ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಎಂಬುದು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ತನ್ನ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಾಗ, ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಸುತ್ತ ಸ್ಥಿರ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆ#

ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆ (SHM) ಎಂಬುದು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

ಇಲ್ಲಿ:

• $m$ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ
• $k$ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ
• $x$ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರ

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

ಇಲ್ಲಿ:

• $A$ ಚಲನೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್)
• $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ
• $\phi$ ಪ್ರಾಸ ಸ್ಥಿರಾಂಕ

ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು#

• ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ, $T$, ಆಸಿಲೇಟರ್ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಆವರ್ತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

• ಆಂದೋಲನದ ಆವರ್ತನ, $f$, ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಆವರ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$f = \frac{\omega}{2\pi}$$

• ಆಂದೋಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, $A$, ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳಾಂತರ.

• ಪ್ರಾಸ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, $\phi$, ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಎಂಬುದು ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಆಂದೋಲಿಸುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆವರ್ತನವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕಾಠಿಣ್ಯದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗಳು, ಲೋಲಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು#

• ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ-ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ: ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ-ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಾಗ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಆಂದೋಲಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆಂದೋಲನದ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

ಇಲ್ಲಿ $k$ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು $m$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ.

• ಲೋಲಕ: ಲೋಲಕವು ಒಂದು ತಿರುಗಣೆಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇತಾಡುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಲೋಲಕವು ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಾಗ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವು ಲೋಲಕವು ಆಂದೋಲಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆಂದೋಲನದ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

ಇಲ್ಲಿ $g$ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಮತ್ತು $L$ ಲೋಲಕದ ಉದ್ದ.

• ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್: ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಆಗಿ ಮಾದರಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದು ಕೆಪಾಸಿಟರ್ ಮತ್ತು ಇಂಡಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ. ಕೆಪಾಸಿಟರ್ ಚಾರ್ಜ್ ಆಗಿದ್ದು ಮತ್ತು ಇಂಡಕ್ಟರ್ ಡಿಸ್ಚಾರ್ಜ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಕೆಪಾಸಿಟರ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಶಕ್ತಿಯು ಇಂಡಕ್ಟರ್ಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಇದು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರವಾಹವು ಆಂದೋಲಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆಂದೋಲನದ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}$$

ಇಲ್ಲಿ $L$ ಇಂಡಕ್ಟರ್ನ ಇಂಡಕ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು $C$ ಕೆಪಾಸಿಟರ್ನ ಕೆಪಾಸಿಟೆನ್ಸ್.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

• ಯಾಂತ್ರಿಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್: ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗಳು, ಶಾಕ್ ಅಬ್ಸಾರ್ಬರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಲೋಲಕಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ವಿದ್ಯುತ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್: ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು, ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟೆನಾಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಶ್ರವಣಶಾಸ್ತ್ರ: ಧ್ವನಿ ತರಂಗಗಳ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ: ಬೆಳಕಿನ ತರಂಗಗಳ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ವಿಧಗಳು#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಎಂಬುದು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಸುತ್ತ ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

1. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ-ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:#

• ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ-ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಾಗ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.
• ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ-ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$ ಇಲ್ಲಿ $m$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, $k$ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ಮತ್ತು $x$ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರ.

2. ಲೋಲಕ:#

• ಲೋಲಕವು ದಾರ ಅಥವಾ ಕಡ್ಡಿಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇತಾಡುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಾಗ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವು ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.
• ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\sin\theta$$ ಇಲ್ಲಿ $\theta$ ಲಂಬದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಕೋನ, $g$ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ, ಮತ್ತು $L$ ಲೋಲಕದ ಉದ್ದ.

3. LC ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್:#

• LC ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾದ ಇಂಡಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಕೆಪಾಸಿಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರವಾಹವು ಬದಲಾದಾಗ, ಇಂಡಕ್ಟರ್ ಪ್ರವಾಹದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವ ವಿದ್ಯುತ್ಚಾಲಕ ಬಲವನ್ನು (EMF) ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಪಾಸಿಟರ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗೆ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
• LC ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $$L\frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C}i = 0$$ ಇಲ್ಲಿ $L$ ಇಂಡಕ್ಟೆನ್ಸ್, $C$ ಕೆಪಾಸಿಟೆನ್ಸ್, ಮತ್ತು $i$ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರವಾಹ.

4. ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆ (SHM):#

• ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯು ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• SHM ಯ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $$x = A\cos(\omega t + \phi)$$ ಇಲ್ಲಿ $A$ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್), $\omega$ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ, $t$ ಸಮಯ, ಮತ್ತು $\phi$ ಪ್ರಾಸ ಕೋನ.

5. ಅವಮಂದಿತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್:#

• ಅವಮಂದಿತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಎಂಬುದು ಆಂದೋಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಅವಮಂದನ ಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅವಮಂದನ ಬಲವು ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
• ಅವಮಂದಿತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$$ ಇಲ್ಲಿ $c$ ಅವಮಂದನ ಗುಣಾಂಕ.

6. ಪ್ರಚೋದಿತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್:#

• ಪ್ರಚೋದಿತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಎಂಬುದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದು ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಬಾಹ್ಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಒಳಪಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಬಲವು ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಅನುರಣನಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನಗಳ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.
• ಪ್ರಚೋದಿತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega t)$$ ಇಲ್ಲಿ $F_0$ ಬಾಹ್ಯ ಬಲದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು $\omega$ ಬಾಹ್ಯ ಬಲದ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ.

