അദ്ധ്യായം 12 അണുക്കൾ

ഉത്തരം

(എ) തോംസന്റെ മാതൃകയിലും റുഥർഫോർഡിന്റെ മാതൃകയിലും എടുത്ത അണുക്കളുടെ വലിപ്പം ഒരേ ക്രമത്തിലാണ്.

(ബി) തോംസന്റെ മാതൃകയുടെ അടിസ്ഥാനാവസ്ഥയിൽ, ഇലക്ട്രോണുകൾ സ്ഥിരമായ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലാണ്. എന്നിരുന്നാലും, റുഥർഫോർഡിന്റെ മാതൃകയിൽ, ഇലക്ട്രോണുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ആകെ ബലം അനുഭവിക്കുന്നു.

(സി) റുഥർഫോർഡിന്റെ മാതൃക അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ശാസ്ത്രീയ അണു തകരാൻ നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു.

(ഡി) തോംസന്റെ മാതൃകയിൽ ഒരു അണുവിന് ഏകദേശം തുടർച്ചയായ പിണ്ഡ വിതരണമുണ്ട്, പക്ഷേ റുഥർഫോർഡിന്റെ മാതൃകയിൽ വളരെ അസമമായ പിണ്ഡ വിതരണമുണ്ട്.

(ഇ) അണുവിന്റെ പോസിറ്റീവ് ചാർജ്ജ് ചെയ്ത ഭാഗം രണ്ട് മാതൃകകളിലും മിക്ക പിണ്ഡവും കൈവശം വച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉത്തരം

ആൽഫ-കണികാ വിസരണ പരീക്ഷണത്തിൽ, സ്വർണ്ണത്തകിടിന് പകരം ഒരു നേർത്ത ഖര ഹൈഡ്രജൻ ഷീറ്റ് ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിസരണ കോൺ വളരെ വലുതായിരിക്കില്ല. കാരണം, ഹൈഡ്രജന്റെ പിണ്ഡം $\left(1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$ സംഭവിക്കുന്ന $\alpha$-കണികകളുടെ പിണ്ഡത്തേക്കാൾ (6.64 $\left.\times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$) കുറവാണ്. അങ്ങനെ, വിസരണം ചെയ്യുന്ന കണികയുടെ പിണ്ഡം ലക്ഷ്യ ന്യൂക്ലിയസിന്റെ (ഹൈഡ്രജൻ) പിണ്ഡത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. ഫലമായി, $\alpha$-കണികകൾ $\alpha$-കണികാ വിസരണ പരീക്ഷണത്തിൽ ഖര ഹൈഡ്രജൻ ഉപയോഗിച്ചാൽ പുറകോട്ട് പോകില്ല.

ഉത്തരം

ഒരു അണുവിലെ രണ്ട് ഊർജ്ജ നിലകളുടെ വിഭജനം,

$E=2.3 \mathrm{eV}$

$=2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}$

$=3.68 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

അണു മുകളിലെ നിലയിൽ നിന്ന് താഴ്ന്ന നിലയിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ ഉത്സർജ്ജിക്കുന്ന വികിരണത്തിന്റെ ആവൃത്തി $v$ ആയിരിക്കട്ടെ.

ഊർജ്ജത്തിനുള്ള ബന്ധം നമുക്കുണ്ട്:

$$ E=h v $$

ഇവിടെ,

$$ \begin{aligned} & h= \\ & \begin{aligned} \therefore v & =\frac{E}{h} \\ & =\frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.62 \times 10^{-32}}=5.55 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, വികിരണത്തിന്റെ ആവൃത്തി $5.6 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ ആണ്.

ഉത്തരം

ഹൈഡ്രജൻ അണുവിന്റെ അടിസ്ഥാനാവസ്ഥയിലെ ഊർജ്ജം, $E=-13.6 \mathrm{eV}$

ഇത് ഒരു ഹൈഡ്രജൻ അണുവിന്റെ ആകെ ഊർജ്ജമാണ്. ഗതികോർജ്ജം ആകെ ഊർജ്ജത്തിന്റെ നെഗറ്റീവിന് തുല്യമാണ്.

