अध्याय १० तरंग प्रकाशिकी

उत्तर

$I_{1}$ आणि $I_{2}$ ही दोन प्रकाश तरंगांची तीव्रता मानू. त्यांची परिणामी तीव्रता खालीलप्रमाणे मिळवता येते:

$I^{\prime}=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \phi$

येथे,

$\phi=$ दोन तरंगांमधील कलांतर

एकवर्णी प्रकाश तरंगांसाठी,

$$ \begin{aligned} & I_{1}=I_{2} \\ & \begin{aligned} \therefore I^{\prime} & =I_{1}+I_{1}+2 \sqrt{I_{1} I_{1}} \cos \phi \\ & =2 I_{1}+2 I_{1} \cos \phi \end{aligned} \end{aligned} $$

कलांतर $=\frac{2 \pi}{\lambda} \times$ पथांतर

पथांतर $=\lambda$ असल्याने,

कलांतर, $\phi=2 \pi$

$\therefore I^{\prime}=2 I_{1}+2 I_{1}=4 I_{1}$

दिलेले,

$I^{\prime}=K$

$\therefore I_{1}=\frac{K}{4}$

जेव्हा पथांतर $=\frac{\lambda}{3}$,

कलांतर, $\phi=\frac{2 \pi}{3}$

म्हणून, परिणामी तीव्रता, $I_{R}^{\prime}=I_{1}+I_{1}+2 \sqrt{I_{1} I_{1}} \cos \frac{2 \pi}{3}$

$=2 I_{1}+2 I_{1}\left(-\frac{1}{2}\right)=I_{1}$

समीकरण (1) वापरून, आपण लिहू शकतो:

$I_{R}=I_{1}=\frac{K}{4}$

म्हणून, ज्या बिंदूवर पथांतर $\frac{\lambda}{3}$ आहे त्या बिंदूवरील प्रकाशाची तीव्रता $\frac{K}{4}$ एकक आहे.

उत्तर

बिंदू स्रोतापासून अपसरत जाणाऱ्या प्रकाशाच्या बाबतीत तरंगाग्राचा आकार गोलाकार असतो. बिंदू स्रोतापासून निघणारे तरंगाग्र दिलेल्या आकृतीत दाखवले आहे.

बिंदू स्रोत त्याच्या केंद्रबिंदूवर ठेवल्यावर बहिर्गोल भिंगातून बाहेर पडणाऱ्या प्रकाशाच्या बाबतीत तरंगाग्राचा आकार समांतर जाळीसारखा असतो. हे दिलेल्या आकृतीत दाखवले आहे.

पृथ्वीने अडवलेल्या दूरच्या ताऱ्याच्या प्रकाशाच्या तरंगाग्राच्या भागाचा आकार समतल असतो.

उत्तर काचेचा अपवर्तनांक, $\mu=1.5$

प्रकाशाची गती, $\mathrm{c}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

काचेमध्ये प्रकाशाची गती खालील संबंधाने दिली जाते,

$$ \begin{aligned} v & =\frac{c}{\mu} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{1.5}=2 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

म्हणून, काचेमध्ये प्रकाशाची गती $2 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ आहे.

काचेमध्ये प्रकाशाची गती प्रकाशाच्या रंगापासून स्वतंत्र नाही.

पांढऱ्या प्रकाशाच्या जांभळ्या घटकाचा अपवर्तनांक लाल घटकाच्या अपवर्तनांकापेक्षा जास्त असतो. म्हणून, काचेमध्ये जांभळ्या प्रकाशाची गती लाल प्रकाशाच्या गतीपेक्षा कमी असते. म्हणून, काचेच्या प्रिझममध्ये जांभळा प्रकाश लाल प्रकाशापेक्षा हळू प्रवास करतो.

उत्तर

स्लिट्समधील अंतर, $d=0.28 \mathrm{~mm}=0.28 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

स्लिट्स आणि पडदा यामधील अंतर, $D=1.4 \mathrm{~m}$

केंद्रीय पट्टी आणि चौथ्या $(n=4)$ पट्टीमधील अंतर,

$u=1.2 \mathrm{~cm}=1.2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

रचनात्मक व्यतिकरणाच्या बाबतीत, दोन पट्ट्यांमधील अंतरासाठी आपल्याकडे खालील संबंध आहे:

$u=n \lambda \frac{D}{d}$

येथे,

$n=$ पट्ट्यांचा क्रम $=4$ $\lambda=$ वापरलेल्या प्रकाशाची तरंगलांबी

$$ \therefore=\frac{u d}{n D} $$

$=\frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.28 \times 10^{-3}}{4 \times 1.4}$

$=6 \times 10^{-7}$

$=600 \mathrm{~nm}$

म्हणून, प्रकाशाची तरंगलांबी $600 \mathrm{~nm}$ आहे.

