ചാപ്റ്റർ 11 റേഡിയേഷൻ യന്ത്രത്തിന്റെ രണ്ട് സ്വഭാവം

ഉത്തരം

ഇലക്ട്രോണുകളുടെ പോത്തൻ, $V=30 \mathrm{kV}=3 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

അതിനാല്‍, ഇലക്ട്രോണുകളുടെ ഊര്‍ജ്ജം, $E=3 \times 10^{4} \mathrm{eV}$

ഇവിടെ,

$e=$ ഒരു ഇലക്ട്രോണിലെ ചാർജ് $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

(a) $\mathrm{X}$-റേസ് ഉത്ഭവിക്കുന്ന പരമാവധി ഫ്രിക്വന്‍സി $=v$

ഇലക്ട്രോണുകളുടെ ഊര്‍ജ്ജം ഇനിപ്പറയുന്ന സംബന്ധതയ്ക്ക് നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$E=h v$

ഇവിടെ,

$h=$ പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$\therefore v=\frac{E}{h}$

$$ =\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{4}}{6.626 \times 10^{-34}}=7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz} $$

അതിനാല്‍, X-റേസ് ഉത്ഭവിക്കുന്ന പരമാവധി ഫ്രിക്വന്‍സി $7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz}$.

(b) X-റേസ് ഉത്ഭവിക്കുന്ന കുറഞ്ഞ വേഗതയുടെ തെറ്റ് ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{7.24 \times 10^{18}}=4.14 \times 10^{-11} \mathrm{~m}=0.0414 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

അതിനാല്‍, X-റേസ് ഉത്ഭവിക്കുന്ന കുറഞ്ഞ വേഗത $0.0414 \mathrm{~nm}$.

ഉത്തരം

സീശിയം യന്ത്രത്തിന്റെ പ്രവേശന ഊര്‍ജ്ജം, $\phi_{0}=2.14 \mathrm{eV}$

പ്രകാശത്തിന്റെ ഫ്രിക്വന്‍സി, $v=6.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

(a) ഫോട്ടോഎമിഷൻ പ്രവേശന ഊര്‍ജ്ജം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോട്ടോഇലക്ട്രിക് എഫക്റ്റിനെ ഉപയോഗിച്ച് നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ K=h v-\phi_{0} $$

ഇവിടെ,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \therefore K=\frac{6.626 \times 10^{34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}-2.14 \\ & \quad=2.485-2.140=0.345 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

അതിനാല്‍, ഉത്ഭവിച്ച ഇലക്ട്രോണുകളുടെ പരമാവധി കൈനറ്റിക് ഊര്‍ജ്ജം $0.345 \mathrm{eV}$.

(b) സ്റ്റോപ്പിംഗ് പോത്തൻ $V_{0}$ എന്നതിന് കൈനറ്റിക് ഊര്‍ജ്ജത്തിന്റെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതായി എഴുതാം:

$$ \begin{aligned} & K=e V_{0} \\ & \therefore V_{0}=\frac{K}{e} \\ & \quad=\frac{0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=0.345 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

അതിനാല്‍, മാറ്റത്തിന്റെ സ്റ്റോപ്പിംഗ് പോത്തൻ $0.345 \mathrm{~V}$.

(c) ഉത്ഭവിച്ച ഫോട്ടോഇലക്ട്രോണുകളുടെ പരമാവധി വേഗത $=v$

അതിനാല്‍, കൈനറ്റിക് ഊര്‍ജ്ജത്തിന്റെ സംബന്ധത ഇനിപ്പറയുന്നതായി എഴുതാം:

$$ K=\frac{1}{2} m v^{2} $$

ഇവിടെ,

$$ \begin{aligned} m & =\text { Mass of an electron }=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\ v^{2} & =\frac{2 K}{m} \\ & =\frac{2 \times 0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}=0.1104 \times 10^{12} \\ \therefore v & =3.323 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

അതിനാല്‍, ഉത്ഭവിച്ച ഫോട്ടോഇലക്ട്രോണുകളുടെ പരമാവധി വേഗത $332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$.

ഉത്തരം

ഫോട്ടോഇലക്ട്രിക് കട്ടോഫ് വോൾട്ടേജ്, $V_{0}=1.5 \mathrm{~V}$

ഉത്ഭവിച്ച ഫോട്ടോഇലക്ട്രോണുകളുടെ പരമാവധി കൈനറ്റിക് ഊര്‍ജ്ജം ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ K_{e}=e V_{0} $$

ഇവിടെ,

$e=$ ഒരു ഇലക്ട്രോണിലെ ചാർജ് $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$$ \begin{aligned} \therefore K_{e} & =1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \\ & =2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

അതിനാല്‍, നൽകിയ പരിശീലനത്തിൽ ഉത്ഭവിച്ച ഫോട്ടോഇലക്ട്രോണുകളുടെ പരമാവധി കൈനറ്റിക് ഊര്‍ജ്ജം $2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$.