ഗതികോർജ്ജം $=-E=-(-13.6)=13.6 \mathrm{eV}$

സ്ഥിതികോർജ്ജം ഗതികോർജ്ജത്തിന്റെ രണ്ട് മടങ്ങ് നെഗറ്റീവിന് തുല്യമാണ്.

സ്ഥിതികോർജ്ജം $=-2 \times(13.6)=-27.2 \mathrm{eV}$

ഉത്തരം

അടിസ്ഥാന നിലയ്ക്ക്, $n_{1}=1$

ഈ നിലയുടെ ഊർജ്ജം $E_{1}$ ആയിരിക്കട്ടെ. $E_{1}$ $n_{1}$ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതായി അറിയാം:

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{1^{2}}=-13.6 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

അണു ഒരു ഉയർന്ന നിലയിലേക്ക് ഉത്തേജിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, $n_{2}=4$.

ഈ നിലയുടെ ഊർജ്ജം $E_{2}$ ആയിരിക്കട്ടെ.

$$ \begin{aligned} \therefore E_{2} & =\frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{4^{2}}=-\frac{13.6}{16} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ഫോട്ടോൺ ആഗിരണം ചെയ്യുന്ന ഊർജ്ജത്തിന്റെ അളവ് ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$ \begin{aligned} E & =E_{2}-E_{1} \\ & =\frac{-13.6}{16}-\left(-\frac{13.6}{1}\right) \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \mathrm{eV} \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \times 1.6 \times 10^{-19}=2.04 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

തരംഗദൈർഘ്യം $\lambda$ ഉള്ള ഒരു ഫോട്ടോണിന്, ഊർജ്ജത്തിന്റെ പദപ്രയോഗം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

$$ E=\frac{h c}{\lambda} $$

ഇവിടെ,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & c=\text { Speed of light }=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ & \therefore \lambda=\frac{h c}{E} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \\ & =9.7 \times 10^{-8} \mathrm{~m}=97 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

കൂടാതെ, ഒരു ഫോട്ടോണിന്റെ ആവൃത്തി ബന്ധം ഉപയോഗിച്ച് നൽകിയിരിക്കുന്നു,

$$ \begin{aligned} v & =\frac{c}{\lambda} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{9.7 \times 10^{-8}} \approx 3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഫോട്ടോണിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം $97 \mathrm{~nm}$ ആണ്, അതേസമയം ആവൃത്തി $3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ ആണ്.

ഉത്തരം

ഒരു ഹൈഡ്രജൻ അണുവിലെ അടിസ്ഥാനാവസ്ഥയിലെ ഇലക്ട്രോണിന്റെ ഭ്രമണപഥ വേഗത $v_{1}$ ആയിരിക്കട്ടെ, $n_{1}$ $=1$. ഒരു ഇലക്ട്രോണിന്റെ ചാർജിന് ($e$), $v_{1}$ ബന്ധം ഉപയോഗിച്ച് നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$ v_{1}=\frac{e^{2}}{n_{1} 4 \pi \epsilon_{0}(h / 2 \pi)}=\frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} $$

ഇവിടെ,

$$ \begin{aligned} & e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\ & \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space }=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & h=\text { Planck’s constant }=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \begin{aligned} \therefore v_{1} & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =0.0218 \times 10^{8}=2.18 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} \end{aligned} $$

$n_{2}=2$ നിലയ്ക്ക്, അനുബന്ധ ഭ്രമണപഥ വേഗതയ്ക്കുള്ള ബന്ധം നമുക്ക് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

$$ \begin{aligned} v_{2} & =\frac{e^{2}}{n_{2} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

കൂടാതെ, $n_{3}=3$ നിലയ്ക്ക്, അനുബന്ധ ഭ്രമണപഥ വേഗതയ്ക്കുള്ള ബന്ധം നമുക്ക് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

$$ \begin{aligned} v_{3} & =\frac{e^{2}}{n_{3} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{3 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഒരു ഹൈഡ്രജൻ അണുവിലെ ഇലക്ട്രോണിന്റെ വേഗത $n=1, \mathrm{n}=2$, 2, $\mathrm{n}=3$ എന്നിവയിൽ യഥാക്രമം $2.18 \times 10^{6}$ $\mathrm{m} / \mathrm{s}, 1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ആണ്.

