ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ#

ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ എന്നത് അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് സ്ഥാനചലനം ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, ആ സ്ഥാനചലനത്തിന് ആനുപാതികമായ ഒരു പുനഃസ്ഥാപക ബലം അനുഭവിക്കുന്ന ഒരു സംവിധാനമാണ്. ഈ ബലം സംവിധാനത്തെ അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയ്ക്ക് ചുറ്റും ഒരു സ്ഥിരമായ ആവൃത്തിയിൽ ആന്ദോളനം ചെയ്യാൻ കാരണമാകുന്നു.

ലഘു ആന്ദോളന ചലനം#

ലഘു ആന്ദോളന ചലനം (SHM) എന്നത് ആവർത്തന ചലനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, അതിൽ പുനഃസ്ഥാപക ബലം സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനചലനത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമായിരിക്കും. ഒരു ലഘു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിനുള്ള ചലന സമവാക്യം ഇതാണ്:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

ഇവിടെ:

• $m$ എന്നത് ഓസിലേറ്ററിന്റെ പിണ്ഡമാണ്
• $k$ എന്നത് സ്പ്രിംഗ് സ്ഥിരാങ്കമാണ്
• $x$ എന്നത് സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനചലനമാണ്

ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

ഇവിടെ:

• $A$ എന്നത് ചലനത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയാണ്
• $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ എന്നത് കോണീയ ആവൃത്തിയാണ്
• $\phi$ എന്നത് ഫേസ് സ്ഥിരാങ്കമാണ്

ലഘു ആന്ദോളന ചലനത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ#

• ആന്ദോളനത്തിന്റെ കാലാവധി, $T$, ഓസിലേറ്റർ ഒരു പൂർണ്ണ ചക്രം പൂർത്തിയാക്കാൻ എടുക്കുന്ന സമയമാണ്. ഇത് നൽകുന്നത്:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

• ആന്ദോളനത്തിന്റെ ആവൃത്തി, $f$, സെക്കൻഡിൽ ഉണ്ടാകുന്ന ചക്രങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. ഇത് നൽകുന്നത്:

$$f = \frac{\omega}{2\pi}$$

• ആന്ദോളനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി, $A$, സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള പരമാവധി സ്ഥാനചലനമാണ്.

• ഫേസ് സ്ഥിരാങ്കം, $\phi$, ഓസിലേറ്ററിന്റെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ ഉദാഹരണങ്ങൾ#

ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ എന്നത് ഒരു സന്തുലിത ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ഒരു സംവിധാനമാണ്, അതിന്റെ ആവൃത്തി സംവിധാനത്തിന്റെ കാഠിന്യത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് ആനുപാതികമായിരിക്കും. സ്പ്രിംഗുകൾ, ലോലകങ്ങൾ, വൈദ്യുത സർക്യൂട്ടുകൾ തുടങ്ങിയ നിരവധി ഭൗതിക സംവിധാനങ്ങളിൽ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ കാണപ്പെടുന്നു.

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ#

• പിണ്ഡ-സ്പ്രിംഗ് സംവിധാനം: ഒരു പിണ്ഡ-സ്പ്രിംഗ് സംവിധാനത്തിൽ ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു പിണ്ഡം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. പിണ്ഡം അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് സ്ഥാനചലനം ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, സ്പ്രിംഗ് പിണ്ഡത്തെ ആന്ദോളനം ചെയ്യാൻ കാരണമാകുന്ന ഒരു പുനഃസ്ഥാപക ബലം പ്രയോഗിക്കുന്നു. ആന്ദോളനത്തിന്റെ ആവൃത്തി നൽകുന്നത്:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

ഇവിടെ $k$ എന്നത് സ്പ്രിംഗ് സ്ഥിരാങ്കവും $m$ എന്നത് പിണ്ഡവുമാണ്.

• ലോലകം: ഒരു ലോലകത്തിൽ ഒരു പിവറ്റ് പോയിന്റിൽ നിന്ന് തൂക്കിയിട്ടിരിക്കുന്ന ഒരു പിണ്ഡം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ലോലകം അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് സ്ഥാനചലനം ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം ലോലകത്തെ ആന്ദോളനം ചെയ്യാൻ കാരണമാകുന്ന ഒരു പുനഃസ്ഥാപക ബലം പ്രയോഗിക്കുന്നു. ആന്ദോളനത്തിന്റെ ആവൃത്തി നൽകുന്നത്:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

ഇവിടെ $g$ എന്നത് ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണവും $L$ എന്നത് ലോലകത്തിന്റെ നീളവുമാണ്.