ഉത്തരം

ഒക്കാമോണ്‍ട്രോപിക് പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത, $\lambda=632.8 \mathrm{~nm}=632.8 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ലാസർ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്ഭവിക്കുന്ന ഊര്‍ജ്ജം, $P=9.42 \mathrm{~mW}=9.42 \times 10^{-3} \mathrm{~W}$

പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ഹൈഡ്രജൻ ആറ്റിന്റെ ഭാരം, $m=1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$

(a) ഓരോ ഫോട്ടോണിന്റെ ഊര്‍ജ്ജം ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{632.8 \times 10^{-9}}=3.141 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ഓരോ ഫോട്ടോണിന്റെ മോമെന്റം ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ \begin{aligned} P & =\frac{h}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34}}{632.8}=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(b) ബീമിന് ഉപയോഗിക്കുന്ന ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് പ്രതിസന്ധിയിലേക്ക് എത്തുന്ന ഫോട്ടോണുകളുടെ എണ്ണം $=n$

ബീമിന് യഥാർത്ഥ ക്രോസ്-സെക്ഷന്‍ ചെറിയതായിരിക്കുന്നു എന്ന് അവലംബിക്കുക.

അതിനാല്‍, ഊര്‍ജ്ജത്തിന്റെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതായി എഴുതാം:

$$ \begin{aligned} P & =n E \\ \therefore n & =\frac{P}{E} \\ & =\frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.141 \times 10^{-19}} \approx 3 \times 10^{16} \text { photon } / \mathrm{s} \end{aligned} $$

(c) ഹൈഡ്രജൻ ആറ്റിന്റെ മോമെന്റം ഫോട്ടോണിന്റെ അതേ മോമെന്റമാണ്, $p=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

മോമെന്റം ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$p=m v$

ഇവിടെ,

$v=$ ഹൈഡ്രജൻ ആറ്റിന്റെ വേഗത

$$ \begin{aligned} \therefore v & =\frac{p}{m} \\ & =\frac{1.047 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}}=0.621 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

ഉത്തരം

കട്ടോഫ് വോൾട്ടേജ് $(V)$ എന്നതിന്റെ വേഗതയും ഒരു പ്രതിഫലിക്കുന്ന പ്രകാശത്തിന്റെ ഫ്രിക്വന്‍സിയും തമ്മിലുള്ള വേഗത ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

$\frac{V}{v}=4.12 \times 10^{-15} \mathrm{Vs}$

$V$ ഫ്രിക്വന്‍സിയുമായി സംബന്ധിച്ചിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

$h v=e V$

ഇവിടെ,

$e=$ ഒരു ഇലക്ട്രോണിലെ ചാർജ് $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$h=$ പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത

$\therefore h=e \times \frac{V}{v}$

$=1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15}=6.592 \times 10^{-34} \mathrm{JS}$

അതിനാല്‍, പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത $6.592 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$.

ഉത്തരം

യന്ത്രത്തിന്റെ തെരഞ്ഞെടുപ്പ് ഫ്രിക്വന്‍സി, $v_{0}=3.3 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

യന്ത്രത്തിലേക്ക് പ്രതിഫലിക്കുന്ന പ്രകാശത്തിന്റെ ഫ്രിക്വന്‍സി, $v=8.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

ഒരു ഇലക്ട്രോണിലെ ചാർജ്, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

യന്ത്രത്തിൽ നിന്ന് ഫോട്ടോഇലക്ട്രിക് എമിഷൻ എന്നതിന്റെ കട്ടോഫ് വോൾട്ടേജ് $=V_{0}$

കട്ടോഫ് ഊര്‍ജ്ജത്തിന്റെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ \begin{aligned} e V_{0} & =h\left(v-v_{0}\right) \\ V_{0} & =\frac{h\left(v-v_{0}\right)}{e} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times\left(8.2 \times 10^{14}-3.3 \times 10^{14}\right)}{1.6 \times 10^{-19}}=2.0292 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

അതിനാല്‍, ഫോട്ടോഇലക്ട്രിക് എമിഷൻ എന്നതിന്റെ കട്ടോഫ് വോൾട്ടേജ് $2.0292 \mathrm{~V}$.

ഉത്തരം

യന്ത്രത്തിന്റെ പ്രവേശന ഊര്‍ജ്ജം, $\phi_{0}=4.2 \mathrm{eV}$

ഒരു ഇലക്ട്രോണിലെ ചാർജ്, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

പ്രതിഫലിക്കുന്ന പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത, $\lambda=330 \mathrm{~nm}=330 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

പ്രതിഫലിക്കുന്ന ഫോട്ടോണിന്റെ ഊര്‍ജ്ജം ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{330 \times 10^{-9}}=6.0 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & =\frac{6.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=3.76 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

പ്രതിഫലിക്കുന്ന പ്രകാശത്തിന്റെ ഊര്‍ജ്ജം യന്ത്രത്തിന്റെ പ്രവേശന ഊര്‍ജ്ജത്തേക്കാള്‍ ചെറിയതാണെന്ന് കാണാം. അതിനാല്‍, ഫോട്ടോഇലക്ട്രിക് എമിഷൻ സംഭവിക്കില്ല.