उत्तर

$I_{1}$ आणि $I_{2}$ ही दोन प्रकाश तरंगांची तीव्रता मानू. त्यांची परिणामी तीव्रता खालीलप्रमाणे मिळवता येते:

$I^{\prime}=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \phi$

येथे,

$\phi=$ दोन तरंगांमधील कलांतर

एकवर्णी प्रकाश तरंगांसाठी,

$$ \begin{aligned} & I_{1}=I_{2} \\ & \begin{aligned} \therefore I^{\prime} & =I_{1}+I_{1}+2 \sqrt{I_{1} I_{1}} \cos \phi \\ & =2 I_{1}+2 I_{1} \cos \phi \end{aligned} \end{aligned} $$

कलांतर $=\frac{2 \pi}{\lambda} \times$ पथांतर

पथांतर $=\lambda$ असल्याने,

कलांतर, $\phi=2 \pi$

$\therefore I^{\prime}=2 I_{1}+2 I_{1}=4 I_{1}$

दिलेले,

$I^{\prime}=K$

$\therefore I_{1}=\frac{K}{4}$

जेव्हा पथांतर $=\frac{\lambda}{3}$,

कलांतर, $\phi=\frac{2 \pi}{3}$

म्हणून, परिणामी तीव्रता, $I_{R}^{\prime}=I_{1}+I_{1}+2 \sqrt{I_{1} I_{1}} \cos \frac{2 \pi}{3}$

$=2 I_{1}+2 I_{1}\left(-\frac{1}{2}\right)=I_{1}$

समीकरण (1) वापरून, आपण लिहू शकतो:

$I_{R}=I_{1}=\frac{K}{4}$

म्हणून, ज्या बिंदूवर पथांतर $\frac{\lambda}{3}$ आहे त्या बिंदूवरील प्रकाशाची तीव्रता $\frac{K}{4}$ एकक आहे.

उत्तर

प्रकाशकिरणाची तरंगलांबी, $\lambda_{1}=650 \mathrm{~nm}$

दुसऱ्या प्रकाशकिरणाची तरंगलांबी, $\lambda_{2}=520 \mathrm{~nm}$

स्लिट्सपासून पडद्यापर्यंतचे अंतर $=D$

दोन स्लिट्समधील अंतर $=d$

पडद्यावरील केंद्रीय उच्चिष्टापासून $n^{\text {th }}$ तेजस्वी पट्टीचे अंतर खालील संबंधाने दिले जाते,

$x=n \lambda_{1}\left(\frac{D}{d}\right)$

तिसऱ्या तेजस्वी पट्टीसाठी, $n=3$

$\therefore x=3 \times 650 \frac{D}{d}=1950\left(\frac{D}{d}\right) \mathrm{nm}$

समजा $\lambda_{2}$ तरंगलांबीमुळेची $n^{\text {th }}$ तेजस्वी पट्टी आणि $\lambda_{1}$ तरंगलांबीमुळेची $(n-1)^{\text {th }}$ तेजस्वी पट्टी पडद्यावर एकरूप होते. आपण तेजस्वी पट्ट्यांच्या अटी खालीलप्रमाणे समान करू शकतो:

$$ \begin{aligned} & n \lambda_{2}=(n-1) \lambda_{1} \\ & 520 n=650 n-650 \\ & 650=130 n \\ & \therefore n=5 \end{aligned} $$

म्हणून, केंद्रीय उच्चिष्टापासून किमान अंतर खालील संबंधाने मिळवता येते:

$$ \begin{aligned} x & =n \lambda_{2} \frac{D}{d} \\ & =5 \times 520 \frac{D}{d}=2600 \frac{D}{d} \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

टीप: $d$ आणि $D$ ची मूल्ये प्रश्नात दिलेली नाहीत.