारित्य गति:

डे ब्रॉगली वैश्यव (λ): $$λ = \frac{h}{mv}$$ जहाँ h प्लैंक के स्थिरांक (6.626 x 10^-34 Js) है, m पारित्य की द्रव्यमान है, और v उसकी गति है।

2. फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव:

अधिकतम भौतिक ऊर्जा (KE_max): $$ KE_{max} = hf - \varphi $$ जहाँ h प्लैंक के स्थिरांक है, f प्रकाश की आवृत्ति है, और φ धातु की सतह का कार्य फ़ंक्शन है।

3. क्वांटम यांत्रिकी:

श्रोडिंगर समीकरण: $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$$ जहाँ Ψ तरंग फ़ंक्शन है, ħ घटित प्लैंक के स्थिरांक है, m पारित्य की द्रव्यमान है, V संभावित ऊर्जा फ़ंक्शन है, E कुल ऊर्जा है, और x स्थान है।

4. पदार्थ पदार्थ परिवर्तन:

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शॉर्टकट विधियाँ

#CBSE बोर्ड परीक्षा: इसके अतिरिक्त कोई शॉर्टकट विधि या ट्रिक इस बारे में उल्लेखित नहीं किया गया है कि इनर्शिया के संबंधित संख्यात्मक समस्याओं को हल करने के लिए।

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शॉर्टकट विधियाँ

1. दर्पण सूत्र (गोलाकार दर्पणों के लिए):

वस्तु की दूरी (u): आमतौर पर कुछ सेंटीमीटर से सूर्यास्त तक (∞) के बीच होती है।
छवि की दूरी (v): यदि छवि वास्तविक है तो धनात्मक (धनात्मक) हो सकती है, और यदि छवि काल्पनिक है तो नकारात्मक (नकारात्मक) हो सकती है।
फोकस लंबाई (f): आमतौर पर कुछ सेंटीमीटर से कुछ मीटर तक के बीच होती है।

2. वृद्धि (गोलाकार दर्पणों के लिए):

आख़िरी वृद्धि (m): यदि छवि विस्तृत है तो धनात्मक हो सकती है, और यदि छवि छोटी है तो नकारात्मक हो सकती है।
आख़िरी वृद्धि के मान 1 से कम (छोटी छवि) से 1 से अधिक (विस्तृत छवि) तक हो सकते हैं।

3. दर्पण समीकरण:

वस्तु की दूरी (u), छवि की दूरी (v) और फोकस लंबाई (f) के बीच संबंध 1/u + 1/v = 1/f द्वारा दिया गया है।

4. प्रकाश परावर्तन के नियम:

प्रकाश की आवृत्ति (i) और परावर्तन (r) के कोण आमतौर पर डिग्री में मापे जाते हैं और उनके मान बराबर होते हैं, अर्थात् i = r।

5. किरण ट्रेसिंग आरेख:

गोलाकार दर्पणों के लिए किरण आरेख बनाने में आवृत्ति किरणों को मुख्य धुरी के समानांतर खींचना, केंद्र के चार्ज के माध्यम से गुजरना और फोकस की ओर जाना शामिल है।

6. चिह्न नियम:

दूरियों और ऊंचाइयों के लिए मानक चिह्न नियम उपयोग किए जाते हैं:
वास्तविक वस्तुओं के लिए दूरियाँ धनात्मक होती हैं और काल्पनिक वस्तुओं के लिए नकारात्मक होती हैं।
छवियों की ऊंचाइयाँ मुख्य धुरी से ऊपर की छवियों के लिए धनात्मक होती हैं और मुख्य धुरी से नीचे की छवियों के लिए नकारात्मक होती हैं।

7. फोकस लंबाई मापन:

गोलाकार दर्पण की फोकस लंबाई वस्तु-छवि दूरी संबंध या पतली दर्पण समीकरण का उपयोग करके प्रायोगिक रूप से निर्धारित की जा सकती है।

8. छवियों के प्रकार:

वास्तविक छवियाँ प्रकाश के प्रतिबिंबित किरणों के वास्तविक संघटन द्वारा बनाई जाती हैं, जबकि काल्पनिक छवियाँ प्रकाश के प्रतिबिंबित किरणों के विस्तार के कारण दर्पण के पीछे बनती लगती हैं।

टिप्पणी:

इन संख्यात्मक मानों को अनुमानित माना जाता है और विशिष्ट समस्या या परिस्थिति के आधार पर उनके मान भिन्न हो सकते हैं।