ഉത്തരം

പ്രതിഫലിക്കുന്ന ഫോട്ടോണിന്റെ ഫ്രിക്വന്‍സി, $v=488 \mathrm{~nm}=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ഇലക്ട്രോണുകളുടെ പരമാവധി വേഗത, $v=6.0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ഒരു ഇലക്ട്രോണിന്റെ ഭാരം, $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

തെരഞ്ഞെടുപ്പ് ഫ്രിക്വന്‍സി $v_{0}$ എന്നതിന് കൈനറ്റിക് ഊര്‍ജ്ജത്തിന്റെ സംബന്ധത ഇനിപ്പറയുന്നതായി എഴുതാം:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}=h\left(v-v_{0}\right) \\ & v_{0}=v-\frac{m v^{2}}{2 h} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-\frac{\left(9.1 \times 10^{-31}\right) \times\left(6 \times 10^{5}\right)^{2}}{2 \times\left(6.626 \times 10^{-34}\right)} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-2.472 \times 10^{14} \\ & \quad=4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

അതിനാല്‍, ഇലക്ട്രോണുകളുടെ ഫോട്ടോഎമിഷൻ എന്നതിന്റെ തെരഞ്ഞെടുപ്പ് ഫ്രിക്വന്‍സി $4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$.

ഉത്തരം

അര്‍ഗോണ്‍ ലാസർ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്ഭവിക്കുന്ന പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത, $\lambda=488 \mathrm{~nm}$ $=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ഫോട്ടോഇലക്ട്രോണുകളുടെ സ്റ്റോപ്പിംഗ് (കട്ടോഫ്) പോത്തൻ, $V_{0}=0.38 \mathrm{~V}$

$$ \begin{aligned} & 1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & \therefore V_{0}=\frac{0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ഒരു ഇലക്ട്രോണിലെ ചാർജ്, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത, $c=3 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ഐസ്ന്‍റൈനിന്റെ ഫോട്ടോഇലക്ട്രിക് എഫക്റ്റില്‍ മാറ്റത്തിന്റെ പ്രവേശന ഊര്‍ജ്ജം $\Phi_{0}$ എന്നതിന് സംബന്ധിച്ച സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

$$ \begin{aligned} & e V_{0}=\frac{h c}{\lambda}-\phi_{0} \\ & \phi_{0}=\frac{h c}{\lambda}-e V_{0} \\ & \quad=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}}-\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \\ & \quad=2.54-0.38=2.16 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

അതിനാല്‍, എമിറ്ററിനെ നിര്‍മ്മിച്ച മാറ്റത്തിന്റെ പ്രവേശന ഊര്‍ജ്ജം $2.16 \mathrm{eV}$.

ഉത്തരം

(a) ബള്‍റ്റിന്റെ ഭാരം, $m=0.040 \mathrm{~kg}$

ബള്‍റ്റിന്റെ വേഗത, $v=1.0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}=1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ബള്‍റ്റിന്റെ ഡബ്രോഗ്ലി വേഗത ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000}=1.65 \times 10^{-35} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

ബള്‍റ്റിന്റെ ഭാരം, $m=0.060 \mathrm{~kg}$

ബള്‍റ്റിന്റെ വേഗത, $v=1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ബള്‍റ്റിന്റെ ഡബ്രോഗ്ലി വേഗത ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1}=1.1 \times 10^{-32} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(c) ഡസ്റ്റ് പാറ്റിക്കിളിന്റെ ഭാരം, $m=1 \times 10^{-9} \mathrm{~kg}$

ഡസ്റ്റ് പാറ്റിക്കിളിന്റെ വേഗത, $v=2.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ഡസ്റ്റ് പാറ്റിക്കിളിന്റെ ഡബ്രോഗ്ലി വേഗത ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ \lambda=\frac{h}{m v} $$

$=\frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 1 \times 10^{-9}}=3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~m}$

ഉത്തരം

ഊര്‍ജ്ജം ഉള്ള ഒരു ഫോട്ടോണിന്റെ മോമെന്റം ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$$ \begin{align*} & p=\frac{h v}{c}=\frac{h}{\lambda} \\ & \lambda=\frac{h}{p} \tag{i} \end{align*} $$

ഇവിടെ,

$\lambda=$ എലിമെന്റററി റിയേഷൻ എന്നതിന്റെ വേഗത

$c=$ പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത

$h=$ പ്ലാങ്ക്കിന്റെ സ്ഥിരത

ഫോട്ടോണിന്റെ ഡബ്രോഗ്ലി വേഗത ഇനിപ്പറയുന്നതായി നല്‍കപ്പെടുന്നു:

$\lambda=\frac{h}{m v}$

എന്നാല്‍ $p=m v$

$\therefore \lambda=\frac{h}{p}$

ഇവിടെ,

$m=$ ഫോട്ടോണിന്റെ ഭാരം

$v=$ ഫോട്ടോണിന്റെ വേഗത

അതിനാല്‍, സമവാക്യങ്ങള്‍ (i) എന്നതും (ii) എന്നതും നിന്ന് കാണാം എന്നത് എലിമെന്റററി റിയേഷൻ എന്നതിന്റെ വേഗത ഫോട്ടോണിന്റെ ഡബ്രോഗ്ലി വേഗതയുമായി തുല്യമാണെന്ന്.