കവിത 13 ന്യൂക്ലിയ

ഉത്തരം

നൈട്രോജൻ അണുമാസം $({ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}), m=14.00307 \mathrm{u}$

നൈട്രോജൻ ${ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}$ ന്യൂക്ലിയിൽ 7 പ്രൊട്ടാണുകൾക്കും 7 നെക്ട്രണുകൾക്കും ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, ഈ ന്യൂക്ലിയിലെ മാസ് ഇഷ്ടാഭേദം, $\Delta m=7 m_{H}+7 m_{n}-m$

ഇവിടെ,

ഒരു പ്രൊട്ടാണിന്റെ മാസം, $m_{H}=1.007825 \mathrm{u}$

ഒരു നെക്ട്രൺയുടെ മാസം, $m_{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=7 \times 1.007825+7 \times 1.008665-14.00307$
$=7.054775+7.06055-14.00307$

$=0.11236 \mathrm{u}$

എന്നാൽ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.11236 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

അതിനാൽ, ന്യൂക്ലിയിലെ ബിന്ദു ഊർജ്ജം ഇങ്ങനെ ലഭ്യമാകുന്നു:

$E_{b}=\Delta m c ^{2}$

ഇവിടെ,

$c=$ പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത

$\therefore E_{b}=0.11236 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=104.66334 \mathrm{MeV}$

അതിനാൽ, നൈട്രോജൻ ന്യൂക്ലിയിലെ ബിന്ദു ഊർജ്ജം ആണ് $104.66334 \mathrm{MeV}$.

ഉത്തരം

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}, m _{1}=55.934939 \mathrm{u}$ അണുമാസം

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ ന്യൂക്ലിയിൽ 26 പ്രൊട്ടാണുകൾക്കും $(56-26)=30$ നെക്ട്രണുകൾക്കും ഉണ്ട്

അതിനാൽ, ന്യൂക്ലിയിലെ മാസ് ഇഷ്ടാഭേദം, $\Delta m=26 \times m _{H}+30 \times m _{n}-m _{1}$

ഇവിടെ,

ഒരു പ്രൊട്ടാണിന്റെ മാസം, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

ഒരു നെക്ട്രൺയുടെ മാസം, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=26 \times 1.007825+30 \times 1.008665-55.934939$

$=26.20345+30.25995-55.934939$

$=0.528461 \mathrm{u}$

എന്നാൽ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.528461 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

ഈ ന്യൂക്ലിയിലെ ബിന്ദു ഊർജ്ജം ഇങ്ങനെ ലഭ്യമാകുന്നു:

$E _{b 1}=\Delta m c ^{2}$

ഇവിടെ,

$c=$ പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത

$\therefore E _{b 1}=0.528461 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=492.26 \mathrm{MeV}$

ഏകദേശം ഒരു ന്യൂക്ലിയോനിന്റെ ബിന്ദു ഊർജ്ജം $=\frac{492.26}{56}=8.79 \mathrm{MeV}$

${ } ^{\frac{209}{83} \mathrm{Bi}}, m _{2}=208.980388 \mathrm{u}$ അണുമാസം

${ } _{83} ^{2099} \mathrm{Bi}$ ന്യൂക്ലിയിൽ 83 പ്രൊട്ടാണുകൾക്കും $(209-83) 126$ നെക്ട്രണുകൾക്കും ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, ഈ ന്യൂക്ലിയിലെ മാസ് ഇഷ്ടാഭേദം ഇങ്ങനെ ലഭ്യമാകുന്നു:

$\Delta m ^{\prime}=83 \times m _{H}+126 \times m _{n}-m _{2}$

ഇവിടെ,

ഒരു പ്രൊട്ടാണിന്റെ മാസം, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

ഒരു നെക്ട്രൺയുടെ മാസം, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=83 \times 1.007825+126 \times 1.008665-208.980388$

$=83.649475+127.091790-208.980388$
$=1.760877 \mathrm{u}$

എന്നാൽ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=1.760877 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