ಇವು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧವು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆ#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಅದರ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಮಾಣು ಮತ್ತು ಆಣ್ವಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಘನಸ್ಥಿತಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಕಾಲ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣ#

ಏಕ-ಪರಿಮಾಣದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಾಗಿ ಕಾಲ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x) = E\psi(x)$$

ಇಲ್ಲಿ:

• $\psi(x)$ ಕಣದ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆ
• $m$ ಕಣದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ
• $\omega$ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ
• $E$ ಕಣದ ಶಕ್ತಿ

ಶಕ್ತಿ ಮಟ್ಟಗಳು#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಶಕ್ತಿ ಮಟ್ಟಗಳು ಕ್ವಾಂಟೀಕರಣಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$

ಇಲ್ಲಿ $n$ ರಾಜ್ಯದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಗಳು#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)$$

ಇಲ್ಲಿ $H_n(x)$ $n$-ನೇ ಹರ್ಮಿಟ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹಲವಾರು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

• ಅವು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸಮ $n$ ಗೆ ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ $n$ ಗೆ ಬೆಸ.
• ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಅಂದರೆ, $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(x)|^2dx = 1$.
• ಅವು ಆಧಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಸಾರಾಂಶದಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯು ಏಕ-ಪರಿಮಾಣದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಾಗಿ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ವಾಂಟೀಕರಣಗೊಂಡ ಶಕ್ತಿ ಮಟ್ಟಗಳು ಮತ್ತು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಮಾದರಿಯು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸಾಧನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಶೂನ್ಯ-ಬಿಂದು ಶಕ್ತಿ#

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯ-ಬಿಂದು ಶಕ್ತಿ (ZPE) ಎಂಬುದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಧ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಉಷ್ಣ ಚಲನೆಯು ನಿಂತಾಗ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಾಗಿ, ZPE ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$E_{ZPE} = \frac{1}{2}\hbar\omega$$

ಇಲ್ಲಿ:

• $E_{ZPE}$ ಶೂನ್ಯ-ಬಿಂದು ಶಕ್ತಿ
• $\hbar$ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ
• $\omega$ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ

ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ZPE ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡಬಹುದು:

1. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$E = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2$$

ಇಲ್ಲಿ:

• $m$ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ
• $\omega$ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ
• $x$ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಸ್ಥಳಾಂತರ
• $\dot{x}$ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ವೇಗ

2. ಸಂಪೂರ್ಣ ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಉಷ್ಣ ಚಲನೆಯು ನಿಂತಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $\dot{x} = 0$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$E = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

3. ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಧ್ಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$\psi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}$$

4. ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$E_0 = \int_{-\infty}^{\infty}\psi_0^*(x)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\right)\psi_0(x)dx$$

5. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

$$E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ZPE $\frac{1}{2}\hbar\omega$ ಆಗಿದೆ.

ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ#

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ZPE ಅನ್ನು ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ನಿರ್ವಾತ ಸ್ಥಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಶಕ್ತಿಯು ಅನಿಶ್ಚಿತತಾ ತತ್ತ್ವದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಕಣದ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗ ಎರಡನ್ನೂ ಪರಿಪೂರ್ಣ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನಿಶ್ಚಿತತಾ ತತ್ತ್ವವು ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ. ಬದಲಾಗಿ, ಅದು ನಿರಂತರ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಉಷ್ಣ ಶಕ್ತಿಯು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಈ ಚಲನೆಯು ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ZPE ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ZPE ಗೆ ಹಲವಾರು ಮುಖ್ಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಕ್ಯಾಸಿಮಿರ್ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆವೇಶರಹಿತ ಲೋಹದ ಪ್ಲೇಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಆಕರ್ಷಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಸಿಮಿರ್ ಪರಿಣಾಮವು ಪ್ಲೇಟ್ಗಳ ನಡುವೆ ವರ್ಚುವಲ್ ಫೋಟಾನ್ಗಳ ವಿನಿಮಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಾತದ ZPE ಯಿಂದ ಸೃಷ್ಟಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾಶಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ZPE ಪರಮಾಣುಗಳಿಂದ ವಿಕಿರಣದ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಹೊರಸೂಸುವಿಕೆಗೂ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಉತ್ತೇಜಿತ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪರಮಾಣು ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕ್ಷಯಗೊಂಡಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಬೆಳಕಿನ ಫೋಟಾನ್ ಅನ್ನು ಹೊರಸೂಸುತ್ತದೆ. ಫೋಟಾನ್ನ ಶಕ್ತಿಯು ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜೊತೆಗೆ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ZPE ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮತ್ತು ಅನಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್

• ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಒಂದು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಸುತ್ತ ಆಂದೋಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆವರ್ತನವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕಾಠಿಣ್ಯದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
• ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
• ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಚಲನೆಯು ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಸಮಯದ ಸೈನುಸಾಯಿಡಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅನಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್

• ಅನಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಒಂದು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಸುತ್ತ ಆಂದೋಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆವರ್ತನವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕಾಠಿಣ್ಯದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ.
• ಅನಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