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शॉर्टकट विधियाँ

डबल-स्लिट अवदान्यता

फ्रिंज चौड़ाई: $$\beta = \frac{\lambda D}{d},$$ जहाँ (\beta) है फ्रिंज चौड़ाई, (\lambda) है प्रकाश की लंबाई, (D) है स्लिट्स से स्क्रीन तक की दूरी, और (d) है स्लिट्स के बीच की दूरी।
उज्ज्वल फ्रिंजों की दूरी: $$\Delta x = \frac{\lambda D}{d}$$
ताकत वितरण: $$I = I_0 \cos^2 \left(\frac{\pi d}{\lambda D}x\right),$$ जहाँ (I_0) है अधिकतम ताकत और (x) है केंद्रीय फ्रिंज से की दूरी।

माइकल्सन इंटरफेरमीटर

प्रकाश की लंबाई $$\lambda = \frac{2D}{N},$$ जहाँ (D) है पथ अंतर और (N) है देखे गए फ्रिंजों की संख्या।
सहसंगतता लंबाई $$l_c = \frac{\lambda}{2(\Delta \lambda)},$$ जहाँ (l_c) है सहसंगतता लंबाई और (\Delta \lambda) है प्रकाश स्रोत की वास्तविक वैश्विक बैंडविड्थ।

यंग का डबल-स्लिट प्रयोग

फ्रिंज अंतराल $$x = \frac{\lambda D}{d},$$ जहाँ (x) है फ्रिंज अंतराल, (\lambda) है प्रकाश की लंबाई, (D) है स्क्रीन तक की दूरी, और (d) है स्लिट्स के बीच की दूरी।
फ्रिंज चौड़ाई $$\beta = \frac{2\lambda D}{d},$$ जहाँ (\beta) है फ्रिंज चौड़ाई।
कुल फ्रिंजों की संख्या: $$N = \frac{D}{\beta}=\frac{d}{2\lambda}$$

सहसंगतता और असहसंगतता

सहसंगत स्रोत: एक ही आवृत्ति, स्थिर चरण अंतर और निश्चित चरण संबंध के साथ लहरें छोड़ते हैं।
असहसंगत स्रोत: यादृच्छिक चरण अंतर और कोई निश्चित चरण संबंध के साथ लहरें छोड़ते हैं।

पतली पट्टी अवदान्यता

निर्माणात्मक अवदान्यता की स्थिति: $$2tn = m\lambda, \quad m=0, 1, 2, 3,…$$
विनाशकारी अवदान्यता की स्थिति: $$2tn = (m+\frac{1}{2})\lambda, \quad m=0, 1, 2, 3,…$$ जहाँ (t) है पट्टी की चौड़ाई, (n) है पट्टी का प्रकाश अपवर्तन अनुपात, (\lambda) है प्रकाश की लंबाई, और (m) है अवदान्यता क्रम।

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1. दर्पण सूत्र (गोलाकार दर्पणों के लिए):

वस्तु की दूरी (u): आमतौर पर कुछ सेंटीमीटर से सूर्यास्त तक (∞) के बीच होती है।
छवि की दूरी (v): यदि छवि वास्तविक है तो धनात्मक (धनात्मक) हो सकती है, और यदि छवि काल्पनिक है तो नकारात्मक (नकारात्मक) हो सकती है।
फोकस लंबाई (f): आमतौर पर कुछ सेंटीमीटर से कुछ मीटर तक के बीच होती है।

2. वृद्धि (गोलाकार दर्पणों के लिए):

आख़िरी वृद्धि (m): यदि छवि विस्तृत है तो धनात्मक हो सकती है, और यदि छवि छोटी है तो नकारात्मक हो सकती है।
आख़िरी वृद्धि के मान 1 से कम (छोटी छवि) से 1 से अधिक (विस्तृत छवि) तक हो सकते हैं।

3. दर्पण समीकरण:

वस्तु की दूरी (u), छवि की दूरी (v) और फोकस लंबाई (f) के बीच संबंध 1/u + 1/v = 1/f द्वारा दिया गया है।

4. प्रकाश परावर्तन के नियम:

प्रकाश की आवृत्ति (i) और परावर्तन (r) के कोण आमतौर पर डिग्री में मापे जाते हैं और उनके मान बराबर होते हैं, अर्थात् i = r।

5. किरण ट्रेसिंग आरेख:

गोलाकार दर्पणों के लिए किरण आरेख बनाने में आवृत्ति किरणों को मुख्य धुरी के समानांतर खींचना, केंद्र के चार्ज के माध्यम से गुजरना और फोकस की ओर जाना शामिल है।

6. चिह्न नियम:

दूरियों और ऊंचाइयों के लिए मानक चिह्न नियम उपयोग किए जाते हैं:
वास्तविक वस्तुओं के लिए दूरियाँ धनात्मक होती हैं और काल्पनिक वस्तुओं के लिए नकारात्मक होती हैं।
छवियों की ऊंचाइयाँ मुख्य धुरी से ऊपर की छवियों के लिए धनात्मक होती हैं और मुख्य धुरी से नीचे की छवियों के लिए नकारात्मक होती हैं।