അതിനാൽ, ഈ ന്യൂക്ലിയിലെ ബിന്ദു ഊർജ്ജം ഇങ്ങനെ ലഭ്യമാകുന്നു:

$E _{b 2}=\Delta m ^{\prime} c ^{2}$

$=1.760877 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1640.26 \mathrm{MeV}$

ഏകദേശം ഒരു ന്യൂക്ലിയോനിന്റെ ബിന്ദു ഊർജ്ജം $=\frac{1640.26}{209}=7.848 \mathrm{MeV}$

ഉത്തരം

ഒരു ചുവപ്പ് നാണയത്തിന്റെ മാസം, $m ^{\prime}=3 \mathrm{~g}$

${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ അണുവിന്റെ അണുമാസം, $m=62.92960 \mathrm{u}$

നാണയത്തിൽ ഉണ്ടായ ${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ അണുകളുടെ ആകെ എണ്ണം, $N=\frac{N _{\mathrm{A}} \times m ^{\prime}}{\text { Mass number }}$

ഇവിടെ,

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ അവോഗാഡ്ർ സംഖ്യ $=6.023 \times 10 ^{23}$ അണുകൾ $/ \mathrm{g}$

മാസസംഖ്യ $=63 \mathrm{~g}$
$\therefore N=\frac{6.023 \times 10 ^{23} \times 3}{63}=2.868 \times 10 ^{22}$ അണുകൾ

${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ ന്യൂക്ലിയിൽ 29 പ്രൊട്ടാണുകൾക്കും $(63-29) 34$ നെക്ട്രണുകൾക്കും ഉണ്ട്

$\therefore$ ഈ ന്യൂക്ലിയിലെ മാസ് ഇഷ്ടാഭേദം, $\Delta m ^{\prime}=29 \times m _{H}+34 \times m _{n}-m$

ഇവിടെ,

ഒരു പ്രൊട്ടാണിന്റെ മാസം, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

ഒരു നെക്ട്രൺയുടെ മാസം, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=29 \times 1.007825+34 \times 1.008665-62.9296$

$=0.591935 \mathrm{u}$

നിശ്ചിത നാണയത്തിൽ ഉള്ള എല്ലാ അണുകളുടെയും മാസ് ഇഷ്ടാഭേദം, $\Delta m=0.591935 \times 2.868 \times 10 ^{22}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \mathrm{u}$

എന്നാൽ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

അതിനാൽ, നിശ്ചിത നാണയത്തിലെ ന്യൂക്ലിയിലെ ബിന്ദു ഊർജ്ജം ഇങ്ങനെ ലഭ്യമാകുന്നു:

$E _{b}=\Delta m c ^{2}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1.581 \times 10 ^{25} \mathrm{MeV}$

എന്നാൽ $1 \mathrm{MeV}=1.6 \times 10 ^{-13} \mathrm{~J}$

$E _{b}=1.581 \times 10 ^{25} \times 1.6 \times 10 ^{-13}$

$=2.5296 \times 10 ^{12} \mathrm{~J}$

നിശ്ചിത നാണയത്തിൽ ഉള്ള എല്ലാ നെക്ട്രണുകളെയും പ്രൊട്ടാണുകളെയും ഒഴിവാക്കാൻ ഈ കഷ്ടപ്പാട്ടം ആവശ്യമാകും.

ഉത്തരം

ചുവപ്പ് ഐോട്ടോപ്പ് ${ } _{79} \mathrm{Au} ^{197}=R _{\mathrm{Au}}$ ന്യൂക്ലിയൽ ത്രിജ്യം

വെള്ളി ഐോട്ടോപ്പ് ${ } _{47} \mathrm{Ag} ^{107}=R _{\mathrm{Ag}}$ ന്യൂക്ലിയൽ ത്രിജ്യം

