അദ്ധ്യായം 8 വിദ്യുത്കാന്ത തരംഗങ്ങൾ

ഉത്തരം

ഓരോ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്ലേറ്റിന്റെയും ആരം, $r=12 \mathrm{~cm}=12 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള അകലം, $d=5 \mathrm{~cm}=5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

ചാർജിംഗ് കറന്റ്, $I=0.15 \mathrm{~A}$

സ്വതന്ത്ര സ്ഥലത്തിന്റെ പെർമിറ്റിവിറ്റി, $\varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} C^{2} N^{-1} m^{-2}$

(a) രണ്ട് പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള കപ്പാസിറ്റൻസ് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധത്തിലൂടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു,

$A=$ ഓരോ പ്ലേറ്റിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം $=\pi r^{2}$

$C=\frac{\varepsilon_{0} \pi r^{2}}{d}$

$=\frac{8.85 \times 10^{-12} \times 3.14 \times\left(12 \times 10^{-2}\right)^{2}}{5 \times 10^{-2}}$

$C=8.0032 \times 10^{-12} F=8 p F$

ഓരോ പ്ലേറ്റിലുമുള്ള ചാർജ്, $q=C V$

ഇവിടെ,

$\mathrm{V}=$ പ്ലേറ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള പൊട്ടൻഷ്യൽ വ്യത്യാസം

സമയം $(t)$ എന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇരുവശത്തും വ്യത്യാസം:

$\frac{d q}{d t}=C \frac{d V}{d t}$

എന്നാൽ, $\frac{d q}{d t}=$ കറന്റ് $(I)$

$\therefore \frac{d V}{d t}=\frac{I}{C}$

$\Rightarrow \frac{0.15}{80.032 \times 10^{-12}}=1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$

അതിനാൽ, പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള പൊട്ടൻഷ്യൽ വ്യത്യാസത്തിലെ മാറ്റം $1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$ ആണ്.

(b) പ്ലേറ്റുകളിലുടനീളമുള്ള സ്ഥാനാന്തര കറന്റ്, ചാലക കറന്റിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സ്ഥാനാന്തര കറന്റ്, id ആണ് $0.15 \mathrm{~A}$.

(c) അതെ

സ്ഥാനാന്തര കറന്റ് ചാലക കറന്റിന് തുല്യമായതിനാൽ കപ്പാസിറ്ററിന്റെ ഓരോ പ്ലേറ്റിലും കിർച്ചോഫിന്റെ ആദ്യ നിയമം സാധുവാണ്.

ഉത്തരം ഓരോ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്ലേറ്റിന്റെയും ആരം, $R=6.0 \mathrm{~cm}=0.06 \mathrm{~m}$

ഒരു സമാന്തര പ്ലേറ്റ് കപ്പാസിറ്ററിന്റെ കപ്പാസിറ്റൻസ്, $C=100 \mathrm{pF}=100 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

സപ്ലൈ വോൾട്ടേജ്, $V=230 \mathrm{~V}$

ആന്ഗുലാർ ആവൃത്തി, $\omega=300 \mathrm{rad}_{s^{-1}}$

(a) ചാലക കറന്റിന്റെ rms മൂല്യം, $I_{r m s}=\frac{V_{r m s}}{X_{c}}$

ഇവിടെ,

$X_{C}=$ കപ്പാസിറ്റീവ് റിയാക്റ്റൻസ്

$=\frac{1}{\omega C}$

$\therefore I=V_{r m s} \times \omega C$

$=230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12}$

$=6.9 \times 10^{-6} \mathrm{~A}$

$=6.9 \mu \mathrm{A}$

അതിനാൽ, ചാലക കറന്റിന്റെ rms മൂല്യം $6.9 \mu \mathrm{A}$ ആണ്.

(b) അതെ, ചാലക കറന്റ് സ്ഥാനാന്തര കറന്റിന് തുല്യമാണ്.