ഇലക്ട്രോൺ $n_{1}=1$ നിലയിലുള്ളപ്പോൾ അതിന്റെ ഭ്രമണപഥ കാലയളവ് $T_{1}$ ആയിരിക്കട്ടെ.

ഭ്രമണപഥ കാലയളവ് ഭ്രമണപഥ വേഗതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

$T_{1}=\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}}$

ഇവിടെ,

$r_{1}=$ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ ആരം

$=\frac{n_{1}^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$

$h=$ പ്ലാങ്കിന്റെ സ്ഥിരാങ്കം $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$e=$ ഒരു ഇലക്ട്രോണിലെ ചാർജ് $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$\epsilon_{0}=$ സ്വതന്ത്ര സ്ഥലത്തിന്റെ പെർമിറ്റിവിറ്റി $=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2}$

$m=$ ഒരു ഇലക്ട്രോണിന്റെ പിണ്ഡം $=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{1} & =\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \\ & =\frac{2 \pi \times(1)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{2.18 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =15.27 \times 10^{-17}=1.527 \times 10^{-16} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

$n_{2}=2$ നിലയ്ക്ക്, നമുക്ക് കാലയളവ് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

$T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}}$

ഇവിടെ,

$r_{2}=$ $n_{2}=2$ ലെ ഇലക്ട്രോണിന്റെ ആരം

$$ \begin{aligned} & =\frac{\left(n_{2}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \\ & \therefore T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}} \\ & \quad=\frac{2 \pi \times(2)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{1.09 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & \quad=1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

കൂടാതെ, $n_{3}=3$ നിലയ്ക്ക്, നമുക്ക് കാലയളവ് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

$$ T_{3}=\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} $$

ഇവിടെ,

$r_{3}=$ $n_{3}=3$ ലെ ഇലക്ട്രോണിന്റെ ആരം

$$ =\frac{\left(n_{3}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} $$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{3} & =\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} \\ & =\frac{2 \pi \times(3)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{7.27 \times 10^{5} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =4.12 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഈ നിലകളിൽ ഓരോന്നിലും ഭ്രമണപഥ കാലയളവ് യഥാക്രമം $1.52 \times 10^{-16} \mathrm{~s}, 1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s}$, 1.52 × 10⁻¹⁶, 4.12 $\times 10^{-15}$ s ആണ്.

ഉത്തരം

ഒരു ഹൈഡ്രജൻ അണുവിന്റെ ഏറ്റവും ഉള്ളിലത്തെ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ ആരം, $r_{1}=5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$.

$n=2$ ലെ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ ആരം $r_{2}$ ആയിരിക്കട്ടെ. ഇത് ഏറ്റവും ഉള്ളിലത്തെ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ ആരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

$$ \begin{aligned} r_{2} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =4 \times 5.3 \times 10^{-11}=2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$n=3$ ന്, അനുബന്ധ ഇലക്ട്രോൺ ആരം നമുക്ക് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

$$ \begin{aligned} r_{3} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =9 \times 5.3 \times 10^{-11}=4.77 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, $n=2$, $n=3$ ഭ്രമണപഥങ്ങൾക്കുള്ള ഒരു ഇലക്ട്രോണിന്റെ ആരങ്ങൾ യഥാക്രമം $2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$, $4.77 \times$ $10^{-10} \mathrm{~m}$ ആണ്.

ഉത്തരം

മുറിയിലെ താപനിലയിൽ വാതകരൂപത്തിലുള്ള ഹൈഡ്രജനിൽ ബോംബാടി നടത്താൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഇലക്ട്രോൺ ബീമിന്റെ ഊർജ്ജം $12.5 \mathrm{eV}$ ആണെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, മുറിയിലെ താപനിലയിൽ അടിസ്ഥാനാവസ്ഥയിലുള്ള വാതക ഹൈഡ്രജന്റെ ഊർജ്ജം $-13.6 \mathrm{eV}$ ആണ്.

വാതക ഹൈഡ്രജൻ ഒരു ഇലക്ട്രോൺ ബീം ഉപയോഗിച്ച് ബോംബാടി ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, വാതക ഹൈഡ്രജന്റെ ഊർജ്ജം $-13.6+12.5 \mathrm{eV}$ ആയി മാറുന്നു, അതായത് $-1.1 \mathrm{eV}$.