ചുവപ്പിന്റെ മാസസംഖ്യ, $A _{\mathrm{Au}}=197$

വെള്ളിയുടെ മാസസംഖ്യ, $A _{\mathrm{Ag}}=107$

രണ്ട് ന്യൂക്ലിയിലെ ത്രിജ്യങ്ങളുടെ അനുപാതം അവയുടെ മാസസംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

$$ \begin{aligned} \frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}} & =(\frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}}) ^{\frac{1}{3}} \ & =(\frac{197}{107}) ^{\frac{1}{3}}=1.2256 \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ചുവപ്പ് ഉം വെള്ളി ഉം തമ്മിലുള്ള ഐോട്ടോപ്പുകളുടെ ന്യൂക്ലിയൽ ത്രിജ്യങ്ങളുടെ അനുപാതം ഏകദേശം 1.23 ആണ്.

ഉത്തരം

${ } ^{226} \mathrm{Ra}$ യുടെ ആൽഫാ പാർട്ടിക്കൾ ഡിയായ് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഫലമായി, അതിന്റെ മാസസംഖ്യ $(226-4) 222$ ആയി കുറയുകയും അത്തരം അണുസംഖ്യ $(88-2) 86$ ആയി കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന ന്യൂക്ലിയൽ പ്രവർത്തനത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

${ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra} \longrightarrow{ } _{86} ^{222} \mathrm{Ra}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

$Q$-മൂല്യം

ഇമിട്ടഡിറ്റിഡ് $\alpha$-പാർട്ടിക്കൾ $=($ ആദ്യത്തെ മാസങ്ങളുടെ യോഗം - അവസാനത്തെ മാസങ്ങളുടെ യോഗം $) c ^{2}$

ഇവിടെ,

$c=$ പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത

നൽകിയിരിക്കുന്നത് ആണ്:

$m({ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra})=226.02540 \mathrm{u}$

$m({ } _{86} ^{222} \mathrm{Rn})=222.01750 \mathrm{u}$

$m({ } _{2} ^{4} \mathrm{He})=4.002603 \mathrm{u}$

$Q$-മൂല്യം $=[226.02540-(222.01750+4.002603)] \mathrm{u} c ^{2}$

$=0.005297 \mathrm{u} c ^{2}$

എന്നാൽ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=0.005297 \times 931.5 \approx 4.94 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-പാർട്ടിക്കൾക്കുള്ള കിനെറ്റിക് ഊർജ്ജം $=(\frac{\text { Mass number after decay }}{\text { Mass number before decay }}) \times Q$

$=\frac{222}{226} \times 4.94=4.85 \mathrm{MeV}$

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})$ യുടെ ആൽഫാ പാർട്ടിക്കൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ന്യൂക്ലിയൽ പ്രവർത്തനത്തിൽ കാണിക്കുന്നു.

${ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn} \longrightarrow{ } _{84} ^{216} \mathrm{Po}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

നൽകിയിരിക്കുന്നത് ആണ്:

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})=220.01137 \mathrm{u}$ മാസം

$({ } ^{24}{ } ^{216} \mathrm{Po})=216.00189 \mathrm{u}$ മാസം

$\therefore Q$-മൂല്യം $=[220.01137-(216.00189+4.00260)] \times 931.5$

$\approx 641 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-പാർട്ടിക്കൾക്കുള്ള കിനെറ്റിക് ഊർജ്ജം $=(\frac{220-4}{220}) \times 6.41$

$=6.29 \mathrm{MeV}$

ഉത്തരം

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ യുടെ വികൃതി ഇങ്ങനെ ലഭ്യമാകുന്നു:

$$ { } _{13} ^{56} \mathrm{Fe} \longrightarrow 2{ } _{13} ^{28} \mathrm{Al} $$

നൽകിയിരിക്കുന്നത് ആണ്:

അണുമാസം $m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})=55.93494 \mathrm{u}$

അണുമാസം $m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})=27.98191 \mathrm{u}$

ഈ ന്യൂക്ലിയൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ $Q$-മൂല്യം ഇങ്ങനെ ലഭ്യമാകുന്നു:

$$ \begin{aligned} Q & =\left[m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})-2 m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})\right] c ^{2} \ & =[55.93494-2 \times 27.98191] c ^{2} \ & =(-0.02888 c ^{2}) \mathrm{u} \end{aligned} $$

