अध्याय 12 गतिज सिद्धांत उदाहरणे

उत्तर

ऑक्सिजन रेणूचा व्यास, $d=3 \mathring{A}$

त्रिज्या, $r=\frac{d}{2}=\frac{3}{2}=1.5 \mathring{A}=1.5 \times 10^{-8} cm$

$STP=22400 cm^{3}$ वर 1 मोल ऑक्सिजन वायूने व्यापलेले वास्तविक आकारमान

ऑक्सिजन वायूचे आण्विक आकारमान,

$ V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \cdot N $

जिथे, $N$ ही अवोगाड्रो संख्या $=6.023 \times 10^{23}$ रेणू $/ mole$

$\therefore V=\frac{4}{3} \times 3.14 \times(1.5 \times 10^{-8})^{3} \times 6.023 \times 10^{23}=8.51 cm^{3}$

ऑक्सिजनच्या आण्विक आकारमानाचे वास्तविक आकारमानाशी गुणोत्तर $=\frac{8.51}{22400}$

$=3.8 \times 10^{-4}$

उत्तर

दाब $(P)$, आकारमान $(V)$, आणि परिपूर्ण तापमान $(T)$ यांचा संबंध दर्शविणारे आदर्श वायू समीकरण: $P V=n R T$

जिथे,

$R$ हा सार्वत्रिक वायू स्थिरांक $=8.314 J mol^{-1} K^{-1}$

$n=$ मोलची संख्या $=1$

$T=$ प्रमाणित तापमान $=273 K$

$P=$ प्रमाणित दाब $=1 atm=1.013 \times 10^{5} Nm^{-2}$

$\therefore V=\frac{n R T}{P}$

$=\frac{1 \times 8.314 \times 273}{1.013 \times 10^{5}}$

$=0.0224 m^{3}$

$=22.4$ लिटर

म्हणून, STP वर वायूचे मोलर आकारमान 22.4 लिटर आहे.

उत्तर

(a) आलेखातील ठिपकेवार आलेख वायूची आदर्श वर्तणूक दर्शवतो, म्हणजेच गुणोत्तर $\frac{P V}{T}$ समान आहे. $\mu R$ ( $\mu$ ही मोलची संख्या आणि $R$ हा सार्वत्रिक वायू स्थिरांक) हे स्थिर प्रमाण आहे. ते वायूच्या दाबावर अवलंबून नाही.

(b) दिलेल्या आलेखातील ठिपकेवार आलेख आदर्श वायू दर्शवतो. तापमान $T_1$ वरील वायूचा वक्र हा तापमान $T_2$ वरील वायूच्या वक्रापेक्षा ठिपकेवार आलेखाच्या जवळ आहे. वास्तविक वायू जेव्हा त्याचे तापमान वाढते तेव्हा आदर्श वायूच्या वर्तणुकीच्या जवळ जातो.

म्हणून, दिलेल्या आलेखासाठी $T_1>T_2$ हे खरे आहे.

(c) दोन वक्र जिथे भेटतात त्या ठिकाणी $P V / T$ गुणोत्तराचे मूल्य $\mu R$ आहे. याचे कारण आदर्श वायू समीकरण पुढीलप्रमाणे दिले आहे:

$P V=\mu R T$

$\frac{P V}{T}=\mu R$

जिथे,

$P$ हा दाब आहे

$T$ हे तापमान आहे

$V$ हे आकारमान आहे

$\mu$ ही मोलची संख्या आहे

$R$ हा सार्वत्रिक स्थिरांक आहे

ऑक्सिजनचे आण्विक वस्तुमान $=32.0 g$

ऑक्सिजनचे वस्तुमान $=1 \times 10^{-3} kg=1 g$

$R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

$\therefore \frac{P V}{T}=\frac{1}{32} \times 8.314$ $=0.26 J K^{-1}$

म्हणून, वक्र जिथे $y$-अक्षावर भेटतात त्या ठिकाणी $P V / T$ गुणोत्तराचे मूल्य

$0.26 J K^{-1}$ आहे.

(d) जर आपण $1.00 \times 10^{-3} kg$ हायड्रोजनसाठी समान आलेख मिळवले, तर वक्र जिथे $y$-अक्षावर भेटतात त्या ठिकाणी $P V / T$ चे समान मूल्य मिळणार नाही. याचे कारण हायड्रोजनचे आण्विक वस्तुमान $(2.02 u)$ हे ऑक्सिजनच्या $(32.0 u)$ पेक्षा वेगळे आहे.

