അദ്ധ്യായം 2 സ്ഥിതവൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യലും കപ്പാസിറ്റൻസും

ഉത്തരം

രണ്ട് ചാർജുകൾ ഉണ്ട്,

$q_{1}=5 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

$q_{2}=-3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

രണ്ട് ചാർജുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം, $d=16 \mathrm{~cm}=0.16 \mathrm{~m}$

തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, രണ്ട് ചാർജുകളെയും ചേർക്കുന്ന രേഖയിൽ ഒരു ബിന്ദു $\mathrm{P}$ പരിഗണിക്കുക.

$r=$ ചാർജ് $q_{1}$ ൽ നിന്നുള്ള ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ന്റെ ദൂരം

ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ലെ സ്ഥിതവൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യൽ $(V)$ പൂജ്യമായിരിക്കട്ടെ.

ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ലെ പൊട്ടൻഷ്യൽ യഥാക്രമം $q_{1}$, $q_{2}$ എന്നീ ചാർജുകൾ മൂലമുണ്ടാകുന്ന പൊട്ടൻഷ്യലുകളുടെ തുകയാണ്.

$\therefore V=\frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)}$

ഇവിടെ,

$\in_{0}=$ സ്വതന്ത്രാവകാശത്തിന്റെ പെർമിറ്റിവിറ്റി

$V=0$ എന്നതിന്, സമവാക്യം (i) ചുരുങ്ങുന്നത്

$$ \begin{aligned} & \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)} \\ & \frac{q_{1}}{r}=\frac{-q_{2}}{d-r} \\ & \frac{5 \times 10^{-8}}{r}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(0.16-r)} \\ & \frac{0.16}{r}-1=\frac{3}{5} \\ & \frac{0.16}{r}=\frac{8}{5} \\ & \therefore r=0.1 \mathrm{~m}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ചാർജുകൾക്കിടയിൽ, പോസിറ്റീവ് ചാർജിൽ നിന്ന് $10 \mathrm{~cm}$ ദൂരത്തിൽ പൊട്ടൻഷ്യൽ പൂജ്യമാണ്.

ബിന്ദു $\mathrm{P}$ രണ്ട് ചാർജുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പുറത്ത്, നെഗറ്റീവ് ചാർജിൽ നിന്ന് $s$ ദൂരത്തിൽ, പൊട്ടൻഷ്യൽ പൂജ്യമായിരിക്കുന്നു എന്ന് കരുതുക, താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.

ഈ ക്രമീകരണത്തിന്, പൊട്ടൻഷ്യൽ നൽകുന്നത്,

$$ \begin{equation*} V=\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} s}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} \tag{ii} \end{equation*} $$

$V=0$ എന്നതിന്, സമവാക്യം (ii) ചുരുങ്ങുന്നത്

$$ \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} s}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} $$

$\frac{q_{1}}{s}=\frac{-q_{2}}{s-d}$

$\frac{5 \times 10^{-8}}{s}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(s-0.16)}$

$1-\frac{0.16}{s}=\frac{3}{5}$

$\frac{0.16}{s}=\frac{2}{5}$

$\therefore s=0.4 \mathrm{~m}=40 \mathrm{~cm}$

അതിനാൽ, ചാർജുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പുറത്ത്, പോസിറ്റീവ് ചാർജിൽ നിന്ന് $40 \mathrm{~cm}$ ദൂരത്തിൽ പൊട്ടൻഷ്യൽ പൂജ്യമാണ്.

ഉത്തരം

തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രം ഒരു സമഷട്ഭുജത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളിൽ $q$ തുല്യ അളവിലുള്ള ആറ് ചാർജുകൾ കാണിക്കുന്നു.

ഇവിടെ,

ചാർജ്, $q=5 \mu \mathrm{C}=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

ഷട്ഭുജത്തിന്റെ വശം, $l=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FA}=10 \mathrm{~cm}$

കേന്ദ്രം $\mathrm{O}, d=10 \mathrm{~cm}$ ൽ നിന്ന് ഓരോ ശീർഷത്തിന്റെയും ദൂരം

ബിന്ദു $\mathrm{O}$ ലെ സ്ഥിതവൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യൽ,

$$ V=\frac{6 \times q}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

ഇവിടെ,

$$ \in_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & \therefore V=\frac{6 \times 9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \\ & \quad=2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഷട്ഭുജത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലെ പൊട്ടൻഷ്യൽ $2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V}$ ആണ്.