• വൈദ്യുത സർക്യൂട്ട്: ഒരു കപ്പാസിറ്ററും ഒരു ഇൻഡക്ടറും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു വൈദ്യുത സർക്യൂട്ടിനെ ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററായി മാതൃകയാക്കാം. കപ്പാസിറ്റർ ചാർജ് ചെയ്യപ്പെടുകയും ഇൻഡക്ടർ ഡിസ്ചാർജ് ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, കപ്പാസിറ്ററിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കുന്ന ഊർജ്ജം ഇൻഡക്ടറിലേക്ക് മാറ്റപ്പെടുന്നു, തിരിച്ചും. ഇത് സർക്യൂട്ടിലെ കറന്റ് ആന്ദോളനം ചെയ്യാൻ കാരണമാകുന്നു. ആന്ദോളനത്തിന്റെ ആവൃത്തി നൽകുന്നത്:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}$$

ഇവിടെ $L$ എന്നത് ഇൻഡക്ടറിന്റെ ഇൻഡക്റ്റൻസും $C$ എന്നത് കപ്പാസിറ്ററിന്റെ കപ്പാസിറ്റൻസും ആണ്.

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകളുടെ പ്രയോഗങ്ങൾ#

ശാസ്ത്രത്തിലും എഞ്ചിനീയറിംഗിലും ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾക്ക് നിരവധി പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

• യാന്ത്രിക എഞ്ചിനീയറിംഗ്: സ്പ്രിംഗുകൾ, ഷോക്ക് അബ്സോർബറുകൾ, ലോലകങ്ങൾ തുടങ്ങിയ നിരവധി യാന്ത്രിക ഉപകരണങ്ങളിൽ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
• വൈദ്യുത എഞ്ചിനീയറിംഗ്: ഫിൽട്ടറുകൾ, ഓസിലേറ്ററുകൾ, ആന്റിനകൾ തുടങ്ങിയ നിരവധി വൈദ്യുത സർക്യൂട്ടുകളിൽ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
• ശബ്ദശാസ്ത്രം: ശബ്ദ തരംഗങ്ങളുടെ കമ്പനങ്ങൾ പഠിക്കാൻ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
• പ്രകാശികം: പ്രകാശ തരംഗങ്ങളുടെ കമ്പനങ്ങൾ പഠിക്കാൻ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരം#

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും എഞ്ചിനീയറിംഗിലും ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമാണ്. അവ നിരവധി ഭൗതിക സംവിധാനങ്ങളിൽ കാണപ്പെടുകയും വിശാലമായ പ്രയോഗങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ തരങ്ങൾ#

ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ എന്നത് ഒരു സന്തുലിതാവസ്ഥയ്ക്ക് ചുറ്റും ആവർത്തന ചലനം നടത്തുന്ന ഒരു സംവിധാനമാണ്. പുനഃസ്ഥാപക ബലം സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനചലനത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമായിരിക്കും. വ്യത്യസ്ത തരം ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ ഉണ്ട്, ഓരോന്നിനും അതിന്റേതായ സവിശേഷതകളുണ്ട്. ഇവിടെ ചില സാധാരണ തരം ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ ഉണ്ട്:

1. പിണ്ഡ-സ്പ്രിംഗ് സംവിധാനം:#

• ഒരു പിണ്ഡ-സ്പ്രിംഗ് സംവിധാനത്തിൽ ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു പിണ്ഡം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. പിണ്ഡം അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് സ്ഥാനചലനം ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, സ്പ്രിംഗ് സ്ഥാനചലനത്തിന് ആനുപാതികമായ ഒരു പുനഃസ്ഥാപക ബലം പ്രയോഗിക്കുന്നു.
• ഒരു പിണ്ഡ-സ്പ്രിംഗ് സംവിധാനത്തിനുള്ള ചലന സമവാക്യം നൽകുന്നത്: $$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$ ഇവിടെ $m$ എന്നത് പിണ്ഡം, $k$ എന്നത് സ്പ്രിംഗ് സ്ഥിരാങ്കം, $x$ എന്നത് സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനചലനം എന്നിവയാണ്.

2. ലോലകം:#

• ഒരു ലോലകത്തിൽ ഒരു സ്ട്രിംഗ് അല്ലെങ്കിൽ ദണ്ഡ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് തൂക്കിയിട്ടിരിക്കുന്ന ഒരു പിണ്ഡം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. പിണ്ഡം അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് സ്ഥാനചലനം ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം സ്ഥാനചലനത്തിന് ആനുപാതികമായ ഒരു പുനഃസ്ഥാപക ബലം പ്രയോഗിക്കുന്നു.
• ഒരു ലോലകത്തിനുള്ള ചലന സമവാക്യം നൽകുന്നത്: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\sin\theta$$ ഇവിടെ $\theta$ എന്നത് ലംബത്തിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ കോണാണ്, $g$ എന്നത് ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണവും $L$ എന്നത് ലോലകത്തിന്റെ നീളവുമാണ്.