आपल्याकडे:

$\frac{P V}{T}=0.26 J K^{-1}$

$R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

$H_2=2.02 u$ चे आण्विक वस्तुमान $(M)$

$\frac{P V}{T}=\mu R$ स्थिर तापमानाला

जिथे, $\mu=\frac{m}{M}$

$H_2$ चे वस्तुमान $m=$

$\therefore \quad m=\frac{P V}{T} \times \frac{M}{R}$

$=\frac{0.26 \times 2.02}{8.31}$

$=6.3 \times 10^{-2} g=6.3 \times 10^{-5} kg$

म्हणून, $H_2$ चे $6.3 \times 10^{-5} kg$ हे $P V / T$ चे समान मूल्य देईल.

उत्तर

ऑक्सिजनचे आकारमान, $V_1=30$ लिटर $=30 \times 10^{-3} m^{3}$

गेज दाब, $P_1=15 atm=15 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

तापमान, $T_1=27^{\circ} C=300 K$

सार्वत्रिक वायू स्थिरांक, $R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

सिलिंडरमधील ऑक्सिजन वायूची प्रारंभिक मोल संख्या $n_1$ मानू.

वायू समीकरण पुढीलप्रमाणे दिले आहे:

$P_1 V_1=n_1 R T_1$

$\therefore n_1=\frac{P_1 V_1}{R T_1}$

$=\frac{15.195 \times 10^{5} \times 30 \times 10^{-3}}{(8.314) \times 300}=18.276$

परंतु, $n_1=\frac{m_1}{M}$

जिथे,

$m_1=$ ऑक्सिजनचे प्रारंभिक वस्तुमान

$M=$ ऑक्सिजनचे आण्विक वस्तुमान $=32 g$

$\therefore m_1=n_1 M=18.276 \times 32=584.84 g$

सिलिंडरमधून काही ऑक्सिजन काढल्यानंतर, दाब आणि तापमान कमी होते.

आकारमान, $V_2=30$ लिटर $=30 \times 10^{-3} m^{3}$

गेज दाब, $P_2=11 atm=11 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

तापमान, $T_2=17^{\circ} C=290 K$

सिलिंडरमध्ये उरलेल्या ऑक्सिजनची मोल संख्या $n_2$ मानू.

वायू समीकरण पुढीलप्रमाणे दिले आहे:

$P_2 V_2=n_2 R T_2$

$\therefore n_2=\frac{P_2 V_2}{R T_2}$

$=\frac{11.143 \times 10^{5} \times 30 \times 10^{-3}}{8.314 \times 290}=13.86$

परंतु, $n_2=\frac{m_2}{M}$

जिथे,

$m_2$ हे सिलिंडरमध्ये उरलेल्या ऑक्सिजनचे वस्तुमान आहे

$\therefore m_2=n_2 M=13.86 \times 32=453.1 g$

सिलिंडरमधून बाहेर काढलेल्या ऑक्सिजनचे वस्तुमान पुढील संबंधाने दिले आहे:

सिलिंडरमधील ऑक्सिजनचे प्रारंभिक वस्तुमान - सिलिंडरमधील ऑक्सिजनचे अंतिम वस्तुमान

$=m_1-m_2$

$=584.84 g-453.1 g$

$=131.74 g$

$=0.131 kg$

म्हणून, सिलिंडरमधून $0.131 kg$ ऑक्सिजन बाहेर काढले जाते.

उत्तर

हवेच्या बुडबुड्याचे आकारमान, $V_1=1.0 cm^{3}=1.0 \times 10^{-6} m^{3}$

बुडबुडा वर येण्याची उंची, $d=40 m$

$40 m, T_1=12^{\circ} C=285 K$ खोलीवरील तापमान

तलावाच्या पृष्ठभागावरील तापमान, $T_2=35^{\circ} C=308 K$

तलावाच्या पृष्ठभागावरील दाब:

$P_2=1 atm=1 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

$40 m$ खोलीवरील दाब:

$P_1=1 atm+d \rho g$

जिथे,

$\rho$ ही पाण्याची घनता $=10^{3} kg / m^{3}$ आहे

$g$ हे गुरुत्वीय त्वरण $=9.8 m / s^{2}$ आहे

$\therefore P_1=1.013 \times 10^{5}+40 \times 10^{3} \times 9.8=493300 Pa$

आपल्याकडे: $\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}$

जिथे, $V_2$ हे हवेच्या बुडबुड्याचे आकारमान आहे जेव्हा तो पृष्ठभागावर पोहोचतो

$V_2=\frac{P_1 V_1 T_2}{T_1 P_2}$

$=\frac{(493300)(1.0 \times 10^{-6}) 308}{285 \times 1.013 \times 10^{5}}$

$=5.263 \times 10^{-6} m^{3}$ किंवा $5.263 cm^{3}$

म्हणून, हवेचा बुडबुडा पृष्ठभागावर पोहोचल्यावर, त्याचे आकारमान $5.263 cm^{3}$ होते.