ഭ്രമണപഥ ഊർജ്ജം ഭ്രമണപഥ നില ($n$) ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

$E=\frac{-13.6}{(n)^{2}} \mathrm{eV}$

$n=3, \quad E=\frac{-13.6}{9}=-1.5 \mathrm{eV}$ ന്

ഈ ഊർജ്ജം ഏകദേശം വാതക ഹൈഡ്രജന്റെ ഊർജ്ജത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇലക്ട്രോൺ $n=1$ ൽ നിന്ന് $n=3$ നിലയിലേക്ക് ചാടിയതായി നിഗമനം ചെയ്യാം.

അതിന്റെ ഡീ-എക്സൈറ്റേഷൻ സമയത്ത്, ഇലക്ട്രോണുകൾ നേരിട്ട് $n=3$ ൽ നിന്ന് $n=1$ ലേക്ക് ചാടാം, ഇത് ഹൈഡ്രജൻ സ്പെക്ട്രത്തിന്റെ ലൈമൻ ശ്രേണിയുടെ ഒരു വരി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

ലൈമൻ ശ്രേണിക്കുള്ള തരംഗ സംഖ്യയ്ക്കുള്ള ബന്ധം നമുക്കുണ്ട്:

$\frac{1}{\lambda}=R_{y}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$

ഇവിടെ,

$R_{\mathrm{y}}=$ റൈഡ്ബർഗ് സ്ഥിരാങ്കം $=1.097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}$

$\lambda=$ ഇലക്ട്രോണിന്റെ പരിവർത്തനത്താൽ ഉത്സർജ്ജിക്കപ്പെടുന്ന വികിരണത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം

$n=3$ ന്, നമുക്ക് $\lambda$ ലഭിക്കും:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{8}{9} \\ \lambda & =\frac{9}{8 \times 1.097 \times 10^{7}}=102.55 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ഇലക്ട്രോൺ $n=2$ ൽ നിന്ന് $n=1$ ലേക്ക് ചാടുകയാണെങ്കിൽ, വികിരണത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{4}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{3}{4} \\ \lambda & =\frac{4}{1.097 \times 10^{7} \times 3}=121.54 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

പരിവർത്തനം $n=3$ ൽ നിന്ന് $n=2$ ലേക്ക് നടക്കുകയാണെങ്കിൽ, വികിരണത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{5}{36} \\ \lambda & =\frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{7}}=656.33 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ഈ വികിരണം ഹൈഡ്രജൻ സ്പെക്ട്രത്തിന്റെ ബാൽമർ ശ്രേണിയുമായി യോജിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ലൈമൻ ശ്രേണിയിൽ, രണ്ട് തരംഗദൈർഘ്യങ്ങൾ, അതായത് $102.5 \mathrm{~nm}$, $121.5 \mathrm{~nm}$ എന്നിവ ഉത്സർജ്ജിക്കപ്പെടുന്നു. ബാൽമർ ശ്രേണിയിൽ, ഒരു തരംഗദൈർഘ്യം, അതായത് $656.33 \mathrm{~nm}$ ഉത്സർജ്ജിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉത്തരം

സൂര്യനെ ചുറ്റുന്ന ഭൂമിയുടെ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ ആരം, $r=1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$

ഭൂമിയുടെ ഭ്രമണപഥ വേഗത, $v=3 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡം, $m=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

ബോറിന്റെ മാതൃക അനുസരിച്ച്, കോണീയ ആക്കം ക്വാണ്ടൈസ് ചെയ്യപ്പെടുകയും ഇങ്ങനെ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു:

$$ m v r=\frac{n h}{2 \pi} $$

ഇവിടെ,

$h=$ പ്ലാങ്കിന്റെ സ്ഥിരാങ്കം $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$n=$ ക്വാണ്ടം സംഖ്യ

$$ \begin{aligned} \therefore n & =\frac{m v r 2 \pi}{h} \\ & =\frac{2 \pi \times 6 \times 10^{24} \times 3 \times 10^{4} \times 1.5 \times 10^{11}}{6.62 \times 10^{-34}} \\ & =25.61 \times 10^{73}=2.6 \times 10^{74} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഭൂമിയുടെ പരിക്രമണത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന ക്വാണ്ട സംഖ്യ $2.6 \times 10^{74}$ ആണ്.