(c) കാന്തികക്ഷേത്രം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$B=\frac{\mu_{o} r}{2 \pi R^{2}} I_{o}$

ഇവിടെ,

$\mu_{0}=$ സ്വതന്ത്ര സ്ഥലത്തിന്റെ പെർമിയബിലിറ്റി $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{NA}^{-2}$

$I 0=$ കറന്റിന്റെ പരമാവധി മൂല്യം $=\sqrt{2} l$ $r=$ അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് പ്ലേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള അകലം $=3.0 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$

$B=\frac{\mu_{0} I_{0} r}{2 \pi R^{2}}=\frac{\mu_{0} I_{r m s} \sqrt{2} r}{2 \pi R^{2}}$

$\therefore B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.03 \times \sqrt{2} \times 6.9 \times 10^{-6}}{2 \pi \times(0.06)^{2}}$

$=1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$ അതിനാൽ, ആ ബിന്ദുവിലെ കാന്തികക്ഷേത്രം $1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$ ആണ്.

ഉത്തരം

വിദ്യുത്കാന്ത തരംഗം ശൂന്യതയിൽ z-ദിശയിലാണ് സഞ്ചരിക്കുന്നത്. വൈദ്യുതക്ഷേത്രം $(E)$, കാന്തികക്ഷേത്രം $(H)$ എന്നിവ $x-y$ തലത്തിലാണ്. അവ പരസ്പരം ലംബമാണ്.

തരംഗത്തിന്റെ ആവൃത്തി, $v=30 \mathrm{MHz}=30 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}$

ശൂന്യതയിലെ പ്രകാശവേഗം, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ഒരു തരംഗത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{30 \times 10^{6}}=10 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

ഉത്തരം

ഓസിലേറ്റർ ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്ന ഒരു വിദ്യുത്കാന്ത തരംഗത്തിന്റെ ആവൃത്തി, ഒരു ചാർജ്ജ് കണിക അതിന്റെ ശരാശരി സ്ഥാനത്തിന് ചുറ്റും ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന അതേ ആവൃത്തിയാണ്, അതായത് $10^{9} \mathrm{~Hz}$.

ഉത്തരം

ശൂന്യതയിലെ ഒരു വിദ്യുത്കാന്ത തരംഗത്തിന്റെ കാന്തികക്ഷേത്രത്തിന്റെ വ്യാപ്തി,

$B 0=510 \mathrm{nT}=510 \times 10^{-9} \mathrm{~T}$

ശൂന്യതയിലെ പ്രകാശവേഗം, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

വിദ്യുത്കാന്ത തരംഗത്തിന്റെ വൈദ്യുതക്ഷേത്രത്തിന്റെ വ്യാപ്തി ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധത്തിലൂടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു,

$c=\frac{E_{0}}{B_{0}}$

$E_{0}=c B_{0}$

$=3 \times 10^{8} \times 510 \times 10^{-9}=153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

അതിനാൽ, തരംഗത്തിന്റെ വൈദ്യുതക്ഷേത്ര ഭാഗം $153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$ ആണ്.

ഉത്തരം

വൈദ്യുതക്ഷേത്ര വ്യാപ്തി, $E_{0}=120 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

ഉറവിടത്തിന്റെ ആവൃത്തി, $v=50.0 \mathrm{MHz}=50 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}$

പ്രകാശവേഗം, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(a) കാന്തികക്ഷേത്ര ശക്തിയുടെ പരിമാണം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$B_{0}=\frac{E_{0}}{c}$

$=\frac{120}{3 \times 10^{8}}$

$=4 \times 10^{-7} \mathrm{~T}=400 \mathrm{nT}$

ഉറവിടത്തിന്റെ കോണീയ ആവൃത്തി ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$\omega=2 n v=2 \pi \times 50 \times 10^{6}$

$=3.14 \times 10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$

പ്രചരണ സ്ഥിരാങ്കം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു: $k=\frac{2 \pi \nu}{c}=\frac{\omega}{c}$

$=\frac{3.14 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}}=1.05 \mathrm{rad} / \mathrm{m}$

തരംഗത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$\lambda=\frac{c}{v}$

$=\frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}}=6.0 \mathrm{~m}$

(b) തരംഗം പോസിറ്റീവ് $x$ ദിശയിലാണ് പ്രചരിക്കുന്നതെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ, വൈദ്യുതക്ഷേത്ര വെക്ടർ പോസിറ്റീവ് $y$ ദിശയിലും കാന്തികക്ഷേത്ര വെക്ടർ പോസിറ്റീവ് $z$ ദിശയിലും ആയിരിക്കും. കാരണം, ഈ മൂന്ന് വെക്ടറുകളും പരസ്പരം ലംബമാണ്.