3. എൽസി സർക്യൂട്ട്:#

• ഒരു എൽസി സർക്യൂട്ടിൽ ഒരു ഇൻഡക്ടറും ഒരു കപ്പാസിറ്ററും ശ്രേണിയിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. സർക്യൂട്ടിലെ കറന്റ് മാറ്റപ്പെടുമ്പോൾ, ഇൻഡക്ടർ കറന്റിലെ മാറ്റത്തെ എതിർക്കുന്ന ഒരു ഇലക്ട്രോമോട്ടീവ് ഫോഴ്സ് (EMF) ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു. കപ്പാസിറ്റർ വൈദ്യുതോർജ്ജം സംഭരിച്ച് സർക്യൂട്ടിലേക്ക് തിരികെ വിടുന്നു.
• ഒരു എൽസി സർക്യൂട്ടിനുള്ള ചലന സമവാക്യം നൽകുന്നത്: $$L\frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C}i = 0$$ ഇവിടെ $L$ എന്നത് ഇൻഡക്റ്റൻസ്, $C$ എന്നത് കപ്പാസിറ്റൻസ്, $i$ എന്നത് സർക്യൂട്ടിലെ കറന്റ് എന്നിവയാണ്.

4. ലഘു ആന്ദോളന ചലനം (SHM):#

• ലഘു ആന്ദോളന ചലനം എന്നത് ഹാർമോണിക് ചലനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, അതിൽ പുനഃസ്ഥാപക ബലം സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനചലനത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമായിരിക്കുകയും ചലനം ആവർത്തനമായിരിക്കുകയും ചെയ്യും.
• എസ്എച്ച്എമ്മിനുള്ള ചലന സമവാക്യം നൽകുന്നത്: $$x = A\cos(\omega t + \phi)$$ ഇവിടെ $A$ എന്നത് വ്യാപ്തി, $\omega$ എന്നത് കോണീയ ആവൃത്തി, $t$ എന്നത് സമയം, $\phi$ എന്നത് ഫേസ് കോൺ എന്നിവയാണ്.

5. ഡാമ്പ്ഡ് ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ:#

• ഒരു ഡാമ്പ്ഡ് ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ എന്നത് ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗത്തിന് ആനുപാതികമായ ഒരു ഡാമ്പിംഗ് ബലമുള്ള ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററാണ്. ഡാമ്പിംഗ് ബലം ചലനത്തെ എതിർക്കുകയും കാലക്രമേണ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
• ഒരു ഡാമ്പ്ഡ് ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിനുള്ള ചലന സമവാക്യം നൽകുന്നത്: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$$ ഇവിടെ $c$ എന്നത് ഡാമ്പിംഗ് ഗുണകമാണ്.

6. ഡ്രൈവൻ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ:#

• ഒരു ഡ്രൈവൻ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ എന്നത് സമയത്തിനനുസരിച്ച് ആവർത്തനമായി വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന ഒരു ബാഹ്യ ബലത്തിന് വിധേയമാകുന്ന ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററാണ്. ബാഹ്യ ബലം ഓസിലേറ്ററിനെ അതിന്റെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തിയിൽ അനുനാദം ചെയ്യാൻ കാരണമാകുകയും ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വലിയ വ്യാപ്തിക്ക് കാരണമാകുകയും ചെയ്യും.
• ഒരു ഡ്രൈവൻ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിനുള്ള ചലന സമവാക്യം നൽകുന്നത്: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega t)$$ ഇവിടെ $F_0$ എന്നത് ബാഹ്യ ബലത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയും $\omega$ എന്നത് ബാഹ്യ ബലത്തിന്റെ കോണീയ ആവൃത്തിയുമാണ്.

ഇവ ചില സാധാരണ തരം ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകളാണ്. ഓരോ തരത്തിനും അതിന്റേതായ സവിശേഷതകളും ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും എഞ്ചിനീയറിംഗിന്റെയും വിവിധ മേഖലകളിലെ പ്രയോഗങ്ങളുമുണ്ട്.

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ തരംഗ ഫംഗ്ഷൻ#

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ എന്നത് സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള അതിന്റെ സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികമായ ഒരു പൊട്ടൻഷ്യലിൽ ഒരു കണികയുടെ ചലനം വിവരിക്കുന്ന ഒരു അടിസ്ഥാന ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്കൽ സംവിധാനമാണ്. ഇത് ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട മാതൃകകളിലൊന്നാണ്, ആറ്റോമിക, തന്മാത്രാ ഭൗതികശാസ്ത്രം, ഖരാവസ്ഥാ ഭൗതികശാസ്ത്രം, ക്വാണ്ടം ഒപ്റ്റിക്സ് തുടങ്ങിയ വിവിധ മേഖലകളിൽ പ്രയോഗങ്ങൾ ഉണ്ട്.