ഉത്തരം

സാഹചര്യം തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു സമപൊട്ടൻഷ്യൽ പ്രതലം എന്നത് മൊത്തം പൊട്ടൻഷ്യൽ എല്ലായിടത്തും പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന തലമാണ്. ഈ തലം $\mathrm{AB}$ രേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ്. ചാർജുകളുടെ പരിമാണം തുല്യമായതിനാൽ, ഈ തലം $\mathrm{AB}$ രേഖയുടെ മധ്യബിന്ദുവിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

ഈ പ്രതലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുവിലും വൈദ്യുതക്ഷേത്രത്തിന്റെ ദിശ $\mathrm{AB}$ യുടെ ദിശയിൽ തലത്തിന് ലംബമാണ്.

ഉത്തരം

ഗോളാകൃതിയിലുള്ള കണ്ടക്ടറിന്റെ ആരം, $r=12 \mathrm{~cm}=0.12 \mathrm{~m}$

ചാർജ് കണ്ടക്ടറിൽ ഏകതാനമായി വിതരണം ചെയ്തിരിക്കുന്നു, $q=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{C}$

ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള കണ്ടക്ടറിനുള്ളിലെ വൈദ്യുതക്ഷേത്രം പൂജ്യമാണ്. കാരണം, കണ്ടക്ടറിനുള്ളിൽ ക്ഷേത്രം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ നിഷ്പ്രഭമാക്കാൻ ചാർജുകൾ നീങ്ങും.

കണ്ടക്ടറിന് തൊട്ടുപുറത്തുള്ള വൈദ്യുതക്ഷേത്രം $E$ നൽകുന്നത് ബന്ധത്തിലൂടെയാണ്,

$$ E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} $$

ഇവിടെ,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{C}^{-2}$

$\therefore E=\frac{1.6 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^{-9}}{(0.12)^{2}}$

$=10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$

അതിനാൽ, ഗോളത്തിന് തൊട്ടുപുറത്തുള്ള വൈദ്യുതക്ഷേത്രം $10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$ ആണ്.

ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് $18 \mathrm{~m}$ ദൂരമുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലെ വൈദ്യുതക്ഷേത്രം $=E_{1}$

കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ബിന്ദുവിന്റെ ദൂരം, $d=18 \mathrm{~cm}=0.18 \mathrm{~m}$

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{q}{4 \pi \in_{0} d^{2}} \\ & =\frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{\left(18 \times 10^{-2}\right)^{2}} \\ & =4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് $18 \mathrm{~cm}$ ദൂരമുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലെ വൈദ്യുതക്ഷേത്രം

$4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

കപ്പാസിറ്ററിന്റെ സമാന്തര പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള കപ്പാസിറ്റൻസ്, $\mathrm{C}=8 \mathrm{pF}$

തുടക്കത്തിൽ, സമാന്തര പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം $d$ ആയിരുന്നു, അത് വായുവിൽ നിറച്ചിരുന്നു. വായുവിന്റെ ഡൈഇലക്ട്രിക് സ്ഥിരാങ്കം, $k=1$

കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C$, നൽകുന്നത് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ്,

$$ \begin{align*} C & =\frac{k \in_{0} A}{d} \\ & =\frac{\in_{0} A}{d} \tag{i} \end{align*} $$

ഇവിടെ,

$A=$ ഓരോ പ്ലേറ്റിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പകുതിയായി കുറച്ചാൽ, പുതിയ ദൂരം, $d=\frac{d}{2}$

പ്ലേറ്റുകൾക്കിടയിൽ നിറച്ച പദാർത്ഥത്തിന്റെ ഡൈഇലക്ട്രിക് സ്ഥിരാങ്കം, $k^{\prime}=6$

അതിനാൽ, കപ്പാസിറ്ററിന്റെ കപ്പാസിറ്റൻസ് ആകുന്നത്

$$ \begin{equation*} C^{\prime}=\frac{k^{\prime} \in_{0} A}{d^{\prime}}=\frac{6 \in_{0} A}{\frac{d}{2}} \tag{ii} \end{equation*} $$

സമവാക്യങ്ങളുടെ (i), (ii) അനുപാതങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} C^{\prime} & =2 \times 6 C \\ & =12 C \\ & =12 \times 8=96 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള കപ്പാസിറ്റൻസ് $96 \mathrm{pF}$ ആണ്.

ഉത്തരം

മൂന്ന് കപ്പാസിറ്ററുകളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C=9 \mathrm{pF}$

കപ്പാസിറ്ററുകളുടെ സംയോജനത്തിന്റെ തത്തുല്യ കപ്പാസിറ്റൻസ് $\left(C^{\prime}\right)$ നൽകുന്നത് ബന്ധത്തിലൂടെയാണ്,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{C^{\prime}} & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & =\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$\therefore C^{\prime}=3 \mu \mathrm{F}$

അതിനാൽ, സംയോജനത്തിന്റെ മൊത്തം കപ്പാസിറ്റൻസ് $3 \mu \mathrm{F}$ ആണ്.

സപ്ലൈ വോൾട്ടേജ്, $V=100 \mathrm{~V}$

ഓരോ കപ്പാസിറ്ററിലുമുള്ള പൊട്ടൻഷ്യൽ വ്യത്യാസം $\left(V^{\prime}\right)$ സപ്ലൈ വോൾട്ടേജിന്റെ മൂന്നിലൊന്നിന് തുല്യമാണ്.

$$ \therefore V^{\prime}=\frac{V}{3}=\frac{120}{3}=40 \mathrm{~V} $$

അതിനാൽ, ഓരോ കപ്പാസിറ്ററിലുമുള്ള പൊട്ടൻഷ്യൽ വ്യത്യാസം $40 \mathrm{~V}$ ആണ്.

ഉത്തരം

തന്നിരിക്കുന്ന കപ്പാസിറ്ററുകളുടെ കപ്പാസിറ്റൻസുകൾ

$$ \begin{aligned} & C_{1}=2 \mathrm{pF} \\ & C_{2}=3 \mathrm{pF} \\ & C_{3}=4 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

കപ്പാസിറ്ററുകളുടെ സമാന്തര സംയോജനത്തിന്, തത്തുല്യ കപ്പാസിറ്റർ $C^{\prime}$ നൽകുന്നത് ബീജഗണിത തുകയാണ്,

$$ C^{\prime}=2+3+4=9 \mathrm{pF} $$

അതിനാൽ, സംയോജനത്തിന്റെ മൊത്തം കപ്പാസിറ്റൻസ് $9 \mathrm{pF}$ ആണ്.

സപ്ലൈ വോൾട്ടേജ്, $V=100 \mathrm{~V}$

മൂന്ന് കപ്പാസിറ്ററുകളിലൂടെയുള്ള വോൾട്ടേജ് ഒരേപോലെയാണ് $=V=100 \mathrm{~V}$

$C$ കപ്പാസിറ്റൻസും $V$ പൊട്ടൻഷ്യൽ വ്യത്യാസവുമുള്ള ഒരു കപ്പാസിറ്ററിലെ ചാർജ് നൽകുന്നത് ബന്ധത്തിലൂടെയാണ്,

$q=V C \ldots$ (i)

$\mathrm{C}=2 \mathrm{pF}$ എന്നതിന്,

ചാർജ് $=V C=100 \times 2=200 \mathrm{pC}=2 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=3 \mathrm{pF}$ എന്നതിന്,

ചാർജ് $=V C=100 \times 3=300 \mathrm{pC}=3 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=4 \mathrm{pF}$ എന്നതിന്,

ചാർജ് $=V C=100 \times 4=200 \mathrm{pC}=4 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

ഉത്തരം

സമാന്തര പ്ലേറ്റ് കപ്പാസിറ്ററിന്റെ ഓരോ പ്ലേറ്റിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം, $A=6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം, $d=3 \mathrm{~mm}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

സപ്ലൈ വോൾട്ടേജ്, $V=100 \mathrm{~V}$

ഒരു സമാന്തര പ്ലേറ്റ് കപ്പാസിറ്ററിന്റെ കപ്പാസിറ്റൻസ് $C$ നൽകുന്നത്,

$C=\frac{\in_{0} A}{d}$

ഇവിടെ,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{C}^{-2}$

$$ \begin{aligned} \therefore C & =\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \\ & =17.71 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \\ & =17.71 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

പൊട്ടൻഷ്യൽ $V$ ചാർജ് $q$, കപ്പാസിറ്റൻസ് $C$ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} & V=\frac{q}{C} \\ & \therefore q=V C \\ & =100 \times 17.71 \times 10^{-12} \\ & =1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, കപ്പാസിറ്ററിന്റെ കപ്പാസിറ്റൻസ് $17.71 \mathrm{pF}$ ആണ്, ഓരോ പ്ലേറ്റിലുമുള്ള ചാർജ് $1.771 \times$ $10^{-9} \mathrm{C}$ ആണ്.

ഉത്തരം

മൈക്ക ഷീറ്റിന്റെ ഡൈഇലക്ട്രിക് സ്ഥിരാങ്കം, $k=6$

പ്രാരംഭ കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

പുതിയ കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

സപ്ലൈ വോൾട്ടേജ്, $V=100 \mathrm{~V}$

പുതിയ ചാർജ്, $q^{\prime}=C^{\prime} V=6 \times 1.771 \times 10^{-9}=1.06 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

പ്ലേറ്റുകളിലുടനീളമുള്ള പൊട്ടൻഷ്യൽ $100 \mathrm{~V}$ ആയി തുടരുന്നു.

ഡൈഇലക്ട്രിക് സ്ഥിരാങ്കം, $k=6$

പ്രാരംഭ കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

പുതിയ കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

സപ്ലൈ വോൾട്ടേജ് നീക്കം ചെയ്താൽ, പ്ലേറ്റുകളിലെ ചാർജിന്റെ അളവിൽ യാതൊരു പ്രഭാവവുമുണ്ടാകില്ല.

ചാർജ് $=1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C}$

പ്ലേറ്റുകളിലുടനീളമുള്ള പൊട്ടൻഷ്യൽ നൽകുന്നത്,

$$ \begin{aligned} \therefore V^{\prime} & =\frac{q}{C^{\prime}} \\ & =\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}} \\ & =16.7 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

ഉത്തരം

കപ്പാസിറ്ററിന്റെ കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C=12 \mathrm{pF}=12 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

പൊട്ടൻഷ്യൽ വ്യത്യാസം, $V=50 \mathrm{~V}$

കപ്പാസിറ്ററിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കുന്ന സ്ഥിതവൈദ്യുത ഊർജ്ജം നൽകുന്നത് ബന്ധത്തിലൂടെയാണ്,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times(50)^{2} \\ & =1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, കപ്പാസിറ്ററിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കുന്ന സ്ഥിതവൈദ്യുത ഊർജ്ജം $1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J}$ ആണ്.

ഉത്തരം

കപ്പാസിറ്ററിന്റെ കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C=600 \mathrm{pF}$

പൊട്ടൻഷ്യൽ വ്യത്യാസം, $V=200 \mathrm{~V}$

കപ്പാസിറ്ററിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കുന്ന സ്ഥിതവൈദ്യുത ഊർജ്ജം നൽകുന്നത്,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(600 \times 10^{-12}\right) \times(200)^{2} \\ & =1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

കപ്പാസിറ്ററിൽ നിന്ന് സപ്ലൈ ഡിസ്കണക്റ്റുചെയ്ത് $C=600$ $\mathrm{pF}$ കപ്പാസിറ്റൻസുള്ള മറ്റൊരു കപ്പാസിറ്റർ അതുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചാൽ, സംയോജനത്തിന്റെ തത്തുല്യ കപ്പാസിറ്റൻസ് $(C)$ നൽകുന്നത്,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{C^{\prime}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & \quad=\frac{1}{600}+\frac{1}{600}=\frac{2}{600}=\frac{1}{300} \\ & \therefore C^{\prime}=300 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

പുതിയ സ്ഥിതവൈദ്യുത ഊർജ്ജം കണക്കാക്കാം

$$ \begin{aligned} E^{\prime} & =\frac{1}{2} \times C^{\prime} \times V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 300 \times(200)^{2} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

സ്ഥിതവൈദ്യുത ഊർജ്ജത്തിലെ നഷ്ടം $=E-E^{\prime}$

$$ \begin{aligned} & =1.2 \times 10^{-5}-0.6 \times 10^{-5} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \\ & =6 \times 10^{-6} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഈ പ്രക്രിയയിൽ നഷ്ടപ്പെട്ട സ്ഥിതവൈദ്യുത ഊർജ്ജം $6 \times 10^{-6} \mathrm{~J}$ ആണ്.