उत्तर

खोलीचे आकारमान, $V=25.0 m^{3}$

खोलीचे तापमान, $T=27^{\circ} C=300 K$

खोलीतील दाब, $P=1 atm=1 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

दाब $(P)$, आकारमान $(V)$, आणि परिपूर्ण तापमान $(T)$ यांचा संबंध दर्शविणारे आदर्श वायू समीकरण पुढीलप्रमाणे लिहिता येते:

$P V=k_B N T$

जिथे,

$K_B$ हा बोल्ट्झमान स्थिरांक $=1.38 \times 10^{-23} m^{2} kg s^{-2} K^{-1}$ आहे

$N$ ही खोलीतील हवेच्या रेणूंची संख्या आहे

$ \begin{aligned} & \quad N=\frac{P V}{k_B T} \\ & =\frac{1.013 \times 10^{5} \times 25}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}=6.11 \times 10^{26} \text{ molecules } \end{aligned} $

म्हणून, दिलेल्या खोलीतील हवेच्या एकूण रेणूंची संख्या $6.11 \times 10^{26}$ आहे.

उत्तर

खोलीच्या तापमानाला, $T=27^{\circ} C=300 K$

सरासरी उष्णता ऊर्जा $=\frac{3}{2} k T$

जिथे $k$ हा बोल्ट्झमान स्थिरांक $=1.38 \times 10^{-23} m^{2} kg s^{-2} K^{-1}$ आहे

$\therefore \frac{3}{2} k T=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-38} \times 300$

$=6.21 \times 10^{-21} J$

म्हणून, खोलीच्या तापमान $(27^{\circ} C)$ वर हेलियम अणूची सरासरी उष्णता ऊर्जा $6.21 \times$ $10^{-21} J$ आहे.

सूर्याच्या पृष्ठभागावर, $T=6000 K$

सरासरी उष्णता ऊर्जा $=\frac{3}{2} k T$

$=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-38} \times 6000$

$=1.241 \times 10^{-19} J$

म्हणून, सूर्याच्या पृष्ठभागावरील हेलियम अणूची सरासरी उष्णता ऊर्जा $1.241 \times$ $10^{-19} J$ आहे.

तापमान, $T=10^{7} K$ वर

सरासरी उष्णता ऊर्जा $=\frac{3}{2} k T$

$=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 10^{7}$

$=2.07 \times 10^{-16} J$

म्हणून, ताऱ्याच्या गाभ्यातील हेलियम अणूची सरासरी उष्णता ऊर्जा $2.07 \times 10^{-16} J$ आहे.

उत्तर

होय. सर्वांमध्ये संबंधित रेणूंची समान संख्या आहे.

नाही. निऑनची वर्गमध्यम वर्गमूळ गती सर्वात मोठी आहे.

तीनही भांड्यांची क्षमता समान असल्यामुळे, त्यांचे आकारमान समान आहे.

म्हणून, प्रत्येक वायूचा दाब, आकारमान आणि तापमान समान आहे.

अवोगाड्रोच्या नियमानुसार, तीनही भांड्यांमध्ये संबंधित रेणूंची समान संख्या असेल. ही संख्या अवोगाड्रो संख्या, $N=6.023 \times 10^{23}$ इतकी आहे.

वस्तुमान $m$ आणि तापमान $T$ असलेल्या वायूची वर्गमध्यम वर्गमूळ गती ( $v_{rms}$ ) पुढील संबंधाने दिली जाते:

$ v_{rms}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}} $

जिथे, $k$ हा बोल्ट्झमान स्थिरांक आहे

दिलेल्या वायूंसाठी, $k$ आणि $T$ हे स्थिरांक आहेत.

म्हणून $v_{\text{rms }}$ हे केवळ अणूंच्या वस्तुमानावर अवलंबून आहे, म्हणजेच,

$ v_{rms} \propto \sqrt{\frac{1}{m}} $

म्हणून, तीनही प्रकरणांमध्ये रेणूंची वर्गमध्यम वर्गमूळ गती समान नाही. निऑन, क्लोरीन, आणि युरेनियम हेक्साफ्लोराइड यामध्ये, निऑनचे वस्तुमान सर्वात लहान आहे. म्हणून, दिलेल्या वायूंमध्ये निऑनची वर्गमध्यम वर्गमूळ गती सर्वात मोठी आहे.

उत्तर

हेलियम अणूचे तापमान, $T_{He}=-20^{\circ} C=253 K$

आर्गॉनचे अणुवस्तुमान, $M_{Ar}=39.9 u$

हेलियमचे अणुवस्तुमान, $M_{He}=4.0 u$

आर्गॉनची rms गती $(v_{rms})_{Ar}$ मानू.

हेलियमची rms गती $(v_{rms})_{He}$ मानू.

आर्गॉनची rms गती पुढीलप्रमाणे दिली आहे:

$(v_{rms})_{Ar} $

$=\sqrt{\frac{3 R T_{Ar}}{M_{Ar}}}\ldots(i)$

जिथे,

$R$ हा सार्वत्रिक वायू स्थिरांक आहे

$T_{Ar}$ हे आर्गॉन वायूचे तापमान आहे

हेलियमची rms गती पुढीलप्रमाणे दिली आहे:

$(v_{rms})_{He}$

$=\sqrt{\frac{3 R T_{He}}{M_{He}}} \ldots($ ii $)$

हे दिले आहे की:

$(v_{\text{rms }})_{Ar}$

$=(v_{rms})_{He}$

$ \begin{aligned} & \sqrt{\frac{3 R T_{Ar}}{M_{Ar}}}=\sqrt{\frac{3 R T_{He}}{M_{He}}} \\ \\ & \frac{T_{Ar}}{M_{Ar}}=\frac{T_{He}}{M_{He}} \\ \\ & T_{Ar}=\frac{T_{He}}{M_{He}} \times M_{Ar} \\ \\ & =\frac{253}{4} \times 39.9 \\ \\ & =2523.675=2.52 \times 10^{3} K \end{aligned} $

म्हणून, आर्गॉन अणूचे तापमान $2.52 \times 10^{3} K$ आहे.

उत्तर

मध्यम मुक्त पथ $=1.11 \times 10^{-7} m$

आघात वारंवारता $=4.58 \times 10^{9} s^{-1}$

सलग आघातांमधील कालावधी $\approx 500 \times($ आघात कालावधी $)$

नायट्रोजन असलेल्या सिलिंडरमधील दाब, $P=2.0 atm=2.026 \times 10^{5} Pa$

सिलिंडरमधील तापमान, $T=17^{\circ} C=290 K$

नायट्रोजन रेणूची त्रिज्या, $r=1.0 \mathring{A}=1 \times 10^{10} m$

व्यास, $d=2 \times 1 \times 10^{10}=2 \times 10^{10} m$

नायट्रोजनचे आण्विक वस्तुमान, $M=28.0 g=28 \times 10^{-3} kg$

नायट्रोजनची वर्गमध्यम वर्गमूळ गती पुढील संबंधाने दिली आहे: $v_{\text{rms }}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}$

जिथे,

$R$ हा सार्वत्रिक वायू स्थिरांक $=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$ आहे

$\therefore v_{\text{rms }}=\sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 290}{28 \times 10^{-3}}}=508.26 m / s$

मध्यम मुक्त पथ $(l)$ हे पुढील संबंधाने दिले आहे:

$l=\frac{k T}{\sqrt{2} \times d^{2} \times P}$

जिथे,

$k$ हा बोल्ट्झमान स्थिरांक $=1.38 \times 10^{-23} kg m^{2} s^{-2} K^{-1}$ आहे

$\therefore l=\frac{1.38 \times 10^{-23} \times 290}{\sqrt{2} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-10})^{2} \times 2.026 \times 10^{5}}$

$=1.11 \times 10^{-7} m$

आघात वारंवारता $=\frac{v_{\text{rms }}}{l}$

$=\frac{508.26}{1.11 \times 10^{-7}}=4.58 \times 10^{9} s^{-1}$

आघात कालावधी पुढीलप्रमाणे दिला आहे:

$T=\frac{d}{v_{\text{ms }}}$

$=\frac{2 \times 10^{-10}}{508.26}=3.93 \times 10^{-13} s$

सलग आघातांमधील कालावधी:

$T^{\prime}=\frac{l}{v_{\text{ms }}}$

$ \begin{aligned} & =\frac{1.11 \times 10^{-7} m}{508.26 m / s}=2.18 \times 10^{-10} s \\ & \quad \frac{T^{\prime}}{T}=\frac{2.18 \times 10^{-10}}{3.93 \times 10^{-13}}=500 \end{aligned} $

म्हणून, सलग आघातांमधील कालावधी हा आघाताच्या कालावधीच्या 500 पट आहे.