എന്നാൽ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=-0.02888 \times 931.5=-26.902 \mathrm{MeV}$

വികൃതിയുടെ $Q$-മൂല്യം എത്രത്തോളം കുറവാണ്. അതിനാൽ, ഊർജമോചനമോചനമായി സാധ്യമായ വികൃതി പ്രവർത്തനത്തിന് നിശ്ചിത $Q$-മൂല്യം നിരവധി ആവശ്യമാണ്.

ഉത്തരം

${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}, E _{a v}=180 \mathrm{MeV}$ യുടെ ഓരോ വികൃതിക്കും വിടയ്ക്കുന്ന ഏകദേശ ഊർജ്ജം

പ്രകൃതിയിലെ പ്രകൃതിയിലെ എല്ലാ അണുകളും ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}, m=1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}$

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ അവോഗാഡ്ർ സംഖ്യ $=6.023 \times 10 ^{23}$

${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}=239 \mathrm{~g}$ യുടെ മാസസംഖ്യ

ഒരു മോളിൽ, അതായത് ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ യിൽ ഉള്ള ഡിയറ്ററിയം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അണുകൾ ആണ് $\mathrm{N} _{\mathrm{A}}$.

$\therefore m$ ഗ്രാമം ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അണുകൾ ആണ് $(\frac{\mathrm{N} _{\mathrm{A}}}{\text { Mass number }} \times m)$

$=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{239} \times 1000=2.52 \times 10 ^{24}$ അണുകൾ

$\therefore$ $1 \mathrm{~kg}$ യുടെ ${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}$ വികൃതിക്ക് വിടയ്ക്കുന്ന ആകെ ഊർജ്ജം ഇങ്ങനെ കണക്കാക്കാം:

$$ \begin{aligned} E & =E _{\alpha v} \times 2.52 \times 10 ^{24} \ & =180 \times 2.52 \times 10 ^{24}=4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, പ്രകൃതിയിലെ എല്ലാ അണുകളും $4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV}$ യിൽ ഉള്ള പ്രകൃതിയിലെ എല്ലാ അണുകളും $1 \mathrm{~kg}$ യിൽ ഉള്ള ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ വികൃതിയുണ്ടെങ്കിൽ വിടയ്ക്കുന്ന ഊർജ്ജം ആണ്.

ഉത്തരം

നൽകിയിരിക്കുന്ന യൂരോപ്പ് പ്രവർത്തനം ആണ്:

${ } _{1} ^{2} \mathrm{H}+{ } _{1} ^{2} \mathrm{H} \longrightarrow{ } _{2} ^{3} \mathrm{He}+\mathrm{n}+3.27 \mathrm{MeV}$

ഡിയറ്ററിയം യുടെ തുടങ്ങുന്ന തുക, $m=2 \mathrm{~kg}$

ഒരു മോളിൽ, അതായത് $2 \mathrm{~g}$ യിൽ ഉള്ള ഡിയറ്ററിയം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അണുകൾ ആണ് $6.023 \times 10 ^{23}$.

$\therefore 2.0 \mathrm{~kg}$ യിൽ ഉള്ള ഡിയറ്ററിയം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അണുകൾ ആണ് $=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{2} \times 2000=6.023 \times 10 ^{26}$

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, രണ്ട് ഡിയറ്ററിയം അണുകൾ യൂരോപ്പ് ചെയ്യുമ്പോൾ, 3.27 $\mathrm{MeV}$ ഊർജ്ജം വിടയ്ക്കുന്നു.