7. फोकस लंबाई मापन:

गोलाकार दर्पण की फोकस लंबाई वस्तु-छवि दूरी संबंध या पतली दर्पण समीकरण का उपयोग करके प्रायोगिक रूप से निर्धारित की जा सकती है।

8. छवियों के प्रकार:

वास्तविक छवियाँ प्रकाश के प्रतिबिंबित किरणों के वास्तविक संघटन द्वारा बनाई जाती हैं, जबकि काल्पनिक छवियाँ प्रकाश के प्रतिबिंबित किरणों के विस्तार के कारण दर्पण के पीछे बनती लगती हैं।

टिप्पणी:

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एक स्थान में रेखीय गति (1D गति)

गति: गति की गणना करने के लिए दूरी को गणना की गई समय से विभाजित किया जा सकता है। जब दूरी किलोमीटर में दी गई हो और समय घंटों में दिया गया हो, तो गति की गणना करने के लिए दूरी को 1000/3600 गुणा करना आसान होता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई कार 2 घंटे में 120 किलोमीटर की दूरी तय करती है, तो उसकी गति (120 x 1000/3600) = 33.33 मीटर/सेकंड होगी।

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शॉर्टकट विधियाँ

काम किया गया:

$$W= F \times d$$ जहाँ

W = किया गया काम (जॉल में)
F = लगाई गई बल (न्यूटन में)
d = अस्थिरता (मीटर में)

इस मामले में, बल 5 न्यूटन और अस्थिरता 20 मीटर है, इसलिए किया गया काम है: $$W= 5 \text{ N} \times 20 \text{ m} = 100 \text{ J}$$ इस प्रकार, कण पर किया गया काम 100 जॉल है।

क्षमता ऊर्जा (स्प्रिंग):

$$PE = (1/2) kx^2$$ जहाँ,

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शॉर्टकट विधियाँ

1 माइक्रोकूलम के एक बिंदु आवेश के लिए, आवेश से 1 मीटर दूर के स्थान पर वृत्तीय क्षेत्र की परिमाण क्या है?

शॉर्टकट: सूत्र $$E=\frac{kQ}{r^2}$$ का उपयोग करें

गणना: $$E=\frac{(9\times10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2)(1\times10^{-6}\text{ C})}{(1\text{ m})^2}=9\times10^3\text{ N/C}$$

अंतिम उत्तर: $$9\times10^3\ N/C$$

2 माइक्रोकूलम का आवेश मूल बिंदु पर रखा गया है। सकारात्मक z-अक्ष के खिलाफ 3 मीटर की दूरी पर वृत्तीय क्षेत्र क्या है?

शॉर्टकट: सूत्र $$E=kq/r^2$$ का उपयोग करें, और z-दिशा में इकाई संपर्क $$\hat{z}$$

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CBSE कक्षा 11 और कक्षा 12 की परीक्षाएँ

x^2 का गुणांक = 3 x का गुणांक = -2 अचर पद = 5 विचित्रता D>0 (चूँकि मूल वास्तविक हैं)

द्विघात समीकरण है $$3x^2-2x+5=0$$

हिट-एंड-ट्रायल विधि के अनुसार, a, b, और c के मान निर्धारित किए जाते हैं $$a=3, \ b=-2, \ and \ c=5$$ इसलिए, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं $$3x^2-3x+x+5=0$$ $$3x(x-1)+(x+5)=0$$ पहले दो पदों से 3x उभयनिष्ठ लेकर, और अंतिम दो पदों से 1 उभयनिष्ठ लेकर, हमें प्राप्त होता है $$3x(x-1)+1(x+5)=0$$ $$(x+5)(3x-1)=0$$ $$\therefore x=\frac{-5}{3}, and \ \frac{1}{3}$$ इसलिए, मूल -5/3 और 1/3 हैं जो वास्तविक और भिन्न हैं।

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NEET स्तर:

लेंस सूत्र: $$\frac{1}{u}+\frac{1}{v} = \frac{n_2 - n_1}{R}$$ जहाँ,
u = गोलाकार सतह से वस्तु की दूरी
v = गोलाकार सतह से छवि की दूरी
R = गोलाकार सतह की वक्रता त्रिज्या
n1 = तरल जहाँ वस्तु रखी गई है का प्रकाश अपवर्तनांक
n2 = तरल जहाँ छवि बनती है का प्रकाश अपवर्तनांक
गहरी गोलाकार सतह की फोकसल दूरी: $$f = \frac{R}{2}$$ जहाँ,
f = गोलाकार सतह की फोकसल दूरी

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