വൈദ്യുതക്ഷേത്ര വെക്ടറിന്റെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$E=E_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{j}$

$\vec{E}=120 \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{j} N / C$

കൂടാതെ, കാന്തികക്ഷേത്ര വെക്ടർ ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$B=B_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{k}$

$\vec{B}=\left(4 \times 10^{-7}\right) \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{k}$ ടെസ്ല

ഉത്തരം

ഒരു ഫോട്ടോണിന്റെ ഊർജ്ജം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു: $E=h v=\frac{h c}{\lambda}$

ഇവിടെ,

$h=$ പ്ലാങ്കിന്റെ സ്ഥിരാങ്കം $=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$c=$ പ്രകാശവേഗം $=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

$\lambda=$ വികിരണത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം

$\therefore E=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\lambda}=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda}$

$=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda \times 1.6 \times 10^{-19}}=\frac{12.375 \times 10^{-7}}{\lambda} \mathrm{eV}$

തന്നിരിക്കുന്ന പട്ടിക വിവിധ $\lambda$ എന്നതിനായുള്ള ഒരു വിദ്യുത്കാന്ത സ്പെക്ട്രത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങൾക്കുള്ള ഫോട്ടോൺ ഊർജ്ജങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു.

ഒരു ഉറവിടത്തിന്റെ സ്പെക്ട്രത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങൾക്കുള്ള ഫോട്ടോൺ ഊർജ്ജങ്ങൾ, ഉറവിടത്തിന്റെ പ്രസക്തമായ ഊർജ്ജ നിലകളുടെ ഇടവേള സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉത്തരം

വിദ്യുത്കാന്ത തരംഗത്തിന്റെ ആവൃത്തി, $v=$ $$ 2 \times 10^{10} \mathrm{~Hz} $$

വൈദ്യുതക്ഷേത്ര വ്യാപ്തി, $$ E_0=48 \mathrm{Vm}^{-1} $$

പ്രകാശവേഗം, $c=$ $$ 3 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $$

(a) ഒരു തരംഗത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു: $$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \ & = \ & \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{10}}=0.015 \mathrm{~m} \end{aligned} $$ (b) കാന്തികക്ഷേത്ര ശക്തി ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു: $$ \begin{aligned} & B_0=\frac{E_0}{c} \ & = \ & \frac{48}{3 \times 10^8}=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{~T} \end{aligned} $$ (c) വൈദ്യുതക്ഷേത്രത്തിന്റെ ഊർജ്ജ സാന്ദ്രത ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു: $$ U_E=\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 $$

കാന്തികക്ഷേത്രത്തിന്റെ ഊർജ്ജ സാന്ദ്രത ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു: $$ U_B=\frac{1}{2 \mu_0} B^2 $$

ഇവിടെ, $\epsilon_0$ $=$ സ്വതന്ത്ര സ്ഥലത്തിന്റെ പെർമിറ്റിവിറ്റി

$\mu_0$ $=$ സ്വതന്ത്ര സ്ഥലത്തിന്റെ പെർമിയബിലിറ്റി $$ \mathrm{E}=\mathrm{CB} $$

ഇവിടെ, $$ c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \quad \quad (….2)$$

സമവാക്യം (2) സമവാക്യം (1) ൽ ഇടുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു $$ E=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} B $$

ഇരുവശത്തും വർഗ്ഗീകരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു $$ \begin{aligned} & E^2=\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} B^2 \ & \epsilon_0 E^2=\frac{B^2}{\mu_0} \ & \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2=\frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \ & => \ & U_E=U_B \end{aligned} $$