$\therefore$ യൂരോപ്പ് പ്രവർത്തനത്തിൽ ഓരോ ന്യൂക്ലിയിലെയും വിടയ്ക്കുന്ന ആകെ ഊർജ്ജം:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \ & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \times 1.6 \times 10 ^{-19} \times 10 ^{6} \ & =1.576 \times 10 ^{14} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

വെള്ളിപ്രകാശത്തിന്റെ ശക്തി, $P=100 \mathrm{~W}=100 \mathrm{~J} / \mathrm{s}$

അതിനാൽ, ഓരോ സെക്കൻഡിൽ വെള്ളിപ്രകാശത്തിന് വേണ്ടിയുള്ള ഊർജ്ജം ആണ് $=100 \mathrm{~J}$

വെള്ളിപ്രകാശം തുടരുന്ന ആകെ സമയം ഇങ്ങനെ കണക്കാക്കാം:

$$ \begin{aligned} & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100} \mathrm{~s} \ & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100 \times 60 \times 60 \times 24 \times 365} \approx 4.9 \times 10 ^{4} \text { years } \end{aligned} $$

ഉത്തരം

രണ്ട് ഡിയറ്ററിയത്തിന്റെ തലക്കെട്ട് തലക്കെട്ട് ചേർക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ കേന്ദ്രങ്ങളുടെ തമ്മിലുള്ള ദൂരം, $d$ ആണ്:

ഒരു ഡിയറ്ററിയ ന്യൂക്ലിയിന്റെ ത്രിജ്യം + ഒരു ഡിയറ്ററിയ ന്യൂക്ലിയിന്റെ ത്രിജ്യം

ഒരു ഡിയറ്ററിയ ന്യൂക്ലിയിന്റെ ത്രിജ്യം ആണ് $=2 \mathrm{fm}=2 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

$\therefore d=2 \times 10 ^{-15}+2 \times 10 ^{-15}=4 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

ഒരു ഡിയറ്ററിയ ന്യൂക്ലിയിലെ ചാർജ് ആണ് $=$ എലക്ട്രോണിന്റെ ചാർജ് $=e=1.6 \times 10 ^{-19} \mathrm{C}$

രണ്ട്-ഡിയറ്ററിയ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഭൗതിക ഊർജ്ജം:

$$ V=\frac{e ^{2}}{4 \pi \epsilon _{0} d} $$

ഇവിടെ,

$$ \epsilon _{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \frac{1}{4 \pi \epsilon _{0}}=9 \times 10 ^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m} ^{2} \mathrm{C} ^{-2} $$

$\therefore V=\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15}} \mathrm{~J}$

$$ =\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15} \times(1.6 \times 10 ^{-19})} \mathrm{eV} $$

$$ =360 \mathrm{keV} $$

അതിനാൽ, രണ്ട്-ഡിയറ്ററിയ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഭൗതിക ബാറ്ററി ഉയർന്ന സ്ഥാനം ആണ്

$360 \mathrm{keV}$.

ഉത്തരം

നമുക്ക് ന്യൂക്ലിയൽ ത്രിജ്യത്തിന്റെ പ്രത്യേകത ഇങ്ങനെ ഉണ്ട്:

$R=R _{0} A ^{1} \beta ^{3}$

ഇവിടെ,

$R _{0}=$ സ്ഥിരമായ വ്യാപ്തി.

$A=$ ന്യൂക്ലിയിന്റെ മാസസംഖ്യ

ന്യൂക്ലിയൽ മാറ്റിയെടുക്കൽ ഘനത്വം, $\rho=\frac{\text { Mass of the nucleus }}{\text { Volume of the nucleus }}$

ന്യൂക്ലിയിലെ ഏകദേശ മാസം ആണ് $m$.

അതിനാൽ, ന്യൂക്ലിയിന്റെ മാസം ആണ് $=m A$

$\therefore \rho=\frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi(R _{0} A ^{\frac{1}{3}}) ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi R _{0} ^{3} A}=\frac{3 m}{4 \pi R _{0} ^{3}}$

അതിനാൽ, ന്യൂക്ലിയൽ മാറ്റിയെടുക്കൽ ഘനത്വം $A$ അല്ലങ്ങുന്നതല്ല. അത് ഏകദേശം സ്ഥിരമാണ്.