സമയ-സ്വതന്ത്ര ഷ്രോഡിംഗർ സമവാക്യം#

ഒരു ഏകമാന ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിനുള്ള സമയ-സ്വതന്ത്ര ഷ്രോഡിംഗർ സമവാക്യം നൽകുന്നത്:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x) = E\psi(x)$$

ഇവിടെ:

• $\psi(x)$ എന്നത് കണികയുടെ തരംഗ ഫംഗ്ഷൻ ആണ്
• $m$ എന്നത് കണികയുടെ പിണ്ഡമാണ്
• $\omega$ എന്നത് ഓസിലേറ്ററിന്റെ കോണീയ ആവൃത്തിയാണ്
• $E$ എന്നത് കണികയുടെ ഊർജ്ജമാണ്

ഊർജ്ജ നിലകൾ#

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ ഊർജ്ജ നിലകൾ ക്വാണ്ടൈസ് ചെയ്യപ്പെടുകയും നൽകുന്നത്:

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$

ഇവിടെ $n$ എന്നത് അവസ്ഥയുടെ ക്വാണ്ടം നമ്പർ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

തരംഗ ഫംഗ്ഷനുകൾ#

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ തരംഗ ഫംഗ്ഷനുകൾ നൽകുന്നത്:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)$$

ഇവിടെ $H_n(x)$ എന്നത് $n$-ആം ഹെർമിറ്റ് പോളിനോമിയലാണ്.

സവിശേഷതകൾ#

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ തരംഗ ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് നിരവധി പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകളുണ്ട്:

• അവ യഥാർത്ഥ-മൂല്യമുള്ളതും $n$ ഇരട്ടയായാൽ ഇരട്ടയും $n$ ഒറ്റയായാൽ ഒറ്റയുമാണ്.
• അവ സാധാരണീകരിച്ചതാണ്, അതായത്, $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(x)|^2dx = 1$.
• അവ അടിസ്ഥാന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു പൂർണ്ണ സെറ്റ് രൂപീകരിക്കുന്നു, അതായത്, ഏത് തരംഗ ഫംഗ്ഷനെയും ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ തരംഗ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം.

സംഗ്രഹത്തിൽ, ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ തരംഗ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഏകമാന ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിനുള്ള ഷ്രോഡിംഗർ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാരമാണ്. ഇതിന് ക്വാണ്ടൈസ് ചെയ്യപ്പെട്ട ഊർജ്ജ നിലകളും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട തരംഗ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു കൂട്ടവുമുണ്ട്. ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ മാതൃക ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ പ്രയോഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, ക്വാണ്ടം സംവിധാനങ്ങളുടെ സ്വഭാവം മനസ്സിലാക്കാൻ ഒരു ശക്തമായ ഉപകരണം നൽകുന്നു.

ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ പൂജ്യ ബിന്ദു ഊർജ്ജം#

ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിൽ, പൂജ്യ ബിന്ദു ഊർജ്ജം (ZPE) എന്നത് ഒരു ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്കൽ സംവിധാനത്തിന് ഉണ്ടായിരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഊർജ്ജമാണ്. എല്ലാ താപ ചലനവും നിലച്ചുപോയ സമയത്ത്, കേവല പൂജ്യ താപനിലയിൽ സംവിധാനത്തിന്റെ ഊർജ്ജമാണിത്.

ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്, ZPE ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം നൽകുന്നു:

$$E_{ZPE} = \frac{1}{2}\hbar\omega$$

ഇവിടെ:

• $E_{ZPE}$ എന്നത് പൂജ്യ ബിന്ദു ഊർജ്ജമാണ്
• $\hbar$ എന്നത് റിഡ്യൂസ്ഡ് പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാങ്കമാണ്
• $\omega$ എന്നത് ഓസിലേറ്ററിന്റെ കോണീയ ആവൃത്തിയാണ്

ഉത്പാദനം#

ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ ZPE ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉരുത്തിരിഞ്ഞെടുക്കാം:

1. ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ ഊർജ്ജം ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം നൽകുന്നു:

$$E = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2$$

ഇവിടെ:

• $m$ എന്നത് ഓസിലേറ്ററിന്റെ പിണ്ഡമാണ്
• $\omega$ എന്നത് ഓസിലേറ്ററിന്റെ കോണീയ ആവൃത്തിയാണ്
• $x$ എന്നത് സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള ഓസിലേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനചലനമ